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Centrale Mathématiques 2 PC 2018Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
La fonction zêta de Riemann : analyse et probabilités
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Le sujet est constitué de trois parties indépendantes dont le fil conducteur est la fonction zêta de Riemann. La partie I étudie cette fonction, la partie II considère une fonction définie par une somme dont le développement en série entière fait intervenir la fonction zêta, et la partie III utilise une loi de probabilité reliée à la fonction zêta pour mêler probabilités et arithmétique.

  1. 1Partie I : fonction zêtaÉtudier la continuité, les variations et un équivalent de la fonction zêta de Riemann par comparaison série-intégrale.
  2. 2Partie II : étude d'une fonction définie par une sommeDéterminer l'ensemble de définition, des équivalents, le développement en série entière et des intégrales liées à cette fonction.
  3. 3Partie III : probabilitésÉtudier une loi de probabilité reliée à la fonction zêta (loi zêta), la mutuelle indépendance d'événements et des variables aléatoires indépendantes suivant cette loi.

Difficulté moyenne. Une grande majorité de candidats a plutôt bien traité la partie I, classique et accessible, mais la partie II ainsi que les sous-parties III.B et III.C se sont montrées assez discriminantes, et la sous-partie III.D a été assez peu traitée.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,49 / 20 · écart-type 3,58 · 3 317 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
9,49/ 20
Écart-type
3,58
Présents
3 317
Durée
4 h
1er quartile
6,6
Médiane
9,1
3e quartile
11,7
moyenne 9,4905101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

4 erreurs relevées
Mauvais ensemble de définition · Définition de l'indépendance mutuelle mal connue · Justification farfelue de la fonction développable en série entière
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Le sujet valorise le travail sérieux sur le cours, avec de nombreux thèmes abordés et un nombre relativement important de questions classiques. Le jury constate cependant que le cours n'est que trop souvent partiellement maîtrisé, en particulier les définitions et les grands théorèmes classiques.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Mauvais ensemble de définitionQ10

    Une bonne partie des candidats ne trouve pas le bon ensemble de définition de la série étudiée, beaucoup se plaçant sur ]-1, +∞[.

  2. 2
    Définition de l'indépendance mutuelle mal connueQ29

    La définition exacte de l'indépendance mutuelle est assez largement ignorée ; beaucoup de candidats considèrent l'intersection globale sans prendre une sous-famille quelconque.

  3. 3
    Justification farfelue de la fonction développable en série entièreQ19

    Le fait que la fonction soit développable en série entière donne souvent lieu à des justifications farfelues.

  4. 4
    Majorations et minorations mal maîtriséesQ11, Q17

    De trop nombreux candidats ont des difficultés à majorer et à minorer les fractions pour obtenir une convergence normale.

Ce qui a été bien réussi

  • La partie I, classique et accessible, a été plutôt bien traitée par une grande majorité de candidats.
  • La sous-partie III.A sur les notions de base des probabilités a été plutôt bien traitée.
  • Le jury a apprécié l'honnêteté des candidats qui ont admis un résultat non démontré pour poursuivre le raisonnement (Q19).

Conseils du jury

  • Effectuer un travail régulier d'apprentissage et de compréhension du cours dans toutes ses nuances.
  • Rechercher des exercices de difficulté progressive pour assimiler le cours et les techniques classiques de calcul.
  • Rédiger de manière claire et précise, sans abus d'abréviations, et mettre en évidence les résultats en les encadrant.
  • Vérifier systématiquement les hypothèses des théorèmes sur les séries de fonctions avant de les appliquer.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

Objectifs et notations

Le fil conducteur du problème est l'étude de certaines questions liées à la fonction zêta, notée ζ, définie par
ζ(x) = ∑_(n = 1)^∞1/(n^x)
  • Dans la partie I, on introduit la fonction ζ et on étudie son allure (variations, limites, courbe représentative).
  • La partie II étudie une fonction f définie comme la somme d'une série de fonctions. Le développement en série entière de la fonction f fait intervenir la fonction ζ.
  • La partie III utilise la fonction ζ pour construire une loi de probabilité sur ℕ^∗ et montrer des résultats liant les probabilités et l'arithmétique.

I Fonction zêta

On note ζ la fonction de la variable réelle x définie par
ζ(x) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)1/(n^x)
On note D_ζ son ensemble de définition.
Q 1. Déterminer D_ζ.
Q 2. Montrer que ζ est continue sur D_ζ.
Q 3. Étudier le sens de variation de ζ.
Q 4. Justifier que ζ admet une limite en + ∞.
Q 5. Soit x ∈ D_ζ et soit n ∈ ℕ tel que n ⩾ 2. Montrer : ∫_n^(n + 1)(dt)/(t^x) ⩽ 1/(n^x) ⩽ ∫_(n − 1)^n(dt)/(t^x).
Q 6. En déduire, que pour tout x ∈ D_ζ,
1 + 1/((x − 1)2^(x − 1)) ⩽ ζ(x) ⩽ 1 + 1/(x − 1)
Q 7. Déterminer la limite de ζ(x) lorsque x tend vers 1 par valeurs supérieures.
Q 8. Déterminer la limite de ζ(x) lorsque x tend vers + ∞.
Q 9. Donner l'allure de la courbe représentative de ζ.

II Étude d'une fonction définie par une somme

Dans cette partie, f désigne la fonction définie par
f(x) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)(1/(n + x) − 1/n)
On note D_f l'ensemble de définition de f.

II.A - Ensemble de définition et variations

Q 10. Déterminer D_f.
Q 11. Montrer que f est continue sur D_f et étudier ses variations.

II.B - Équivalents

Soit k ∈ ℕ^∗.
Q 12. Calculer f(k).
Q 13. En déduire un équivalent de f en + ∞.
Q 14. Pour tout x ∈ D_f, vérifier que x + k ∈ D_f, puis calculer f(x + k) − f(x).
Q 15. En déduire un équivalent de f en − k. Quelles sont les limites à droite et à gauche de f en − k ?

II.C - Série entière

On considère la série entière de la variable réelle x donnée par ∑_(k ∈ ℕ^∗)(− 1)^k ζ(k + 1)x^k.
Q 16. Déterminer le rayon de convergence R de cette série entière. Y a-t-il convergence en x = ± R ?
Q 17. Montrer que f est de classe C^∞ sur D_f et calculer f^((k))(x) pour tout x ∈ D_f et tout k ∈ ℕ^∗.
Q 18. Montrer qu'il existe A ∈ ℝ_+^∗ tel que
∀k ∈ ℕ^∗, ∀x ∈ ] − 1, 1[, |f^((k))(x)| ⩽ k!(A + 1/((x + 1)^(k + 1)))
Q 19. En déduire que f est développable en série entière sur ] − 1, 1[ et que
∀x ∈ ] − 1, 1[, f(x) = ∑_(k = 1)^(+ ∞)(− 1)^k ζ(k + 1)x^k

II.D - Intégrales

Q 20. Déterminer pour quels x ∈ ℝ l'intégrale ci-dessous est convergente
∫_0^1(t^x − 1)/(1 − t) dt
Q 21. En remarquant que, pour tout t ∈ [0, 1[, 1/(1 − t) = ∑_(n = 0)^∞t^n, montrer que
∀x ∈ ] − 1, + ∞[, f(x) = ∫_0^1(t^x − 1)/(1 − t) dt
Q 22. Déduire des questions précédentes une expression intégrale de ζ(k + 1) pour tout k ∈ ℕ^∗.
Q 23. Montrer enfin que
∀k ∈ ℕ^∗, ζ(k + 1) = 1/(k!)∫_0^(+ ∞)(u^k)/(e^u − 1) du

III Probabilités

Rappels d'arithmétique

On rappelle ici quelques propriétés élémentaires d'arithmétique.
  • Pour tout (a, b) ∈ ℕ^(∗2), on dit que a divise b s'il existe k ∈ ℕ^∗ tel que b = ka. On dit aussi que a est un diviseur de b, ou encore que b est multiple de a.
    Pour tout a ∈ ℕ^∗, on note aℕ^∗ l'ensemble des multiples de a dans ℕ^∗. Ainsi, a divise b si et seulement si b ∈ aℕ^∗.
  • Pour tout (a, b) ∈ ℕ^(∗2), le plus grand commun diviseur (PGCD) de a et b est l'entier naturel noté a ∧ b tel que
a ∧ b = max{n ∈ ℕ^∗ tel que n divise a et n divise b}
  • Pour tout (a, b) ∈ ℕ^(∗2) et tout n ∈ ℕ^∗, on a l'équivalence
n divise a ∧ b ⟺ n divise a et n divise b
  • On dit qu'un entier naturel p supérieur ou égal à 2 est un nombre premier si ses seuls diviseurs sont 1 et p. Soit P l'ensemble des nombres premiers. On rappelle que P est infini.
    On note p_1 < p_2 < p_3 < ⋯ < p_n < p_(n + 1) < ⋯ la suite des nombres premiers rangés dans l'ordre croissant. Ainsi, p_1 = 2, p_2 = 3, p_3 = 5, etc.
  • Si n ∈ ℕ^∗, si q_1, …, q_n sont des nombres premiers distincts et, alors pour tout a ∈ ℕ^∗, on a l'équivalence
(∀i ∈ [ [1, n] ], q_i divise a) ⟺ ∏_(i = 1)^n q_i divise a
  • Pour tout a ∈ ℕ^∗ tel que a ⩾ 2, il existe p ∈ P tel que p divise a.

III.A - Loi zêta

Q 24. Soit x ∈ ℝ tel que x > 1. Montrer qu'on définit la loi de probabilité d'une variable aléatoire X à valeurs dans ℕ^∗ en posant
∀n ∈ ℕ^∗, ℙ(X = n) = 1/(ζ(x)n^x)
On dira qu'une telle variable aléatoire X suit la loi de probabilité zêta de paramètre x.
Dans les questions suivantes de cette sous-partie III.A, on suppose que X est une variable aléatoire qui suit la loi zêta de paramètre x > 1.
Q 25. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur x pour que X admette une espérance finie. Exprimer alors cette espérance à l'aide de ζ.
Q 26. Plus généralement, pour tout k ∈ ℕ, donner une condition nécessaire et suffisante portant sur x pour que X^k admette une espérance finie. Exprimer alors cette espérance à l'aide de ζ.
Q 27. En déduire la variance de X.
Q 28. Montrer que, pour tout a ∈ ℕ^∗, ℙ(X ∈ aℕ^∗) = 1/(a^x).

III.B - Mutuelle indépendance

Soit x un réel tel que x > 1 et soit X une variable aléatoire qui suit la loi zêta de paramètre x.
Soit enfin (q_1, …, q_n) ∈ P^n, un n-uplet de nombres premiers distincts.
Q 29. Montrer que les événements (X ∈ q_1 ℕ^∗), …, (X ∈ q_n ℕ^∗) sont mutuellement indépendants.
Cela entraine, et on ne demande pas de le démontrer, que leurs complémentaires sont mutuellement indépendants.
Pour tout n ∈ ℕ^∗, on note B_n l'événement B_n = ⋂_(k = 1)^n(X ∉ p_k ℕ^∗).
Q 30. Montrer que lim_(n → ∞)ℙ(B_n) = ℙ(X = 1). En déduire que
∀x ∈ ]1, + ∞[, 1/(ζ(x)) = lim_(n → + ∞)∏_(k = 1)^n(1 − 1/(p_k^x))

III.C - Deux variables indépendantes suivant une loi zêta

Soit x ∈ ℝ tel que x > 1. Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant chacune une loi de probabilité zêta de paramètre x. Soit A l'événement « Aucun nombre premier ne divise X et Y simultanément ». Pour tout n ∈ ℕ^∗, on note C_n l'événement
C_n = ⋂_(k = 1)^n((X ∉ p_k ℕ^∗) ∪ (Y ∉ p_k ℕ^∗))
Q 31. Exprimer l'événement A à l'aide des événements C_n. En déduire que
ℙ(A) = 1/(ζ(2x))

III.D - Deux variables indépendantes suivant une loi uniforme

Soient U_n et V_n deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur [ [1, n] ]. On note W_n = U_n ∧ V_n.
Q 32. Pour tout k ∈ ℕ^∗, montrer que
ℙ(W_n ∈ kℕ^∗) = ((⌊n/k⌋)/n)^2
On admet que, pour tout k ∈ ℕ^∗, la suite (ℙ(W_n = k))_(n ∈ ℕ^∗) converge vers un réel ℓ_k.
Q 33. Montrer que
∀ε > 0, ∃M ∈ ℕ^∗ tel que ∀m ∈ ℕ^∗, m ⩾ M ⟹ 1 − ε ⩽ ∑_(k = 1)^m ℓ_k ⩽ 1
Q 34. En déduire que (ℓ_k)_(k ∈ ℕ^∗) définit une loi de probabilité sur ℕ^∗.
On note W une variable aléatoire sur ℕ^∗ qui suit cette loi de probabilité. En adaptant la méthode de la question 33, on peut établir que, pour tout partie B de ℕ^∗, ℙ(W ∈ B) = lim_(n → ∞)ℙ(W_n ∈ B). On ne demande pas de démontrer ce résultat.
Enfin, on admet le résultat suivant : si X et Y sont deux variables aléatoires à valeurs dans ℕ^∗ et si, pour tout a ∈ ℕ^∗, ℙ(X ∈ aℕ^∗) = ℙ(Y ∈ aℕ^∗), alors X et Y ont la même loi de probabilité.
Q 35. Préciser la loi de W. En considérant ℓ_1, que peut-on alors en conclure ?

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de maths 2 Centrale PC 2018 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de maths 2 Centrale PC 2018 ?

Le sujet porte sur les séries de fonctions, les séries entières, la comparaison série-intégrale et les probabilités sur N, à travers l'étude de la fonction zêta de Riemann.

Le sujet de maths 2 Centrale PC 2018 est-il difficile ?

La partie I est classique et accessible, mais la partie II et certaines sous-parties de probabilités (III.B, III.C) ont été assez discriminantes selon le rapport.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de maths 2 Centrale PC 2018 ?

Le jury signale un mauvais ensemble de définition trouvé par de nombreux candidats, une définition de l'indépendance mutuelle mal connue, et des majorations mal maîtrisées pour la convergence normale.

Faut-il bien connaître les probabilités sur N pour ce sujet de maths 2 Centrale PC 2018 ?

Oui, la partie III mobilise les notions de base des probabilités discrètes ainsi que la mutuelle indépendance d'événements, moins bien maîtrisée que le reste du programme.

Pas de description pour le moment