Mines Physique 2 PC 2019Sujet, corrigé et rapport du jury

A2019 - PHYSIQUE II PC

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT Atlantique, ENSAE PARISTECH, CHIMIE PARISTECH.

Concours Centrale-Supélec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.

CONCOURS 2019
DEUXIÈME ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Durée de l'épreuve : 4 heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

PHYSIQUE II - PC
L'énoncé de cette épreuve comporte 7 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Ce sujet aborde différentes questions relatives aux propriétés physiques particulières aux régions polaires. Les notations, valeurs des constantes fondamentales et les autres données numériques nécessaires à la résolution du problème ainsi qu'un formulaire sont regroupés à la fin de l'énoncé.

Les exemples seront tous traités dans le cas des régions polaires nord (également appelées arctiques ou boréales). Les notations géographiques usuelles sont également rappelées en fin d'énoncé. Les applications numériques comporteront au plus 2 chiffres significatifs.
Les trois parties sont indépendantes.

Les pôles géographiques sont assez proches des pôles magnétiques; dans tout ce qui suit, on pourra confondre les deux axes reliant les pôles opposés de chaque type. La recherche des pôles magnétiques s'est d'abord appuyée sur la mesure du champ magnétique terrestre (ou champ géomagnétique), et en particulier de sa direction. L'intensité croissante du champ géomagnétique à l'approche des pôles contribue enfin à expliquer un phénomène optique spectaculaire : les aurores polaires.

Une boussole est formée d'un aimant permanent, solide en forme d'aiguille équivalente à un petit dipôle magnétique m⃗ de norme constante m, la direction du vecteur m⃗ étant supposée indiquer le nord. Cette aiguille aimantée peut librement tourner autour d'un axe vertical (Δ) dirigé par le vecteur e⃗_r local et formant un pivot à faible frottement (cf. fig. 1).
□ 1 - Pourquoi la boussole à l'équilibre indique-t-elle le nord? Cet équilibre est-il stable?

On note I le moment d'inertie de l'aiguille aimantée relativement à son axe de rotation (Δ); légèrement écartée de sa position d'équilibre (cf. fig. 1), l'aiguille aimantée oscille avec une pseudo-période τ_(osc).
□ 2 - Montrer que la connaissance de m, τ_(osc) et I permet de déterminer une des composantes du champ géomagnétique. Laquelle?
On étudie un modèle de champ géomagnétique créé par un dipôle magnétique M⃗ = M_0 e⃗_z disposé au centre O de la Terre (assimilée à une sphère de rayon R_T ), l'axe (Oz) étant l'axe polaire géographique dirigé du pôle sud de cet axe vers son pôle nord (cf. fig. 5). On rappelle d'une part qu'un point de la surface est caractérisé par ses coordonnées géographiques φ (longitude) et λ = π/2 − θ (latitude) et d'autre part qu'à l'équateur le champ magnétique terrestre est horizontal, dirigé vers le pôle nord géographique et y a pour intensité B_E.
□ 3 - Exprimer, en un point de la surface de la Terre et en coordonnées sphériques, le champ géomagnétique en fonction de μ_0 (perméabilité du vide), M_0 et R_T.
□ 4 - Préciser le signe de M_0 puis estimer sa valeur numérique. Quelles sont la direction et l'intensité du champ géomagnétique aux pôles magnétiques nord et sud?
En un point P de la surface terrestre, on appelle nord magnétique local la direction e⃗_N du champ géomagnétique B⃗, projeté dans le plan horizontal, et déclinaison magnétique l'angle D formé par B⃗ avec le nord magnétique local; la déclinaison magnétique est positive si B⃗ est dirigé vers le haut (vers le ciel) et négative s'il est dirigé vers le bas (vers le sol).
□ 5 - Dans l'hémisphère nord, quel est le signe de D ? Calculer tan(D) en fonction de la latitude λ puis tracer l'allure de la courbe donnant D en fonction de λ pour toutes les valeurs de λ du pôle sud au pôle nord. Pourquoi lisait-on parfois que les boussoles « s'affolent à proximité des pôles >>? Peut-on déterminer, au moyen d'une boussole, si on se trouve dans l'hémisphère nord ou dans l'hémisphère sud?

L'existence de couverts de glace de grande épaisseur au-dessus des océans polaires est bien sûr une caractéristique remarquable des régions polaires. On étudie ici deux propriétés de ces couverts de glace :

Un traîneau à chiens est un dispositif de masse totale M (le pilote, ou musher, est compris dans cette masse) qui peut glisser sur la surface de la glace avec des coefficients de glissement statique (avant le démarrage) μ_s et dynamique (en mouvement) μ_d.
□ 6 - Les chiens sont reliés au traîneau par des éléments de corde tendus, de masse négligeable et inextensibles. Montrer qu'un tel élément de corde transmet les tensions et que celles-ci sont colinéaires à la corde.
□ 7 - Le trajet se fait soit à l'horizontale, soit sur une faible pente ascendante caractérisée par l'angle α avec l'horizontale. Montrer que, dans ce dernier cas, tout se passe comme dans un mouvement horizontal sous réserve de remplacer μ_d par μ_d^′, que l'on exprimera.

L'intensité de la force de traction totale F exercée par l'ensemble des chiens dépend de leur vitesse v et on adoptera le modèle F = F_0 − βv où F_0 et β sont des constantes positives. On prendra les valeurs M = 5, 0 × 10^2 kg, α = 0, μ_d = 5, 0 × 10^(− 2) et μ_s = 8, 0 × 10^(− 2).
□ 8 - Déterminer la valeur minimale de F_0 permettant le démarrage du traîneau.
□ 9 - La vitesse du traîneau en régime stationnaire est v_0 = 3 m ⋅ s^(− 1), atteinte à 5% près au bout d'un temps t_1 = 5 s. Exprimer d'une part β en fonction de M et t_1 et d'autre part F_0 en fonction de β, v_0, μ_d, M et g. Calculer leurs valeurs respectives.

Toujours à vitesse constante v_0, le traîneau aborde une courbe à plat qu'on assimilera à un cercle de centre O et de rayon R (cf. fig. 2). Les chiens (modélisés ici en un seul point C ) doivent donc tirer vers l'intérieur du cercle.
□ 10 - Déterminer en fonction des données la tension T⃗ de la corde et l'angle θ entre la force de traction et la

trajectoire.

Pour étudier la croissance de la couche de glace en hiver, on modélise l'océan sous la banquise en formation de la manière suivante (cf. fig. 3) : en profondeur, la température de l'eau est maintenue constante à T_1 = 4^∘C par les courants océaniques. Sur une hauteur constante e sous la banquise, l'eau se refroidit progressivement jusqu'à atteindre T_0 = 0^∘C à l'altitude z = 0 de formation de la glace (on néglige tout effet de salinité de l'eau). La couche de glace a une épaisseur croissante z_g(t) qu'il s'agit de déterminer; au-dessus de celle-ci, l'air est à la température constante T_2 = − 40^∘C. On notera λ_e et λ_g les conductivités thermiques et c_e et c_g les capacités thermiques massiques de l'eau liquide et de la glace, ρ_g et l_f la masse volumique et l'enthalpie massique de fusion de la glace; toutes ces grandeurs sont des constantes.

L'épaisseur de glace z_g(t) augmente régulièrement du fait de la cristallisation de l'eau refroidie à T_0 = 0^∘C à la base de la couche de glace. Toutes les études pourront être faites pour un système défini par un cylindre vertical de surface S unité (cf. fig. 3) au sein duquel les transferts thermiques unidimensionnels sont régis par la loi de Fourier.
□ 11 - Par une étude des échanges thermiques de l'épaisseur δz prise à l'intérieur de la glace, établir une équation aux dérivées partielles vérifiée par la température T_g(z, t) au sein de la glace.
□ 12 - Déterminer une expression donnant l'ordre de grandeur de la durée Δt de la diffusion thermique au sein de la glace sur une hauteur Δz. Quelle durée doit-on attendre afin de pouvoir considérer que, pour des évolutions assez lentes, la température T_g ne dépend pratiquement plus du temps? Préciser ce que l'on entend par « assez lentes ».
On se place dans ce cas dans toute la suite : dans l'eau comme dans la glace, les répartitions de température seront supposées quasi-statiques.
□ 13 - Définir et exprimer les résistances thermiques R_g et R_e, pour une aire donnée S, des couches de glace et d'eau refroidie sous la glace.
Les transferts thermiques à travers la surface supérieure de la banquise sont décrits par la loi de Newton des transferts pariétaux (radiatifs et convecto-conductifs) : la puissance échangée par unité d'aire de cette surface vérifie |P_u| = h|T_s − T_2| où T_s est la température au sommet de la couche de glace; le coefficient h > 0 de la loi de Newton est supposé connu et constant.
□ 14 - Exprimer la résistance thermique R_i, pour une aire S, de l'interface entre l'air et la glace.
□ 15 - Montrer que le régime quasi-permanent de croissance de la couche de glace peut être décrit par le schéma électrique équivalent de la figure 4 et préciser l'expression du « courant » Φ du « générateur de courant » en fonction notamment de l_f, ρ_g et de la vitesse de croissance v_g = (dz_g)/(dt) de la couche de glace.

□ 16 - En électricité, connaissez-vous un dispositif D permettant d'assurer une différence de potentiel nulle sans appel de courant? Si oui, comment faut-il le brancher? En thermodynamique, pour quelle raison la différence de température aux bornes de D est-elle maintenue nulle?
□ 17 - Établir l'équation différentielle vérifiée par z_g(t). On suppose que pour toutes les valeurs de t considérées on a e/(λ_e)≫(z_g)/(λ_g) + 1/h, en déduire la loi d'évolution de l'épaisseur de la couche de glace sous la forme τ_g[ℓ_g z_g(t) + z_g^2(t)] = ℓ_g^2 t où l'exprimera les grandeurs τ_g et ℓ_g en fonction des paramètres du modèle. L'instant t = 0 correspond au début de la formation de la banquise.
□ 18 - Tracer et commenter l'allure de la courbe donnant z_g en fonction de t. On montrera notamment l'existence de deux régimes successifs.

Lors de diverses expéditions en direction du pôle nord, on a pu constater que les navires pris dans les glaces du pack arctique dérivent systématiquement à droite de la direction du vent.
On interprète ces résultats par la différence de direction d'écoulement du vent (qui entraîne la surface de l'eau) et de l'eau profonde (qui entraîne les glaces dérivantes du pack) du fait de la rotation propre de la Terre autour de l'axe polaire (on parle ici d'effet Coriolis). L'entraînement des couches de plus en plus profondes de l'océan est dû aux effets de viscosité de l'eau.
Ce changement graduel de direction en fonction de la profondeur possède une forme de spirale. Elle prend le nom de l'océanographe suédois Vagn Walfrid Ekman qui l'expliqua dans sa thèse en 1907.
□ 19 - La viscosité de l'eau liquide à basse température (sous les glaces du pack arctique) est-elle, à votre avis, plus ou moins élevée qu'à température ambiante?

L'étude qui suit est réalisée dans un référentiel terrestre (Oxyz) dans lequel (Oz) est vertical ascendant, (Ox) dirigé dans la direction du vent. L'océan occupe toute la région z < 0; on le modélise comme un écoulement incompressible, visqueux, de pression P. Le champ de vitesse v⃗ de cet écoulement est stationnaire horizontal (v_z = 0), il ne dépend que de la profondeur ((∂v⃗)/(∂x) = (∂v⃗)/(∂y) = 0→), et il est entièrement situé à proximité du pôle nord (latitude λ = π/2 ). La pression atmosphérique est uniforme et notée P_0.
□ 20 - Expliciter les forces de pesanteur et des pseudo-forces d'inertie exercées par unité de masse d'eau en fonction de v_x, v_y, g_0 (accélération de la pesanteur polaire) et de T_0 (durée du jour). Que dire des forces d'inertie d'entraînement?
□ 21 - Écrire l'équation locale qui traduit le principe fondamental de la dynamique appliqué à une particule mésoscopique d'eau (Équation de Navier-Stokes). Montrer que la pression P ne dépend que de z et déterminer son expression.
□ 22 - Montrer que les fonctions v_x(z) et v_y(z) sont reliées par deux équations différentielles couplées du second ordre, que l'on établira et qui feront apparaître un paramètre commun noté δ, homogène à une longueur, que l'on exprimera en fonction de η_e, T_0 et ρ_e.
□ 23 - On note v⃗_0 = v_0 e⃗_x la vitesse de surface de l'eau océanique située en z = 0. Déterminer v_x(z) et v_y(z) en supposant que le fond de l'océan correspond à la limite z → − ∞.
□ 24 - Ces résultats sont-ils compatibles avec l'observation expérimentale suivante : la vitesse de dérive des navires pris dans la banquise est de l'ordre de 2% de celle du vent avec une dérive de 20° à 40° à droite de ce dernier?

Champ magnétique terrestre à l'équateur
Charge élémentaire
Durée du jour solaire moyen
Intensité du champ de pesanteur
Masse volumique de l'eau liquide à 4°C
Perméabilité magnétique du vide
Rayon terrestre
Viscosité dynamique de l'eau liquide à 4°C
Logarithme népérien du nombre 20

Le champ magnétique créé par un dipôle de moment dipolaire M⃗ placé à l'origine O des coordonnées est donné au point P par :

Les interactions d'un dipôle magnétique rigide de moment dipolaire m⃗ soumis à un champ magnétique extérieur B⃗ sont décrites par l'énergie potentielle E_p = − m⃗ ⋅ B⃗ et par le couple des actions électromagnétiques Γ⃗ = m⃗ ∧ B⃗.

On notera (Oxyz) les axes cartésiens associés à la base orthonormée et directe (e⃗_x, e⃗_y, e⃗_z). Les coordonnées sphériques d'un point P sont notées (r, θ, φ) avec la base locale associée (e⃗_r, e⃗_θ, e⃗_φ), cf. fig. 5 à gauche. On note aussi φ (longitude) et λ la latitude d'un point P de la surface terrestre; le point A est situé sur l'équateur dans le méridien origine (φ = 0); celui-ci passe par l'observatoire de Greenwich G, cf. fig. 5 à droite.