X ENS Physique B PC 2017Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté

Ondes électromagnétiques dans un milieu dispersif
Mécanique des fluides (fluide électronique)
Thermodynamique des gaz parfaits
Électromagnétisme (équations de Maxwell, notation complexe)

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BanqueX-ENS Année2017 FilièrePC MatièrePhysique

Annales X-ENS PC Physique X-ENS PC 2017 PC Physique Physique 2017

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Présentation du sujet

Difficile

Transparence électromagnétiquement induite dans un plasma froid magnétisé

Le problème étudie la propagation d'une onde électromagnétique dans un plasma froid magnétisé. La partie I construit la relation de dispersion du plasma et met en évidence une bande de pulsations interdites. La partie II étudie comment une onde intense (pompe) rend possible la propagation d'une onde de faible amplitude (sonde) dont la pulsation appartient pourtant à cette bande interdite.

11. Propagation d'une onde électromagnétique dans un plasma froid magnétiséHypothèses du modèle de plasma froid, réponse du plasma à l'onde, relation de dispersion et bande interdite.
22. Transparence électromagnétiquement induiteÉtude du couplage entre une onde pompe intense et une onde sonde de faible amplitude au sein du plasma magnétisé.

Difficile. La note moyenne n'est que de 9,08/20 avec un écart-type de 3,97, et le rapport souligne la longueur du sujet ainsi que de nombreuses questions rarement réussies ou bâclées, tout en notant que les meilleurs candidats ont su traiter la quasi-totalité du sujet.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,08 / 20 · écart-type 3,97 · 1 266 copies · où vous situez-vous ?

Moyenne: 9,08/ 20
Écart-type: 3,97
Copies: 1 266

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Longueur d'onde de De Broglie mal maîtrisée · Donnée de l'énoncé non exploitée · Justification de Maxwell-Gauss bâclée

Le sujet, très complet et soigneusement guidé, a permis de classer efficacement les candidats de la section PC. Le jury regrette des erreurs récurrentes déjà signalées les années précédentes : comparaisons de grandeurs de dimensions différentes, réponses vagues, absence de numérotation des questions et applications numériques sans unité.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Longueur d'onde de De Broglie mal maîtriséeQ5
De nombreux candidats proposent des formules dimensionnellement incorrectes et des comparaisons dépourvues de sens pour justifier le cadre classique de description des électrons.
« L’expression de la longueur d’onde de De Broglie est mal connue des candidats »
2
Donnée de l'énoncé non exploitéeQ6
De nombreux candidats ne remarquent pas que la vitesse du son est donnée dans l'énoncé et proposent une expression fausse.
« De nombreux candidats n’ont pas remarqué que la vitesse du son était donnée dans l’énoncé »
3
Justification de Maxwell-Gauss bâcléeQ17
Une question sans difficulté sur l'équation de Maxwell-Gauss a souvent été traitée trop rapidement, sans justification soignée.
« Question sans difficulté qui a été très souvent bâclée. »
4
Applications numériques sans unitéQ19
De nombreuses applications numériques sont données sans unité tout au long de la copie, ce qui ne rapporte aucun point.
« Les applications numériques sans unité ne rapportent pas de point. »
5
Analogie physique erronée sur l'onde évanescenteQ21
Certains candidats décrivent le comportement du plasma par une analogie non pertinente avec les fluides non newtoniens, alors qu'une onde évanescente ne propage pas d'énergie.
« le plasma durcit au fur et à mesure que l’onde progresse sur une longueur d, c’est comme les fluides non newtoniens »

Ce qui a été bien réussi

La partie I, plus proche du programme de prépa, a permis aux meilleurs candidats de traiter la quasi-totalité du sujet avec un excellent sens physique.
Plusieurs questions sans difficulté, comme la question 1 ou les questions 23, 30 et 32 lorsqu'elles ont été abordées, ont été bien réussies dans l'ensemble.

Conseils du jury

Toujours vérifier que les grandeurs comparées ont la même dimension avant d'écrire une inégalité.
Répondre de façon précise, en évitant les formulations vagues, et numéroter clairement chaque réponse.
Accompagner systématiquement chaque application numérique d'une unité et d'un commentaire sur son ordre de grandeur.
Justifier soigneusement les hypothèses simplificatrices plutôt que de les affirmer sans démonstration.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

ÉCOLE POLYTECHNIQUE - ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

COMPOSITION DE PHYSIQUE - B - (XEULC)

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
Les résultats des applications numériques seront donnés avec un chiffre significatif.

Transparence électromagnétiquement induite dans un plasma froid magnétisé

Ce problème est consacré à l'étude de la propagation d'ondes électromagnétiques dans un plasma froid magnétisé. Il s'intéresse plus spécifiquement au phénomène de transparence électromagnétiquement induite selon lequel la présence d'une onde intense, dite pompe, rend possible la propagation au sein du plasma d'une autre onde de faible amplitude, dite sonde, dont la pulsation appartient pourtant à une bande interdite.

Dans tout ce problème, on utilise le signe "

\equiv

" (plutôt que "

=

") pour définir une grandeur. On note

a⃗ \land b⃗

le produit vectoriel des vecteurs

a⃗

b⃗

a⃗ \cdot b⃗

leur produit scalaire. Les symboles

ℜ

ℑ

désignent respectivement les parties réelle et imaginaire d'une grandeur complexe et l'on définit l'imaginaire pur i par

ℜ(i) = 0

ℑ(i) = 1

On rappelle que :

l'opérateur gradient, noté grad, agit sur une fonction scalaire $f$ des coordonnées cartésiennes ( $x, y, z$ ) selon $gradf^(\to-) = (\partialf)/(\partialx)e⃗_x + (\partialf)/(\partialy)e⃗_y + (\partialf)/(\partialz)e⃗_z$ , où ( $e⃗_x, e⃗_y, e⃗_z$ ) désignent les vecteurs unitaires du repère orthonormé ( $Oxyz$ ) considéré;
l'opérateur divergence, noté div, agit sur une fonction vectorielle $f⃗$ des coordonnées cartésiennes ( $x, y, z$ ) selon $divf⃗ = (\partialf_x)/(\partialx) + (\partialf_y)/(\partialy) + (\partialf_z)/(\partialz)$ , où ( $f_x, f_y, f_z$ ) désignent les composantes respectives de la fonction vectorielle $f⃗$ suivant les axes $(Ox), (Oy)$ et $(Oz)$ du repère orthonormé considéré, soit

f⃗ = f_x e⃗_x + f_y e⃗_y + f_z e⃗_z = (f_x; f_y; f_z);

l'opérateur rotationnel, noté rot, agit sur une fonction vectorielle $f⃗$ des coordonnées cartésiennes ( $x, y, z$ ) selon $rot^(\to-)f⃗ = ((\partialf_z)/(\partialy) - (\partialf_y)/(\partialz))e⃗_x + ((\partialf_x)/(\partialz) - (\partialf_z)/(\partialx))e⃗_y + ((\partialf_y)/(\partialx) - (\partialf_x)/(\partialy))e⃗_z$ ;
l'opérateur Laplacien, noté $Δ$ , agit sur une fonction $f$ (scalaire ou vectorielle) des coordonnées cartésiennes $(x, y, z)$ selon $Δf = (\partial^2 f)/(\partialx^2) + (\partial^2 f)/(\partialy^2) + (\partial^2 f)/(\partialz^2)$ .
On rappelle en outre la formule suivante, valable pour une fonction vectorielle $f⃗ : rot^(\to-)(rot^(\to-)f⃗) = grad^(\to-)(divf⃗) - Δf⃗$ .
On rappelle également que, dans un gaz parfait à la température $T$ , de coefficient adiabatique $γ$ , composé de particules de masse $m$ , la vitesse du son est $c_s = \sqrt((γk_B T)/m)$ .

Pour les applications numériques, on prendra:

charge élémentaire $e \approx 2 \times 10^(- 19)C$
masse de l'électron $m \approx 9 \times 10^(- 31) kg$
constante de BOLTZMANN : $k_B \approx 10^(- 23) J.K^(- 1)$
constante de Planck : $h \approx 7 \times 10^(- 34)$ J.s
constante diélectrique $ε_0 \approx 9 \times 10^(- 12) F \cdot m^(- 1)$
vitesse de la lumière dans le vide $c \approx 3 \times 10^8 m.s^(- 1)$
coefficient adiabatique d'un gaz parfait monoatomique $γ \equiv (C_P)/(C_V) \approx 1$
masse d'un atome d'argon $M \approx 7 \times 10^(- 26) kg$

On utilisera en outre :

(e^2)/(4πε_0) \approx 2 \times 10^(- 28) J.m, 1/(\sqrt3) \approx 0, 6, \sqrt(10) \approx 3

10^(- 1/3) \approx 0, 5

1 Propagation d'une onde électromagnétique dans un plasma froid magnétisé

Dans cette partie, on étudie la propagation d'une onde électromagnétique plane dans un plasma à l'équilibre thermique à la température

T

, constitué d'électrons et d'ions positifs

Ar^+

. Ce plasma est préparé au laboratoire en imposant une décharge à un gaz neutre d'argon contenu dans une cellule cylindrique d'axe (

Oz

). En l'absence de champ appliqué, le plasma est localement neutre, les densités volumiques électronique et ionique sont toutes deux égales à

n_0

en tout point. Pour les applications numériques, vous prendrez

T = 10^4 K

n_0 \approx 10^(16) m^(- 3)

. On suppose en outre que le gaz est totalement ionisé, c'est-à-dire qu'il ne reste aucun atome d'argon non ionisé dans la cellule.

1.1 Hypothèses du modèle

Dans les questions 1 à 6, on commence par introduire et justifier les hypothèses simplificatrices du modèle de plasma utilisé.

Justifiez que l'on puisse a priori négliger le mouvement des ions devant celui des électrons au sein du plasma.
Établissez l'expression de la longueur de LANDAU, notée $r_L$ , définie comme la distance entre deux particules chargées du plasma pour laquelle leur énergie d'interaction électrostatique devient comparable à leur énergie cinétique moyenne d'agitation thermique. Calculez l'ordre de grandeur de $r_L$ .
En comparant $r_L$ à la distance moyenne $l$ entre charges au sein du plasma dont vous donnerez un ordre de grandeur, expliquez qualitativement pourquoi l'on peut négliger l'effet des collisions entre particules chargées au sein du plasma.
Calculez l'ordre de grandeur de la vitesse quadratique moyenne des électrons au sein du plasma, notée u. En l'absence de champ appliqué, l'hypothèse non relativiste vous paraît-elle justifiée pour le mouvement électronique ?
Calculez un ordre de grandeur de la longueur d'onde de De Broglie des électrons. Justifiez l'utilisation du cadre classique (plutôt que quantique) pour décrire leur mouvement.

Dans la suite du problème, on étudie la propagation d'ondes électromagnétiques en supposant le plasma «froid». Cette hypothèse consiste à supposer que la vitesse de phase

v_φ

des ondes est bien supérieure à la vitesse quadratique moyenne des électrons, de sorte que le mouvement d'agitation thermique des électrons peut être négligé à l'échelle de temps des phénomènes étudiés.

Un champ électromagnétique variable peut a priori engendrer une perturbation de la densité électronique au sein du plasma, et donc une perturbation locale de pression qui peut elle-même donner naissance à des ondes sonores au sein du gaz d'électrons.
6) Calculez l'ordre de grandeur de la vitesse du son

c_s

dans le gaz d'électrons que vous comparerez à la vitesse quadratique moyenne

u

. Expliquez qualitativement pourquoi, dans l'hypothèse de plasma froid, il est légitime de négliger les ondes acoustiques engendrées au sein du plasma.

1.2 Réponse d'un plasma froid magnétisé à une onde électromagnétique

Dans les questions 7 à 16, on étudie le mouvement des électrons au sein du plasma décrit ci-dessus que l'on soumet à une onde électromagnétique plane progressive monochromatique se propageant selon l'axe (

Oz

), dont le champ électrique s'écrit dans le repère (

Oxyz

)

E⃗(z, t) = ℜ{E_0(1; − i; 0)exp[i(ωt − kz)]}}}{{

Vous supposerez

E_0 > 0

. Pour les applications numériques, vous considérerez que l'onde modélise un faisceau LASER de section

1 cm^2

, de pulsation de l'ordre de

10^(11)rad \cdot s^(- 1)

et de puissance 3 kW .
7) Exprimez le champ magnétique

B⃗(z, t)

de l'onde, associé au champ électrique (1).
8) Quelle est la polarisation de l'onde (1) ? Vous justifierez soigneusement votre réponse en vous aidant d'un schéma, sur lequel vous indiquerez clairement les axes du repère (

Oxyz

).
9) A priori, la propagation d'une onde de type (1) au sein du plasma serait-elle différente (en termes d'absorption et de dispersion) si la composante (

- iE_0

) de son amplitude complexe suivant (

Oy

) était changée en

iE_0

? (La réponse à cette question ne nécessite aucun calcul.)

À partir de maintenant, on suppose en outre que le plasma est «magnétisé» par l'application d'un champ magnétique supplémentaire, constant et uniforme, noté

B⃗_1 = B_1 e⃗_z

, dirigé suivant l'axe de propagation de l'onde (avec

B_1 > 0

). Pour les applications numériques, vous prendrez

B_1 = 1 T

.
10) La réponse à la question précédente est-elle différente dans ces nouvelles conditions? Si oui, pourquoi ?
11) En vous plaçant dans le cadre des hypothèses explicitées aux questions précédentes, montrez que le mouvement, supposé non relativiste, des électrons est correctement décrit par l'équation

(\partialv⃗)/(\partialt) + (v⃗ \cdot grad)v⃗ = - e/m[E⃗ + v⃗ \land (B⃗ + B⃗_1)]

où

v⃗(r⃗, t)

désigne la vitesse du fluide électronique au point

M

de vecteur position

r⃗

et à la date

t

. Vous justifierez notamment que l'on puisse décrire les électrons comme un fluide et expliquerez l'absence de terme de pression dans l'équation (2).

Dans toute la suite, on suppose que la vitesse

v⃗

et la densité volumique d'électrons, notée

n

, ne dépendent que de la coordonnée spatiale

z

et du temps

t

. On rappelle que

n_0

désigne la valeur (constante) de

n(z, t)

en l'absence de champ LASER appliqué.

On s'intéresse au mouvement forcé du fluide électronique en présence de l'onde électromagnétique (1), décrit par la vitesse

v⃗(z, t) = ℜ{V⃗exp[i(ωt - kz)]}

.
12) À quelle condition sur

‖V⃗‖

et la vitesse de phase

v_φ

de l'onde peut-on négliger les termes

(v⃗ \cdot

grad

)v⃗

- e/m(v⃗ \land B⃗)

dans l'équation (2)? Vous supposerez cette condition vérifiée dans la suite de cette partie.
13) En projetant l'équation (2) simplifiée sur les axes (

Ox

) et (

Oy

), déterminez les amplitudes

V_x

V_y

. Dans les expressions trouvées, vous ferez apparaître la pulsation cyclotron électronique, définie par

Ω \equiv - (eB_1)/m < 0

ainsi que le paramètre

a \equiv (eE_0)/m

.
14) Calculez les ordres de grandeur de

Ω

a

.
15) Les électrons sont-ils animés d'un mouvement longitudinal, c'est-à-dire suivant l'axe (

Oz

) ? Montrez que la densité

n

reste constante, égale à

n_0

.
16) Qu'observe-t-on lorsque

ω

s'approche de

|Ω|

? Pourquoi le mouvement électronique n'est-il plus correctement décrit par l'équation (2) si la pulsation

ω

est trop proche de

|Ω|

? Déterminez un ordre de grandeur de la plus petite valeur admissible de

|ω + Ω|

pour que le traitement précédent reste valable.

1.3 Relation de dispersion et bande interdite

Dans les questions 17 à 22 , on étudie l'effet du plasma sur la propagation de l'onde électromagnétique (1). 17) Montrez que le champ électrique dans le plasma vérifie la relation

ΔE⃗ = - n_0 eμ_0(\partialv⃗)/(\partialt) + 1/(c^2)(\partial^2 E⃗)/(\partialt^2)

Déduisez la relation de dispersion $k(ω)$ entre le vecteur d'onde $k$ et la pulsation $ω$ de l'onde (1) que vous mettrez sous la forme adimensionnée suivante

k¯^2 = ω¯^2 - (ω¯)/(ω¯ - 2α)

Vous exprimerez la pulsation réduite

ω¯

en fonction de la pulsation

ω

et de la «pulsation plasma électronique»

ω_(pe) \equiv \sqrt((n_0 e^2)/(mε_0))

. Vous expliciterez de même la relation entre le vecteur d'onde réduit

k¯

et le vecteur d'onde

k

, et préciserez l'expression du paramètre

α

.
19) Calculez un ordre de grandeur de

ω_(pe)

que vous comparerez à

|Ω|

, puis de

α

Figure 1 - Fonction

g(x) = x^2 - x/(x - 2α)

représentée pour

α = 16

En vous aidant de la figure 1, justifiez l'existence d'une bande de pulsations «interdites » dans laquelle la propagation de l'onde (1) est impossible. Calculez analytiquement les bornes inférieure et supérieure de cette bande, dont vous donnerez les formes réduites notées respectivement $ω¯_(inf)$ et $ω¯_(sup)$ . Quel résultat connu de la physique des plasmas retrouve-t-on à la limite $B_1 \to 0$ ?

On revient au cas

B_1 \neq 0

.
21) Sans faire aucun calcul, précisez les phénomènes observés de part et d'autre de l'interface vide/plasma lorsque l'on envoie sur la cellule contenant le plasma une onde de type (1) de pulsation interdite. Vous introduirez notamment une longueur caractéristique du processus physique à l'intérieur du plasma dont vous donnerez l'expression. Quel autre système présente le même type de comportement?
22) Déterminez la valeur de la vitesse de phase de l'onde

v_φ

lorsque

ω¯

tend vers

ω¯_(inf)

par valeurs inférieures. Quelle(s) hypothèse(s) de notre modèle devien(nen)t alors incorrecte(s) ?

2 Transparence électromagnétiquement induite

Le but de cette partie est l'étude du phénomène de transparence électromagnétiquement induite selon lequel une onde de faible amplitude et de pulsation «interdite» (au sens de la première partie) peut se propager au sein
du plasma froid magnétisé (par le champ

B⃗_1

, introduit dans la première partie) en présence d'une onde intense de pulsation permise. Pour étudier ce processus, on considérera :

l'onde intense dite pompe dont le champ électrique s'écrit sous la forme

E⃗_P(z, t) = ℜ{E_P(1; − i; 0)exp[i(ω_P t − k_P z)]}}}{{

où

E_P > 0, ω_P = - (Ω + ω_(pe))

(on rappelle que

Ω < 0

) et

k_P

désigne le vecteur d'onde pompe;

l'onde dite sonde dont le champ électrique s'écrit sous la forme

E⃗_S(z, t) = ℜ{E_S(1; − i; 0)exp[i(ω_S t − k_S z)]}}}{{

où

E_S > 0

est supposé faible devant

E_P, ω_S

est proche de

|Ω|

k_S

désigne le vecteur d'onde sonde.
On introduit les notations suivantes

Δω, \equiv ω_S - ω_P; Δk, \equiv k_S - k_P; δω, \equiv ω_S + Ω = ω_S - |Ω|

Vous supposerez que l'onde pompe se propage dans le plasma magnétisé comme si elle était seule, c'est-à-dire qu'elle n'est nullement perturbée par la présence de l'onde sonde. Pour les applications numériques, vous supposerez que les ondes pompe et sonde modélisent des faisceaux LASER de même section

1 cm^2

et de puissances respectives 3 kW et

0, 3 W

Comme dans la partie précédente, on commence par étudier la réponse du plasma à l'excitation électromagnétique pour ensuite déterminer l'effet du plasma sur la propagation de l'onde sonde.

2.1 Réponse du plasma

Dans la suite, on décompose

n

v⃗

en deux contributions : une contribution, notée

n_P

pour la densité et

v⃗_P(z, t)

pour la vitesse, engendrée par l'onde pompe seule (toujours en présence du champ magnétique

B⃗_1

), et une petite composante, notée

n_S(z, t)

pour la densité et

v⃗_S(z, t)

pour la vitesse, causée par l'ajout de l'onde sonde, soit

n = n_P + n_S; v⃗ = v⃗_P + v⃗_S

avec

|n_S|≪n_P

‖v⃗_S‖≪‖v⃗_P‖

.
On s'intéresse tout d'abord au mouvement électronique «d'ordre

» 0»

, engendré par l'onde pompe seule.
23) En vous servant de la partie précédente, montrez que

n_P = n_0

et que

v⃗_P = (a_P)/(ω_(pe))[sin(ω_P t - k_P z); - cos(ω_P t - k_P z); 0]

où l'on a introduit le paramètre

a_P \equiv (eE_P)/m

. On rappelle que

Ω + ω_P = - ω_(pe)

On passe maintenant à la description des effets «d'ordre 1 », engendrés par l'ajout de l'onde sonde.
24) En linéarisant l'équation locale de conservation du nombre d'électrons, montrez qu'un petit mouvement longitudinal - c'est-à-dire suivant

(Oz)

- des électrons (créé par exemple ici par l'ajout de l'onde sonde) engendre nécessairement un petit excédent de densité électronique

n_S(z, t)

et reliez

((\partialn_S)/(\partialt))

à la dérivée spatiale

((\partialv_(S, z))/(\partialz))

de la vitesse de ce mouvement.
25) Montrez qu'un (petit) excédent local de densité électronique

n_S(z, t)

engendre un champ longitudinal additionnel

E_L(z, t)e⃗_z

et reliez la dérivée spatiale

((\partialE_L)/(\partialz))

de ce champ à

n_S

.
26) En vous servant des deux questions précédentes, montrez que

(\partialE_L)/(\partialt) = (n_0 e)/(ε_0)v_(S, z)

On donne l'équation d'Euler, écrite au «premier ordre» en champ sonde

(\partialv⃗_S)/(\partialt) + v_(S, z)(\partialv⃗_P)/(\partialz) = - e/mv⃗_S \land (B⃗_1 + B⃗_P) - e/mv⃗_P \land B⃗_S - e/m(E⃗_S + E_L e⃗_z)

où

B⃗_P

B⃗_S

désignent les champs magnétiques respectifs des ondes pompe et sonde et où l'on a introduit le champ longitudinal additionnel

E_L

, conformément aux conclusions de la question 25 , pour tenir compte de l'existence éventuelle d'un excédent local de densité électronique créé par l'ajout de l'onde sonde.

En dérivant par rapport au temps la projection de l'équation (5) sur l'axe (

Oz

) on obtient alors l'équation du mouvement longitudinal

(∂^2 v_(S, z))/(∂t^2) + ω_(pe)^2 v_(S, z) = (k_S a_P a_S)/(ω_S)(Δω)/(ω_(pe))cos(Δωt − Δkz) − 1/2(k_P a_P)/(ω_P)∂/(∂t){v_+exp[ − i(ω_P t − k_P z)] + v_−exp[i(ω_P t − k_P z)]}

où l'on a introduit les variables

v_+ \equiv v_(S, x) + iv_(S, y); v_- \equiv v_(S, x) - iv_(S, y) = v_+^*

ainsi que le paramètre

a_S \equiv (eE_S)/m

.
27) De quel système modèle pouvez-vous rapprocher l'équation (6) à laquelle satisfait

v_(S, z)

? Quel rôle joue la pulsation

ω_(pe)

dans ce modèle ?
28) En utilisant les résultats des questions 24 à 26, expliquez qualitativement le processus physique à l'origine du terme de rappel

ω_(pe)^2 v_(S, z)

.
29) Identifiez, dans le membre de droite de l'équation (6), un terme de forçage, induit par le battement entre ondes pompe et sonde, et un terme de couplage avec le mouvement transverse. Calculez l'ordre de grandeur de

a_S

En projetant l'équation (5) sur les axes (

Ox

) et (

Oy

) on obtient l'équation du mouvement transverse (que vous ne chercherez pas à démontrer)

(\partialv_+)/(\partialt) + iΩv_+ = - a_S exp[i(ω_S t - k_S z)] - (k_P a_P)/(ω_P)Ω/(ω_(pe))exp[i(ω_P t - k_P z)]v_(S, z)

En vous inspirant de la question 29 , discutez les deux termes du membre de droite de l'équation (7).

Figure 2 - a) En trait gras : relation de dispersion (8) représentée à l'aide des variables adimensionnées

ω¯_S

k¯_S

analogues aux variables

ω¯

k¯

introduites à la première partie, dans l'intervalle

ω¯_S \in [ω¯_(inf), ω¯_(sup)]

, pour

α = 16

a_P = 10^(- 2)ω_(pe)c

. Les bornes de l'intervalle de représentation sont matérialisées par les lignes verticales

ω¯_S = ω¯_(inf)

ω¯_S = ω¯_(sup)

. En trait fin : fonction

\sqrt(ω¯_S^2 - (ω¯_S)/(ω¯_S - 2α))

pour

α = 16

. En trait tireté : fonction

k¯_S = ω¯_S

. b) Relation de dispersion (8) représentée à l'aide des variables adimensionnées

ω¯_S

k¯_S

dans l'intervalle

ω¯_S \in [ω¯_(inf), ω¯_(sup)]

pour

α = 16

et pour différentes valeurs de

(a_P)/(ω_(pe)c) = 10^(- 2); 1, 2 \times 10^(- 2); 1, 4 \times 10^(- 2); 1, 6 \times 10^(- 2); 1, 8 \times 10^(- 2)

(les valeurs sont placées à droite des courbes correspondantes).

2.2 Relation de dispersion et transparence électromagnétiquement induite

En se plaçant dans les hypothèses

|δω|≪ω_(pe), |Ω|

|(ω_P k_S)/(ω_S k_P)(δω)/(ω_(pe))|≪1

, on établit, par une étude analogue à celle de la partie 1.3, la relation de dispersion suivante pour l'onde sonde

k_S^2 c^2 = ω_S^2 − ω_S ω_(pe)^2{(δω + δω_0(k_S))/((δω)^2 − Ω_R^2)}

où l'on a introduit

δω_0(k_S) \equiv (2Ω_R^2 ω_P)/(ω_(pe)|Ω|)((k_S)/(k_P) - 1/2)

Ω_R \equiv (a_P k_P)/(2ω_P)\sqrt((|Ω|)/(ω_(pe)))

.
31) Vérifiez que l'équation (8) permet de retrouver la relation de dispersion obtenue à la question 18, dans le cas limite où l'intensité de l'onde pompe est nulle.

La figure 2 représente la relation de dispersion (8), exprimée à l'aide des variables adimensionnées

ω¯_S

(pulsation sonde réduite) et

k¯_S

(vecteur d'onde sonde réduit) analogues aux variables

ω¯

k¯

introduites à la première partie.
32) En vous appuyant sur la figure 2 a), montrez que la présence de l'onde pompe permet à une onde sonde de pulsation «interdite» (au sens de la première partie) de se propager au sein du plasma. On parle d'un phénomène de transparence électromagnétiquement induite.
33) Tracez l'allure des variations de la vitesse de phase

v_(φ, S)

et de la vitesse de groupe

v_(g, S)

de l'onde sonde en fonction de

ω¯_S

sur l'intervalle [

ω¯_(inf), ω¯_(sup)

].
34) Décrivez qualitativement l'évolution de la forme d'un paquet d'onde sonde se propageant au sein du plasma, en supposant son spectre tout entier contenu dans la bande interdite.
35) En vous appuyant sur la figure 2 b), discutez l'effet d'une variation de l'intensité de l'onde pompe.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte la composition de physique B PC X-ENS 2017 ?

Le sujet porte sur la propagation d'ondes électromagnétiques dans un plasma froid magnétisé : mécanique des fluides du fluide électronique, thermodynamique des gaz parfaits et électromagnétisme, avec la relation de dispersion et la transparence électromagnétiquement induite.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de physique B PC X-ENS 2017 ?

Le jury relève des comparaisons entre grandeurs de dimensions différentes, une longueur d'onde de De Broglie mal maîtrisée, des applications numériques sans unité et des justifications bâclées sur des questions pourtant sans difficulté.

Ce sujet de physique B PC X-ENS 2017 est-il difficile ?

Oui : la moyenne n'est que de 9,08/20 avec un écart-type de 3,97, même si le rapport souligne que les meilleurs candidats ont réussi à traiter la quasi-totalité du sujet.

Ce sujet de X-ENS PC 2017 est-il un bon entraînement sur les plasmas ?

Oui, le rapport indique que la première partie, la plus proche du programme de prépa, permet de retravailler les hypothèses du modèle de plasma froid avant d'aborder la transparence électromagnétiquement induite.

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Commentaires• X ENS Physique B PC 2017

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