Centrale Physique 1 PC 2017Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté

Ondes électromagnétiques dans le vide et dans les milieux diélectriques
Vecteur de Poynting et bilans d'énergie
Interaction lumière-matière : absorption, émission spontanée et stimulée
Équations différentielles et régime permanent
Polarisation de la lumière et lames à retard
Analyse documentaire et ordres de grandeur

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BanqueCentrale Année2017 FilièrePC MatièrePhysique

Annales Centrale PC Physique Centrale PC 2017 PC Physique Physique 2017

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Communication par fibre optique : atténuation, amplification par fibre dopée à l'erbium et filtre optique accordable

Le sujet étudie en trois parties indépendantes une liaison par fibre optique utilisant le multiplexage en longueur d'onde (WDM). Une courte première partie, avec analyse de documents et ordres de grandeur, montre la nécessité d'amplifier le signal. La deuxième modélise l'amplification par une fibre dopée à l'erbium et pompée optiquement, et la troisième, qui pèse la moitié du barème, construit un filtre de démultiplexage avec des lames biréfringentes et des polariseurs.

1Partie I : étude de la transmission par fibre optiqueDomaine spectral, nombre de canaux, vecteur de Poynting et atténuation en décibels pour justifier la distance entre amplificateurs.
2Partie II : amplification du signal par une fibre dopée à l'erbiumAbsorption et émission stimulée, bilan d'énergie sur une tranche de fibre, loi de Boltzmann, puis pompage optique et condition d'inversion de population.
3Partie III : filtre optique accordableÉquations de Maxwell dans un diélectrique, lames biréfringentes, polarisation circulaire, association de lames et cellule de filtrage à cristaux liquides.

Difficulté moyenne. Le jury juge le sujet de longueur raisonnable et progressif, mais la partie II, plus calculatoire, et la fin de la partie III ont posé de nombreuses difficultés.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Ordres de grandeur mal exploités · Bilans d'énergie forcés · Hypothèse fausse pour retrouver un résultat

Le sujet a permis à beaucoup de candidats d'aborder toutes les questions et a bien classé les copies. Le jury a surtout évalué la validité des justifications et la qualité de la rédaction. Les deux questions à caractère expérimental ont été très mal traitées, et beaucoup de démonstrations d'équations fournies par l'énoncé ont été forcées.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Ordres de grandeur mal exploitésI.A.1, I.B.2
Donner un ordre de grandeur avec trois chiffres significatifs est sanctionné. Une valeur numérique doit être comparée à une référence adaptée, pas qualifiée de « grande » ou de « petite ».
« Un argument numérique n’a de sens que comparé à une valeur de référence adéquate. »
2
Bilans d'énergie forcésII.A.4, II.B.3c
Le bilan sur la tranche de fibre doit expliciter chaque terme et le choix des signes. Beaucoup de copies ajustent des termes mal définis pour retrouver l'équation donnée, et le régime permanent est rarement mentionné.
« trop peu mentionnent le régime permanent (8% des copies) »
3
Hypothèse fausse pour retrouver un résultatII.B.4 à II.B.6a
Pour obtenir une expression proche de celle attendue, beaucoup de candidats ont supposé à tort que la population du niveau fondamental reste proche de la population totale. Le jury pénalise ce type de raccourci.
4
Décrire une courbe au lieu de l'interpréterII.B.6b
Face à une courbe fournie, la majorité paraphrase son allure. Le jury attend des justifications appuyées sur les lois de la physique.
« interpréter n’est pas décrire »
5
Confusions sur les ondes et la polarisationIII.A.3, III.B.1, III.B.2
Onde plane et onde transverse sont souvent confondues, tout comme polarisation aléatoire et elliptique. Le sens de rotation du champ est souvent affirmé sans justification.
« Beaucoup de confusions graves entre onde plane et onde transverse. »
6
Protocoles expérimentaux non maîtrisésIII.C.1, III.C.2
Seuls 14 % des candidats savent produire une lumière polarisée circulairement et 6 % décrivent clairement le protocole. Le principe du filtrage n'est compris que par 2 % des candidats.

Ce qui a été bien réussi

La première partie, avec ses ordres de grandeur et son analyse de document, a été très bien réussie.
Le vecteur de Poynting est bien connu en I.B.1 (86 % de bonnes réponses).
La sous-partie II.A a été correctement abordée (44 % de réussite).
Les équations de Maxwell sont bien connues en III.A.1 (85 %) et la question III.A.2 est très bien réussie dans l'ensemble.
Les candidats citent désormais les documents sur lesquels ils s'appuient.

Conseils du jury

Démontrer honnêtement les équations fournies par l'énoncé en s'appuyant sur des lois physiques : une démarche forcée est fortement pénalisée.
Nommer les relations et théorèmes utilisés, même quand ce n'est pas demandé.
Soigner le nombre de chiffres significatifs, que le barème valorise systématiquement.
Préciser les quantités manipulées avec des mots dans une analyse dimensionnelle.
Mettre des flèches sur les vecteurs et sur l'opérateur rotationnel.
Travailler sérieusement les questions expérimentales et les acquis de travaux pratiques, qui font partie du programme.
Répondre aux questions ouvertes par une liste structurée d'arguments quantitatifs et qualitatifs.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

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Physique 1

Éléments de communication par fibre optique

La technologie WDM (Wavelength Division Multiplexing) utilise le multiplexage en longueur d'onde, ce qui revient à injecter dans une même fibre optique plusieurs signaux de longueurs d'ondes distinctes, qui constituent autant de canaux de transmission de l'information.
Une liaison WDM fonctionne selon le schéma synoptique décrit figure 1.

Figure 1 Schéma synoptique d'une liaison WDM

Les conventions internationales fixent la bande WDM aux longueurs d'onde comprises entre 1530 nm et 1565 nm . L'espacement entre deux longueurs d'ondes voisines de ces signaux porteurs est environ égal à

1, 6 nm

. La technologie WDM est dite dense (DWDM) lorsque l'espacement entre deux longueurs d'onde de la bande de transmission est environ égal à

0, 8 nm

.
Ce problème étudie dans trois parties indépendantes la transmission du signal par la fibre optique, son amplification et des éléments de démultiplexage.
Lorsqu'une longueur d'onde

λ

est évoquée dans l'énoncé, il s'agit de la longueur d'onde dans le vide associée à la fréquence

f

de ce signal. On trouvera en fin d'énoncé, les valeurs numériques des constantes physiques utiles, un formulaire et une annexe sur les polarisations circulaires droite et gauche.

Figure 2 Atténuation dans une fibre de silice en fonction de

λ

I Étude de la transmission par fibre optique

L'onde lumineuse se propage dans la fibre optique, considérée comme un guide de section

S

et d'axe de révolution

Oz

. On note

R⃗

le vecteur de Poynting de l'onde lumineuse,

Π(z)

la valeur de la composante utile de

R⃗

, moyennée sur le temps et sur la section à l'abscisse

z

et enfin

P(z)

la puissance moyenne véhiculée à travers cette section. La communication par fibre permet des débits très élevés. Simultanément, la propagation sur de longues distances pose un problème d'atténuation. Cette atténuation, mesurée en décibel par kilomètre, s'écrit, pour une propagation entre les abscisses

z = 0

z = d

A(dB \cdot km^(- 1)) = (10)/(d(km))log((P(0))/(P(d)))

Elle dépend de la longueur d'onde utilisée, selon le schéma donné figure 2.
Pour les applications numériques, on envisagera une fibre à température ordinaire, parcourue par un signal de longueur d'onde

λ = 1550 nm

, pour laquelle

A ≃ 0, 2 dB \cdot km^(- 1)

. La puissance lumineuse injectée dans la fibre est typiquement

P(0) = 300μ W

et la puissance minimale détectée par un récepteur vaut

P_(min) = 10μ W

I.A - Longueurs d'onde et canaux utiles

I.A.1) Dans quel domaine optique se situent les ondes propagées par la fibre ? Donner l'ordre de grandeur des fréquences associées, exprimées en THz.
I.A.2) Justifier le choix de longueur d'onde effectué pour propager le signal dans la fibre.
I.A.3) La technologie WDM permet de véhiculer 16 canaux multiplexés. Rapprocher ce nombre des données associées aux normes techniques définies en introduction. Qu'en est-il de la technologie DWDM?

I.B - Nécessité d'une amplification

I.B.1) Rappeler l'expression du vecteur de Poynting

R⃗(r⃗, t)

, en fonction du champ électromagnétique de l'onde lumineuse. Préciser les relations liant

R⃗(r⃗, t), Π(z)

P(z)

.
I.B.2) Justifier par des arguments numériques précis la nécessité d'une amplification du signal, par exemple pour des liaisons entre continents.
I.B.3) Quelle distance maximale faut-il envisager entre deux amplificateurs de signal placés sur la fibre ?

II Amplification du signal par une fibre dopée à l'erbium

II.A - Interaction matière rayonnement

L'amplification du signal est réalisée dans une portion, de longueur

L

, de fibre dopée avec des ions erbium

Er^(3 +)

. Cet ion est modélisé comme un système à deux niveaux, le niveau fondamental 1, d'énergie

E_1

, et un niveau excité 2 , d'énergie

E_2

. Il y a

n_0

ions

Er^(3 +)

par unité de volume, dont

n_1

dans le niveau 1 et

n_2

dans le niveau 2 . L'interaction entre ces ions

Er^(3 +)

et le rayonnement se fait suivant les trois processus quantiques illustrés par la figure 3:

l'absorption d'un photon du faisceau lumineux incident par un ion $Er^(3 +)$ dans le niveau fondamental 1 qui produit un ion excité dans le niveau 2. La puissance par unité de volume absorbée par les ions au cours de ce processus est $σ^a n_1(z)Π(z)$ où $σ^a$ est une constante caractéristique de l'ion $Er^(3 +)$ , appelée section efficace d'absorption ;
l'émission spontanée d'un photon par les ions dans le niveau excité 2 . Si $τ$ désigne la durée de vie du niveau excité 2 , le nombre de photons émis selon ce processus par unité de volume et de temps est $(dn_e)/(dt) = (n_2)/τ$ . La direction d'émission des photons ainsi produits est complètement aléatoire ;
l'émission stimulée d'un photon par interaction résonnante avec le faisceau incident. Ce processus transfère au faisceau incident une puissance par unité de volume égale à $σ^e n_2(z)Π(z)$ , où $σ^e$ est une constante caractéristique de l'ion $Er^(3 +)$ , appelée section efficace d'émission.

Absorption

Émission spontanée

Émission stimulée

Figure 3 Interaction matière rayonnement
II.A.1) Rappeler la relation entre l'énergie

E_γ

du photon, la constante de Planck, la vitesse de la lumière dans le vide et la longueur d'onde du photon.
II.A.2) Quelle est la condition sur l'énergie du photon pour qu'il y ait absorption?
II.A.3) Quelle est la longueur d'onde du photon émis par émission spontanée ?
II.A.4) En effectuant un bilan d'énergie de l'onde électromagnétique dans la tranche de fibre comprise entre

z

z + dz

, montrer que

(dΠ(z))/(dz) = (σ^e n_2 - σ^a n_1)Π(z)

II.A.5) Justifier qu'il n'y a pas lieu de prendre en compte l'émission spontanée dans ce bilan d'énergie.
II.A.6) Déduire de l'équation (II.1) la condition d'amplification du faisceau.
II.A.7) Quelle est la dimension de

σ^a

σ^e

?
II.A.8) Les sections efficaces sont du même ordre de grandeur :

σ^a \approx σ^e

. Compte-tenu de la loi de Boltzmann, qui indique qu'à l'équilibre thermodynamique, la probabilité d'occupation d'un état d'énergie

E

est proportionnelle à

exp(- E/(k_B T))

, montrer que la condition d'amplification ne peut être satisfaite à l'équilibre thermodynamique et que l'amplification nécessite d'exciter une fraction importante des ions

Er^(3 +)

dans le niveau 2 , voire de réaliser une inversion de population entre les niveaux 1 et

2(n_2 > n_1)

II.B - Amplification par pompage optique

Le pompage optique des ions

Er^(3 +)

est réalisé par une diode laser (cf figure 4).

Figure 4 Amplification par pompage optique

Le faisceau pompe, produit par la diode laser, excite les ions

Er^(3 +)

du niveau 1 vers un niveau 3. Ces ions se désexcitent très rapidement vers le niveau excité 2 par un processus de relaxation non radiatif de durée de vie

τ^'

très courte. Comme précédemment, le faisceau portant le signal induit des transitions entre les niveaux 1 et 2 des ions

Er^(3 +)

Figure 5 Schéma à 3 niveaux de l'ion

Er^(3 +)

Les grandeurs associées à l'onde électromagnétique pompe issue de la diode laser seront indicées «

p

» et celles associées à l'onde électromagnétique représentant le signal seront indicées «

s

». Les sections efficaces d'absorption et d'émission stimulée de l'ion

Er^(3 +)

dépendent de la longueur d'onde et seront donc également indicées

s

p

. L'équation (II.1) devient ainsi

(dΠ_s(z))/(dz) = (σ_s^e n_2 - σ_s^a n_1)Π_s(z)

De même

(dΠ_p(z))/(dz) = (σ_p^e n_3 - σ_p^a n_1)Π_p(z)

II.B.1) L'onde pompe issue de la diode laser a une longueur d'onde

λ_p = 1, 48μ m

. Déterminer la différence

E_3 - E_2

et montrer qu'elle est négligeable devant

E_2 - E_1

.
Dans la suite on considèrera

E_3 - E_1 = E_2 - E_1

.
II.B.2) Sachant que la désexcitation non radiative du niveau 3 vers le niveau 2 est extrêmement rapide, que vaut

n_3

?
II.B.3) On s'intéresse dans cette question à l'équation gouvernant l'évolution temporelle de

n_2

(qui dépend ici à priori de

z

et de

t

).
a) Calculer le nombre d'ions

Er^(3 +)

produits par unité de temps et de volume dans le niveau 2 par l'absorption du faisceau pompe (par

Π_p

) suivie de la relaxation non radiative de 3 vers 2 .
b) Sachant que la puissance du faisceau pompe est partout très supérieure à celle du faisceau porteur du signal, soit

Π_p(z)≫Π_s(z)

, quels sont les processus contribuant de façon significative à la formation ou à la disparition des ions

Er^(3 +)

dans le niveau 2 ?
c) En déduire que

(\partialn_2)/(\partialt) = - 1/(E_γ)(\partialΠ_p)/(\partialz) - (n_2)/τ

II.B.4) On se place désormais en régime permanent. Exprimer

n_2(z)

n_1(z)

en fonction de

σ_p^a, Π_p(z), E_γ

τ

n_0

. Montrer que pour qu'il y ait inversion de population il faut que

Π_p(z)

dépasse un seuil

Π_p^*

que l'on déterminera.
II.B.5) En déduire une relation caractérisant la dépendance spatiale de la puissance de l'onde pompe dans la fibre dopée à l'erbium et montrer, en notant

W(z) = (Π_p(z))/(Π_p^*)

, que

W(z)e^(W(z)) = W(0)e^(W(0))e^(- z/D)

où

D

est une longueur caractéristique que l'on déterminera.

II.B.6) Amplification du signal

a) Déduire des relations II. 1 et II. 2 une équation caractérisant la dépendance spatiale de la puissance de l'onde portant le signal (

Π_s

) et montrer que

ln((Π_s(z))/(Π_s(0))) = - σ_s^a n_0 z + (Π_p(0) - Π_p(z))/(Π^*)

en précisant l'expression de la constante

Π^*

.
b) La dépendance spatiale du gain en puissance du signal utile, défini en dB par

G(z) = 10log(Π_s(z))/(Π_s(0))

est représentée sur la figure 6. Justifier qualitativement l'évolution observée pour

G(z)

Figure 6 Représentation du gain en fonction de la position

z

c) Quelle longueur a-t-on intérêt à donner à la portion amplificatrice ? Comparer alors son gain à l'effet de l'atténuation naturelle de la fibre non dopée sur une telle longueur.

III Filtre optique accordable

L'opération de démultiplexage consiste à séparer l'onde issue de la fibre contenant toutes les longueurs d'onde en une ou plusieurs ondes ne comportant qu'une seule longueur d'onde. Chacune de ces ondes est ensuite soit directement démodulée par le récepteur, soit véhiculée par d'autres fibres vers plusieurs récepteurs différents. Le démultiplexage est souvent confié à un élément dispersif passif, en l'occurrence un réseau, qui sépare les

n

longueurs d'onde en autant de signaux optiques distincts. Mais d'autres configurations de démultiplexage existent. Nous allons étudier ici un filtre accordable en longueur d'onde qui permet de n'extraire qu'une seule onde dont la longueur d'onde peut être choisie par une commande externe.

Les cristaux liquides sont des matériaux biréfringents dont le comportement dépend de la tension appliquée aux bornes de deux électrodes contrôlant le comportement d'une cellule de géométrie appropriée. Cette propriété est utilisée lors de la conception du filtre qui est constitué d'une association de cellules formées d'une lame de calcite biréfringente suivie d'une lame à cristaux liquides.
Dans toute la suite, l'espace est repéré par le système de coordonnées cartésiennes (

O, u⃗_x, u⃗_y, u⃗_z

III.A - Propagation d'une onde électromagnétique dans un milieu diélectrique

III.A.1) On considère un milieu diélectrique, linéaire, homogène, isotrope, magnétiquement parfait, de permittivité diélectrique relative

ε_r

réelle. On rappelle que les équation de l'électromagnétisme dans un tel milieu sont analogues à celles écrites dans le vide en remplaçant la permittivité du vide

ε_0

par

ε_r ε_0

. Écrire les équations de Maxwell dans un tel milieu, dépourvu de charges et de courants libres.
En déduire l'équation différentielle de propagation satisfaite par le champ électrique

E⃗(M, t)

.
III.A.2) On s'intéresse à la propagation dans un tel milieu d'une onde plane sinusoïdale, dont la représentation complexe du champ électrique s'écrit

E⃗_- = E⃗_-_0 exp(j(ωt - kz))

. Établir la relation de dispersion de cette onde. Quelle est sa vitesse de propagation ? Définir l'indice optique

n

du milieu et le relier à la permittivité diélectrique relative

ε_r

.
III.A.3) Pourquoi le champ électrique de l'onde plane est-il transverse ? Discuter de l'état général de polarisation de cette onde.

III.B - Lame biréfringente

Un matériau biréfringent est un matériau anisotrope dont la permittivité diélectrique relative dépend de la direction du champ électrique. Les matériaux biréfringents utilisés ici sont tels que la vitesse de propagation d'une onde électromagnétique se propageant selon

u⃗_z

diffère selon la direction du champ électrique et donc selon la polarisation de l'onde. Les lames biréfringentes utilisées ici sont telles que les ondes lumineuses polarisées linéairement selon deux directions orthogonales, appelées axes neutres de la lame, se propagent selon

u⃗_z

comme elles le feraient dans un milieu isotrope (cf III.A), mais avec des indices optiques différents. Les deux axes neutres de la lame sont notés (

Ox

) et (

Oy

) et on désigne par

n_x

(respectivement

n_y

) l'indice optique de la lame pour l'onde électromagnétique se propageant selon

u⃗_z

et polarisée selon

u⃗_x

(respectivement selon

u⃗_y

). On néglige tout phénomène d'absorption dans le milieu biréfringent et on choisit

n_x > n_y

.
III.B.1) L'axe neutre de la lame biréfringente pour lequel la vitesse de propagation de l'onde est plus élevée est appelé axe rapide. L'autre axe neutre est appelé axe lent. Dans le cas où

n_x > n_y

, déterminer l'axe rapide.
III.B.2) La lame d'épaisseur

e

occupe l'espace

0 ⩽ z ⩽ e

. L'onde traverse la lame perpendiculairement, à

z

croissant. On représente son champ électrique à l'entrée de la lame par :

é E⃗_-(z = 0^+, t) = (E_(0x)u⃗_x + E_(0y)e^(jφ)u⃗_y)e^(j(ωt + χ)) = E_(0x)(u⃗_x + αe^(jφ)u⃗_y)e^(j(ωt + χ)) avec E_(0x) et α réels positifs

a) Donner l'état de polarisation de l'onde en

z = 0^+

pour chacune des valeurs

φ = 0, φ = π/2, φ = π

φ = 3π/2

.
b) Préciser, lorsque cela est possible, la condition sur

α

pour observer une polarisation circulaire.
c) Représenter pour chaque valeur de

φ

, dans le cas où

α < 1

, la trajectoire dans le plan (

O, u⃗_x, u⃗_y

) du point

M

défini par

OM^(\to-)(t) = E⃗(z = 0^+, t)

. Indiquer le sens de parcours de la trajectoire. Identifier, le cas échéant, le caractère droit ou gauche de la polarisation correspondante.
III.B.3) Mettre la représentation complexe du vecteur champ électrique en un point d'abscisse

z

de la lame sous la forme :

E⃗_-(z, t) = E_(0x)(u⃗_x + αe^(jφ^')u⃗_y)e^(j(ωt + χ^'))

, en précisant les expressions de

φ^'

χ^'

. Comparer l'état de polarisation de l'onde en

z > 0

et en

z = 0^+

. Pourquoi parle-t-on de «lame à retard»?
III.B.4) Dans toute la suite, on admet que la transmission sous incidence normale d'une onde plane progressive sinusoïdale entre deux diélectriques transparents, d'indices réels différents, n'affecte pas les valeurs de

φ

et de

α

: la transmission n'affecte pas l'état de polarisation. Exprimer

φ^'

à la sortie de la lame biréfringente sous la forme

φ^' = φ + (2πδ)/λ

, où

δ

est à exprimer en fonction de

n_x, n_y

e

.
III.B.5) On prend ici

φ = 0

α = 1

. Identifier l'état de polarisation de l'onde en

z = 0

et les plus petites valeurs non nulles

δ_C

δ_R

δ

qui génèrent respectivement, en

z = e

, une onde de polarisation circulaire droite et une onde polarisée rectilignement. À quels types de lames correspondent-elles ?

III.C - Production et sélection d'ondes polarisées circulairement

Cette question n'est pas guidée et demande de l'initiative de la part du candidat. Les pistes de recherche doivent être consignées ; si elles sont pertinentes, elles seront valorisées. Le barème tient compte du temps nécessaire pour explorer ces pistes et élaborer un raisonnement.
III.C.1) Vous disposez d'une source lumineuse émettant un faisceau parallèle de lumière non polarisée à la longueur d'onde

λ_0

. Comment produire une lumière polarisée, de polarisation circulaire droite ? Même question pour une lumière de polarisation circulaire gauche.
III.C.2) Concevoir un sélecteur de polarisation circulaire droite (respectivement gauche), c'est-à-dire un filtre de polarisation qui, à partir d'une onde polarisée quelconque transmet (sans pertes) la composante de l'onde de polarisation circulaire droite (respectivement gauche), tout en supprimant totalement la composante de polarisation circulaire gauche (respectivement droite). Pour concevoir ces deux dispositifs, on n'utilisera que des polariseurs parfaits, des lames quart d'onde et demi onde, sans pertes à la longueur d'onde

λ_0

III.D - Association de lames biréfringentes

III.D.1) Lame de calcite

Le filtre optique utilise une lame de calcite d'épaisseur

e_c = 447μ m

et telle que

Δn = n_x - n_y = 0, 156

pour la longueur d'onde

λ_0 = 1550 nm

.
a) Calculer pour cette longueur d'onde la valeur de

δ

notée

δ_c

.
b) On supposera pour la suite que

δ_c

est indépendant de

λ

; quel est alors le phénomène négligé ?

III.D.2) Lame à cristaux liquides

Le film de cristaux liquides se comporte comme une lame à retard d'épaisseur

e_(CL) = 7, 5μ m

, de valeur

δ_(CL)

contrôlée par la différence de potentiel

U

appliquée aux bornes des électrodes de la cellule. Les variations de

δ_(CL)

avec

U

sont indiquées par la courbe de la figure 7 , supposée indépendante de

λ

dans la gamme de longueurs d'onde utilisée dans la technologie WDM.
On cherche à réaliser, pour toutes les longueurs d'onde comprises entre 1565 nm et 1535 nm , la condition

δ_(CL) = δ_R

(où

δ_R

est défini en III.B.5).
Que dire de la plage des valeurs de

U

permettant de répondre à ce besoin ?

Figure 7 Variations de

δ_(CL)

avec la tension

U

$U(V)$	$δ_(CL)(nm)$
1,35	1475
2,68	793
5,30	110

III.D.3) Lame complète

Pour corriger cet inconvénient, on accole la lame de calcite du III.D. 1 à la lame à cristaux liquides du III.D. 2 de telle sorte que leurs axes rapides soient confondus, ce qui donne une lame biréfringente

L

équivalente d'épaisseur

e_c + e_(CL)

.
a) Justifier l'obtention en sortie de

L

d'une onde polarisée rectilignement différente de l'état de polarisation de l'onde incidente, comme en III.B.5, à condition de satisfaire la relation :

δ_c + δ_(CL) = (2p + 1)δ_R avec p entier

b) Parmi les valeurs

p = 44, p = 45, p = 46

, déterminer celle permettant de réaliser la condition recherchée, pour toutes les longueurs d'onde souhaitées, lorsque

U

varie entre 0 et 6 V .
c) En déduire la nouvelle plage des valeurs de

U

permettant d'obtenir la polarisation rectiligne recherchée en sortie de

L^'

, pour toutes les longueurs d'onde souhaitées. Quel est l'intérêt de la lame de calcite ?
d) Préciser la valeur

U_0

U

réalisant la condition souhaitée pour

λ_0 = 1550 nm

III.E - Cellule du filtre

Une cellule du filtre (figure 8) est constituée par deux lames

L

, notées

L_1

L_2

chaque lame $L$ réunit une lame de calcite et une lame à cristaux liquides (cf. III.D.3) ;
la condition $δ_c + δ_(CL) = (2p + 1)δ_R$ est satisfaite, $λ = λ_0$ et $U = U_0$ (cf. III.D.3d);
les axes neutres des lames $L_1$ et $L_2$ sont respectivement ( $X_1, Y_1$ ) et ( $X_2, Y_2$ );
les axes $X_1$ et $X_2$ sont inclinés respectivement de $\pm θ$ par rapport à l'axe $Oy$ .

À l'entrée de la cellule, le champ électrique est :

E⃗_-(z = 0, t) = E⃗_0 e^(jω_0 t)

. L'état de polarisation de cette onde incidente est obtenu grâce à un polariseur parfait

P

dont l'axe de transmission fait un angle

β

avec (

Ox

Figure 8

III.E.1) Le champ électrique de l'onde est noté :

E⃗_- = E⃗_-_1 e^(jω_0 t)

à la sortie de la lame

L_1

, puis

E⃗_- = E⃗_-_2 e^(jω_0 t)

à la sortie de la lame

L_2

, donc à la sortie de la cellule.
Sur la figure 8, trois vecteurs représentent les directions de polarisation prises par le champ électrique de l'onde avant

L_1

, entre

L_1

L_2

, et après

L_2

.
a) Attribuer à chacun de ces trois vecteurs nommés

A_1^(\to-), A_2^(\to-)

A_3^(\to-)

le champ

E_0^(\to-)

E_1^(\to-)

E_2^(\to-)

. Justifier à l'aide du schéma de la figure 8 et des angles utiles.
b) Justifier que, par rapport à la direction du champ électrique incident de l'onde en

z = 0

, la direction à la sortie de la cellule a tourné d'un angle

ψ

. Relier cet angle

ψ

à l'angle

θ

III.F - Filtre complet

Le filtre complet empile un polariseur

P, N_C

cellules identiques à celle de III.E, et un analyseur

A

le polariseur $P$ a son axe de transmission orienté selon $(Ox)(β = 0)$ et impose le champ électrique d'entrée : $E⃗_-(z = 0, t) = E_0 e^(jω_0 t)u⃗_x;$
les $N_C$ cellules traitent successivement la polarisation de l'onde transmise;
l'analyseur $A$ est identique à $P$ , mais aligné selon l'axe $Oy$ ;
l'éclairement issu du polariseur est noté $E_0$ . On néglige toute absorption autre que le filtrage imposé par l'analyseur $A$ .
La figure 9 superpose les profils d'éclairement $E$ observés pour plusieurs valeurs de $U$ en fonction de $λ$ .

Profils d'éclairement pour plusieurs valeurs de

U

Figure 9 Influence de la tension

U

sur l'éclairement transmis
III.F.1) La tension d'alimentation des cellules à cristaux liquides est

U = U_0

.
a) Quelle est, pour un angle

θ

donné, la valeur minimale de

N_C

permettant d'obtenir à la sortie de l'analyseur

(A)

un éclairement maximal pour

λ = λ_0

?
b) Expliquer qualitativement l'obtention d'un éclairement plus faible à la sortie du filtre, si

λ

s'éloigne de

λ_0

.
c) Quel est, pour

U = U_0

, l'état de polarisation à la sortie des

N_C

cellules, pour les deux longueurs d'onde entourant

λ_0

correspondant à un éclairement nul?
III.F.2) La tension

U

est modifiée.
a) Expliquer pourquoi la variation de

U

permet de générer toutes ces courbes.
b) Représenter sur la même courbe l'allure des variations de l'éclairement en fonction de

λ

pour

U = 5 V

U = 1, 8 V

Constantes physiques

Célérité de la lumière dans le vide	$c = 3, 00 \times 10^8 m \cdot s^(- 1)$
Masse de l'électron	$m = 9, 11 \times 10^(- 31) kg$
Charge élémentaire	$e = 1, 60 \times 10^(- 19)C$
Perméabilité magnétique du vide	$μ_0 = 4π \times 10^(- 7)H \cdot m^(- 1)$
Permittivité diélectrique du vide	$ε_0 = 8, 85 \times 10^(- 12) F \cdot m^(- 1)$
Constante des gaz parfaits	$R = 8, 31 J \cdot K^(- 1) \cdot mol^(- 1)$
Constante d'Avogadro	$N_A = 6, 02 \times 10^(23) mol^(- 1)$
Constante de Boltzmann	$k_B = 1, 38 \times 10^(- 23) J \cdot K^(- 1)$
Constante de Planck	$h = 6, 63 \times 10^(- 34) J \cdot s$

Formulaire

rot^(\to-)(rot^(\to-)A⃗) = grad^(\to-)(divA⃗) - ΔA⃗

Annexe : Polarisations circulaires (ou elliptiques) droite et gauche

Une onde plane monochromatique qui se propage selon l'axe (

Oz

) est dite avoir une polarisation circulaire (ou elliptique) gauche si, en un point donné de l'espace (

z = z_0

), le champ électrique

E⃗(z_0, t)

de cette onde tourne dans le sens trigonométrique direct (figure 10). Si le champ électrique

E⃗(z_0, t)

tourne dans le sens opposé, l'onde a une polarisation circulaire (ou elliptique) droite.

Figure 10

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet Centrale physique 1 PC 2017 ?

Sur les ondes électromagnétiques et le vecteur de Poynting, l'interaction lumière-matière (absorption, émission stimulée, inversion de population) et la polarisation de la lumière avec les lames biréfringentes. Le tout s'inscrit dans l'étude d'une liaison par fibre optique.

Quelles erreurs le jury de Centrale physique 1 PC 2017 a-t-il relevées ?

Des bilans d'énergie forcés pour retrouver l'équation de l'énoncé, des ordres de grandeur donnés avec trop de chiffres significatifs, des confusions entre onde plane et onde transverse, et des questions expérimentales sur la polarisation presque jamais réussies.

Les parties du sujet Centrale physique 1 PC 2017 sont-elles indépendantes ?

Oui, les trois parties sont indépendantes. La première est courte et abordable, la troisième représente la moitié du barème.

Comment se répartissent les points dans Centrale physique 1 PC 2017 ?

Selon le rapport, la partie I pesait 13 % du barème mais a fourni 23 % des points des candidats. La partie II pesait 37 % du barème et la partie III 49 %.

Pas de description pour le moment

Commentaires• Centrale Physique 1 PC 2017

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