Centrale Mathématiques 2 PC 2017Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Vitesse de convergence des suites réelles et loi faible des grands nombres

Le sujet comporte deux parties indépendantes. La première définit et étudie la vitesse de convergence d'une suite réelle (lente, géométrique ou rapide) à travers des exemples classiques. La seconde utilise l'hypothèse d'un moment exponentiel pour améliorer, dans le cas de variables aléatoires discrètes, la majoration habituelle liée à la loi faible des grands nombres, obtenant une vitesse de convergence géométrique.

1Partie I.A : résultats généraux sur la vitesse de convergenceDéfinition de l'ensemble Ec des suites à vitesse de convergence bien définie et premières propriétés.
2Partie I.B : exemples de calcul de vitesse de convergenceÉtude de suites classiques (puissances, factorielle, intégrales, séries de Riemann) pour déterminer leur vitesse.
3Partie I.C : vitesse de convergence d'ordre rLien entre vitesse rapide et ordre de convergence, application aux suites définies par itération d'une fonction.
4Partie II.A et II.B : préliminaires et moment exponentielInégalités de convexité exponentielle, puis étude des variables aléatoires discrètes admettant un moment exponentiel.
5Partie II.C et II.D : majorations de type ChernoffMajoration de la probabilité de déviation de la moyenne empirique, d'abord via le moment exponentiel puis pour une variable bornée.

Difficulté moyenne. Le rapport décrit un sujet de longueur raisonnable comprenant en nombre suffisant des questions d'un abord facile et d'autres plus difficiles, ce qui a permis de bien classer les candidats.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Raisonnements inexacts sur la monotonie · Raccourcis sanctionnés dans un développement limité · Question rendue difficile par la disparition de la convexité du programme

La plupart des questions de la partie I ont été plus ou moins bien traitées par une majorité de candidats, à l'exception de quelques questions plus délicates. Les candidats se sont montrés assez efficaces sur les préliminaires de la partie II, mais le reste, consacré aux probabilités, a été traité de façon inégale.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Raisonnements inexacts sur la monotonieI.A.4
Sur la question I.A.4, certains candidats supposent à tort qu'une suite est nécessairement soit croissante soit décroissante.
« D'autres font des raisonnements inexacts en pensant par exemple qu'une suite est soit croissante soit décroissante ou en faisant des erreurs lors de quotients d'inégalités »
2
Raccourcis sanctionnés dans un développement limitéI.B.2a
Certains candidats bloqués sur un développement limité prennent des raccourcis pour retrouver le résultat donné par l'énoncé, ce qui est largement sanctionné.
« font des raccourcis pour arriver au résultat donné, raccourcis qui sont largement sanctionnés »
3
Question rendue difficile par la disparition de la convexité du programmeII.A.2
La question sur l'inégalité de convexité exponentielle est assez difficile sans indication, faute de connaître encore la notion de convexité des fonctions.
« Question assez difficile sans indication puisque la convexité des fonctions n'est plus au programme »
4
Théorème de transfert mal maîtriséII.B.2
La mauvaise maîtrise du théorème de transfert, tant sur sa formule que sur le problème de convergence, a pénalisé de nombreux candidats sur de simples exemples.
« La mauvaise maitrise du théorème de transfert pour les variables aléatoires discrètes (formule et problème de la convergence) a pénalisé un trop grand nombre de »
5
Loi des grands nombres rarement bien énoncéeII.C.1b
L'énonciation précise de la loi faible des grands nombres a posé des difficultés à la grande majorité des candidats.
« Loi des grands nombres très rarement bien énoncée »
6
Lisibilité de la copie négligée
Une encre trop pâle ou une écriture trop petite désavantagent les candidats qui les utilisent.
« les candidats qui utilisent une encre très pâle ou qui écrivent très petit ne mettent pas toutes »

Ce qui a été bien réussi

La question I.A.1 a été généralement bien traitée en reprenant un exemple de la partie I.B.1.
Le côté facile de l'inégalité de la question I.C.2b a été traité par une majorité de candidats.
La question II.A.3b, très facile, a été largement traitée.

Conseils du jury

Mener les calculs classiques de développements limités et de limites jusqu'au bout, avec concision et efficacité.
Rédiger rigoureusement l'utilisation des résultats d'encadrement pour obtenir l'existence et la valeur d'une limite.
Énoncer précisément les théorèmes utilisés, comme la loi des grands nombres ou les théorèmes de continuité et de dérivation d'une série de fonctions, et vérifier leurs hypothèses.
Soigner la présentation de la copie : écrire lisiblement et privilégier des copies concises contenant les arguments décisifs plutôt que de longues copies imprécises.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Mathématiques 2

CONCOURS CENTRALE•SUPÉLEC

4 heures
Calculatrices autorisées

L'objet du problème est une étude de la vitesse de convergence de suites réelles. Dans la partie I, on définit la vitesse de convergence d'une suite à valeurs réelles et on en étudie quelques propriétés. Le but de la partie II est d'obtenir, dans différents cas issus des probabilités, des majorations de suites convergentes vers 0.
Les parties I et II sont indépendantes.

I Vitesse de convergence d'une suite réelle

Dans cette partie, on utilisera les notations suivantes:

$ℕ$ désigne l'ensemble des entiers naturels;
$ℝ^ℕ$ désigne l'espace vectoriel des suites définies sur $ℕ$ à valeurs réelles;
$E$ désigne le sous-ensemble de $ℝ^ℕ$ constitué des suites $(u_n)_(n \in ℕ)$ convergentes telles que

\existsN \in ℕ, \forallk ⩾ N, u_k \neq lim_(n \to \infty)u_n

à toute suite $(u_n)_(n \in ℕ)$ appartenant à $E$ et de limite égale à $ℓ$ , on associe la suite $(u_n^c)_(n \in ℕ)$ définie à partir d'un certain rang par

u_n^c = |(u_(n + 1) - ℓ)/(u_n - ℓ)|

$E^c$ désigne l'ensemble des éléments $(u_n)_(n \in ℕ)$ de $E$ telles que $(u_n^c)_(n \in ℕ)$ soit convergente ;
soit $(u_n)_(n \in ℕ)$ une suite appartenant à $E^c$ et soit $ℓ^c$ la limite de $(u_n^c)_(n \in ℕ)$ ; on dit que la vitesse de convergence de la suite $(u_n)_(n \in ℕ)$ est :
lente si $ℓ^c = 1$ ,
géométrique de rapport $ℓ^c$ si $ℓ^c \in ]0, 1[$ ,
rapide si $ℓ^c = 0$ ;
soit $(u_n)_(n \in ℕ)$ une suite appartenant à $E$ et de limite égale à $ℓ$ , et soit $r$ un réel strictement supérieur à 1 ; on dit que la vitesse de convergence de la suite $(u_n)_(n \in ℕ)$ vers $ℓ$ est d'ordre $r$ si la suite définie à partir d'un certain rang par $(u_(n + 1) - ℓ)/(|u_n - ℓ|^r)$ est bornée ;
on rappelle qu'une suite $(u_n)_(n \in ℕ)$ est stationnaire si $\existsn_0 \in ℕ, \foralln ⩾ n_0, u_n = u_(n_0)$ .

I.A - Des résultats généraux

I.A.1) Montrer que l'ensemble

E^c

est non vide.
I.A.2) L'ensemble

E^c

est-il un sous-espace vectoriel de

ℝ^ℕ

?
I.A.3) Montrer que

E^c

est strictement inclus dans

E

.
I.A.4) Soit

(u_n)_(n \in ℕ)

un élément de

E^c

. Montrer que

ℓ^c

appartient au segment

[0, 1]

I.B - Exemples de calcul de vitesse de convergence

I.B.1) Soit

k

un entier strictement positif et

q

un réel appartenant à l'intervalle

]0, 1

[. Montrer que les suites

(1/((n + 1)^k))_(n \in ℕ), (n^k q^n)_(n \in ℕ)

(1/(n!))_(n \in ℕ)

appartiennent à

E^c

et donner leur vitesse de convergence.
I.B.2) On considère la suite

(v_n)_(n \in ℕ)

définie par

\foralln \in ℕ, v_n = (1 + 1/(2^n))^(2^n)

.
a) Montrer qu'au voisinage de

+ \infty, v_n = e - e/(2^(n + 1)) + o(1/(2^n))

.
b) Montrer que la suite (

v_n

) appartient à

E^c

et donner sa vitesse de convergence.
I.B.3) On considère la suite

(I_n)_(n \in ℕ)

définie par

I_0 = 0

\foralln \in ℕ^*, I_n = \int_0^(+ \infty)ln(1 + x/n)e^(- x) dx

.
a) Montrer que la suite (

I_n

) est bien définie et appartient à

E

.
b) À l'aide d'une intégration par parties, montrer que la suite (

I_n

) appartient à

E^c

et donner sa vitesse de convergence.
I.B.4) Soit

α

un réel strictement supérieur à 1. La série de Riemann

\sum_(n ⩾ 1)1/(n^α)

converge vers un réel que l'on notera

ℓ

. On note

(S_n)_(n \in ℕ)

la suite définie par

S_0 = 0

\foralln ⩾ 1, S_n = \sum_(k = 1)^n 1/(k^α)

.
a) Montrer que

\foralln ⩾ 1, 1/(α - 1)1/((n + 1)^(α - 1)) ⩽ ℓ - S_n ⩽ 1/(α - 1)1/(n^(α - 1))

.
b) En déduire que

(S_n)_(n \in ℕ)

appartient à

E^c

et donner sa vitesse de convergence.

I.C - Vitesse de convergence d'ordre $r$ d'une suite réelle

I.C.1) Soit

(u_n)_(n \in ℕ)

un élément de

E

dont la vitesse de convergence est d'ordre

r

, où

r

est un réel strictement supérieur à 1 . Montrer que la convergence de la suite

(u_n)_(n \in ℕ)

est rapide.

I.C.2)

a) Montrer que la suite

(S_n)_(n \in ℕ)

définie par

\foralln \in ℕ, S_n = \sum_(k = 0)^n 1/(k!)

est un élément de

E

. On note

s

la limite de cette suite.
b) Montrer que pour tout entier naturel

n

, on a

1/((n + 1)!) ⩽ s - S_n ⩽ 1/((n + 1)!)\sum_(k = 0)^(+ \infty)1/(2^k)

.
c) En déduire que la convergence de la suite

(S_n)_(n \in ℕ)

est rapide.
d) Soit

r

un réel strictement supérieur à 1 . Montrer que la convergence de la suite

(S_n)_(n \in ℕ)

vers

s

n'est pas d'ordre

r

.
I.C.3) On considère

I

un intervalle réel de longueur strictement positive,

f

une application définie sur

I

à valeurs dans

I

(u_n)_(n \in ℕ)

une suite définie par

u_0 \in I

\foralln \in ℕ, u_(n + 1) = f(u_n)

. On suppose que la suite

(u_n)_(n \in ℕ)

converge vers un élément

ℓ

I

et que

f

est dérivable en

ℓ

.
a) Montrer que

f(ℓ) = ℓ

.
b) Montrer que si la suite

(u_n)_(n \in ℕ)

n'est pas stationnaire alors elle appartient à

E^c

. Donner sa vitesse de convergence en fonction de

f^'(ℓ)

.
c) Montrer que si

|f^'(ℓ)| > 1

, alors

(u_n)_(n \in ℕ)

est stationnaire.
d) Soit

r

un entier supérieur ou égal à 2 . On suppose que la fonction

f

est de classe

C^r

sur

I

et que la suite

(u_n)_(n \in ℕ)

n'est pas stationnaire. Montrer que la vitesse de convergence de

(u_n)_(n \in ℕ)

est d'ordre

r

si et seulement si

∀k ∈ {1, 2, …, r − 1}, f^((k))(ℓ) = 0

II Autour de la loi faible des grands nombres

Dans cette partie, toutes les variables aléatoires sont réelles discrètes et définies sur le même espace probabilisé (

Ω, A, ℙ

). Pour toute variable aléatoire

X

d'espérance finie, on note

𝔼(X)

l'espérance de

X

.
Soit

α

un réel strictement positif. On dit que la variable aléatoire réelle discrète

X

admet un moment exponentiel d'ordre

α

si la variable aléatoire

e^(α|X|)

est d'espérance finie.
On pourra utiliser les deux propriétés suivantes sans avoir besoin de les démontrer. Soit

n

un entier strictement positif et soit

X_1, \dots, X_n, n

variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes. Alors:

si $f$ est une application définie sur $ℝ$ à valeurs réelles, alors $f(X_1), \dots, f(X_n)$ sont des variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes;
si les $n$ variables aléatoires $X_1, \dots, X_n$ sont d'espérance finie, alors la variable aléatoire $\prod_(i = 1)^n X_i$ est d'espérance finie et $𝔼(\prod_(i = 1)^n X_i) = \prod_(i = 1)^n 𝔼(X_i)$ .

II.A - Préliminaires

Les trois questions de ces préliminaires sont indépendantes.
On rappelle que la fonction cosinus hyperbolique, que l'on note cosh, est définie, pour tout réel

t

, par

cosh(t) = (e^t + e^(- t))/2

II.A.1)

a) Donner le développement en série entière de la fonction cosinus hyperbolique et celui de la fonction définie sur

ℝ

par

t \mapsto e^(t^2/2)

. On donnera le rayon de convergence de ces deux séries entières.
b) En déduire que

\forallt \in ℝ, cosh(t) ⩽ e^(t^2/2)

.
II.A.2) Soit

a

b

deux réels vérifiant

a < b

. Montrer que

\forallλ \in [0, 1], e^(λa + (1 - λ)b) ⩽ λe^a + (1 - λ)e^b

.
II.A.3) Soit

f

une fonction à valeurs réelles, définie et continue sur

ℝ^+

, et admettant une limite finie en

+ \infty

.
a) Montrer que

f

est bornée sur

ℝ^+

.
b) En déduire que la fonction

g

définie sur

ℝ^+

par

\forallt \in ℝ^+, g(t) = te^(γt)

où

γ

est un réel strictement négatif, est bornée sur

ℝ^+

II.B - Variable aléatoire discrète admettant un moment exponentiel

II.B.1) Soit

α

un réel strictement positif et

X

une variable aléatoire discrète admettant un moment exponentiel d'ordre

α

. Montrer que la variable aléatoire

e^(αX)

admet une espérance finie.
II.B.2) Pour chacune des variables aléatoires réelles suivantes, déterminer les réels

α

strictement positifs tels que la variable aléatoire admette un moment exponentiel d'ordre

α

et calculer

𝔼(e^(αX))

dans ce cas.
a)

X

une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre

λ

, où

λ

est un réel strictement positif.
b)

Y

une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre

p

, où

p

est un réel strictement compris entre 0 et 1 .
c)

Z

une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètre

n

p

, où

n

est un entier strictement positif et

p

est un réel strictement compris entre 0 et 1 .

II.C - Une majoration de $ℙ(|(S_n)/n - m| ⩾ ε)$

Dans les sous-parties II.C et II.D, on considère

ε

un réel strictement positif,

X

une variable aléatoire réelle discrète à valeurs dans

{x_p, p ∈ ℕ}

, et

(X_k)_(k \in ℕ^*)

une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes et de même loi que

X

.
Pour tout entier

n

strictement positif, on définit la variable aléatoire

S_n

par

S_n = \sum_(k = 1)^n X_k

.
Dans cette sous-partie II.C, on suppose que la variable aléatoire

X

admet un moment exponentiel d'ordre

α

où

α

est un réel strictement positif.

II.C.1)

a) Montrer que la variable

X

admet une espérance finie. On notera

m

l'espérance de

X

.
b) Appliquer, avec les justifications utiles, la loi faible des grands nombres pour la suite de variables aléatoires

(X_k)

II.C.2)

a) Montrer que la fonction

Ψ : t \mapsto 𝔼(e^(tX))

est définie et continue sur le segment

[ - α, α]

.
b) Montrer que la fonction

Ψ

est dérivable sur l'intervalle

] - α, α[

et déterminer sa fonction dérivée.
II.C.3) On considère l'application

f_ε

définie par

f_ε : {[ − α, α] → ℝ^+; t ↦ e^(− (m + ε)t)Ψ(t)

a) Donner les valeurs de

f_ε(0)

f_ε^'(0)

.
b) En déduire qu'il existe un réel

t_0

appartenant à l'intervalle

]0, α[

vérifiant

0 < f_ε(t_0) < 1

.
II.C.4) Montrer que pour tout réel

t

appartenant au segment

[ - α, α]

et tout

n

appartenant à

ℕ^*

, la variable aléatoire réelle

e^(tS_n)

admet une espérance égale à

(Ψ(t))^n

.
II.C.5)
a) Soit

t

un réel appartenant à l'intervalle

]0, α]

et soit

n

appartenant à

ℕ^*

Montrer que

ℙ((S_n)/n ⩾ m + ε) = ℙ(e^(tS_n) ⩾ (e^(t(m + ε)))^n)

, puis que

ℙ((S_n)/n ⩾ m + ε) ⩽ (f_ε(t))^n

.
b) En déduire qu'il existe un réel

r

appartenant à l'intervalle

]0, 1[

tel que

\foralln \in ℕ^*, ℙ((S_n)/n ⩾ m + ε) ⩽ r^n

.
II.C.6) Montrer que la suite définie par:

\foralln \in ℕ^*, ℙ(|(S_n)/n - m| ⩾ ε)

est majorée par une suite de limite nulle et dont la vitesse de convergence est géométrique. Comparer ce résultat à la majoration obtenue avec la loi faible des grands nombres.

II.D - Une majoration de $ℙ(|(S_n)/n| ⩾ ε)$

Dans cette sous-partie II.D, on suppose qu'il existe un réel

c

strictement positif tel que la variable aléatoire réelle discrète

X

vérifie

𝔼(X) = 0

\forallω \in Ω, |X(ω)| ⩽ c

.
II.D.1) Montrer que la variable aléatoire

X

admet un moment exponentiel d'ordre

α

pour tout réel

α

strictement positif.
Les fonctions

Ψ

f_ε

des questions II.C. 2 et II.C. 3 sont ainsi définies sur

ℝ

.
II.D.2) On considère

Y

la variable aléatoire réelle définie par

Y = 1/2 - X/(2c)

.
a) Vérifier que

X = - cY + (1 - Y)c

.
b) Montrer que

e^X ⩽ Ye^(- c) + (1 - Y)e^c

II.D.3)

a) Montrer que

𝔼(e^X) ⩽ cosh(c)

.
b) En déduire que

\forallt \in ℝ^(+ *), Ψ(t) ⩽ cosh(ct)

.
II.D.4) Montrer que

\forallt \in ℝ^(+ *), f_ε(t) ⩽ exp(- tε + 1/2c^2 t^2)

.
II.D.5) Montrer que

\foralln \in ℕ^*, ℙ(|(S_n)/n| ⩾ ε) ⩽ 2exp(- n(ε^2)/(2c^2))

.
II.D.6) Soit

n

un entier naturel non nul,

p

un élément de l'intervalle ]0,

1[

Z

une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètre (

n, p

).
À l'aide de la question précédente, majorer

ℙ(|Z/n - p| ⩾ ε)

en fonction de

n, p

ε

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte Centrale maths 2 PC 2017 ?

La première partie porte sur les suites réelles et leur vitesse de convergence, la seconde sur les variables aléatoires discrètes, le moment exponentiel et la loi faible des grands nombres.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur Centrale maths 2 PC 2017 ?

Des raisonnements inexacts sur la monotonie des suites, une mauvaise maîtrise du théorème de transfert, et un énoncé imprécis de la loi faible des grands nombres.

Centrale maths 2 PC 2017 est-il difficile ?

Le rapport le décrit comme de longueur raisonnable, avec des questions faciles et d'autres plus difficiles, ce qui a permis de bien classer les candidats selon leurs connaissances et leur rigueur.

La notion de convexité est-elle nécessaire pour ce sujet ?

La question II.A.2 s'appuie sur une inégalité de convexité exponentielle et a été jugée difficile sans indication, la convexité des fonctions ayant disparu du programme.

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Ce qui a été bien réussi

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I Vitesse de convergence d'une suite réelle

I.A - Des résultats généraux

I.B - Exemples de calcul de vitesse de convergence

I.C - Vitesse de convergence d'ordre r d'une suite réelle

I.C.2)

II Autour de la loi faible des grands nombres

II.A - Préliminaires

II.A.1)

II.B - Variable aléatoire discrète admettant un moment exponentiel

II.C - Une majoration de ℙ(|(S_n)/n − m| ⩾ ε)

II.C.1)

II.C.2)

II.D - Une majoration de ℙ(|(S_n)/n| ⩾ ε)

II.D.3)

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte Centrale maths 2 PC 2017 ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur Centrale maths 2 PC 2017 ?

Centrale maths 2 PC 2017 est-il difficile ?

La notion de convexité est-elle nécessaire pour ce sujet ?

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I.C - Vitesse de convergence d'ordre $r$ d'une suite réelle

II.C - Une majoration de $ℙ(|(S_n)/n - m| ⩾ ε)$

II.D - Une majoration de $ℙ(|(S_n)/n| ⩾ ε)$