Mines Physique 1 PC 2019Sujet et corrigé

A2019 - PHYSIQUE I PC

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT Atlantique, ENSAE PARISTECH, CHIMIE PARISTECH.

Concours Centrale-Supélec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.

CONCOURS 2019
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

PHYSIQUE I - PC
L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Dans tout le problème, exprimer ou déterminer une grandeur signifie en donner une expression littérale. En revanche calculer une grandeur signifie en donner une valeur numérique avec au plus deux chiffres significatifs. Les vecteurs sont surmontés d'une flèche (g⃗) dans le cas général ou d'un chapeau s'ils sont unitaires ( ‖uˆ_z‖ = 1 ).
Dans tout le problème le champ de pesanteur g⃗ = − guˆ_z est uniforme et le référentiel terrestre galiléen. Les données numériques utiles ainsi qu'un formulaire sont rassemblés en fin d'énoncé.

En phase liquide, les molécules exercent entre elles des forces attractives (assurant entre autres la cohésion du liquide) qui permettent au liquide de supporter des forces de traction équivalentes à des pressions négatives.
La vie d'un arbre suppose une montée efficace de la sève (assimilée dans toute la suite à de l'eau) sur une hauteur qui peut atteindre quelques dizaines de mètres. Ceci conduit à l'existence de zones de pression négative, où l'état liquide de l'eau est métastable : sous l'effet d'une petite perturbation, des bulles de vapeur d'eau peuvent se former. Ceci se produit significativement lorsqu'un arbre subit un stress hydrique associant une forte évaporation (due à un fort ensoleillement) et une faible ressource en eau (due à des sols désséchés). La circulation de la sève est alors gênée par la formation de bulles de gaz au sein de l'écoulement. Pour tester quantitativement la sensibilité des espèces au stress hydrique, des chercheurs de l'INRA ont mis au point un dispositif appelé cavitron.

□ 1 - Exprimer la pression p dans un arbre assimilé à une colonne d'eau verticale emprisonnée dans un tube fermé au sommet, supposée en équilibre mécanique sous l'effet des seules forces de pression et de pesanteur, en fonction de la masse volumique ρ_e de l'eau, de la cote z mesurée à partir du sol, de l'intensité de la pesanteur g et de la pression p_0 imposée par l'atmosphère au niveau du sol via les racines. Calculer l'altitude z_m à partir de laquelle la pression devient négative. Commenter la valeur obtenue.

Pour les questions 2 à 5 on ne prendra en compte ni g⃗ ni p_0. Sur la figure 1(a), on envisage un volume V d'eau en équilibre dans un cylindre d'axe (O, uˆ_z) et de section S, fermé par un piston de surface S et de masse nulle sur lequel un opérateur exerce lentement une force de traction F⃗ = Fuˆ_z avec F > 0 et uˆ_z vertical ascendant.
□ 2 - Exprimer la pression dans l'eau en fonction de F et S. Quel est son signe?

L'opérateur veut créer au sein de l'eau liquide, une bulle de vapeur d'eau sphérique de rayon r en tirant le piston sur une hauteur z et en maintenant la force F⃗ constante 1(b). On néglige la quantité d'eau contenue dans la bulle devant V, ce qui revient à l'assimiler à une bulle de vide.
□ 3 - On considère le système constitué d'une bulle vide de rayon r et de l'interface qui la sépare de l'eau à la pression p. Exprimer le travail infinitésimal δW_p des forces de pression quand le rayon de la bulle passe de r à r + dr. En déduire l'expression de la contribution des forces pressantes à l'énergie potentielle E_p du système.

On admet qu'il convient d'ajouter à cette énergie potentielle une énergie potentielle de tension superficielle de la forme γ_e Σ où Σ est l'aire de l'interface entre l'eau liquide et l'eau vapeur et où la constante positive γ_e est le coefficient de tension superficielle de l'eau.
□ 4 - Montrer que l'énergie potentielle totale du système s'exprime sous la forme d'un polynôme de degré 3 en r dont on précisera les coefficients. Montrer qu'elle admet un maximum en r_c = − 2γ_e/p. On pose x = r/r_c et E_a = E_p(r_c). Calculer r_c et E_a pour p = − 2, 0MPa. Tracer la courbe ε(x) = E_p(x)/E_a pour x ∈ [0, 2].
□ 5 - Ce modèle n'est évidemment valide que pour r < r_b où r_b est le rayon de la bulle que l'on considèrera égal à 2r_c. Montrer que dans le cadre de ce modèle, l'état liquide sans bulle est un état d'équilibre stable mais qu'il n'est pas le plus stable : on dit qu'il est métastable. Quelle énergie faut-il apporter au système pour qu'il évolue spontanément vers l'équilibre le plus stable? Quel est cet état? Cette évolution est-elle envisageable si p = − 2, 0MPa ?

On envisage un écoulement d'eau, de masse volumique ρ_e et de viscosité dynamique η_e, dans un tuyau cylindrique d'axe (O, uˆ_x) horizontal, de longueur 2R et de section circulaire de rayon a. Les faces d'entrée et de sortie de ce cylindre sont centrées sur les points A_1(x = − R) et A_2(x = R) de l'axe ( O, uˆ_x ) où l'on impose respectivement des pressions p_1 et p_2. L'ensemble est représenté sur la figure 2(a). On repère un point M dans l'eau par ses coordonnées cylindriques ( r, θ, x ) d'axe ( O, uˆ_x ), avec − R < x < R, 0 < r < a et 0 < θ < 2π. Lorsque l'on impose une différence de pression p_1 − p_2 positive et constante, un écoulement d'eau incompressible et stationnaire apparaît. Cet écoulement est décrit par un champ des vitesses v⃗ = v(r, x)uˆ_x indépendant de θ et un champ de pression p(x) indépendant de r et θ.

Dans toute la partie I.B, on considère ce cylindre sans rotation, soit ω = 0.
□ 6 - Montrer que v(r, x) est indépendant de x. On le notera v(r) dans la suite.

On s'intéresse au système fermé (𝒮_r) constitué du fluide compris à l'instant t dans le cylindre d'axe (O, uˆ_x) et de rayon r < a, entre les abscisses x et x + dx. Le fluide situé au delà de r exerce sur la surface latérale de (𝒮_r) une force surfacique tangentielle de la forme :

□ 7 - Indiquer, en justifiant qualitativement la réponse, le choix du signe de ε correspondant à la situation étudiée. Exprimer la résultante des forces de viscosité sur (𝒮_r). Justifier sans calcul que la quantité de mouvement du système (𝒮_r) est indépendante du temps. En déduire la relation :

Justifier le fait que (dp)/(dx) est une constante. En déduire l'expression de p(x) en fonction de p_1, p_2, x et R.

On définit la conductance hydraulique G_H = (D_V)/(p_1 − p_2) du tuyau, où D_V est le débit volumique.
□ 8 - Déduire des questions précédentes l'expression de v(r) en fonction de r, η_e, p_1, p_2, a et R. Exprimer G_H en fonction de η_e, R et a.
□ 9 - Exprimer la vitesse moyenne v¯ = (D_V)/(πa^2) en fonction de a, p_1, p_2, R et η_e. Vérifier que la force de viscosité subie par la tranche d'eau située à l'instant t dans le tuyau entre les abscisses x et x + dx s'écrit :

□ 10 - Calculer v¯ et le nombre de reynolds Re pour a = 0, 02 mm (rayon typique des canaux dans lesquels la sève s'écoule), p_1 − p_2 = 10^5 Pa et R = 0, 4 m. Que peut-on en conclure sur la nature de l'écoulement?

Pour tester les effets du stress hydrique sur la conductance, on coupe une branche d'arbre quasirectiligne de longueur 2R que l'on met en communication avec deux récipients contenant de l'eau, non représentés sur la figure 2(a), dans des conditions telles que la pression aux extrémités x = − R et x = + R de la branche vaut toujours p_1 = p(x = − R) et p_2 = p(x = + R). On fait maintenant tourner l'ensemble autour de l'axe ( O, uˆ_z ) avec une vitesse angulaire ω > 0 constante et suffisamment élevée pour que la pesanteur soit négligeable dans l'écoulement. On assimile la branche à un unique canal cylindrique d'axe ( O, uˆ_x ) et de rayon a dans lequel s'écoule la sève toujours assimilée à de l'eau.
□ 11 - On étudie le mouvement de l'eau dans le référentiel (ℛ_b) solidaire de la branche. Soit une particule de fluide de masse dm = ρ_e dτ, d'abscisse x et de vecteur vitesse vuˆ_x dans le référentiel (ℛ_b). Donner les expressions de la force d'inertie d'entraînement volumique f_(ie)^(→−) et de la force d'inertie de coriolis volumique f_(ic)^(→−) subie par cette particule. Représenter ces forces sur une figure dans deux cas d'abscisses opposées.

On adopte désormais pour l'écoulement de l'eau dans la branche d'arbre en rotation un modèle semblable à celui introduit à la question 9. On fait l'hypothèse que le champ de pression ne dépend que de x, que l'écoulement est uniforme de vitesse v¯uˆ_x et que la paroi exerce sur la tranche de fluide située entre x et x + dx une force de viscosité donnée par la relation (1).
□ 12 - Montrer que la pression dans le domaine x > 0 s'écrit :

On montre de manière analogue (travail non demandé) que :

□ 13 - En déduire les expressions de p(x = 0) et v¯ en fonction de p_1, p_2, ρ_e, η_e, ω et R. Vérifier que la rotation est sans effet sur la conductance hydraulique G_H de la branche.

Pour imposer les pressions p_1 et p_2, on place aux extrémités de la branche des réservoirs remplis partiellement d'eau avec des quantités légèrement différentes. Ces réservoirs sont solidaires de la branche en rotation à vitesse angulaire ω.

Lorsque l'équilibre est établi, la surface libre de l'eau dans les réservoirs devient verticale du fait des forces d'inertie. La branche, les réservoirs et la présence d'eau indiquée en gris sont représentés sur la figure 2(b).
On crée des ouvertures - non représentées sur la figure 2(b) - dans les réservoirs vers l'atmosphère, de telle sorte que l'air - qui occupe la partie des réservoirs non occupée par l'eau -impose la pression p_0 respectivement en x_1 = − L + d et en x_2 = L avec L < R et 0 < d≪L. On mesure alors par une méthode optique le débit volumique en suivant l'évolution de la surface libre de l'eau dans l'un des réservoirs. Cette évolution est suffisamment lente au cours de l'expérience pour que l'on puisse supposer que les pressions p_1 et p_2 sont constantes.
□ 14 - Exprimer p_1 et p_2 en fonction de ρ_e, p_0, ω, L, R et d en supposant que l'eau est quasiment en équilibre relatif dans les réservoirs tournants. Vérifier que p_1 − p_2 = ρ_e ω^2 Ld dans l'approximation d≪L.

La figure 3 représente l'allure du graphe de la perte de conductance relative

en fonction du paramètre Δp = − ρ_e ω^2 L^2 mesuré en mégapascals dans un cavitron tel que d = 1 cm, L = 0, 3 m pour une branche telle que R = 0, 4 m.
□ 15 - Calculer la valeur de ω permettant de faire baisser la conductance de 50 %, valeur choisie comme limite « objective »

Un bûcheron assimilé à un point matériel B de masse m souhaite abattre un arbre mort assimilé à un cylindre homogène de masse M avec M > m, de hauteur H et de section droite carrée de côté 2a représenté sur la figure 4(a).
Il tire pour celà sur un câble fixé en C à l'arbre, de longueur BC = ℓ et de masse négligeable, afin de faire tourner l'arbre autour de l'axe (O, uˆ_y) dirigé par le vecteur uˆ_y = uˆ_z ∧ uˆ_x.
L'arbre étant mort, on néglige l'action de ses racines, de telle sorte qu'au moment où l'arbre commence à tourner, les actions de contact qu'il subit se limitent à une force R⃗_1 = T_1 uˆ_x + N_1 uˆ_z appliquée au point O et satisfaisant aux lois de coulomb avec un coefficient de frottement f. De même les actions du sol sur le bûcheron sont décrites par une force R_2^(→−) = T_2 uˆ_x + N_2 uˆ_z appliquée au point B et satisfaisant aux lois de coulomb avec le même coefficient de frottement f. Les composantes T_1, N_1, T_2 et N_2 ont des valeurs algébriques. Le câble est supposé tendu. On note F⃗ la force exercée par le câble sur l'arbre au point C, supposée parallèle au câble et F sa norme. Les angles sont orientés positivement dans le sens trigonométrique autour de ( O, uˆ_y ) et on note α l'angle (positif) entre BO^(→−) et BC^(→−).

□ 16 - Le bûcheron est supposé ne pas glisser dans la situation initiale décrite par la figure 4(a). Exprimer N_2 et T_2 en fonction de F, α, m et g. En déduire l'expression de la valeur maximale F_(max) de F en fonction de f, m, g et α.
□ 17 - L'arbre est supposé au repos dans la situation initiale décrite par la figure 4(a). Exprimer N_1 et T_1 en fonction de F, α, M et g. En déduire que pour 0 ≤ F ≤ F_(max) le glissement n'est pas possible en O.
□ 18 - Exprimer le moment Γ_g du poids de l'arbre par rapport à l'axe ( O, uˆ_y ) dans la situation initiale décrite par la figure 4(a).
□ 19 - Soit Γ_B le moment par rapport à l'axe (O, uˆ_y) exercé par le bûcheron sur l'arbre via le câble. Quelle est la valeur minimale de Γ_B permettant à l'arbre de pivoter autour de l'axe (O, uˆ_y) ?
□ 20 - En supposant F constant, justifier (avec ou sans calculs, mais rigoureusement) qu'il existe une valeur optimale α_m de l'angle α.

On suppose que, quelque soit l'angle α, l'action du bûcheron est telle que l'on est à la limite du glissement : F prend la valeur F_(max).
□ 21 - Montrer que le moment Γ_B par rapport à l'axe (O, uˆ_y) exercé par le bûcheron via le câble s'écrit Γ_B = (mgℓ)/(φ(α)) avec φ(α) = 1/(fsinα) + 1/(cosα). En déduire l'expression de α_m en fonction de f. Vérifier que α_m = π/4 pour f = 1.
□ 22 - On donne M = 10^3 kg, H = 20 m, a = 0, 5 m, m = 10^2 kg et f = 1. Calculer la force F_(max) et la longueur de corde ℓ nécessaires pour initier la rotation de l'arbre. Commenter.

On suppose que l'arbre a commencé sa rotation autour de l'axe ( O, uˆ_y ), repérée par l'angle θ que fait OC^(→−) avec (O, uˆ_z).
□ 23 - Après avoir fait une figure représentant la situation et faisant apparaître les différents paramètres, exprimer l'énergie potentielle de pesanteur E_p de l'arbre en fonction de M, g, H, a et θ. Le bûcheron opère de manière quasi-statique c'est-à-dire sans communiquer d'énergie cinétique à l'arbre. À partir de quel angle θ_s peut-il lâcher le câble?

Dans cette partie, on s'intéresse à la chute d'un arbre vivant, de hauteur H, sous l'effet d'un coup de vent violent. On néglige le rôle du poids de l'arbre : son mouvement résulte uniquement d'une compétition entre l'action du sol via les racines et l'action du vent.
□ 24 - Proposer un ordre de grandeur de la vitesse U pour un vent violent. En évaluant un nombre sans dimension que l'on définira pour un arbre de section carrée de côté 2a = 1 m, justifier qu'il convient de décrire l'action d'un vent soufflant dans la direction uˆ_x sur une tranche d'arbre (supposé vertical à ce stade) comprise entre z et z + dz, figure 4(b), par une force élémentaire de la forme dF⃗_v = 2aC_x ρ_a U^2 dzuˆ_x où ρ_a est la masse volumique de l'air et C_x un coefficient aérodynamique.
□ 25 - L'arbre étant vertical, exprimer le moment total Γ_v des actions du vent par rapport à l'axe uˆ_y en fonction de C_x, ρ_a, a, H et U.
□ 26 - Lorsque l'arbre commence à pencher, on repère son mouvement par l'angle θ représenté sur la figure 4(c). Le moment Γ_v varie en fonction de θ et on constate que Γ_v(θ) est proportionnel à (cosθ)^n avec n entier. Proposer une valeur de l'entier n en justifiant votre réponse.
Dans toute la suite, on omet la dépendance de Γ_v en θ car celui-ci reste inférieur à 10°.

L'action du sol sur l'arbre est décrite par un moment résistant Γ_r par rapport à l'axe (O, uˆ_y), qui met en jeu des phénomènes complexes comme l'élasticité des racines, un déracinement partiel, l'entraînement de la terre, etc. Des essais de traction via un câble comme dans la partie II.A ont permis de relever les variations de Γ_r (en 10^3 N.m ) en fonction de θ (en degrés) de la figure 5 dans le domaine θ > 0 auquel on se limite. Cette figure fait notamment apparaître une variation brutale au voisinage de θ = 0 que l'on modélise par une discontinuité telle que Γ_r(0) = 0 et Γ_r(0_+) = Γ_0. Par ailleurs, au-delà d'un certain angle θ_c, l'arbre est totalement déraciné, de telle sorte que Γ_r = 0. Dans le domaine 0 < θ ≤ θ_c, on modélise les mesures expérimentales de Γ_r par un polynôme du deuxième degré de la forme :

□ 27 - Quelles valeurs doit-on donner aux paramètres θ_c et β afin qu'il rende compte des mesures de la figure 5. Exprimer l'angle θ_m pour lequel Γ_r atteint sa valeur minimale et la valeur Γ_m de ce minimum. Vérifier la cohérence entre les résultats expérimentaux et les valeurs de θ_m/θ_c et Γ_m/Γ_0 issues du modèle.
Du point de vue de sa dynamique, l'arbre est désormais assimilé à une barre mince en rotation autour de l'axe (O, uˆ_y) avec un moment d'inertie J, soumis au moment constant Γ_v et au moment Γ_r(θ) décrit par le modèle de l'équation (2). Initialement l'arbre est au repos en θ = 0
en présence d'un vent de vitesse U indépendante du temps et on s'interroge sur son évolution. On définit le paramètre p = Γ_v/|Γ_0|.
□ 28 - Discuter graphiquement selon la valeur de p la possibilité pour l'arbre de rester en équilibre en θ = 0. Cet équilibre est-il stable ? Discuter graphiquement selon la valeur de p l'existence et la stabilité de positions d'équilibre en θ_e ≠ 0. Dans le cas où il existe une position d'équilibre stable inférieure à θ_c, expliquer sans calculs pourquoi on ne peut néanmoins pas être certain que l'arbre résiste au vent.

On se propose de trancher cette question. Les conditions initiales restent θ = 0 et θ˙ = 0.
□ 29 - Montrer que la vitesse angulaire de l'arbre se met sous la forme 1/2Jθ˙^2 = |Γ_0|θP(u) où P(u) est un trinôme du second degré pour la variable réduite u = θ/θ_c que l'on explicitera en fonction de l'unique paramètre p = Γ_v/|Γ_0|. En déduire, en précisant soigneusement le raisonnement adopté, la valeur minimale p_c de p permettant au vent de déraciner l'arbre. Calculer la vitesse minimale U_c du vent permettant de déraciner l'arbre correspondant au graphe de la figure 5 sachant que H = 20 m et a = 0, 5 m. On prendra C = 0, 5.

On se place désormais dans le cas p = 4/3.
□ 30 - Déterminer les bornes du mouvement de l'arbre. En réalité l'arbre finit par atteindre une position θ_∞ où il reste immobile. Interpréter qualitativement ce résultat.

Lois de Coulomb : Un solide en contact quasi-ponctuel sur un support subit de la part du support des actions de contact équivalentes à une force F⃗ que l'on peut décomposer en une composante normale N⃗ et une composante tangentielle T⃗.
En l'absence de glissement, on a ‖T⃗‖ < f‖N⃗‖ où f est le coefficient de frottement.
En présence de glissement, la composante tangentielle T⃗ est dirigée dans la direction opposée à celle du vecteur-vitesse de glissement et on a ‖T⃗‖ = f‖N⃗‖.

Expression de la divergence d'un champ de vecteurs en coordonnées cylindriques ( r, θ, x )

« À la mémoire d'Olivier Cervera (1964-2018), auteur de ce sujet. »