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CCINP Mathématiques PC 2018Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Polynômes de Legendre : racines, réduction d'un endomorphisme, produit scalaire et approximation d'intégrales
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Un seul problème en six parties largement indépendantes construit autour des polynômes de Legendre. Il enchaîne l'étude de leurs racines, la diagonalisation d'un endomorphisme associé, une distance dans un espace préhilbertien, une fonction génératrice, une expression intégrale, puis une application à l'approximation d'intégrales.

  1. 1Partie I : quelques résultats générauxÉtablir que les polynômes de Legendre sont scindés à racines simples.
  2. 2Partie II : étude des éléments propres de l'endomorphismeProuver la diagonalisabilité d'un endomorphisme de R_n[X] et déterminer ses éléments propres.
  3. 3Partie III : distance au sous-espace vectoriel R_n[X]Construire une famille orthonormale pour un produit scalaire sur R[X] et calculer une distance à R_n[X].
  4. 4Partie IV : fonction génératriceÉtudier la série entière associée aux polynômes de Legendre.
  5. 5Partie V : expression intégrale des polynômes de LegendreObtenir une expression intégrale des polynômes de Legendre.
  6. 6Partie VI : application à l'approximation d'intégralesUtiliser les polynômes de Legendre pour approximer une intégrale.

Difficile. Le rapport indique que le sujet a pénalisé les candidats les plus faibles par son niveau de technicité et l'absence de questions très faciles.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,91 / 20 · 4 616 présents
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Moyenne
9,91/ 20
Présents
4 616

Source : document officiel du concours. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Raisonnement par récurrence non identifié · Produit scalaire mal maîtrisé · Valeurs absolues et inégalités
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L'épreuve a permis de classer correctement les candidats de niveau moyen à fort, mais a pénalisé les plus faibles par son niveau de technicité et l'absence de questions très faciles. Les correcteurs ont constaté des lacunes importantes sur les définitions et sur la rigueur des raisonnements, notamment en algèbre et en analyse.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Raisonnement par récurrence non identifiéQ6

    Peu de candidats repèrent qu'un raisonnement par récurrence a été construit sur deux questions successives.

    « Très rares sont les candidats qui comprennent qu'un raisonnement par récurrence a été mis en place en Q4 et Q5. »
  2. 2
    Produit scalaire mal maîtriséQ15

    La définition d'un produit scalaire et la preuve de son caractère défini sont rarement correctes.

    « La définition d'un produit scalaire est trop souvent mal connue »
  3. 3
    Valeurs absolues et inégalitésQ22

    Le maniement des valeurs absolues pose de gros problèmes lors de l'étude de la série entière.

    « Le maniement des valeurs absolues et des inégalités pose de gros problèmes aux candidats. »
  4. 4
    Théorème de Rolle mal énoncéQ4

    L'énoncé précis du théorème de Rolle n'est pas connu par de nombreux candidats.

    « l'énoncé du théorème de Rolle est souvent mal connu »
  5. 5
    Convergence normale ignoréeQ27

    La définition de la convergence normale d'une série de fonctions n'est pas connue de nombreux candidats.

    « De nombreux candidats ignorent la définition de la convergence normale »
  6. 6
    Confusion entre espace de polynômes et espace d'applications linéairesQ37

    De nombreux candidats confondent l'espace des applications linéaires sur R_n-1[X] avec R_n-1[X] lui-même.

    « Beaucoup de candidats confondent L(R_n-1[X],R) et R_n-1[X]. »

Ce qui a été bien réussi

  • Les premières questions de calcul (Q1) sont bien traitées.
  • Les questions Q9 et Q11 sur l'endomorphisme sont bien traitées en général.
  • Les questions Q16 à Q19 sur le produit scalaire sont souvent correctement traitées.

Conseils du jury

  • Connaître avec précision les définitions du cours et vérifier les hypothèses des théorèmes utilisés.
  • Soigner la rédaction des raisonnements par récurrence, y compris quand ils s'enchaînent sur plusieurs questions.
  • Maîtriser les manipulations de valeurs absolues, de modules et d'inégalités.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

MATHÉMATIQUES

Lundi 30 avril : 14 h − 18 h
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
Les calculatrices sont interdites
Le sujet est constitué d'un seul problème en six parties.
Lorsqu'un raisonnement utilise le résultat d'une question précédente, il est demandé au candidat d'indiquer précisément le numéro de la question utilisée.

PROBLÈME

On rappelle que ℝ[X] désigne le ℝ-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels. Pour n entier naturel, ℝ_n[X] désigne le sous-espace vectoriel de ℝ[X] des polynômes de degré inférieur ou égal à n. On précise que l'on pourra confondre polynôme et fonction polynomiale associée. Soit P un polynôme de ℝ[X]. On note P^((n)) sa dérivée n-ième.
On considère l'application φ de ℝ[X] dans lui-même définie par :
∀P ∈ ℝ[X], φ(P) = (X^2 − 1)P^(′′) + 2XP^′.
Pour n ∈ ℕ, on note U_n = (X^2 − 1)^n et L_n = 1/(2^n n!)U_n^((n)). Les polynômes L_n sont appelés polynômes de Legendre. Pour n entier naturel, a_n désigne le coefficient dominant de L_n.

Partie I - Quelques résultats généraux

Q1. Déterminer L_0, L_1 et vérifier que L_2 = 1/2(3X^2 − 1).
Dans la suite de cette partie, n désigne un entier naturel.
Q2. Justifier que L_n est de degré n et préciser la valeur de a_n.
Q3. Montrer que la famille (L_0, …, L_n) est une base de ℝ_n[X].
Q4. Pour n ∈ ℕ^∗, déterminer les racines de U_n, en précisant leur ordre de multiplicité, puis justifier qu'il existe un réel α ∈ ] − 1, 1[ et un réel λ, que l'on ne cherchera pas à déterminer, tels que :
U_n^′ = λ(X − 1)^(n − 1)(X + 1)^(n − 1)(X − α).
On pourra utiliser le théorème de Rolle.
Q5. Dans cette question seulement, n ≥ 2. Soit k ∈ [ [1, n − 1] ]. On suppose qu'il existe des réels α_1, …, α_k deux à deux distincts dans ] − 1, 1 [ et un réel μ tels que:
U_n^((k)) = μ(X − 1)^(n − k)(X + 1)^(n − k)(X − α_1)⋯(X − α_k).
Justifier qu'il existe des réels β_1, …, β_(k + 1) deux à deux distincts dans ] − 1, 1 [ et un réel ν tels que :
U_n^((k + 1)) = ν(X − 1)^(n − k − 1)(X + 1)^(n − k − 1)(X − β_1)⋯(X − β_(k + 1)).
Q6. En déduire que, pour n ∈ ℕ^∗, L_n admet n racines réelles simples, toutes dans [ − 1, 1]. On les note x_1, …, x_n, en convenant que x_1 < ⋯ < x_n.
On note A_n = ∏_(k = 1)^n(X − x_k).
En convenant que A_0 = 1, on a donc: ∀n ∈ ℕ, L_n = a_n A_n.

Partie II - Étude des éléments propres de l'endomorphisme φ

Q7. Prouver que φ est un endomorphisme de ℝ[X].
Dans les questions Q8 à Q13, n désigne un entier naturel.
Q8. Justifier que ℝ_n[X] est stable par φ.
On note φ_n l'endomorphisme de ℝ_n[X] induit par φ. Cet endomorphisme φ_n est donc défini par : ∀P ∈ ℝ_n[X], φ_n(P) = φ(P).
Q9. On note M = (m_(i, j))_(0 ⩽ i, j ⩽ n) la matrice de φ_n dans la base canonique de ℝ_n[X]. Montrer que M est triangulaire supérieure et que : ∀k ∈ [ [0, n] ], m_(k, k) = k(k + 1).
Q10. Montrer que φ_n est diagonalisable. On pourra utiliser la question Q9.
Q11. Vérifier que: ∀k ∈ [ [0, n] ], (X^2 − 1)U_k^′ − 2kXU_k = 0.
Q12. Soit k ∈ [ [0, n] ]. En dérivant ( k + 1 ) fois la relation de la question Q11, montrer grâce à la formule de dérivation de Leibniz que : (X^2 − 1)U_k^((k + 2)) + 2XU_k^((k + 1)) − k(k + 1)U_k^((k)) = 0.
Q13. Montrer que, pour k ∈ [ [0, n] ], le polynôme L_k est un vecteur propre de φ_n, en précisant la valeur propre associée. On pourra utiliser la question Q12.
Q14. Déduire de ce qui précède les valeurs propres et les sous-espaces propres associés de φ.
Dans la suite du problème, pour P et Q éléments de ℝ[X], on définit :
⟨P, Q⟩ = ∫_(− 1)^1 P(t)Q(t)dt

Partie III - Distance au sous-espace vectoriel ℝ_n[X]

Q15. Justifier que ⟨.,. ⟩estunproduitscalairesurℝ[X].
On note ‖. ‖lanormeassociée, quiestdoncdéfiniepar : ‖f‖ = (∫_(− 1)^1 f(t)^2 dt)^(1/2).
Q16. Établir que: ∀(P, Q) ∈ ℝ[X]^2, ⟨φ(P), Q⟩ = − ∫_(− 1)^1(t^2 − 1)P^′(t)Q^′(t)dt, puis que :
∀(P, Q) ∈ ℝ[X]^2, ⟨φ(P), Q⟩ = ⟨P, φ(Q)⟩
Q17. Montrer que la famille (L_n)_(n ∈ ℕ) de polynômes de ℝ[X] est orthogonale pour le produit scalaire ⟨.,. ⟩.OnpourrautiliserlaquestionQ13.
Q18. Montrer que: ∀n ∈ ℕ^∗, ∀P ∈ ℝ_(n − 1)[X], ⟨P, L_n⟩ = 0.
Q19. On admet que ‖L_n‖^2 = 2/(2n + 1). Pour n ∈ ℕ, on pose Q_n = √((2n + 1)/2)L_n. Que peut-on dire de la famille (Q_n)_(n ∈ ℕ) de polynômes de ℝ[X] pour le produit scalaire ⟨.,. ⟩?
Dans la suite de cette partie, P désigne un polynôme de ℝ[X].
Pour n ∈ ℕ, on note d(P, ℝ_n[X]) = inf_(Q ∈ ℝ_n[X])‖P − Q‖ la distance de P au sous-espace ℝ_n[X].
Q20. Soit n ∈ ℕ. En utilisant un résultat de votre cours, justifier qu'il existe un unique polynôme T_n de ℝ_n[X] tel que : d(P, ℝ_n[X]) = ‖P − T_n‖, puis justifier l'égalité :
d(P, ℝ_n[X])^2 = ‖P‖^2 − ∑_(k = 0)^n(c_k(P))^2, où c_k(P) = ⟨P, Q_k⟩
Q21. Prouver que la série ∑(c_k(P))^2 converge et que : ∑_(k = 0)^(+ ∞)(c_k(P))^2 ⩽ ‖P‖^2.

Partie IV - Fonction génératrice

On admet dans la suite du problème que ∀n ∈ ℕ^∗, (n + 1)L_(n + 1) − (2n + 1)XL_n + nL_(n − 1) = 0 et on considère la série entière de la variable t : ∑L_n(x)t^n. On note r la racine positive du polynôme X^2 − 2X − 1.
Q22. Montrer que : ∀x ∈ [ − 1, 1], ∀n ∈ ℕ, |L_n(x)| ⩽ r^n. On pourra raisonner par récurrence et utiliser la relation admise au début de cette partie.
Q23. Pour x ∈ [ − 1, 1], on note R(x) le rayon de convergence de la série entière ∑L_n(x)t^n. Montrer que : R(x) ⩾ 1/r.
Q24. Pour x ∈ [ − 1, 1] et t ∈ ] − 1/r, 1/r[, on pose S_x(t) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)L_n(x)t^n. Montrer que S_x est solution sur ] − 1/r, 1/r[ de l'équation différentielle linéaire du premier ordre:
(1 − 2tx + t^2)y^′ + (t − x)y = 0
Q25. En déduire que : ∀x ∈ [ − 1, 1], ∀t ∈ ] − 1/r, 1/r[, ∑_(n = 0)^(+ ∞)L_n(x)t^n = 1/(√(t^2 − 2xt + 1)).
Q26. Indiquer une méthode permettant, à partir du seul résultat de la question Q25, de retrouver l'expression des polynômes L_0, L_1 et L_2.

Partie V - Expression intégrale des polynômes de Legendre

Pour θ ∈ [0, π] et n ∈ ℕ, on pose : w_n(θ) = 1/(2π)∫_(− π)^π(cosθ + isinθcosu)^n du.
Q27. Soit t ∈ ] − 1, 1 [. Pour n ∈ ℕ, on considère la fonction v_n de [ − π, π] dans ℂ définie par : v_n(u) = t^n(cosθ + isinθcosu)^n. Montrer que ∑v_n converge normalement sur [ − π, π].
Q28. Justifier l'égalité : ∀t ∈ ] − 1, 1[, ∑_(n = 0)^(+ ∞)w_n(θ)t^n = 1/(2π)∫_(− π)^π(du)/(1 − tcosθ − itsinθcosu).
Dans les questions Q29 et Q30, a désigne un réel strictement positif.
Q29. Montrer que ∫_0^π(cosu)/(1 + a^2 cos^2 u) du = 0. On pourra utiliser le changement de variable défini par v = π − u.
Q30. Montrer que : ∫_0^(π/2)(du)/(1 + a^2 cos^2 u) = π/21/(√(1 + a^2)). On pourra utiliser le changement de variable défini par u = arctanv.
Q31. En déduire que :
∀t ∈ ] − 1, 1[, ∀θ ∈ [0, π], ∫_(− π)^π(du)/(1 − tcosθ − itsinθcosu) = (2π)/(√(t^2 − 2tcosθ + 1)).
Q32. Déduire de ce qui précède que: ∀n ∈ ℕ, ∀θ ∈ [0, π], L_n(cosθ) = w_n(θ).
Q33. Justifier que : ∀x ∈ [ − 1, 1], ∀t ∈ ] − 1, 1[, ∑_(n = 0)^(+ ∞)L_n(x)t^n = 1/(√(t^2 − 2xt + 1)).
Q34. Prouver que : ∀x ∈ [ − 1, 1], R(x) = 1. On pourra raisonner par l'absurde et montrer qu'alors, pour tout z de ℂ tel que |z| < R(x), on a: (z^2 − 2xz + 1)(∑_(n = 0)^(+ ∞)L_n(x)z^n)^2 = 1.

Partie VI - Application à l'approximation d'intégrales

Dans les questions Q35 à Q43, n désigne un entier naturel non nul.
Q35. Soit h une application de ℝ dans ℝ de classe C^(2n − 1) sur ℝ telle qu'il existe 2n réels t_1 < ⋯ < t_(2n) vérifiant: ∀i ∈ [ [1, 2n] ], h(t_i) = 0. Montrer qu'il existe un réel c tel que: h^((2n − 1))(c) = 0.
Q36. Pour i ∈ [ [1, n] ], on note ℓ_i l'application linéaire définie sur ℝ_(n − 1)[X], à valeurs dans ℝ, par: ∀P ∈ ℝ_(n − 1)[X], ℓ_i(P) = P(x_i) (on rappelle que x_1, …, x_n désignent les racines de L_n et qu'elles sont deux à deux distinctes). Montrer que ( ℓ_1, …, ℓ_n ) est libre dans L(ℝ_(n − 1)[X], ℝ).
Q37. En déduire que pour toute application linéaire ψ de ℝ_(n − 1)[X] dans ℝ, il existe un unique n-uplet (β_1, …, β_n) de réels tel que : ψ = ∑_(k = 1)^n β_k ℓ_k.
Q38. Montrer qu'il existe un unique n-uplet (α_1, …, α_n) de réels tel que:
∀P ∈ ℝ_(n − 1)[X], ∫_(− 1)^1 P(t)dt = α_1 P(x_1) + ⋯ + α_n P(x_n).
Q39. Montrer que la relation de la question Q38 reste vérifiée pour tout P de ℝ_(2n − 1)[X]. On pourra, pour P ∈ ℝ_(2n − 1)[X], utiliser la division euclidienne de P par L_n et la question Q18.
Dans la suite du problème, f désigne une application de [ − 1, 1] dans ℝ, de classe C^(2n) sur [ − 1, 1].
Q40. Montrer que: ∃!H_n ∈ ℝ_(2n − 1)[X], ∀i ∈ [ [1, n] ], {H_n(x_i) = f(x_i); H_n^′(x_i) = f^′(x_i). On pourra commencer par déterminer le noyau de l'application linéaire de ℝ_(2n − 1)[X] dans ℝ^(2n) qui à P associe : (P(x_1), …, P(x_n), P^′(x_1), …, P^′(x_n)).
On rappelle que A_n a été défini à la question Q 6 .
Q41. Soit x ∈ [ − 1, 1] tel que: ∀i ∈ [ [1, n] ], x ≠ x_i.
Montrer que : ∃c ∈ [ − 1, 1], f(x) − H_n(x) = (A_n(x)^2)/((2n)!)f^((2n))(c). On pourra considérer l'application
g définie sur [ − 1, 1] par g(t) = f(t) − H_n(t) − (A_n(t)^2)/((2n)!)K, où K est un réel dépendant de xa^‵ préciser, et appliquer le résultat de la question Q35 à la fonction g^′.
Q42. Montrer que: ∀y ∈ [ − 1, 1], ∃c ∈ [ − 1, 1], f(y) − H_n(y) = (A_n(y)^2)/((2n)!)f^((2n))(c).
Q43. Justifier l'existence de M_(2n)(f) = max_(t ∈ [ − 1, 1])|f^((2n))(t)|, puis prouver que :
|∫_(− 1)^1 f(t)dt − (α_1 f(x_1) + ⋯ + α_n f(x_n))| ≤ (M_(2n)(f))/((2n)!)∫_(− 1)^1 A_n(t)^2 dt
Q44. Déterminer un équivalent simple au voisinage de + ∞ de ∫_(− 1)^1 A_n(t)^2 dt.

FIN

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de maths CCINP PC 2018 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de maths CCINP PC 2018 ?

Il porte sur les polynômes de Legendre : racines, réduction d'un endomorphisme, produit scalaire, séries entières et approximation d'intégrales.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées dans ce sujet CCINP maths PC 2018 ?

Des lacunes sur les définitions du cours (produit scalaire, théorème de Rolle, convergence normale) et un manque de rigueur dans les raisonnements par récurrence.

Le sujet de maths CCINP PC 2018 est-il difficile ?

Oui, le rapport souligne un niveau de technicité élevé et l'absence de questions très faciles, ce qui a pénalisé les candidats les plus faibles.

Ce sujet CCINP PC 2018 est-il accessible en première année ?

Le rapport ne permet pas de répondre : il évoque des notions des deux années de classes préparatoires sans préciser un niveau par partie.

Pas de description pour le moment