WikiPrépaLivrets

Mines Mathématiques 2 PC 2017Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté
Faisable en Sup
Logo concours Mines

Explorer les annales

BanqueMinesAnnée2017FilièrePCMatièreMathématiques
Annales Mines PC MathématiquesMines PC 2017PC MathématiquesMathématiques 2017

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)
Corrigé
Rapport du juryLire en ligneLaTeXWord

Présentation du sujet

Accessible
Première répétition : exponentielle tronquée, méthode de Laplace, formule de Stirling et tirages avec remise
Afficher ou masquer la section

Le problème vise à estimer le temps moyen de première répétition lors de tirages avec remise dans une urne. Il établit d'abord des résultats asymptotiques sur les sommes partielles de la série exponentielle, à l'aide de la méthode de Laplace, qui redonne au passage la formule de Stirling. La dernière partie, probabiliste, exploite ces estimations.

  1. 1Partie I : exponentielle tronquéeFormule de Taylor avec reste intégral, règle de d'Alembert et comportement asymptotique des sommes partielles Tn(x) selon que x est inférieur ou supérieur à 1.
  2. 2Partie II : méthode de LaplaceÉquivalent de l'intégrale de f(x) puissance n par développement limité, minoration d'une fonction auxiliaire et théorème de convergence dominée.
  3. 3Partie III : formule de StirlingDémonstration de la formule de Stirling en appliquant la méthode de Laplace à une intégrale exprimant n!.
  4. 4Partie IV : formule de BernsteinÉquivalent de Rn(1), puis de Tn(1), lorsque n tend vers l'infini.
  5. 5Partie V : première répétitionÉcriture d'un algorithme calculant le rang de la première répétition, loi de cette variable aléatoire et estimation de son espérance.

Accessible. Le jury indique que le sujet avait été conçu pour être abordable et raisonnablement progressif, tout en constatant que beaucoup de notions de base n'étaient pas maîtrisées.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Formule de Taylor avec reste intégral mal connue · Erreurs sur les limites et la convergence des séries · Point intérieur oublié
Afficher ou masquer la section

Le sujet était abordable et progressif, mais le jury a constaté que de nombreuses notions de base n'étaient pas maîtrisées et que les réponses, même aux questions faciles, manquaient souvent de justifications. Quelques copies excellentes se distinguent. Les faiblesses relevées, théoriques comme calculatoires, étaient pour la plupart évitables.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Formule de Taylor avec reste intégral mal connueQ2

    Moins de la moitié des candidats écrit correctement cette formule, pourtant au cœur de la partie I.

    « une petite moitié de candidats sait écrire correctement la formule de Taylor avec reste intégral. »
  2. 2
    Erreurs sur les limites et la convergence des sériesQ3

    Une suite décroissante minorée par 0 ne tend pas forcément vers 0, et la règle de d'Alembert n'est pas une condition nécessaire et suffisante de convergence.

  3. 3
    Point intérieur oubliéQ8

    Pour conclure que la dérivée s'annule en 0, il faut préciser que 0 est un point intérieur de l'intervalle.

  4. 4
    Minoration abusive d'une fonction strictement positiveQ9

    Une fonction continue et strictement positive sur un intervalle ouvert n'est pas en général minorée par un réel strictement positif ; la question a été très rarement bien traitée.

  5. 5
    Continuité par morceaux et convergence dominéeQ10, Q11

    La continuité par morceaux est mal justifiée et, pour passer à la limite sous l'intégrale, certains invoquent l'intégrale de Gauss au lieu du théorème de convergence dominée.

    « Rappelons que la régularité continue par morceaux n'est pas stable par composition. »
  6. 6
    Hasard introduit dans l'algorithmeQ18, Q19

    L'algorithme devait calculer X à partir d'une liste donnée : utiliser random ou randint était hors sujet. En probabilités, il suffisait ensuite d'exhiber un événement de probabilité non nulle inclus dans l'événement étudié.

Ce qui a été bien réussi

  • La règle de d'Alembert est très souvent invoquée à juste titre à la question 3.
  • À la question 8, la plupart des candidats voient que la fonction présente un maximum local en 0.

Conseils du jury

  • Rédiger efficacement : justifier une convergence ou un changement de variable en quelques lignes, pas en plusieurs pages.
  • Donner des réponses complètes et précises, seules à recevoir tous les points.
  • Consolider les techniques asymptotiques : pas de limite qui dépend de n, pas de développement limité sans reste, manipulation rigoureuse des équivalents.
  • Lire le sujet en entier avant de rédiger pour en saisir les objectifs et l'organisation.
  • Ne pas tenter de tricher : toute tentative est sanctionnée.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
Afficher ou masquer la section
Sujet en PDF

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT Atlantique (ex Télécom Bretagne), ENSAE PARISTECH.

Concours Centrale-Supelec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.

CONCOURS 2017

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - PC

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Première répétition

I Exponentielle tronquée

Pour x réel strictement positif et n entier naturel, on pose
T_n(x) = ∑_(k = 0)^n(n^k x^k)/(k!) et R_n(x) = ∑_(k = n + 1)^(+ ∞)(n^k x^k)/(k!)
  1. Justifier l'existence de R_n(x). Que vaut la somme T_n(x) + R_n(x) ?
  2. En appliquant la formule de Taylor avec reste intégral à la fonction t ↦ e^(nt), prouver pour tout réel x strictement positif, pour tout entier n, la relation :
R_n(x) = e^(nx)(n^(n + 1))/(n!)∫_0^x(ue^(− u))^n du
Soit y un réel strictement positif. On pose
a_n = (n^(n + 1))/(n!)y^n
  1. Calculer lim_(n → + ∞)a_(n + 1)/a_n. En déduire que, si y < e^(− 1), alors
lim_(n → + ∞)a_n = 0
  1. On suppose dans cette question que x ∈ ]0, 1[. Montrer que la fonction u ↦ ue^(− u) admet, sur [0, x], un maximum M tel que M < e^(− 1). En déduire qu'au voisinage de l'infini,
R_n(x) = o(e^(nx)) puis que T_n(x) ∼ _(n → + ∞)e^(nx)
  1. Démontrer la relation n! = ∫_0^(+ ∞)t^n e^(− t) dt pour tout n entier naturel.
  2. Pour tout entier n ≥ 1, montrer l'identité suivante :
T_n(x) = e^(nx)(n^(n + 1))/(n!)∫_x^(+ ∞)(ue^(− u))^n du
  1. En déduire que, si x > 1, alors T_n(x) = o(e^(nx)) lorsque n tend vers + ∞. On pourra l'écrire (ue^(− u))^n ≤ (xe^(− x))^(n − 1)ue^(− u) pour u ≥ x.
Une estimation asymptotique de T_n(x), pour x = 1, sera obtenue dans la suite du problème.

II Méthode de Laplace

On admettra la formule de l'intégrale de Gauss :
∫_(− ∞)^(+ ∞)e^(− t^2/2) dt = √(2π)
Soit f : [ − 1, 1] ⟶ R une fonction de classe C^2 sur laquelle on fait les hypothèses suivantes :
H1 : f(0) = 1
H2 : f^(′′)(0) = − 1
H3 : Pour tout x ∈ ] − 1, 1[∖{0} 0 < f(x) < 1
H4 : les nombres f(− 1) et f(1) appartiennent à l'intervalle [0, 1[.
Pour x ∈ ] − 1, 1[∖{0}, on pose
φ(x) = − 1/(x^2)ln(f(x))
  1. Montrer que f^′(0) = 0 puis, à l'aide d'un développement limité, déterminer k = lim_(x → 0)φ(x).
On prolonge φ en posant φ(0) = k.
9. Montrer que la fonction φ, sur ] − 1, 1[, est minorée par un réel strictement positif. En déduire l'existence d'un réel a strictement positif tel que pour tout x ∈ [ − 1, 1], on ait
f(x) ≤ e^(− ax^2)
Indication : on pourra distinguer les cas où f(1) et f(− 1) sont non nuls des cas où l'un des deux au moins est nul.
Pour tout n entier naturel non nul, on définit une fonction g_n : R ⟶ R par
g_n(u) = {(f(u/(√n)))^n, si u ∈ [ − √n, √n]; 0, sinon
  1. Montrer que chaque fonction g_n est continue par morceaux sur R, et que la suite de fonctions ( g_n, n ≥ 1 ) converge simplement sur R vers la fonction g telle que pour tout u ∈ R,
g(u) = e^(− u^2/2)
  1. En déduire que
∫_(− 1)^1(f(x))^n dx ∼ _(n → + ∞)√((2π)/n)
On en déduit de la même manière que
∫_0^1(f(x))^n dx ∼ _(n → + ∞)√(π/(2n))

III Formule de Stirling

Avertissement : même si elle fait partie du programme, on (re)démontre dans cette partie la formule de Stirling.
12. Pour tout entier n ≥ 1, déduire de la question 5 que
n! = n^(n + 1)e^(− n)(I_n + J_n)
avec
I_n = ∫_(− 1)^1(x + 1)^n e^(− nx) dx et J_n = ∫_1^(+ ∞)(x + 1)^n e^(− nx) dx.
  1. Montrer que pour tout x ≥ 1, x + 1 ≤ 2^x. En déduire une majoration de J_n.
  2. En appliquant la méthode de Laplace, donner un équivalent de I_n.
  3. En déduire que
n! ∼ _(n → + ∞)√(2πn)(n/e)^n.

IV Formule de Bernstein

On reprend les notations T_n(x) et R_n(x) introduites dans la partie I.
16. Pour tout entier n non nul, montrer l'identité suivante:
R_n(1) = (n^(n + 1))/(n!)∫_0^1(1 − t)^n e^(nt) dt.
  1. En déduire un équivalent de R_n(1) lorsque n tend vers l'infini. Prouver que
T_n(1) ∼ _(n → + ∞)1/2e^n.

V Première répétition

Une urne contient n boules numérotées de 1 à n. On effectue n + 1 tirages avec remise. On note X le nombre de tirages nécessaires pour amener, pour la première fois, une boule déjà tirée. Par exemple, avec n = 5, si les 6 tirages donnent successivement 3-2-1-5-2-3, on pose X = 5.
Pour représenter cette expérience, on introduit l'espace Ω = {1, ⋯, n}^(n + 1) et les variables aléatoires coordonnées ( U_1, ⋯, U_(n + 1) ) définies par
U_j : Ω, ⟶ {1, ⋯, n}; w = (w_1, ⋯, w_(n + 1)), ⟼ w_j.
En d'autres termes, U_j est le numéro de la boule tirée au j-ième tirage. On suppose que la probabilité P sur Ω est telle que les variables aléatoires ( U_j, j = 1, ⋯, n + 1 ) sont indépendantes et de loi uniforme sur {1, ⋯, n}.
18. Pour une entrée liste = [w_1, ⋯, w_(n + 1)], écrire un pseudo-code ou un code Python pour calculer la valeur de X(w_1, ⋯, w_(n + 1)).
Si nécessaire, on admettra l'existence d'une fonction qui permet de tester l'appartenance d'un élément w à une liste L : (w in L) renvoie «True» si w ∈ L, «False» sinon.
19. Montrer que pour k ∈ [ [2, n + 1] ], l'événement (X = k) est de probabilité non nulle.
20. Pour tout k ∈ [ [0, n − 1] ], montrer que
P(X > k + 1) = P(X > k + 1|X > k)P(X > k)
  1. En déduire que pour tout k ∈ [ [0, n] ],
P(X > k) = (n!)/(n^k(n − k)!)
  1. Etablir l'identité suivante :
E[X] = ∑_(k = 0)^n P(X > k)
  1. En utilisant les questions précédentes, donner un équivalent simple de E[X] lorsque n tend vers + ∞.

Fin du problème

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet Mines maths 2 PC 2017 ?
Afficher ou masquer la section

Sur quels chapitres porte le sujet Mines maths 2 PC 2017 ?

Il mobilise la formule de Taylor avec reste intégral, les séries, les intégrales généralisées et la convergence dominée, l'analyse asymptotique, un peu d'algorithmique et les probabilités sur un univers fini.

Quelles erreurs le jury de Mines maths 2 PC 2017 a-t-il le plus relevées ?

La formule de Taylor avec reste intégral mal écrite, des justifications de convergence erronées, l'oubli du point intérieur pour un extremum, une continuité par morceaux mal justifiée et l'absence du théorème de convergence dominée.

Le sujet Mines maths 2 PC 2017 est-il difficile ?

Le jury le décrit comme conçu pour être abordable et raisonnablement progressif. Les difficultés observées viennent surtout de notions de base mal maîtrisées et de justifications insuffisantes.

Faut-il connaître la formule de Stirling pour le sujet Mines maths 2 PC 2017 ?

Le sujet la redémontre dans sa troisième partie à l'aide de la méthode de Laplace, tout en rappelant qu'elle fait partie du programme.

Pas de description pour le moment