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Centrale Physique 2 PC 2018Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté
  • Mouvement dans un champ de force centrale conservative
  • Énergie potentielle effective
  • Introduction à la mécanique quantique
  • Moment magnétique et rapport gyromagnétique
  • Émission et absorption de rayonnement : physique du laser
  • Ondes électromagnétiques et vecteur de Poynting
  • Thermodynamique statistique : facteur de Boltzmann
  • Effet Doppler
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Présentation du sujet

De l'atome d'hydrogène aux galaxies : la raie HI à 21 cm
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Le sujet est centré sur le rayonnement de longueur d'onde 21 cm émis par l'atome d'hydrogène dans son état fondamental. Il explique d'abord l'origine de la raie (modèle classique, modèle de Bohr, structure hyperfine), puis sa production et son absorption par un nuage interstellaire, et enfin son utilisation pour étudier les galaxies lointaines. Il mobilise surtout la mécanique, la mécanique quantique, la physique du laser et la thermodynamique.

  1. 1Partie I.A : étude classique de l'atome d'hydrogènepremière annéeMouvement à force centrale de l'électron, énergie potentielle effective et nature des états.
  2. 2Partie I.B : modèle de BohrQuantification, valeurs numériques des niveaux et ordre de grandeur de l'énergie thermique.
  3. 3Partie I.C : structure hyperfineMoments magnétiques, rapport gyromagnétique et longueur d'onde de la raie à 21 cm.
  4. 4Partie II.A : bilan radiatif de la raie HIÉmission et absorption entre les deux niveaux hyperfins, durée de vie de l'état excité.
  5. 5Partie II.B : intensité spécifique émise par un nuageVecteur de Poynting, transfert radiatif à travers le nuage et équation différentielle du premier ordre.
  6. 6Partie II.C : informations apportées par la raie HI d'une galaxieEstimation d'une distance, effet Doppler et vitesse de rotation.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 10,19 / 20 · écart-type 3,61 · 3 356 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
10,19/ 20
Écart-type
3,61
Présents
3 356
Durée
4 h
1er quartile
7,3
Médiane
9,6
3e quartile
12,7
moyenne 10,1905101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Lacunes sur le mouvement à force centrale · Discussion de l'état lié sur la mauvaise énergie · Valeur numérique sans expression littérale
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Le sujet guidait beaucoup les calculs et fournissait de nombreux résultats intermédiaires, ce qui exigeait en retour clarté et honnêteté. Une lecture attentive de l'énoncé apportait beaucoup de réponses. Le jury a corrigé de très belles copies, mais sanctionne les copies illisibles et note de sérieuses lacunes de cours chez certains candidats.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Lacunes sur le mouvement à force centraleQ2, Q3

    Erreurs de signe sur le travail de la force, oubli de la loi en 1/r² de l'interaction coulombienne, confusion entre coordonnées sphériques et cylindriques.

    « Nous avons relevé de fréquentes confusions entre coordonnées sphériques et coordonnées cylindriques »
  2. 2
    Discussion de l'état lié sur la mauvaise énergieQ5

    Plusieurs copies discutent sur l'énergie potentielle effective au lieu de l'énergie mécanique, ou tracent une courbe qui contredit la question précédente.

  3. 3
    Valeur numérique sans expression littéraleQ8, Q9

    « Déterminer la valeur » appelle une application numérique, précédée de la relation littérale qui la justifie.

    « nous rappelons combien il est nécessaire d’écrire la relation littérale avant d’effectuer l’application numérique »
  4. 4
    Ordres de grandeur mal comparésQ10, Q11

    Trop de chiffres significatifs pour un ordre de grandeur, températures absolues négatives non relevées ; une raie correspond à un écart entre deux niveaux, pas à l'énergie d'un niveau.

    « il faut comparer ce qui est comparable »
  5. 5
    Équation différentielle du premier ordre non résolueQ33

    Certains candidats ne savent pas résoudre une équation linéaire du premier ordre à coefficients constants.

  6. 6
    « Négligeable » affirmé sans évaluationQ35

    Avec des données chiffrées, une estimation est attendue pour justifier qu'un terme est petit.

    « on attend d’un scientifique un argumentaire plus solide »

Ce qui a été bien réussi

  • La question Q20 est la mieux réussie du sujet.
  • La définition du vecteur de Poynting (Q29) est bien réussie.
  • De nombreuses bonnes copies traitent clairement la partie I.A, très proche du cours.
  • La courbe de la question Q5 est bien restituée par de nombreux candidats.

Conseils du jury

  • Lire attentivement l'énoncé et les introductions de partie, qui contiennent des éléments de réponse.
  • Rendre une copie lisible et mettre en valeur les résultats.
  • Reconnaître honnêtement qu'un calcul n'a pas abouti plutôt que de forcer le résultat.
  • Proposer une forme d'onde plane progressive harmonique pour justifier une moyenne d'énergie électromagnétique.
  • S'entraîner régulièrement à résoudre des équations différentielles et ne pas oublier l'unité d'un résultat final, comme en Q41.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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De l'atome d'hydrogène aux galaxies

L'atome d'hydrogène, dans son état fondamental, absorbe ou émet un rayonnement électromagnétique de longueur d'onde λ = 21 cm. Cette transition, appelée raie HI à 21 cm , est celle du maser à hydrogène. Elle est aussi à l'origine du rayonnement émis à cette longueur d'onde par le milieu interstellaire constitutif des galaxies. Après avoir étudié l'origine physique de cette transition, nous verrons l'intérêt d'observer des galaxies dans cette fenêtre de rayonnement.
Ce sujet comprend une annexe située en fin de texte et regroupant des extraits de documents, un formulaire et des données numériques.

I La raie HI à 21 cm

Un atome d'hydrogène protoné (isotope ^1 H dont le noyau est un proton) dans son état fondamental peut absorber un rayonnement électromagnétique de longueur d'onde λ = 21 cm, c'est ce que l'on appelle usuellement la raie HI à 21 cm . Pour interpréter exactement l'origine de cette raie, il faut mener une étude complète de l'atome d'hydrogène dans le cadre de la théorie de Dirac (mécanique quantique relativiste).
Nous pouvons cependant comprendre qualitativement l'origine de la raie HI à partir des quelques notions simples évoquées dans ce qui suit.

I.A - Étude classique de l'atome d'hydrogène

L'étude qui suit sera menée dans le référentiel R centré sur le proton, ce référentiel sera considéré comme galiléen. On désignera par r la distance entre le proton et l'électron et le moment cinétique de l'électron par rapport à l'origine dans le référentiel R sera noté L⃗.
Q 1. Rappeler l'expression de la force électrostatique F⃗ s'exerçant sur l'électron.
Q 2. En déduire l'expression de l'énergie potentielle électrostatique E_P de l'électron, en choisissant le zéro de cette énergie potentielle quand r → ∞.
Q 3. Montrer que le mouvement de l'électron est plan.
Q 4. Déterminer l'énergie mécanique E de l'électron et la mettre sous la forme
E = 1/2m_e r˙^2 + E_(Peff)(r)
où E_(Peff)(r) est une fonction de r à expliciter en fonction des paramètres du problème et du moment cinétique orbital L⃗ de l'électron.
Q 5. Donner l'allure de la représentation graphique de E_(P eff)(r). Analyser qualitativement le comportement du système pour différentes valeurs de l'énergie mécanique E et du moment cinétique L⃗.
Q 6. À quelles conditions (sur L et E ) une orbite circulaire est-elle possible ? Calculer le rayon r de l'orbite circulaire et l'énergie mécanique E de l'électron décrivant une telle orbite en fonction de L, e, m_e et ε_0.
Q 7. Dessiner une trajectoire de l'électron si L = 0.

I.B - Le modèle de Bohr de l'atome d'hydrogène

En 1913 Niels Bohr proposa un modèle «semi-classique» de l'atome d'hydrogène, dans ce modèle l'électron se trouve sur une orbite circulaire de rayon r et son moment cinétique orbital L est quantifié par
L = nh/(2π) = nℏ
où n est un nombre entier strictement positif et h la constante de Planck.
Q 8. Montrer que les orbites sont quantifiées. Déterminer la valeur du rayon a_0 de la première orbite de Bohr.
Q 9. En déduire que les niveaux d'énergie sont quantifiés. Donner la valeur (en eV) de l'énergie de l'état fondamental.
Q 10. À quelle température l'énergie d'agitation thermique d'un atome d'hydrogène est-elle comparable à son énergie d'ionisation? Commenter.
Q 11. L'atome d'hydrogène dans son état fondamental est susceptible d'absorber ou d'émettre un rayonnement de longueur d'onde proche de λ = 21 cm. Le modèle de Bohr permet-il de comprendre l'origine de cette transition?

I. C − La structure hyperfine de l'atome d'hydrogène

Pour comprendre l'origine de la raie HI il faut étudier les interactions magnétiques entre le proton et l'électron. Afin d'en obtenir un ordre de grandeur, nous allons étudier ici l'interaction entre le dipôle magnétique associé au spin de l'électron et le dipôle magnétique associé au spin du proton, qui est appelée «interaction spin-spin ».
Q 12. Dans le cadre du modèle planétaire classique de l'atome d'hydrogène, montrer que le moment magnétique M⃗_o de l'électron sur une orbite circulaire est proportionnel à son moment cinétique orbital L⃗ : M⃗_o = γ_o L⃗.
Q 13. Exprimer γ_o en fonction de e et de m_e, la masse de l'électron. Comment se nomme cette constante ? Le résultat précédent est encore vrai en théorie quantique : le moment magnétique d'une particule est proportionnel à son moment cinétique. En outre, dans une théorie quantique relativiste chaque particule élémentaire possède un spin qui est interprété comme son moment cinétique intrinsèque. En généralisant le résultat précédent, elle possède aussi un moment magnétique intrinsèque (ou moment magnétique de spin) qui est proportionnel à son spin. Ainsi:
  • l'électron, de spin S⃗_e, possède un moment magnétique M⃗_e proportionnel à son spin : M⃗_e = − g_S e/(2m_e)S⃗_e, où g_s ≈ 2, 00;
  • le proton de masse m_p et de spin S⃗_p, possède un moment magnétique de spin M⃗_p = g_p e/(2m_p)S⃗_p où g_p = 5, 58; les coefficients g_S et g_p sont appelés «facteurs de Landé » de l'électron et du proton;
  • l'expression du champ magnétique créé en un point P (différent de O ) par un moment magnétique ponctuel M⃗ placé en O est
B⃗(P) = (μ_0)/(4π)(3(M⃗ ⋅ u⃗)u⃗ − M⃗)/(r^3)
où r = ‖OP^(→−)‖ et u⃗ = (OP^(→−))/(‖OP^(→−)‖);
  • on rappelle que l'énergie potentielle magnétique d'un dipôle magnétique de moment magnétique M⃗ placé dans un champ magnétique B⃗ se met sous la forme U = − M⃗ ⋅ B⃗;
  • une propriété remarquable du spin de l'électron (ou du proton) est que sa projection suivant une direction quelconque ne peut prendre que deux valeurs ℏ/2 ou − ℏ/2.
    Q 14. Déterminer l'expression du champ magnétique B⃗ créé par le proton, sur l'électron, en supposant que l'électron est sur l'orbite fondamentale du modèle de Bohr et en admettant que le moment magnétique de spin du proton M⃗_p est orthogonal au plan de l'orbite.
    Q 15. À partir des éléments précédents, montrer que l'état fondamental de l'hydrogène est formé de deux «sous-niveaux» d'énergie E_l et E_u = E_l + ΔE (avec E_l < E_u ). On parle de «structure hyperfine» de l'état fondamental.
    Q 16. Donner l'expression, en fonction de g_S, g_p, e, m_e, m_p et a_0, de la différence d'énergie ΔE entre les deux sous-niveaux hyperfins à laquelle conduit ce modèle.
    En fait, cette modélisation ne permet pas de déterminer correctement la structure hyperfine du niveau fondamental de l'atome d'hydrogène, pour deux raisons :
  • elle ne prend pas en compte toutes les interactions magnétiques entre le proton et l'électron;
  • le modèle de Bohr utilisé dans les questions précédentes est très insuffisant pour décrire de façon réaliste l'atome d'hydrogène et en particulier son état électronique fondamental 1 s .
    Q 17. La théorie quantique nous apprend que dans cet état 1 s(n = 1, ℓ = 0), le moment cinétique orbital de l'électron est nul (soit L_o = 0 ). Montrer que ceci est contradictoire avec le fait d'assimiler cet état à celui d'un électron décrivant l'orbite fondamentale de l'orbite de Bohr.
    Dès lors, il est légitime de penser que la théorie quantique ne donne pas toujours les mêmes résultats que la théorie «semi-classique» de l'atome de Bohr. Par exemple, la théorie quantique permet de montrer que l'interaction spin-spin dans l'état fondamental de l'atome d'hydrogène est nulle (ceci est dû à ce que la fonction d'onde de l'électron 1s est à symétrie sphérique, ce qui est une autre façon d'exprimer le fait que le moment cinétique orbital de l'électron est nul).
    Il existe d'autres interactions magnétiques entre le proton et l'électron dans l'atome d'hydrogène. En particulier, on a négligé jusque là l'interaction spin-spin contact (ou interaction de contact de Fermi), qui comme l'interaction spin-spin conduit à une énergie d'interaction proportionnelle à M⃗_e ⋅ M⃗_p, mais qui n'existe que si l'électron a une probabilité de présence non nulle dans le proton, c'est-à-dire au point O (c'est pourquoi on qualifie cette
    interaction de spin-spin «contact» puisqu'elle n'existe que si l'électron (ponctuel) est en «contact» avec le proton, ponctuel lui aussi).
    Les fonctions d'onde φ_(nlm)(r⃗) de l'électron de l'atome d'hydrogène prennent des valeurs non nulles en r⃗ = 0→ pour les états ns (tels que ℓ = 0 ), tandis que pour les états np, nd, etc. (tels que ℓ ≠ 0 ) elles s'annulent en r⃗ = 0→. Ainsi, l'électron dans un état s(ℓ = 0, donc L_o = 0) a une probabilité de présence en O non nulle, soit ‖φ_(ns)(r⃗ = 0→)‖^2 ≠ 0, tandis qu'un électron dans un état p, d, f, …(ℓ = 1, 2, …, donc L_o ≠ 0 ) a une probabilité de présence nulle en O.
    Q 18. Donner une interprétation physique de ce résultat dans le cadre d'une théorie classique de l'atome d'hydrogène (sous-partie I.A).
    Dans la mesure où l'énergie d'interaction spin-spin contact est proportionnelle à M⃗_e ⋅ M⃗_p, la prise en compte de cet effet conduit à l'existence de deux sous-niveaux hyperfins l et u dans l'état fondamental de l'atome d'hydrogène. Un calcul quantique de la différence d'énergie ΔE entre ces deux sous-niveaux conduit à
ΔE = (μ_0)/(4π)8/3g_S g_p(m_e)/(m_p)((eℏ)/(2m_e))^2 1/(a_0^3)
Q 19. Calculer la fréquence ν_0 et la longueur d'onde dans le vide λ_0 du rayonnement électromagnétique absorbé ou émis lors d'une transition entre les deux sous-niveaux hyperfins l et u. Commenter ce résultat. Dans quel domaine spectral se situe cette raie?

II Étude de l'émission et de l'absorption entre les deux niveaux hyperfins

L'analyse du rayonnement HI joue un rôle majeur en radioastronomie. Le milieu interstellaire est essentiellement gazeux ( 99% de sa masse prend la forme de gaz) et, parmi ces gaz, 89% des atomes sont de l'hydrogène. Le rayonnement HI est donc un moyen privilégié pour étudier le milieu interstellaire. En outre, le rayonnement HI à λ = 21 cm est très peu diffusé par les poussières interstellaires constituées de petits grains (silicates, graphite, glace) de quelques micromètres à quelques millimètres de diamètre, à la différence de rayonnements de plus courte longueur d'onde. La raie HI permet donc de «voir» les régions denses des galaxies.
Nous supposerons par la suite que ce rayonnement est émis de façon isotrope et que les seuls processus envisagés sont les processus d'absorption et d'émission.
Les niveaux l et u de l'hydrogène dans son état électronique fondamental peuvent être «alimentés» par les collisions entre les atomes mais également par le rayonnement (absorption ou émission de photons). Lorsque les mécanismes de collision entre les atomes déterminent totalement les populations de ces niveaux, on dit d'un tel système qu'il est à l'équilibre thermique local à la température T et la répartition des populations dans les différents niveaux est alors régie par la relation de Boltzmann
(n_u)/(n_l) = (g_u)/(g_l)exp(− (E_u − E_l)/(kT))
où k est la constante de Boltzmann, n_l et n_u sont les densités particulaires (nombre d'atomes par unité de volume) dans les deux niveaux d'énergie E_l et E_u = E_l + ΔE.g_u et g_l sont les dégénérescences des niveaux u et l. La dégénérescence d'un niveau x d'énergie E_x est le nombre d'états différents du système ayant l'énergie E_x. Un niveau d'énergie E_x est dit non dégénéré ( g_x = 1 ) s'il n'y a qu'un seul état du système possédant l'énergie E_x. Pour les niveaux hyperfins de l'atome d'hydrogène étudiés précédemment, on a g_u = 3 et g_l = 1.

II.A - Bilan radiatif de la raie HI

On note A_(ul), B_(ul) et B_(lu) les coefficients d'Einstein correspondant respectivement à l'émission spontanée, à l'émission stimulée et à l'absorption entre les niveaux u et l. On donne A_(ul) = 2, 85 × 10^(− 15) s^(− 1).
Q 20. Rappeler sommairement les différentes caractéristiques de ces trois processus.
Q 21. Quelle est la durée de vie τ de l'état excité d'énergie E_u ?
Q 22. Dans le milieu interstellaire ce rayonnement conduit à une raie de forte intensité. Pourquoi?
Dans la suite, on considère qu'on étudie un nuage froid d'hydrogène à la température T = 100 K et de densité particulaire n_H = 25 cm^(− 3).
Q 23. Montrer que l'essentiel de l'hydrogène du milieu interstellaire se trouve dans les deux niveaux hyperfins et que la densité particulaire en atomes d'hydrogène n_H est telle que n_H = n_u + n_l = 4n_l.
Q 24. Exprimer (dn_l)/(dt) en fonction des coefficients d'Einstein, de la densité spectrale u_ν du rayonnement électromagnétique et des densités particulaires n_u et n_l.
On rappelle que la densité spectrale est la densité volumique d'énergie d'un rayonnement électromagnétique dont la fréquence se situe dans l'intervalle [ν, ν + dν] (unité : J ⋅ m^(− 3) ⋅ Hz^(− 1) ).
Q 25. En supposant la largeur de la raie HI nulle, relier (dn_l)/(dt) à (dn)/(dt) où n est la densité particulaire des photons associés à cette transition.
En réalité la largeur de la raie n'est pas nulle, sa largeur est caractérisée par une fonction Φ(ν). Cette fonction est centrée sur la fréquence ν_0 et elle vérifie la condition de normalisation ∫_0^∞Φ(ν)dν = 1. Dans chaque intervalle de fréquence [ν, ν + dν] les probabilités de transition sont alors pondérées par Φ(ν). On note n_ν la densité particulaire des photons dont la fréquence est comprise dans l'intervalle [ν, ν + dν] (unité : m^(− 3) ⋅ Hz^(− 1) ).
Q 26. Montrer que
(dn_ν)/(dt) = A_(ul)n_u Φ(ν) + B_(ul)n_u Φ(ν)u_ν − B_(lu)n_l Φ(ν)u_ν
Un corps noir est un corps qui absorbe tous les rayonnements électromagnétiques qu'il reçoit, sans les réfléchir ni les transmettre. Maintenu à une température T constante il émet un rayonnement isotrope dont la densité spectrale d'énergie u_ν est régie par la relation de Planck
u_ν = (8πhν^3)/(c^3)1/(exp((hν)/(kT)) − 1)
où ν est la fréquence du rayonnement. Le rayonnement émis est alors en équilibre thermique avec les atomes.
Q 27. Que vaut (dn_ν)/(dt) à l'équilibre thermique ? En déduire une expression de u_ν en fonction des coefficients d'Einstein et des densités particulaires n_u et n_l.
Q 28. Montrer que les coefficients d'Einstein vérifient les relations
g_u B_(ul) = g_l B_(lu) et B_(ul) = (c^3)/(8πhν_0^3)A_(ul)

II.B - Intensité spécifique de la raie HI émise par un nuage d'hydrogène atomique

Q 29. Rappeler l'expression du vecteur de Poynting associé à une onde électromagnétique plane (E⃗, B⃗) de fréquence ν se propageant dans le vide.
L'intensité I de cette onde est définie comme sa puissance, moyennée sur une période, par unité de surface perpendiculaire à sa direction de propagation.
Q 30. Montrer que l'intensité I de cette onde se met sous la forme I = cu où u est la densité volumique d'énergie électromagnétique associée à l'onde, moyennée sur une période.
Q 31. Quelle relation existe-il entre u_ν, ν et n_ν ?
Pour un rayonnement isotrope, on définit l'intensité spécifique I_ν par I_ν = (cu_ν)/(4π). Il s'agit de l'intensité émise par unité de fréquence et par unité d'angle solide (unité : W ⋅ m^(− 2) ⋅ Hz^(− 1) ⋅ sr^(− 1) ). La notion d'angle solide est présentée en annexe.
Considérons une onde d'intensité spécifique I_ν entrant dans un nuage d'hydrogène à la température T d'épaisseur L et se propageant le long d'un axe ( Oz ) dans la direction de l'observateur (figure 1).
Figure 1 Onde traversant un nuage d'hydrogène
Q 32. En posant dz = c dt, montrer que sur une distance dz le long de la direction de propagation, l'intensité spécifique I_ν varie de dI_ν = j_ν dz − κ_ν I_ν dz où
κ_ν = (c^2 ν)/(8πν_0^3)Φ(ν)A_(ul)n_l(g_u)/(g_l)(1 − exp(− (hν_0)/(kT))) et j_ν = (hν)/(4π)A_(ul)n_u Φ(ν)
Q 33. En supposant l'intensité spécifique I_ν(z = 0) nulle à l'entrée du nuage, déterminer I_ν(z) en fonction de z, j_ν, κ_ν. En déduire la valeur de I_ν(z = L) à la sortie du nuage.
Q 34. Montrer que pour les nuages d'hydrogène du milieu interstellaire on a
κ_ν ≃ (3c^2 hν)/(32πkTν_0^2)Φ(ν)A_(ul)n_H
Q 35. Pour le nuage interstellaire considéré plus haut ( n_H = 25 cm^(− 3), T = 100 K ), la forme de raie Φ(ν) est dominée par l'élargissement Doppler thermique et turbulent et Φ(ν_0) ≈ 6 × 10^(− 6) Hz^(− 1). Si ce nuage a une épaisseur L = 3pc, montrer que l'intensité spécifique à la sortie de ce nuage peut être mise sous la forme simplifiée I_ν(z = L) ≃ j_ν L.
Q 36. Pourquoi retrouve-t-on également cette valeur au niveau du détecteur (radiotélescope) situé sur Terre ? (On suppose qu'il n'y a pas d'autres nuages entre le nuage observé et la Terre).
Q 37. Exprimer l'intensité spécifique à la sortie du nuage en fonction de N(H) = n_H L.N(H) est appelé densité de colonne des atomes d'hydrogène, c'est le nombre d'atomes d'hydrogène se trouvant dans un cylindre de section unité, le long de la ligne de visée matérialisée par l'axe ( Oz ).
Q 38. Le radiotélescope détectant la raie HI est sensible à la densité spectrale de flux F_ν = ∫I_ν dΩ où Ω est l'angle solide sous lequel le nuage d'hydrogène est vu depuis le radiotélescope. Montrer que
F_ν = (3hν)/(16πD^2)A_(ul)N_H Φ(ν)
où D est la distance séparant le nuage d'hydrogène de la Terre et N_H est le nombre d'atomes d'hydrogène présents dans le nuage.
L'angle solide d'un cône de demi-angle au sommet α est Ω = 2π(1 − cosα).
Q 39. Pour une raie fine (δν)/(ν_0)≪1 où δν est la largeur de la raie. On peut considérer que ∫_0^∞νΦ(ν)dν ≃ ν_0 où ν_0 est la fréquence centrale de la raie. Montrer que
∫_0^∞F_ν dν = (3hν_0)/(16πD^2)A_(ul)N_H

II.C - Quelles informations nous apporte la raie HI émise par une galaxie?

La figure 2 présente la densité spectrale de flux F_ν provenant de la galaxie spirale UGC 11707. L'unité de flux employée est le Jansky (Jy), unité habituellement employée en radioastronomie ( 1Jy = 1 × 10^(− 26) W ⋅ m^(− 2) ⋅ Hz^(− 1) ). Deux échelles sont utilisées pour l'axe des abscisses: F_ν est représenté en fonction de la fréquence ν mais également en fonction de la vitesse tangentielle V_‖du nuage.
Q 40. Pourquoi peut-on adopter l'une ou l'autre de ces échelles ?
Figure 2 Spectre HI émis par
l'hydrogène de la galaxie UGC 11707
La fréquence ν_0 est connue avec une très grande précision, elle vaut ν_0 = 1420, 4057518MHz.
On admet que la vitesse d'éloignement V_0 d'une galaxie se situant à une distance D de la Terre suit la loi de Hubble V_0 = H_0 D où H_0 est la constante de Hubble H_0 ≃ 70 km ⋅ s^(− 1) ⋅ Mpc^(− 1) (le parsec (pc) et ses multiples
(kpc, Mpc) sont des unités de distance fréquemment employées en astrophysique : 1pc = 3, 09 × 10^(16) m, 1Mpc = 1 × 10^6 pc ).
Q 41. Évaluer la distance D (en Mpc) de la galaxie UGC 11707 ainsi que la valeur de l'intégrale ∫_0^∞F_ν dνde son spectre HI.
Q 42. Expliquer pourquoi de nombreuses galaxies possèdent un spectre HI en structure de «bicorne», analogue au spectre de la galaxie UGC 11707.
Q 43. Déduire de ce qui précède une estimation de la masse d'hydrogène atomique dans la galaxie UGC 11707. Comparer le résultat à la masse du soleil.
On peut considérer que les orbites des nuages HI sont circulaires, que les galaxies ont une forme de disque et que le champ gravitationnel à une distance r du centre de la galaxie est en bonne approximation donné par le champ créé par une distribution de masse à symétrie sphérique.
Figure 3 Images HI du disque galactique UGC 11707
La figure 3 montre, à gauche, une «photographie» de la galaxie UGC 11707 obtenue à la fréquence de la raie HI ; les contours de cette photographie délimitent des zones de même intensité. Les contours de l'image de droite de la figure 3 délimitent des zones de même vitesse tangentielle, ils sont séparés de ΔV_‖ = 20 km ⋅ s^(− 1). Les zones sombres correspondent à du gaz se rapprochant de l'observateur, les zones claires s'en éloignent. Les axes (se référer à l'échelle de l'axe vertical) sont gradués en degrés ( ^∘ ) et minutes (') d'angle ( 1^∘ = 60^′ ).
Q44. Estimer à partir de la figure 3 :
  • l'angle α que fait la normale au disque galactique avec la direction d'observation ( 0 ⩽ α ⩽ π/2 );
  • la vitesse tangentielle puis la vitesse totale d'un nuage d'hydrogène de la périphérie de la galaxie, dans le référentiel lié à la galaxie UGC 11707.
    Q 45. En faisant l'hypothèse que la répartition de masse de la galaxie est à symétrie sphérique, donner une estimation de la masse totale de la galaxie. Comparer le résultat obtenu à la masse de l'hydrogène atomique de cette galaxie.

Annexe

Angle solide

Par analogie avec l'angle α sous lequel on voit dans le plan un arc de courbe depuis le point O, on définit l'angle solide Ω sous lequel on voit dans l'espace une surface Σ depuis O. C'est l'angle solide du cône de sommet O s'appuyant sur Σ, ce cône découpe sur la sphère de centre O et de rayon R une portion de sphère de surface S . Par définition, l'angle solide Ω est le rapport Ω = S/R^2. L'angle solide est une grandeur sans dimension et son unité est le stéradian (sr). L'angle solide sous lequel on voit une surface fermée entourant le point O est Ω = 4πsr. L'angle solide d'un cône de révolution de demi-angle au sommet α est
Ω = 2π(1 − cosα)
Si α≪1, Ω ≈ πα^2.

L'effet Doppler

L'effet Doppler est utilisé en astrophysique pour mesurer la vitesse tangentielle de l'astre observé. La vitesse tangentielle est la composante de la vitesse parallèle à la ligne de visée qui relie l'astre à l'observateur.
Soit (Oz) l'axe Observateur-Étoile orienté de l'observateur vers l'étoile avec e⃗_z le vecteur unitaire porté par cet axe. Soit V⃗ la vitesse de l'astre dans un référentiel galiléen adapté à l'étude, la vitesse tangentielle de l'astre est alors V_‖ = V⃗ ⋅ e⃗_z.
Si l'astre émet un rayonnement électromagnétique de fréquence ν, l'observateur perçoit un rayonnement de fréquence
ν^′ = ν/(1 + V_‖/c)
Cette relation se simplifie, compte tenu des vitesses habituellement rencontrées, en effet |V_‖|≪c et on obtient
ν^′ ≃ ν(1 − (V_‖)/c)
La fréquence apparente est plus faible que la fréquence émise si l'étoile s'éloigne de l'observateur (la longueur d'onde est plus grande, il y a décalage vers le rouge).

Gradient en coordonnées cylindriques

grad^(→−)f = (∂f)/(∂r)u⃗_r + 1/r(∂f)/(∂θ)u⃗_θ + (∂f)/(∂z)u⃗_z

Données numériques

Constante de Planck h = 6, 63 × 10^(− 34) J ⋅ s
Constante de Planck réduite ℏ = 1, 054 × 10^(− 34) J ⋅ s
Célérité de la lumière dans le vide c = 3, 00 × 10^8 m ⋅ s^(− 1)
Permittivité du vide ε_0 = 8, 85 × 10^(− 12) F ⋅ m^(− 1)
Perméabilité du vide μ_0 = 4π × 10^(− 7)H ⋅ m^(− 1)
Charge élémentaire e = 1, 60 × 10^(− 19)C
Masse de l'électron m_e = 9, 11 × 10^(− 31) kg
Masse du proton m_p = 1, 67 × 10^(− 27) kg = 1836m_e
Facteur de Landé de l'électron g_S = 2, 00
Facteur de Landé du proton g_p = 5, 58
Magnéton de Bohr μ_B = (eℏ)/(2m_e) = 9, 27 × 10^(− 24) J ⋅ T^(− 1)
Constante de Boltzmann k = 1, 38 × 10^(− 23) J ⋅ K^(− 1)
Constante de gravitation G = 6, 67 × 10^(− 11) m^3 ⋅ kg^(− 1) ⋅ s^(− 2)
Parsec 1pc = 3, 09 × 10^(16) m
Masse du Soleil M_⊙ = 2, 0 × 10^(30) kg

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet de physique 2 Centrale PC 2018 ?
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Sur quoi porte le sujet de physique 2 Centrale PC 2018 ?

Sur la raie HI à 21 cm de l'atome d'hydrogène : son origine (modèle classique, modèle de Bohr, structure hyperfine), son émission par un nuage interstellaire et son usage pour étudier les galaxies.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en physique 2 Centrale PC 2018 ?

Des lacunes sur les forces centrales, des confusions de coordonnées, des valeurs numériques sans expression littérale, des ordres de grandeur mal comparés et des termes déclarés négligeables sans estimation.

Le sujet de physique 2 Centrale PC 2018 est-il faisable en première année ?

En partie : le jury rappelle que la partie I.A porte sur les mouvements à force centrale, vus en première année. L'épreuve s'appuie cependant sur le programme des deux années.

Quelle question a été la mieux réussie en physique 2 Centrale 2018 PC ?

La question Q20, sur le bilan radiatif de la raie HI, est selon le jury la mieux réussie du sujet.

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