Polytechnique Physique A PC 2017Sujet, corrigé et rapport du jury

3,5(2 votes)

Analyse dimensionnelle et ordres de grandeur
Tension superficielle et énergie de surface
Théorème de l'énergie cinétique et bilans d'énergie
Mécanique des fluides : nombre de Reynolds, force de traînée de Stokes
Induction : inductance propre, énergie magnétique, force électromotrice
Électrocinétique : circuits RLC, association de résistances et de condensateurs
Effet Joule et bilan thermique

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BanqueX-ENS Année2017 FilièrePC MatièrePhysique

Annales X-ENS PC Physique X-ENS PC 2017 PC Physique Physique 2017

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Présentation du sujet

Difficile

Catapultes : éjection capillaire de gouttes et de spores, catapulte électromagnétique à rails

Le sujet étudie la mise en mouvement rapide d'objets grâce à de l'énergie stockée puis libérée. Il comporte 23 questions réparties en trois parties indépendantes : le saut de gouttes d'eau qui coalescent sur une surface hydrophobe, l'éjection des spores de champignons, puis une catapulte électromagnétique alimentée par des condensateurs. La calculatrice est interdite et de nombreuses questions demandent des ordres de grandeur.

1Partie 1 : catapultes capillairesBilan d'énergie de surface lors de la coalescence de deux gouttes, analyse dimensionnelle du temps de déformation et de la dissipation visqueuse, recherche du rayon optimal d'éjection.
2Partie 2 : application à l'éjection des spores de champignonsVariation d'énergie interfaciale, vitesse d'éjection, nombre de Reynolds, force de Stokes et freinage de la spore dans l'air.
3Partie 3 : catapultes électromagnétiquesForce exercée sur un rail mobile via l'énergie magnétique, variation de l'inductance avec la position, décharge d'un groupement de condensateurs, échauffement par effet Joule et rendement.

Difficile. Le rapport signale de nombreuses questions menées rarement à terme (Q6, Q7, Q11, Q22), une Q13 très mal traitée et une Q23 abordée par de très rares candidats, pour une moyenne de 9,3.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,3 / 20 · écart-type 3,48 · 1 278 copies · où vous situez-vous ?

Moyenne: 9,3/ 20
Écart-type: 3,48
Copies: 1 278

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Formules de base oubliées · Bilan interfacial incomplet pour la spore · Comparaison poids et traînée non chiffrée

Le sujet mobilisait la mécanique du point, la mécanique des fluides, l'électromagnétisme, l'électrocinétique et la thermodynamique des deux années. Le jury insiste sur la qualité de la rédaction, l'homogénéité des résultats, les unités et la justification des raisonnements. Les applications numériques comptent pour une part importante de la note.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Formules de base oubliéesQ1, Q20
Beaucoup ignorent l'aire d'une sphère en fonction de son rayon, et plus loin les lois d'association des résistances et des condensateurs.
« un nombre important de candidat(e)s ne connaissent pas la formule de la surface d'une sphère en fonction de son rayon »
2
Bilan interfacial incomplet pour la sporeQ7
La goutte est souvent oubliée dans l'aire initiale et le développement limité à l'ordre 1 du rayon de la spore entourée de son film est rarement fait. Beaucoup calculent l'aire au lieu de l'énergie demandée.
« Très peu de candidat(e)s pensent à effectuer un développement limité à l'ordre 1 »
3
Comparaison poids et traînée non chiffréeQ10, Q11
Il fallait comparer en ordre de grandeur la force de traînée et le poids, puis intégrer les équations du mouvement pour obtenir la distance et le temps de freinage.
« Une comparaison en ordre de grandeur entre la force de trainée et le poids de la spore était explicitement attendue »
4
Confusion entre force électromotrice et force de LaplaceQ12
Peu de candidats démontrent l'expression de la force sur le rail mobile, et un schéma sans le sens du courant est compté faux.
« beaucoup de candidat(e)s confondent la force électromotrice avec la force de Laplace »
5
Variation linéaire de l'inductance non justifiéeQ13
La plupart constatent la linéarité sur la figure 5 sans proposer d'explication physique.
« Question très mal traitée par l'immense majorité des candidat(e)s l'ayant abordée »
6
Unités des graphiques mal luesQ16, Q22
Les inductances de la figure 5 sont en microhenry, ce qui a faussé de nombreux calculs de courant. En Q22, l'énergie Joule est souvent obtenue sans intégrer la puissance sur la durée du catapultage.
« n'ont pas remarqué que les valeurs des inductances reportées sur la figure 5 étaient exprimées en micro Henry »

Ce qui a été bien réussi

L'application du théorème de l'énergie cinétique pour la hauteur atteinte par la goutte (Q3) est bien traitée.
La question d'analyse dimensionnelle (Q5) est réussie par la majorité des candidats.
La définition du nombre de Reynolds (Q9) est en général connue.
Le choix des paramètres géométriques à partir de la figure 5 (Q15) est bien traité.

Conseils du jury

Vérifier systématiquement l'homogénéité des résultats.
Donner chaque résultat numérique avec une unité correcte et un nombre de chiffres significatifs adapté aux données.
Justifier les hypothèses, nommer les principes utilisés et définir clairement les variables introduites.
S'aider de schémas explicatifs.
Ne pas paraphraser le texte : chaque réponse doit être argumentée et souvent quantitative.
Relire l'énoncé attentivement, par exemple pour éviter d'écrire l'équation d'un circuit R-L hors de propos en Q19.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE

ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2017

FILIÈRE PC

COMPOSITION DE PHYSIQUE - A - (XE)

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
On se contentera, pour les applications numériques, d'un seul chiffre significatif. On prendra

2^(1/3) = 1, 25

2^(2/3) = 1, 6

ainsi que

g = 9, 8 m.s^(- 2)

pour l'accélération de la pesanteur.

Catapultes

Les catapultes sont des engins mécaniques destinés à lancer de gros projectiles pour attaquer des murailles. Mais on peut généraliser cette définition à d'autres situations que le siège de fortifications : dans le monde végétal, les plantes peuvent stocker de l'énergie sous différentes formes pour la libérer rapidement et provoquer des mouvements très rapides (plantes "carnivores", éjection de graines et de spores). On peut également utiliser l'énergie électromagnétique pour fabriquer une catapulte. Nous nous intéressons ici à ces deux variantes de catapultes.
Les parties 1, 2 et 3 sont indépendantes.

1 Catapultes capillaires

Lorsqu'on fait condenser de la vapeur d'eau sur une surface très hydrophobe, on observe les phénomènes suivants : les gouttes d'eau (de taille submillimétrique) ont une forme sphérique et ne s'étalent pas sur la surface solide. La taille de chaque goutte augmente au cours du temps par la condensation de la vapeur. Lorsque deux gouttes initialement proches se touchent et coalescent en une seule goutte plus grosse, cette dernière saute verticalement (fig. 1). On cherche à analyser ce phénomène et, en particulier, à trouver la taille optimale de goutte pour la propulsion verticale.

On considère deux gouttes identiques de rayon $R$ , ayant une tension interfaciale avec l'air $γ$ . Quelle est la variation d'énergie de surface $δE_s$ résultant de la coalescence de ces deux gouttes?
En admettant qu'il n'y a pas de dissipation d'énergie lors de la coalescence et que les gouttes sont initialement au repos, quelle est la vitesse verticale initiale $V_0$ du mouvement de la goutte résultant de la coalescence? Quelle est la valeur numérique de $V_0$ pour des gouttes d'eau (masse volumique $ρ = 1000 kg \cdot m^(- 3)$ , tension de surface $γ = 70mN \cdot m^(- 1)$ ) de rayon $R = 1 mm$ ?
Quelle est la hauteur $h$ atteinte par la goutte, si on néglige la friction dans l'air?
Immédiatement après la coalescence, la goutte est très fortement déformée par rapport à sa forme d'équilibre sphérique (fig. 1b). On cherche à estimer par un raisonnement en loi d'échelle le temps caractéristique de déformation de la goutte. En comparant l'énergie de surface de la goutte et l'énergie

Figure 1 - En haut : saut d'une goutte d'eau résultant de la coalescence de deux gouttes sur un substrat superhydrophobe. L'intervalle entre images est

0, 8 ms

et le diamètre de la goutte éjectée est

0, 5 mm

. Images tirées de Boreyko & Chen, Phys. Rev. Lett. 103, 184501 (2009). En bas : Simulation numérique montrant l'évolution de la forme de la goutte immédiatement après coalescence. Figure tirée de S. Farokhirad, J. Morris & T. Lee, Phys. Fluids 27, 102102 (2015).

cinétique liée aux mouvements internes du liquide, montrer que ce temps caractéristique

τ

est tel que :

τ \propto \sqrt(ρR^3/γ)

. Dans ce raisonnement, on ignorera tous les préfacteurs numériques. Quel est l'ordre de grandeur de ce temps pour une goutte d'eau millimétrique?
5. Dans un écoulement, la puissance dissipée par unité de volume du fait de la viscosité est

η\sum_i^j(\partialu_i/\partialx_j)^2

où

η

est la viscosité dynamique,

u_i

est la composante

i

du vecteur vitesse et

x_j

la composante

j

de la coordonnée d'espace. On suppose ici que tous les termes

\partialu_i/\partialx_j

sont du même ordre de grandeur. Montrer, toujours en ignorant les préfacteurs numériques, que l'énergie dissipée par viscosité à l'intérieur de la goutte pendant sa déformation est proportionnelle à

η\sqrt(γR^3/ρ)

Figure 2 - Vitesse verticale initiale de la goutte après coalescence en fonction du diamètre moyen (après coalescence) des gouttes. Données tirées de Boreyko & Chen, Phys. Rev. Lett. 103, 184501 (2009).

Il y a en fait un préfacteur numérique important pour l'énergie dissipée qui est : $36πη\sqrt(γR^('3)/ρ) \approx$
$100η\sqrt(γR^('3)/ρ)$ . En faisant un bilan d'énergie prenant en compte la dissipation visqueuse, déterminer l'évolution de la vitesse d'éjection verticale de la goutte en fonction du rayon $R^'$ et des paramètres physiques du problème. $R^'$ est ici le rayon de la goutte après coalescence. Y a-t-il une valeur du rayon pour laquelle la vitesse d'éjection est maximale? Si oui, quelle est elle? Quelle est alors la vitesse d'éjection? Comment se comparent ces résultats aux données expérimentales de la fig. 2 ?
La viscosité dynamique de l'eau est : $η = 10^(- 3)$ Pa.s.

2 Application à l'éjection des spores de champignons

Figure 3 - Éjection d'une spore de champignon. À gauche, a, b : schéma de la coalescence de la goutte d'eau (en gris foncé) sur la spore. d, e : deux vues de la coalescence prises avec une caméra ultra-rapide (largeur des images :

30μ m

). À droite, surimpression des positions d'une spore à des intervalles de temps de

100μ s

. Images tirées de A. Pringle et al., "The captured launch of a ballistospore", Mycologia, 97, 866 (2005).

Certaines espèces de champignons ont développé une stratégie efficace pour éjecter les spores depuis les lamelles situées sous le chapeau. À la base du support de la spore se trouve une petite zone hydrophile qui permet la croissance d'une goutte d'eau (fig. 3). Lorsque la goutte d'eau, de rayon

R_g

est assez grande, elle fusionne avec une très mince couche d'eau couvrant la surface de la spore et s'étale à son tour en une couche mince couvrant toujours la surface entière de la spore. Le rayon de la spore, que l'on supposera sphérique,

R_s

est de l'ordre de

4μ m

, sa masse

m

est de l'ordre de

4 \times 10^(- 10) g

.
7. Estimer la variation d'aire interfaciale eau/air et la variation d'énergie interfaciale associée. On supposera que le film d'eau initialement présent couvre la totalité de la surface de la spore et que le rayon de la goutte d'eau est deux fois plus petit que celui de la spore.
8. En admettant que la variation d'énergie interfaciale est intégralement récupérée en énergie cinétique, estimer la vitesse initiale d'éjection de la spore et comparer cette vitesse à celle observée expérimentalement.
9. Quel est le nombre de Reynolds associé à l'écoulement d'air autour de la spore ? La viscosité dynamique de l'air est

1, 8 \times 10^(- 5)

Pa.s et sa masse volumique est

1, 3 kg.m^(- 3)

.
10. En déduire l'expression de la force de traînée exercée par l'air sur la spore en mouvement en fonction notamment du rayon de la spore et de sa vitesse.
11. La gravité joue-t-elle un rôle dans le mouvement? Si la spore est éjectée horizontalement, décrire sa trajectoire et donner en particulier la longueur et le temps de freinage. Comparer votre prédiction au mouvement réel représenté sur la fig. 3.

3 Catapultes électromagnétiques

On considère une catapulte électromagnétique constituée de deux rails en aluminium parallèles de section carrée (de côté

a

) et de longueur

x_(max)

, reliés d'une part à une extrémité à un générateur G (un groupe de condensateurs) en série avec un interrupteur

I

et d'autre part à un rail mobile de longueur

l

et de masse

m

(de matériau et section identiques aux deux rails parallèles et perpendiculaire à ceux-ci), comme schématisé sur la figure 4 . On suppose que le rail mobile se déplace sans frottement dans la direction

(Ox)

entre les deux rails parallèles et assure un contact électrique parfait au niveau de chaque rail. Le rail mobile est de plus muni d'un support de masse négligeable (non représenté sur le schéma) permettant de pousser un projectile de masse M.

Figure 4 - Schéma de la catapulte

Lors de la fermeture de l'interrupteur

I

, le groupe de condensateurs initialement chargé fournit de l'énergie au circuit, en particulier sous forme d'énergie cinétique fournie à la partie mobile (d'où le nom de catapulte électromagnétique).

On considère le circuit dans l'approximation des régimes quasi-stationnaires. Le groupe de condensateurs est équivalent à un condensateur de capacité notée

C

. On note

L(x)

l'inductance propre du circuit lorsque le conducteur mobile se trouve à la position

x

(voir figure 4). L'ensemble des parties résistives du système est assimilable à une résistance

R(x)

en série avec la capacité

C

et l'inductance

L(x)

. On note

i(t)

l'intensité dans le circuit.
12. Rappeler l'expression de l'énergie magnétique à l'instant

t

d'un circuit d'inductance

L

parcouru par un courant d'intensité

i

, ainsi que la force électromotrice s'exerçant sur un circuit déformable. En effectuant de deux manières un bilan de la puissance fournie par la source au circuit, montrer que le module de la force exercée sur la partie mobile s'écrit :

F = 1/2(dL)/(dx)i^2.

Faire un schéma montrant la direction du champ magnétique dans le plan situé à égale distance des deux conducteurs parallèles ainsi que la direction de la force agissant sur la partie mobile.
13. La figure 5 indique quelques valeurs de

L(x)

pour différentes valeurs de

x

et pour quelques valeurs de

a

l

. Expliquer pourquoi

L(x)

varie en bonne approximation linéairement en fonction de la distance

x

Figure 5 - Valeur de l'autoinductance

L(x)

du circuit constituant la catapulte en fonction de la distance

x

, pour diverses valeurs des paramètres géométriques

l

a

dans l'hypothèse où

x

est grand devant l'écart

l

entre les deux barres parallèles. On notera

L_x = (dL)/(dx)

, valeur qui sera dans toute la suite de l'énoncé supposée constante.
14. En supposant que le plan de la catapulte est incliné d'un angle

α

par rapport à l'horizontale, et en supposant un courant constant de valeur

i_0

dans le circuit, établir la relation littérale entre

i_0

et la vitesse

v(x)

de la partie mobile de masse

m + M

après un parcours de longueur

x

, et une position initiale en

x = 0

.
15. Déduire à partir de la figure 5 les valeurs des paramètres géométriques

l

a

(parmi ceux proposés) qui vont minimiser le courant requis pour atteindre une vitesse donnée. On suppose dans toute la suite que

l

a

sont fixées à ces valeurs.
16. Déterminer un ordre de grandeur du courant

i_0

(toujours supposé constant) nécessaire pour catapulter un ballon de football, de masse

M = 450 g

50 m/s

avec une catapulte de longueur

x_(max) = 1 m

, pour les paramètres géométriques de conducteur mobile les plus favorables déterminés à la question précédente. La masse volumique de l'aluminium est

ρ_(Al) \sim 2700 kg m^(- 3)

. Dans toute la suite, la longueur

x_(max)

de la catapulte est fixée à 1 m .
17. En déduire une ordre de grandeur de la charge nécessaire à la production d'un tel courant pendant le catapultage.
18. Dans ce qui précède, on a supposé que le courant était constant pour l'estimation des ordres de grandeur. En réalité, le courant est initialement nul avant la fermeture de l'interrupteur, et ne peut donc être constant lors du fonctionnement de la catapulte. Le groupe de condensateur de capacité équivalente

C

est initialement chargé avec une charge notée

Q_0

. Rappeler l'équation différentielle qui régit le courant

i(t)

.
On suppose l'inégalité suivante vérifiée :

(L(x))/(R(x))≪R(x)C

Interpréter cette inégalité en précisant le sens de chacun des termes, et déduire une description en deux phases du fonctionnement de la catapulte une fois l'interrupteur fermé.
19. Dans le cadre de l'inégalité précédente, établir l'équation approchée décrivant l'évolution temporelle du courant dans le circuit pendant la phase de catapultage correspondant à la décharge du groupe de condensateurs, en supposant constante la résistance totale

R

du circuit.

Figure 6 - Association de

n \times m

condensateurs formant le générateur

G

de la catapulte électromagnétique.

On peut trouver sur le marché des condensateurs de très forte valeur de capacité $C_0$ (plusieurs milliers de Farads), mais limités à des tensions de charge $ΔV_0$ relativement basses (quelques Volts). Ces condensateurs présentent en général également des pertes, modélisables par une résistance de perte $R_0$ associée en série avec la partie capacitive. On considère un groupement de $m \times n$ condensateurs associés comme sur la figure 6. Etablir les valeurs de capacité et de résistance équivalentes à un tel groupe de condensateurs dans une représentation ( $R, C$ ) en série, ainsi que la charge maximale que peut fournir le groupe de condensateurs et la tension correspondante à laquelle on doit le soumettre pour le charger.
En supposant négligeable la résistance liée aux rails en aluminium, établir en fonction de $C_0, ΔV_0$ , $R_0, n$ et $m$ l'expression du courant de décharge dans le circuit. Avec $C_0 = 3000 F, ΔV_0 = 3 V$ et $R_0 = 0, 3 mΩ$ , montrer que $m = 3$ et $n = 10$ permet de fournir un courant d'intensité et de temps caractéristique de décharge compatibles avec toutes les hypothèses effectuées et les valeurs numériques trouvées dans les questions précédentes. La conductivité électrique de l'aluminium vaut $γ_(Al) ≃ 38 \times 10^6 Sm^(- 1)$ .
Estimer un ordre de grandeur de l'élévation de température dans les rails d'aluminium pendant la durée utile de la projection. La capacité thermique de l'Aluminium vaut $c_(Al) \sim 900 J K^(- 1) kg^(- 1)$ .
Estimer l'efficacité de la catapulte en comparant l'énergie "utile" aux autres formes d'énergie mises en jeu. Quel peut être alors l'intérêt de ce genre de dispositif de projection en pratique?

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet de physique A X-ESPCI PC 2017 ?

Sur les catapultes : saut de gouttes d'eau après coalescence, éjection des spores de champignons par effet capillaire et catapulte électromagnétique à rails alimentée par des condensateurs.

Quelle est la moyenne de l'épreuve de physique A X PC 2017 ?

Le rapport indique une moyenne de 9,3 sur 20 avec un écart-type de 3,48, pour 1278 candidats.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en physique A Polytechnique PC 2017 ?

L'aire d'une sphère inconnue, des bilans d'énergie incomplets, la confusion entre force électromotrice et force de Laplace, les microhenrys de la figure 5 pris pour des henrys et des applications numériques sans unité.

Quels chapitres réviser pour le sujet X physique A PC 2017 ?

Le rapport cite la mécanique du point, la mécanique des fluides, l'électromagnétisme, l'électrocinétique et la thermodynamique, en première et deuxième années.

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Commentaires• Polytechnique Physique A PC 2017

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