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Polytechnique Physique A PC 2019Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté
  • Ondes acoustiques dans les fluides
  • Mécanique des fluides
  • Thermodynamique (transformation isentropique, compressibilité)
  • Réflexion et transmission des ondes, impédance acoustique
  • Oscillateurs et filtrage (résonance, facteur de qualité)
  • Corde vibrante et modes propres
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Annales X-ENS PC PhysiqueX-ENS PC 2019PC PhysiquePhysique 2019

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Mécanique de l'audition humaine : pavillon de l'oreille externe, adaptation d'impédance de l'oreille moyenne et ondes dans la cochlée
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Le sujet étudie les mécanismes physiques de l'oreille humaine en trois parties indépendantes. Il modélise l'oreille externe par un pavillon acoustique de section exponentielle, l'oreille moyenne par un système masse-ressort qui améliore la transmission entre l'air et le milieu aqueux, puis la cochlée par une succession de cordes vibrantes et une onde de célérité variable. Il mobilise la mécanique du point, la mécanique des fluides et la physique des ondes, sans calculatrice.

  1. 1Partie I : l'oreille externe, un pavillon acoustiqueÉtablissement de l'équation de propagation dans un conduit de section variable, relation de dispersion pour un profil exponentiel et amplification de l'onde jusqu'au tympan (Q1 à Q16).
  2. 2Partie II : l'oreille moyenneCoefficients de réflexion et de transmission à une interface air/eau, puis modèle masse-ressort des osselets vu comme un filtre dont on étudie le gain en pression (Q17 à Q27).
  3. 3Partie III : la cochlée, un spectromètre acoustiqueModes propres d'une corde vibrante, analyse de mesures de von Bekesy, puis résolution approchée d'une équation d'onde à célérité variable (Q28 à Q44).

Difficulté moyenne. Le jury décrit trois parties de difficultés comparables, mêlant questions de cours et questions de réflexion, que l'immense majorité des candidats a pu aborder, avec une moyenne de 9,63.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,63 / 20 · écart-type 3,48 · 1 437 copies · où vous situez-vous ?
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Moyenne
9,63/ 20
Écart-type
3,48
Copies
1 437
moyenne 9,6305101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Confondre adiabatique et isotherme · Hypothèse unidimensionnelle mal justifiée · Section variable oubliée dans les bilans
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Le jury souligne que la plupart des candidats ont abordé les trois parties, indépendantes entre elles. Il déplore une rédaction souvent approximative, des résultats non justifiés et des applications numériques négligées ou absurdes. Plusieurs questions de cours (transformation isentropique, phase d'une onde plane) sont mal maîtrisées.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Confondre adiabatique et isothermeQ2, Q3

    Beaucoup de candidats ignorent qu'une transformation isentropique d'un système fermé est adiabatique et réversible, et oublient que la compressibilité se calcule alors à entropie constante.

    « Beaucoup pensent de manière erronée que la température d’un système ne varie pas lorsque la transformation qu’il subit est adiabatique. »
  2. 2
    Hypothèse unidimensionnelle mal justifiéeQ1

    Invoquer la symétrie axiale ne suffit pas : il fallait comparer la longueur d'onde à la dimension radiale du conduit, deux grandeurs de même dimension.

    « ne pense pas à comparer la longueur d’onde à la dimension radiale du conduit. »
  3. 3
    Section variable oubliée dans les bilansQ6, Q7

    En Q6, beaucoup reprennent la conservation de la masse du cours sans tenir compte de la section variable ; en Q7, le fluide étant compressible, il fallait écrire la dérivée temporelle de la quantité de mouvement volumique.

  4. 4
    Résultat donné par l'énoncé atteint malhonnêtementQ9

    Des candidats partent d'équations fausses et aboutissent quand même à l'équation fournie, ce que le jury sanctionne ; il salue au contraire l'honnêteté.

    « les candidat(e)s arrivent cependant de manière très malhonnête à la bonne équation, qui est donnée dans l’énoncé. »
  5. 5
    Applications numériques sans reculQ19

    Des coefficients de transmission supérieurs à 1 ou négatifs n'ont pas alerté les candidats.

    « Un minimum de sens physique et de recul leur aurait pourtant permis de s’interroger sur la validité de ce résultat. »
  6. 6
    Puissance proportionnelle à la pressionQ26

    La réponse majoritaire oubliait que la puissance acoustique dépend du carré de la pression, ce qui faussait le facteur de transmission à travers l'oreille moyenne.

    « la puissance acoustique dans un milieu est proportionnelle au carré de la pression et non à la pression. »

Ce qui a été bien réussi

  • La conservation de la masse dans le conduit (Q5 et Q6) a été bien traitée par la majorité des candidats.
  • Le terme supplémentaire de l'équation d'onde (Q11) et la relation de dispersion (Q12) ont été trouvés par l'immense majorité de ceux qui les ont abordés.
  • Les coefficients de réflexion et de transmission (Q17) ont été relativement bien traités.
  • L'analyse dimensionnelle de Q34 a recueilli très peu de réponses fausses.

Conseils du jury

  • Vérifier systématiquement l'homogénéité des résultats, par exemple sur la relation de dispersion.
  • Donner les résultats numériques avec leur unité et un nombre de chiffres significatifs cohérent avec les données.
  • Justifier les hypothèses et nommer les principes utilisés : une réponse sans justification ne rapporte aucun point.
  • Ne pas négliger les applications numériques, qui représentent une part importante des points.
  • Répondre par un raisonnement physique argumenté plutôt que par une paraphrase de l'énoncé.
  • Soigner l'orthographe, la grammaire et la lisibilité de la copie.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF
ECOLE POLYTECHNIQUE - ESPCI
CONCOURS D’ADMISSION 2019

VENDREDI 19 AVRIL 2019-8h00 - 12h00 FILIERE PC - Epreuve n^∘3

PHYSIQUE A
(XE)

Étude de la mécanique de l'audition humaine

Nous nous proposons d'étudier les principaux mécanismes qui entrent en jeu dans l'audition. L'oreille humaine se décompose en trois parties (Figure 1) que nous allons étudier successivement.
  • Les différentes parties de ce problème sont indépendantes et peuvent donc être traitées séparément.
  • Certaines questions ne requièrent aucun calcul : vous serez alors évalué(e) sur la qualité de votre argumentation et votre sens physique.
    Tout au long de ce problème, les grandeurs physiques sinusoïdalement oscillantes seront représentées par une grandeur complexe notée x_–(t) = X_m e^(− iωt).
Figure 1 - Schéma de l'oreille humaine

I. L'oreille externe : un pavillon acoustique

On considère l'air comme un fluide initialement au repos, c'est-à-dire tel que les champs de vitesse, de pression et de masse volumique s'écrivent :
v⃗(r⃗, t) = 0→ P(r⃗, t) = P_0 ρ(r⃗, t) = ρ_0
En présence d'une petite perturbation ces champs deviennent :
v⃗(r⃗, t) ≠ 0→ P(r⃗, t) = P_0 + p(r⃗, t) ρ(r⃗, t) = ρ_0 + ρ_a(r⃗, t)
Et on fera l'hypothèse de petites perturbations par rapport à l'équilibre, c'est-à-dire p/P_0≪1 et ρ_a/ρ_0≪1.
L'oreille externe se comporte comme un pavillon acoustique qui intercepte les ondes planes acoustiques se propageant dans l'air pour les amener jusqu'au tympan. Pour comprendre son utilité, nous modélisons l'oreille externe par un tuyau circulaire d'axe z et dont la section S(z) varie en fonction de l'abscisse z (Figure 2). On s'intéresse alors au volume d'air situé entre les abscisses z et z + dz.
Figure 2 - Schéma du pavillon acoustique
  1. On souhaite établir l'équation qui régit la propagation dans ce conduit. Pour cela on suppose tout d'abord que les différentes grandeurs physiques ne dépendent spatialement que de la variable z. Dans quelle condition cette hypothèse sera vérifiée?
  2. Dans ce cadre, quelles conditions une transformation thermodynamique doit-elle satisfaire pour pouvoir être considérée comme isentropique? Nous nous placerons dorénavant dans cette situation.
  3. Donner alors la définition de la compressibilité, notée χ_0, d'un fluide subissant une transformation satisfaisant cette condition.
  4. En déduire une relation, après linéarisation, qui relie p(z, t), ρ_a(z, t), ρ_0 et χ_0.
  5. Exprimer la variation de masse du volume d'air situé entre les abscisses z et z + dz pendant un intervalle de temps dt.
  6. Linéariser l'équation précédente pour obtenir l'équation de conservation de la masse dans le conduit considéré.
  7. Appliquer la relation fondamentale de la dynamique à l'élément de volume compris entre les abscisses z et z + dz (remarque : on n'oubliera pas de prendre en compte les forces de pression dues au changement de section).
  8. Linéariser l'équation précédente et ne garder que les termes d'ordre 1.
  9. À partir des équations précédentes, obtenir l'équation de propagation des ondes vérifiée par la vitesse particulaire, v, dans un tel conduit :
(∂^2 v)/(∂t^2) − c^2∂/(∂z)(1/S(∂Sv)/(∂z)) = 0 où c^2 = 1/(ρ_0 χ_0)
On considère désormais que la section du conduit a un profil exponentiel du type : S(z) = S_0 e^(− z/δ).
10. Obtenir l'équation d'onde vérifiée par la vitesse particulaire dans cette géométrie.
11. Quelle différence a-t-on par rapport à une équation d'onde en espace libre dans un fluide homogène?
12. En déduire la relation de dispersion des ondes en cherchant une solution sous la forme v_–(z, t) = v_0 e^(ikz − iωt) ( k étant éventuellement complexe, que l'on notera k = k^′ + ik^(′′) ).
13. A quelle condition a-t-on une solution dont le nombre d'onde est imaginaire pur? Est-ce vérifié pour les fréquences caractéristiques de la parole ( 100 Hz − 1kHz ), dans le cas de l'oreille humaine où l'on considère que la longueur caractéristique du pavillon est δ = 5 mm ? On rappelle c_(air) = 340 m.s^(− 1).
14. Application numérique. On considère une onde plane venant de z = − ∞ dans ce conduit. Au niveau de l'entrée de l'oreille ( z ≈ − 30 mm ), l'amplitude est celle du seuil de l'audition, soit v_1 = 50 nm.s^(− 1). Évaluer la vitesse particulaire à 1 kHz au niveau du tympan ( z = 0 )? (remarque : on donne e^6 ≈ 400 et on ne gardera que la solution de plus forte amplitude au lieu de faire la superpostion de 2 solutions).
15. Tracer l'allure de la solution v(z, t) retenue pour la fréquence de 1 kHz en fonction de z, à un instant t où cette vitesse est extrémale.
16. Conclure quant au rôle de l'oreille externe dans ce modèle.

II. L'oreille moyenne

Les cellules sensorielles de l'audition sont situées dans l'oreille interne et baignent dans un milieu aqueux, alors que l'oreille externe est quant à elle située dans l'air. Il faut donc que les ondes acoustiques aériennes soient transformées en ondes se propageant dans un milieu aqueux.
Afin de fixer les ordres de grandeur, nous considérons ici une onde plane monochromatique de pulsation ω qui arrive en incidence normale sur une interface infinie entre deux milieux fluides, définis par leurs célérités c_1 et c_2 et leurs masses volumiques ρ_1 et ρ_2. L'interface sera prise comme le plan Oxy.
17. On note p_i, p_r et p_(tr) la pression des ondes incidente, réfléchie et transmise, v_i, v_r et v_(tr) les vitesses particulaires associées. En appliquant les relations de continuité à l'interface, donner les expressions des coefficients de réflexion r = (p_–_r)/(p_–_i) et transmission τ = (p_–_(tr))/(p_–_i) en pression.
18. Exprimer les coefficients de réflexion R et de transmission T des puissances acoustiques en fonction de p_i, p_r, p_(tr), v_i, v_r et v_(tr). Calculer R et T.
19. Application numérique. Calculer l'intensité acoustique transmise à l'interface air/eau. On
Figure 3 - On modélise l'oreille moyenne (à gauche) par un système masse-ressort qui relie rigidement un piston du côté de l'oreille externe de section S_t à un autre piston du côté de l'oreille interne de section S_c. On note x(t) l'abscisse de ce second piston à l'instant t.
rappelle : ρ_(air) = 1, 25 kg ⋅ m^(− 3), c_(air) = 340 m ⋅ s^(− 1), ρ_(eau) = 1000 kg ⋅ m^(− 3) et c_(eau) = 1500 m ⋅ s^(− 1).
L'oreille moyenne se trouve typiquement à une interface air/eau. Elle est constituée du tympan et de l'enchaînement de 3 osselets (marteau, enclume et étrier). Son fonctionnement peut être modélisé par un système de type masse-ressort (Figure 3).
20. Appliquer le principe fondamental de la dynamique pour établir l'équation vérifiée par le déplacement x(t) de l'extrémité de l'étrier (remarque : on considère qu'à la position x = 0 la force exercée par le ressort est nulle).
21. Donner la définition de l'impédance acoustique Z_0 en fonction de p_c(t) et de x˙(t) = (dx(t))/(dt). On supposera que l'impédance acoustique Z_0 est réelle et égale à celle de l'eau.
22. En déduire l'expression du gain en pression G(ω) = p_c_–/p_t_– lorsque le système est excité en régime sinusoïdal (x_–(t) = x_0 e^(− iωt)).
23. Donner l'allure de la courbe de |G(ω)| en décibels.
24. Quel type de filtre reconnaît-on? En donner sa pulsation propre et son facteur de qualité. Quels sont les comportements asymptotiques de |G| à basses et hautes fréquences?
25. Application numérique. Dans la pratique, le tympan a une surface S_t de 70 mm^2 et l'extrémité de l'étrier a une surface S_c de 3, 3 mm^2. Quelle est la valeur maximale du gain?
26. En utilisant cette valeur de gain et le facteur de transmission trouvé précédemment, donner le facteur de transmission de la puissance acoustique à travers l'oreille moyenne.
27. Pourquoi l'oreille moyenne est-elle nécessaire aux humains alors que de nombreux poissons en sont dépourvus?

III. La cochlée : un spectromètre acoustique

Une fois qu'une pression a été générée dans l'oreille interne, il faut qu'elle soit convertie en une information utile pour le cerveau et ceci s'effectue essentiellement au sein de la cochlée, une partie de l'oreille interne. En 1863, Helmholtz montre que cet organe en forme de colimaçon est composé d'une succession de cordes vibrantes de longueurs L_n variables maintenues immobiles à leurs deux extrémités (Figure 4).
28. Quels sont les fréquences et modes propres d'une corde de longueur L maintenue immobile aux deux extrémités? (remarque : on donnera par exemple la forme du déplacement vertical pour les différentes fréquences propres).
29. Si on émet une onde monochromatique de pulsation ω sur cet ensemble de cordes, quelles sont celles susceptibles de montrer un déplacement non uniformément nul?
30. Si on part du principe qu'un potentiel d'action sera envoyé dans le cas où le déplacement d'une corde dépasse un certain seuil, en déduire que la cochlée se comporte comme un spectromètre.
Von Bekesy a montré expérimentalement que la propagation dans la cochlée ne peut pas être simplement modélisée comme celle d'une onde plane se propageant dans un fluide et nous allons maintenant étudier cette onde particulière. La cochlée est un conduit qui a une forme de serpentin, séparé en 2 canaux différents par une membrane élastique. Pour simplifier, nous étudierons la géométrie quasi-unidimensionnelle présentée sur la Figure 4.b.
Figure 4 - a) Modèle de la cochlée selon von Helmholtz : une succession de cordes vibrantes de longueurs variables sont disposées le long de l'enroulement cochléaire (source: "On the sensation of Tones", 1877). b) Maquette originelle de von Bekesy pour décrire l'onde se propageant le long de la membrane basilaire, où la cochlée a été déroulée pour donner un guide droit (source : "Nobel Lecture" de von Bekesy, 1961).
Figure 5 - . Amplitude et retard de phase du déplacement vertical h_–(x, t) de la membrane basilaire lorsqu'on excite celle-ci en x = 0. x représente l'abscisse curviligne le long de la membrane basilaire, c'est-à-dire la distance linéique par rapport à l'entrée du canal vestibulaire.
On peut mesurer le déplacement vertical h(x, t) de la membrane en différents points le long de l'abscisse curviligne x, et ce pour différentes fréquences d'excitation. Le résultat d'une telle mesure est schématisé sur la Figure 5.
31. Commenter la mesure d'amplitude du déplacement et comparer au modèle simple de Helmholtz.
32. Pourquoi ces mesures montrent qu'il y a eu propagation dans la cochlée?
33. Quelle aurait été l'allure du retard de phase dans le cas d'une onde plane dans l'air? Commenter.
Il a été démontré que l'équation homogène qui régit le déplacement h(x, t) prend la forme :
(∂^2 c^2 h)/(∂x^2) − (∂^2 h)/(∂t^2) = 0
  1. Quelle est la dimension de c ?
Cette grandeur n'est pas une constante, et en régime monochromatique elle satisfait la relation
suivante :
c^2 = d^2(ω_b^2 e^(− x/L) − ω^2)
où d, ω_b et L sont des constantes, et où ω_b > ω dans la gamme spectrale de l'audition.
35. Ecrire l'équation vérifiée par a_–(x, t) = c^2 h_–(x, t) = A_m(x)e^(− iωt).
36. Quelles seraient les solutions si c était une constante?
Pour résoudre cette équation, on cherche une solution de la forme A_m(x) = f(x)e^(iωg(x)), où f et g sont des fonctions à valeurs réelles. On supposera de plus g croissante. On notera f^′ et f^(′′) les dérivées première et seconde de f, et g^′ et g^(′′) celles de g.
37. Calculer (∂A_m)/(∂x) puis (∂^2 A_m)/(∂x^2).
38. En déduire le système de deux équations différentielles vérifiées par f(x) et g(x) qui résulte de l'équation d'onde.
Pour résoudre ce système, on fait l'approximation que l'amplitude de l'onde varie lentement devant sa phase. Mathématiquement, cela se traduit par f^(′′)≪(ωg^′)^2 f.
39. Obtenir la fonction g^′(x).
40. A l'aide d'un petit graphique, démontrer si cela correspond au résultat observé expérimentalement?
41. Obtenir la solution f(x) à une constante multiplicative près.
42. En déduire la dépendance de |h_–(x)| avec c.
43. Tracer le comportement de |h_–(x)| en fonction de x.
44. Cela correspond-il au comportement observé expérimentalement? Pourquoi?

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de physique A X PC 2019 sur l'audition ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de physique A X PC 2019 sur l'audition ?

Il mobilise les ondes acoustiques, la mécanique des fluides, la thermodynamique des transformations isentropiques, la réflexion et la transmission entre deux milieux, les filtres et la corde vibrante.

Quelle est la moyenne de l'épreuve de physique A X PC 2019 ?

Selon le rapport, la moyenne est de 9,63 avec un écart-type de 3,48 sur 1437 copies.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en physique A X PC 2019 ?

La confusion entre adiabatique et isotherme, des applications numériques absurdes non commentées, l'oubli du carré de la pression dans la puissance acoustique et des résultats de l'énoncé retrouvés à partir d'équations fausses.

Les parties du sujet X physique A PC 2019 sont-elles indépendantes ?

Oui, les trois parties sont indépendantes et le jury indique qu'elles étaient de difficultés assez comparables.

Pas de description pour le moment