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Mines Mathématiques 2 PC 2018Sujet, corrigé et rapport du jury

Fonctions harmoniques

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Fonctions harmoniques : noyau de Dirichlet, propriété de la moyenne, théorème de Liouville et théorème de d'Alembert-Gauss
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Le sujet étudie des propriétés classiques des fonctions harmoniques sur un ouvert de R² et parcourt une grande partie du programme d'analyse de PC. Il part du noyau de Dirichlet et de la convergence d'une série trigonométrique, établit la propriété de la moyenne par le laplacien en coordonnées polaires, résout un problème de Dirichlet sur un carré, puis démontre le théorème de Liouville et en déduit le théorème de d'Alembert-Gauss.

  1. 1Partie I : noyau de DirichletCalculs avec exponentielles complexes et sommes géométriques, lemme de type Riemann-Lebesgue par intégration par parties et convergence de la série de coefficients d'une fonction périodique.
  2. 2Partie II : coordonnées polairesLaplacien en coordonnées polaires, dérivation d'une intégrale à paramètre et propriété de la moyenne.
  3. 3Partie III : problème de DirichletFonction harmonique atteignant un extremum, unicité de la solution nulle au bord puis construction d'une solution à variables séparées sur un carré.
  4. 4Partie IV : développement en sérieÉquation différentielle vérifiée par les coefficients, changement de variable r = e^s et théorème de Liouville pour les fonctions harmoniques bornées.
  5. 5Partie V : théorème de d'Alembert-GaussHarmonicité de P(x + iy) et de son inverse, puis démonstration du théorème à l'aide du théorème de Liouville.

Difficulté moyenne. Le jury décrit un problème de facture classique, dans l'esprit du programme PC, mais plusieurs questions des parties III à V (11, 12, 15, 16, 18) ont été très rarement résolues.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Exponentielles complexes évitées · Théorèmes lourds pour une somme finie · Contrôle d'intégrale et bornes du changement de variable
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Le problème, classique et conçu pour couvrir de nombreux chapitres d'analyse, a révélé un manque d'aisance avec les exponentielles complexes, les sommes géométriques et le contrôle des intégrales. Beaucoup de candidats ont perdu du temps en justifications disproportionnées ou répétées, et les hypothèses des théorèmes, notamment la domination, sont souvent négligées. Les dernières parties n'ont été que partiellement abordées.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Exponentielles complexes évitéesQ1, Q2

    Beaucoup reviennent aux sinus et cosinus au lieu de manipuler les exponentielles complexes, et peinent sur les sommes géométriques.

    « Trop de candidats semblent peu familiers avec le maniement des exponentielles complexes »
  2. 2
    Théorèmes lourds pour une somme finieQ1, Q4

    Une somme finie s'intervertit avec l'intégrale par simple linéarité : vérifier les hypothèses d'intégration terme à terme était inutile.

    « ont perdu beaucoup de temps, faute de lucidité, à vérifier les hypothèses de théorèmes d’intégration terme à terme »
  3. 3
    Contrôle d'intégrale et bornes du changement de variableQ3, Q4, Q6

    La limite de l'intégrale se justifiait simplement par l'inégalité triangulaire, rarement utilisée proprement. Au changement de variable u = t - x, les bornes sont souvent oubliées.

  4. 4
    Dérivées secondes et notationsQ8

    Les dérivées d'ordre 2 du changement en coordonnées polaires se gâtent faute de notations claires, et l'harmonicité de f doit apparaître explicitement.

    « Le jury a par exemple été surpris de voir apparaître des notations folkloriques »
  5. 5
    Domination oubliéeQ9

    L'hypothèse de domination est souvent omise. Dominer par une constante suppose une fonction bornée, ce qui n'est pas acquis sur un ensemble non fermé.

  6. 6
    Équation caractéristique à coefficients non constantsQ10, Q15

    De nombreux candidats appliquent l'équation caractéristique à des équations différentielles dont les coefficients ne sont pas constants, au lieu de changer de fonction inconnue.

    « Peu d’entre eux ont saisi qu’il s’agissait de changer de fonction inconnue. »

Ce qui a été bien réussi

  • À la question 3, la plupart des candidats ont pensé à intégrer par parties.
  • À la question 8, les dérivées partielles d'ordre 1 sont en général bien calculées par la règle de la chaîne.
  • Beaucoup ont vu que la question 17 découlait immédiatement de la question 7.
  • Les questions 19 et 20 de la dernière partie ont été significativement abordées.

Conseils du jury

  • Saisir la logique du texte pour réutiliser judicieusement les résultats des questions précédentes.
  • Utiliser des arguments proportionnés à la question posée.
  • Vérifier soigneusement les hypothèses des théorèmes du cours.
  • Viser une rédaction efficace et s'entraîner régulièrement au calcul, notamment aux sommes géométriques.
  • Rester honnête : les passages en force sont repérés et sévèrement sanctionnés.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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CONCOURS 2018

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - PC

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Fonctions harmoniques

Soit U un ouvert du plan R^2, soit f : U → C une fonction de classe C^2. Son laplacien Δf est alors défini sur U par
∀(x, y) ∈ U Δf(x, y) = (∂^2 f)/(∂x^2)(x, y) + (∂^2 f)/(∂y^2)(x, y).
La fonction f : U → C est dite harmonique sur U si elle est de classe C^2 et de laplacien nul sur U, i.e. Δf = 0.

I Noyau de Dirichlet

Pour n entier naturel et t réel, on pose
D_n(t) = ∑_(k = − n)^n e^(ikt) = ∑_(k = 0)^n e^(ikt) + ∑_(k = 1)^n e^(− ikt).
  1. Vérifier la relation ∫_(− π)^π D_n(t)dt = 2π pour tout n entier naturel.
  2. Pour n ∈ N et t réel non multiple entier de 2π, prouver que
D_n(t) = (sin((n + 1/2)t))/(sin(t/2)).
  1. Soit h : [ − π, π] → C une fonction de classe C^1. Montrer que l'intégrale
I_α = ∫_(− π)^π h(u)sin(αu)du
tend vers 0 lorsque le réel α tend vers + ∞.
On considère maintenant une fonction g : R → C, de classe C^2 et 2π périodique. Pour tout k entier relatif, on pose
c_k(g) = 1/(2π)∫_(− π)^π g(x)e^(− ikx) dx.
  1. Pour n entier naturel et t réel, prouver la relation
∑_(k = − n)^n c_k(g)e^(ikt) = 1/(2π)∫_(− π)^π g(t − u)D_n(u)du
  1. En déduire que
∑_(k = − n)^n c_k(g)e^(ikt) − g(t) = 1/(2π)∫_(− π)^π h_t(u)sin((n + 1/2)u)du
où h_t est une fonction continue sur [ − π, π] que l'on explicitera.
On admettra que cette fonction h_t est de classe C^1 sur le segment [ − π, π].
6. À l'aide d'une double intégration par parties, montrer que
c_n(g) = O(1/(n^2)) et c_(− n)(g) = O(1/(n^2))
lorsque n tend vers + ∞.
7. Prouver la relation
g(t) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)c_n(g)e^(int) + ∑_(n = 1)^(+ ∞)c_(− n)(g)e^(− int)

II Coordonnées polaires

Le plan R^2 est muni de sa norme euclidienne canonique. Soit f : U → C harmonique sur U, où U est un ouvert de R^2. Soit m_0 = (x_0, y_0) un point de U, soit δ > 0 tel que la boule ouverte B(m_0, δ) soit incluse dans U. Pour (r, t) ∈ ] − δ, δ[ × R, on pose
g(r, t) = f(x_0 + rcost, y_0 + rsint)
  1. Montrer que la fonction g est de classe C^2 sur ] − δ, δ[ × R. Vérifier, sur ] − δ, δ[ × R, la relation
r^2(∂^2 g)/(∂r^2) + r(∂g)/(∂r) = − (∂^2 g)/(∂t^2)
Cette relation pourra éventuellement être admise pour traiter la suite du problème.
Pour r ∈ [0, δ[, on pose
J(r) = ∫_(− π)^π g(r, t)dt = ∫_(− π)^π f(x_0 + rcost, y_0 + rsint)dt
  1. Montrer que l'application J est de classe C^2 sur l'intervalle [0, δ[. Prouver la relation
∀r ∈ [0, δ[ rJ^(′′)(r) + J^′(r) = 0
  1. En déduire que l'application J est constante sur [0, δ[.

III Problème de Dirichlet

Soit f : U → R une fonction harmonique à valeurs réelles sur un ouvert U de R^2. On suppose que la fonction f admet un extremum global en un point m_0 de U.
11. En utilisant les résultats de la partie II, montrer que f est constante sur toute boule ouverte centrée en m_0 et incluse dans U.
Soit f : K = [0, 2π] × [0, 2π] → R une fonction à valeurs réelles, continue sur le carré fermé K = [0, 2π] × [0, 2π], harmonique sur son intérieur U = K^∘ = ]0, 2π[ × ]0, 2π[, et nulle sur la frontière Fr(K) = K∖K^∘ de ce carré.
12. Montrer que f est nulle sur K.
Dans la fin de cette section III, on cherche à construire une fonction f : K → R, avec K = [0, 2π]^2, satisfaisant aux conditions suivantes :
1f est continue sur le carré fermé K;
2f est harmonique sur le carré ouvert K^∘ = ]0, 2π[^2;
3∀x ∈ [0, 2π], f(x, 0) = sin(x);
4∀x ∈ [0, 2π], f(x, 2π) = 0;
5∀y ∈ [0, 2π], f(0, y) = f(2π, y) = 0.
13. Construire une fonction f_0 vérifiant ces conditions et qui soit de la forme f_0(x, y) = φ(x)ψ(y), où φ et ψ sont deux fonctions continues de l'intervalle [0, 2π] vers R. Montrer ensuite que cette fonction f_0 est l'unique solution du problème posé.

IV Développement en série

Soit f : D(0, R) → C harmonique, où D(0, R) est le disque ouvert de centre O et de rayon R, avec R ∈ ]0, + ∞]. On posera D(0, + ∞) = R^2. Pour r ∈ [0, R[ et n entier relatif, on pose
v_n(r) = 1/(2π)∫_(− π)^π f(rcost, rsint)e^(− int) dt
  1. En utilisant les calculs faits dans la question 8 , montrer que la fonction v_n est solution sur [ 0, R [ de l'équation différentielle
(E_n) : r^2 v_n^(′′)(r) + rv_n^′(r) − n^2 v_n(r) = 0.
  1. Résoudre l'équation (E_n) sur ]0, R[ en utilisant le changement de variable r = e^s.
  2. En déduire, pour tout n entier relatif, l'existence d'un coefficient complexe a_n tel que l'on ait v_n(r) = a_n r^(|n|) sur [0, R[.
  3. Montrer que pour tout r ∈ [0, R[ et tout t ∈ R,
f(rcost, rsint) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)a_n(re^(it))^n + ∑_(n = 1)^(+ ∞)a_(− n)(re^(− it))^n
  1. Soit f : R^2 → C une fonction harmonique bornée sur R^2. Montrer que f est constante.

V Théorème de D'Alembert-Gauss

Dans cette dernière partie, on considère un polynôme P ∈ C[X], supposé non constant. Pour (x, y) ∈ R^2, on pose
f(x, y) = P(x + iy)
  1. Exprimer (∂f)/(∂x)(x, y), (∂f)/(∂y)(x, y), (∂^2 f)/(∂x^2)(x, y) et (∂^2 f)/(∂y^2)(x, y) à l'aide des polynômes dérivés P^′ et P^(′′). Montrer que la fonction f est harmonique sur R^2.
  2. Soit U un ouvert du plan sur lequel f ne s'annule pas. Montrer que la fonction g = 1/f est harmonique sur U.
  3. Montrer qu'il existe un réel positif A tel que, pour tout nombre complexe z vérifiant |z| ≥ A, on ait |P(z)| ≥ 1.
  4. En déduire une preuve du théorème de d'Alembert-Gauss dont on rappellera l'énoncé précis.
Fin du problème

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet Mines Maths 2 PC 2018 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet Mines Maths 2 PC 2018 ?

Sur l'analyse : nombres complexes et sommes géométriques, intégrales à paramètre, dérivées partielles et laplacien en coordonnées polaires, équations différentielles linéaires et séries de fonctions, autour des fonctions harmoniques.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Mines Maths 2 PC 2018 ?

Un maniement hésitant des exponentielles complexes, des théorèmes lourds invoqués pour une somme finie, l'oubli de l'hypothèse de domination et l'usage de l'équation caractéristique pour des équations à coefficients non constants.

Quelles questions du Mines Maths 2 PC 2018 ont été le moins réussies ?

Les questions 11 et 12 du problème de Dirichlet et les questions 15, 16 et 18 ont été très rarement menées à bien. Dans la dernière partie, seules les questions 19 et 20 ont été significativement abordées.

Le sujet Mines Maths 2 PC 2018 est-il adapté au programme PC ?

Oui : le jury le juge de facture classique, tout à fait dans l'esprit du programme PC et conçu pour aborder un très grand nombre de chapitres d'analyse.

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