Mines Physique 1 PC 2018Sujet, corrigé et rapport du jury

A2018 - PHYSIQUE I PC

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT Atlantique, ENSAE PARISTECH.
Concours Centrale-Supélec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.

CONCOURS 2018

PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Durée de l'épreuve : 3 heures

PHYSIQUE I - PC

L'énoncé de cette épreuve comporte 9 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Interaction laser plasma à haut éclairement

I. - Génération d'harmoniques dans les gaz

I.A. - Champ laser et champ coulombien.

• la position de l'électron est repérée par le vecteur r⃗ et sa vitesse par le vecteur v⃗;
• l'électron est assimilé à un point matériel de masse m ≃ 9.10^(− 31) kg et de charge q = − e où e = 1, 6 ⋅ 10^(− 19)C désigne la charge élémentaire;
• l'électron est animé d'un mouvement circulaire, de rayon r = ‖r⃗‖ et de vitesse v = ‖v⃗‖;
• on néglige le poids de l'électron;
• la norme du moment cinétique est quantifiée : mrv = nℏ où ℏ = h/(2π) ≃ 10^(− 34) J ⋅ s désigne la constante de Planck réduite et n est un entier naturel non nul.
• 1 - Donner l'expression de la force électrique coulombienne subie par l'électron, due au proton. Montrer qu'il s'agit d'une force centrale qui dérive d'une énergie potentielle W_p dont on déterminera l'expression.
• 2 - Déterminer l'expression de l'énergie mécanique W_m de l'électron sur son orbite circulaire de rayon r, en fonction de r, e et ε_0 = 9.10^(− 12) F ⋅ m^(− 1). Montrer que le rayon de la trajectoire s'écrit sous la forme r = a_0 n^2 où l'on exprimera a_0 en fonction de ε_0, h, m, et e. Préciser la valeur de n lorsque l'électron est dans son état fondamental. Calculer la valeur numérique en électron-volt de l'énergie mécanique de l'état fondamental notée − W_0.
• 3 - On donne a_0 = 1/2 ⋅ 10^(− 10) m, calculer la valeur de la norme du champ électrique coulombien E_c ressenti par l'électron dans son état fondamental. Calculer la puissance P de l'impulsion laser. Déterminer, notamment en fonction de P, les expressions de l'amplitude du champ électrique laser avant son passage à travers la lentille E_ℓ = E_0(z = − f^′) et au niveau du foyer E_f = E_0(z = 0). En utilisant les valeurs numériques (fournies dans le tableau du document I relatives à la cible ≪gaz≫ ), comparer E_c et E_f. Que peut-on en conclure?

I.B. - Un mécanisme en trois étapes

• 4 - Justifier que pour l'étude du mouvement de l'électron, on peut négliger le terme k_0 z dans l'expression du champ électrique du laser.
  ◻5 - Donner l'expression de l'énergie potentielle d'interaction W_p entre le proton et l'électron en fonction de l'abscisse x. Vérifier qu'elle correspond bien à l'allure donnée sur la figure II.a
• 6 - Donner l'expression de la force de Lorentz subie par l'électron et causée par le champ électromagnétique du laser. Rappeler la relation de structure pour une onde électromagnétique plane harmonique. On la supposera applicable localement. A quelle condition, supposée vérifiée par la suite, cette force est-elle conservative? Déterminer, en fonction de e, E_f, ω_0, t et x, l'énergie potentielle W_(p, las)(x, t) associée à cette force ainsi que l'expression de l'énergie potentielle totale

• 7 - Justifier qu'il y a deux instants privilégiés par cycle optique où l'ionisation, c'est-à-dire la traversée de la barrière de potentiel, est la plus facile. Déterminer x~_0, la position correspondant au maximum de W_(p, tot) selon x. Déterminer l'expression de E_(f, i) correspondant à une ionisation en x = x~_0 à l'un des instants privilégiés. Cette ionisation est-elle possible dans les conditions expérimentales précisées dans le tableau du document I, avec une cible ≪ gaz ≫ ?

• 9 - Déterminer l'expression de l'énergie cinétique W_c de l'électron lors de sa recombinaison avec le noyau à un instant t > t_i. Exprimer sa valeur moyenne sur une période ⟨W_c⟩ en fonction de e, E_f, m et ω_0. On admet que l'énergie cinétique maximale de l'électron est donnée par la relation W_(c, max) ≃ 3, 2⟨W_c⟩ et on donne ⟨W_c⟩ ≃ 60eV. Lors de cette recombinaison, l'électron << retombant >> dans son état fondamental, un photon est émis. On interprète cette émission comme étant celle d'une impulsion brève dont l'étendue du spectre correspond à la fréquence maximale possible d'un photon issu de la recombinaison. Estimer un ordre de grandeur de la durée δT de cette impulsion.

Figure 1 - Graphe du signal s(0, t)

• 10 - Justifier le fait qu'il suffit de raisonner sur un signal sinusoïdal : s_0(t) = S_0 cos(ωt). Donner les expressions des signaux s_+(x, t) et s_−(x, t) reçus à une distance x de l'atome. A quelle condition reliant ω à ω_0 = (2π)/(T_0), le signal s(x, t) est-il d'amplitude maximale? Préciser les caractéristiques spectrales du train d'impulsions brèves émises lors de l'interaction d'un laser avec un plasma peu dense.

II. - Génération d'harmoniques sur un miroir plasma

II.A. - Pulsation propre

Dans un premier temps on souhaite déterminer la pulsation propre des oscillations d'un plasma dans un problème unidimensionnel. Initialement, pour t < 0, le

plasma est neutre, immobile et localisé entre les abscisses x = − L/2 et x = + L/2. Le vide règne de part et d'autre du plasma. On note n la densité particulaire des électrons, de masse m et de charge q = − e. On étudie le mouvement d'ensemble des électrons consécutif à une perturbation se produisant à l'instant t = 0. On considère que les ions restent fixes et qu'à chaque instant t > 0 la distribution des électrons reste homogène sur une longueur L. Etudier le mouvement du nuage revient alors à étudier celui d'un électron situé au centre de la distribution, à l'abscisse X(t). L'effet de la perturbation peut donc se résumer à un déplacement impulsionnel du nuage électronique par rapport aux ions : pour t < 0 on a X(t) = 0 et X(0) = X_0 > 0.

• 11 - Tracer l'allure de la densité volumique de charge ρ(x). Déterminer le champ électrique qui règne à l'intérieur du plasma, où la densité volumique de charge est nulle. Déterminer l'équation du mouvement d'un électron du plasma et en déduire que la pulsation propre du plasma est donnée par la relation ω_p = √((ne^2)/(mε_0)).

II.B. - Propagation dans un plasma homogène

• 12 - Rappeler les équations de Maxwell. Le plasma étant supposé peu dense, localement neutre et le mouvement des électrons étant supposé non-relativiste, exprimer la conductivité complexe du milieu puis déterminer l'équation de propagation d'une onde électromagnétique dans le plasma. Montrer que la relation de dispersion s'écrit ω^2 = ω_p^2 + k^2 c^2. La pulsation ω étant fixée, en déduire qu'à partir d'une certaine densité particulaire électronique critique n_c, que l'on explicitera, la propagation n'est pas possible dans le plasma. Qu'advient-il alors de l'onde électromagnétique?

• 13 - Déterminer l'abscisse x_c correspondant à la réflexion de l'onde électromagnétique.

• 14 - Justifier que la composante du vecteur d'onde le long de la surface, c'est-à-dire la composante k_y, se conserve au cours de la propagation. En déduire l'abscisse x_r de réflexion de l'onde électromagnétique en fonction de x_c, L et β. Comparer ce résultat avec celui obtenu sous incidence normale.

II.C. - Excitation d'ondes plasma à la surface.

• 15 - Donner l'expression de l'instant t_0(x) de passage du pa-

Figure 2 - Cas 1D

• 16 - Montrer que les oscillations plasma peuvent effectivement émettre un rayonnement mais qu'elles n'auraient pas pu le faire si elles avaient été excitées par un paquet d'électrons se déplaçant vers les x < 0.
  

  

  
  ractérisera. Expliquer pourquoi l'on parle d'<<Emission Cohérente de Sillage >> (ECS). Conclure cette partie en précisant les propriétés remarquables du spectre de l'ECS.

• 17 - Déterminer le décalage temporel entre les arrivées du front d'onde laser aux points M_0 et M. En déduire l'expression du temps t_0(x, y) du passage du paquet d'électrons en un point ( x, y ) de la zone hétérogène. En reprenant la condition d'émission de la question précédente, avec désormais φ = φ(x, y, t), montrer que les points d'émission sont localisés sur un droite que l'on capoints d'émission sont localisés sur un droite que l'on ca-

III. - Interaction d'une impulsion avec une feuille mince

• 18 - Justifier que si la température θ_e du plasma est assez élevée, alors on pourra, en première approximation, modéliser le plasma comme un gaz parfait. Montrer alors que la température θ_e du plasma reste inchangée pendant l'expansion du plasma dans le vide.
• 19 - Déterminer l'expression de n_(L, max) en fonction en de δ, L et de la densité particulaire électronique n_(0, max) avant expansion. En déduire l'expression de la pulsation plasma maximale ω_(L, max) en fonction de δ, L et de la pulsation plasma ω_(0, max) associée à la densité particulaire n_(0, max). Pour des éventuelles applications numériques, on prendra par la suite ω_(0, max) ≃ 18, 7ω_0.

• 20 - Estimer dans ce modèle et à partir de la figure IV.b, un ordre de grandeur de la température électronique θ_e du plasma.

Document I : Modélisation du faisceau laser incident

• L'amplitude du champ laser est constante durant la durée de l'impulsion T = 50fs(1fs = 10^(− 15) s) et elle est nulle avant et après cette impulsion (Fig I.a). La période des oscillations du champ laser est notée T_0 et correspond dans le vide à une longueur d'onde λ_0 = 800 nm. L'énergie totale de l'impulsion laser est W_T.
• Le faisceau présente une symétrie cylindrique d'axe ( Oz ). Dans un plan transverse ( z = constante), l'éclairement

Fig. i.a - Amplitude laser

• Le faisceau est focalisé, par une lentille de distance focale f^′ et de diamètre égal à celui du faisceau laser D, sur une cible ( ≪ gaz ≫ ou ≪ solide ≫ ). L'angle α est le demi-angle au sommet du cône sous lequel est vue la lentille depuis la cible, placée au foyer O (fig. I.c).
• L'allure du faisceau au voisinage du foyer O est représentée sur la figure I.d, il est caractérisé par les relations z_0 = (πR_0^2)/(λ_0), tanα ≃ (λ_0)/(πR_0) et R(z) = R_0√(1 + (z/(z_0))^2).
  Les conditions physiques expérimentales sont rassemblées ci-contre.
  

  

  
  

  

Document II : Cas où la cible est un ≪gaz≫

La cible étant un gaz, on peut, pour comprendre le mécanisme d'émission d'impulsions attosecondes, se ramener à l'interaction d'un champ électrique laser avec un atome, par exemple l'hydrogène. Avant l'arrivée de l'impulsion laser, l'électron de l'atome d'hydrogène est ≪ au repos ≫ dans son état fondamental caractérisé par une énergie potentielle négative − W_0. On représente, en mécanique quantique, l'électron par un paquet d'ondes stationnaires. (Fig II.a)

• Première étape (Fig II.b) : sous l'influence du champ laser, le puits de potentiel dans lequel se trouve l'électron de l'atome d'hydrogène est modifié et la hauteur de la barrière de potentiel s'annule. L'électron s'extrait alors de l'attraction coulombienne due au noyau atomique. En réalité l'ionisation peut avoir lieu par effet tunnel avant l'annulation de la barrière de potentiel. Nous n'étudierons pas cette possibilité dans ce problème.
• Deuxième étape (Fig ii.c) : l'électron, libéré de l'attraction du noyau, est accéléré par le champ laser. Il peut revenir vers le noyau avec une énergie cinétique W_c
• Troisième étape (Fig II.d) : lors de son retour sur le noyau, l'électron se recombine avec le noyau et émet un photon d'énergie hν.
  Les trois étapes de ce mécanisme se déroulent au cours d'un cycle optique du laser dont la période est notée T_0.

Document III : Cas où la cible est << solide >>

Fig. iii.a - Miroir

Fig. III.b - Transition de n_e

Figures extraites de la thèse de Cédric Thaury - 2008

• Première étape : Les électrons, de la surface du miroir plasma, sont arrachés par le champ électrique du laser (fig III.c), puis renvoyés par paquet vers le plasma (fig III.d)
• Deuxième étape : Lors de la traversée de la surface hétérogène du miroir plasma, les paquets d'électrons excitent des oscillations plasma (à la fréquence plasma locale ω_p(x) ). Du fait de l'incidence oblique, la superposition des paquets d'électrons formés à différents points de la surface résulte en un front de densité oblique qui se propage dans le plasma (fig III.e et fig III.f)
• Troisième étape : Ces oscillations plasma émettent une impulsion lumineuse attoseconde dans la direction du faisceau réfléchi lorsque le front des oscillations plasma est perpendiculaire à la surface du miroir plasma (fig III.d)
  Ce mécanisme se répète à chaque cycle optique du laser (de période T_0 ).

Document IV : Cas où la cible est une << feuille mince >>

Fig. Iv.a - Profil

On s'intéresse au cas où l'épaisseur du miroir plasma est nanométrique (de 10 nm à 100 nm ). Dans ce cas, la totalité de la cible est vaporisée et ionisée pour former un plasma. L'expansion de ce plasma dans le vide a pour conséquence une diminution de la densité particulaire maximale de la cible. L'allure du profil de densité particulaire électronique avec et sans expansion est reportée sur la figure IV.a. On note δ l'épaisseur de la cible, et L la longueur caractéristique de l'hétérogénéité de densité aux surfaces. Cette dernière longueur dépend de la température θ_e du plasma et de la durée T de l'impulsion laser incidente. On peut l'estimer par une relation de la forme L = c_s T avec c_s = √((Zk_B θ_e)/(m_i)) où k_B = 1, 4.10^(− 23) J ⋅ K^(− 1) désigne la constante de Boltzmann, m_i la masse ionique et Z le nombre de charge de l'atome. La cible est ici en carbone avec Z = 6 et m_i = 2.10^(− 26) kg. On peut estimer que l'énergie cinétique moyenne d'un électron du plasma est égale à 3/2k_B θ_e.
Nous modéliserons le profil de densité particulaire des électrons n_L(x) de la façon suivante :

FIN DE L'ÉPREUVE