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Mines Mathématiques 2 PC 2019Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Dérivabilité de la fonction de Riemann, série de fonctions et formule sommatoire de Poisson
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Le sujet étudie la fonction R, somme de la série des sin(n²x)/n², proposée par Riemann comme exemple de fonction continue nulle part dérivable. Il montre par des moyens élémentaires que R n'est pas dérivable en 0, établit la formule sommatoire de Poisson, puis l'utilise pour prouver que R est dérivable en π. Le problème mobilise une grande partie du programme d'analyse de deuxième année.

  1. 1Partie I : préliminairesdeuxième annéeContinuité de R, convergence d'une intégrale impropre et continuité d'une transformée de Fourier définie par une intégrale à paramètre.
  2. 2Partie II : étude de la dérivabilité de R en 0deuxième annéeComparaison d'une somme de type Riemann à une intégrale via une fonction en escalier, convergence dominée, puis équivalent de R en 0.
  3. 3Partie III : formule sommatoire de Poissondeuxième annéeFonctions 2π-périodiques définies par des séries, coefficients de Fourier et unicité admise, pour obtenir la formule de Poisson.
  4. 4Partie IV : étude de la dérivabilité de R en πdeuxième annéeRégularité d'une fonction auxiliaire par série entière, estimation de sa transformée de Fourier, développement asymptotique en 0 puis dérivabilité en π.

Difficulté moyenne. Le jury indique que la première partie ne contenait que des questions très élémentaires et que le problème a été mieux réussi que ceux des années précédentes, mais les questions après la 16 ont rarement été abordées avec succès.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Convergence normale non citée · Inégalités entre nombres complexes · Partie entière mal manipulée
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Le sujet visait à valoriser les candidats connaissant bien le cours et les méthodes de base, et la première partie, très élémentaire, pesait lourd dans le barème. Le problème a été mieux réussi que les années précédentes. Le jury regrette surtout le manque d'aisance avec l'exponentielle complexe et des hypothèses de théorèmes vérifiées trop rapidement.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Convergence normale non citéeQ1

    Certains concluent à la continuité de R directement à partir d'une majoration, sans nommer la convergence normale ni mentionner la continuité du terme général.

  2. 2
    Inégalités entre nombres complexesQ3, Q14

    Les modules et valeurs absolues jouaient un rôle central, mais le jury a souvent lu des inégalités écrites directement entre complexes.

    « le jury a trop souvent lu des inégalités entre nombres complexes »
  3. 3
    Partie entière mal manipuléeQ6

    Des inégalités fausses du type x ≤ ⌊x⌋ ont été sanctionnées. Il fallait utiliser ⌊x⌋ ≥ x − 1 et le fait que h ≤ 1.

  4. 4
    Hypothèses de la convergence dominée oubliéesQ7

    La convergence simple de φ_h vers f et la domination sur [0, 1] ont souvent été omises, et le théorème n'est pas toujours nommé.

  5. 5
    Continuité par convergence normale sur un segmentQ9

    La série définissant F converge normalement sur tout segment et non sur R entier. Cette justification a rarement été correcte.

  6. 6
    Retour systématique à cos et sinQ14

    Beaucoup de candidats évitent l'exponentielle complexe, ce qui leur fait perdre du temps et conduit à des dérivées fausses de f.

    « Ce choix regrettable est souvent générateur de perte de temps »

Ce qui a été bien réussi

  • La notion de convergence absolue, des séries comme des intégrales, est assez généralement bien comprise.
  • La question 2 a été plutôt bien traitée.
  • L'existence et la 2π-périodicité de F à la question 9 sont en général correctement établies.
  • La question 10 a été en général bien traitée.

Conseils du jury

  • Vérifier soigneusement toutes les hypothèses des théorèmes utilisés et nommer ces théorèmes.
  • Soigner les questions élémentaires de début de sujet, fortement valorisées dans le barème.
  • Travailler directement avec l'exponentielle complexe plutôt que revenir à cos et sin.
  • Contrôler ses calculs par la parité : f' est impaire et f'' est paire.
  • Ne pas s'éterniser sur une question simple comme la question 10.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Concours Centrale-Supélec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.

CONCOURS 2019

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - PC
L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Etude d'une série de fonctions
Le sujet est consacré à l'étude de quelques propriétés de dérivabilité de la fonction R : R → C définie par
R(x) = ∑_(n = 1)^∞(sin(n^2 x))/(n^2) pour tout x ∈ R

Notations

  • On note ⌊x⌋ la partie entière d'un réel x.
  • Soit (u_n)_(n ∈ Z) une famille de nombres complexes indexée par l'ensemble Z des entiers relatifs. Dans le cas où les séries ∑_(n ≥ 0)u_n et ∑_(n ≥ 1)u_(− n) sont toutes deux convergentes, on pose
∑_(n ∈ Z)u_n = ∑_(n = 0)^∞u_n + ∑_(n = 1)^∞u_(− n)

I Préliminaires

On établit dans cette partie quelques résultats utiles dans la suite du problème.
  1. Montrer que la fonction R est bien définie et qu'elle est continue sur R.
  2. Montrer que l'intégrale ∫_0^(+ ∞)(sin(x^2))/(x^2) dx est convergente.
Dans la suite du problème, on admet que
∫_0^(+ ∞)(sin(x^2))/(x^2) dx = √(π/2)
Soit f : R → C une fonction continue par morceaux et intégrable. On pose
fˆ(x) = ∫_(− ∞)^(+ ∞)f(t)e^(− ixt) dt pour tout x ∈ R
  1. Montrer que la fonction fˆ est bien définie, et continue sur R.

II Etude de la dérivabilité de R en 0

Dans cette partie, on considère une fonction f : R → C, continue et telle qu'il existe un réel C > 0 tel que
|f(t)| ≤ C/(t^2 + 1) pour tout t ∈ R
On pose
S(h) = h∑_(n = 0)^∞f(nh) pour tout h > 0
  1. Justifier l'existence de S(h) pour tout h > 0.
On fixe h > 0, et on considère la fonction
φ_h : R_+, ⟶ C; t, ⟼ f(⌊t/h⌋h)
  1. Montrer que
S(h) = ∫_0^(+ ∞)φ_h(t)dt
  1. Montrer que, pour tous h ∈ ]0, 1] et t ∈ [1, + ∞[, on a
|φ_h(t)| ≤ C/(1 + (t − 1)^2)
  1. En déduire que
S(h) → ∫_0^(+ ∞)f(t)dt quand h → 0
  1. En déduire un équivalent de R(x) quand x tend vers 0 par valeurs strictement positives. La fonction R est-elle dérivable en 0 ?

III Formule sommatoire de Poisson

Dans cette partie, on note C_(2π) l'espace vectoriel des fonctions continues et 2π-périodiques de R vers C. Si u est un élément de C_(2π), on pose
c_p(u) = 1/(2π)∫_0^(2π)u(t)e^(− ipt) dt pour tout p ∈ Z
On admet le résultat suivant, que l'on pourra utiliser sans démonstration dans toute cette partie : si u et v sont deux éléments de C_(2π) qui vérifient c_p(u) = c_p(v) pour tout p ∈ Z, alors u = v.
On considère une fonction f : R → C, continue et telle qu'il existe des réels strictement positifs C_1 et C_2 tels que
|f(t)| ≤ (C_1)/(t^2 + 1) pour tout t ∈ R et |fˆ(x)| ≤ (C_2)/(x^2 + 1) pour tout x ∈ R
où la fonction fˆ a été définie à la question 3 . On pose également
F(x) = ∑_(n ∈ Z)f(x + 2nπ) et G(x) = ∑_(n ∈ Z)fˆ(n)e^(inx) pour x ∈ R.
  1. Montrer que la fonction F est bien définie, 2π-périodique et continue sur R.
  2. Montrer que la fonction G est bien définie, 2π-périodique et continue sur R.
  3. Montrer que G = 2πF.
En particulier, on a G(0) = 2πF(0), soit :
∑_(n ∈ Z)fˆ(n) = 2π∑_(n ∈ Z)f(2nπ)
  1. Montrer que, pour tout réel strictement positif a, on a
∑_(n ∈ Z)f(na) = 1/a∑_(n ∈ Z)f^((2nπ)/a)
Cette égalité constitue la formule sommatoire de Poisson.

IV Etude de la dérivabilité de R en π

On considère la fonction f : R → C définie par
f(t) = {(e^(it^2) − 1)/(t^2) si t ≠ 0; i si t = 0
  1. Montrer que f est de classe C^∞ sur R. On pourra utiliser un développement en série entière.
  2. Etablir que f^′(t) → 0 quand t → ± ∞, et que f^(′′)(t) = − 4e^(it^2) + O(t^(− 2)) quand t → ± ∞.
  3. Montrer que l'intégrale I = ∫_(− ∞)^(+ ∞)e^(ix^2) dx est convergente.
  4. Montrer que fˆ(x) = O(x^(− 2)) quand x → ± ∞.
On pose à présent
F(x) = ∑_(n = 1)^∞(e^(in^2 x))/(n^2) pour x ∈ R
  1. En utilisant la formule sommatoire de Poisson, montrer qu'il existe des nombres complexes a et b tels que
    F(x) = F(0) + a√x + bx + O(x^(3/2)) quand x → 0 par valeurs strictement positives.
    Préciser la valeur de b, et exprimer a en fonction de I (l'intégrale I a été définie à la question 15).
  2. Exprimer, pour x ∈ R, F(π + x) en fonction de F(4x) et de F(x).
  3. Déduire de ce qui précède que la fonction R est dérivable en π, et préciser la valeur de R^′(π).
Fin du problème

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet Mines Maths 2 PC 2019 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet Mines Maths 2 PC 2019 ?

Sur l'analyse de deuxième année : séries de fonctions et convergence normale, intégrales généralisées et à paramètre, convergence dominée, séries entières, avec un usage constant de l'exponentielle complexe.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Mines Maths 2 PC 2019 ?

Des hypothèses de théorèmes non vérifiées, notamment pour la convergence dominée, des inégalités entre nombres complexes, une partie entière mal manipulée et des difficultés de calcul avec l'exponentielle complexe.

Le sujet Mines Maths 2 PC 2019 était-il difficile ?

Le jury le juge mieux réussi que les sujets des années précédentes, avec une première partie très élémentaire. En revanche, les questions qui suivent la question 16 ont rarement été abordées avec succès.

Quel est le thème du sujet Mines Maths 2 PC 2019 ?

La fonction de Riemann, somme de la série des sin(n²x)/n² : le sujet montre qu'elle n'est pas dérivable en 0 mais qu'elle l'est en π, grâce à la formule sommatoire de Poisson.

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