Centrale Mathématiques 1 PC 2018Sujet et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile

L'équation de diffusion : transformation de Fourier, schéma numérique et marche aléatoire

Le sujet étudie l'équation de diffusion sous plusieurs angles. Il établit des propriétés de la transformation de Fourier, prouve l'existence et l'unicité d'une solution avec une condition initiale gaussienne, étudie la stabilité d'un schéma numérique discrétisé, puis donne une interprétation probabiliste du paramètre de stabilité par une marche aléatoire. Une grande partie du problème repose sur l'intégrabilité et les théorèmes de domination.

1Partie I : préliminairesPropriétés de la gaussienne et de la transformation de Fourier d'une fonction continue et intégrable, avec intégration terme à terme d'une série entière.
2Partie II : équation de diffusion avec une condition initiale gaussienneExistence et unicité d'une solution grâce à la convergence dominée, à la dérivation sous le signe intégrale et à une équation différentielle linéaire.
3Partie III : étude numériqueDiscrétisation par développements de Taylor, écriture matricielle du schéma et condition de stabilité liée aux valeurs propres d'une matrice symétrique réelle.
4Partie IV : équation de diffusion et marche aléatoirepremière annéeLois de Bernoulli et binomiale, relation entre deux variables aléatoires et interprétation probabiliste du paramètre de stabilité.

Difficile. Le jury décrit un sujet complet et dense, aux difficultés graduelles, qui a révélé une très forte hétérogénéité et de réelles difficultés sur l'intégrabilité, plusieurs questions de fin de partie étant très rarement traitées.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 10,08 / 20 · écart-type 3,55 · 3 442 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 10,08/ 20
Écart-type: 3,55
Présents: 3 442
Durée: 4 h
1er quartile: 7,4
Médiane: 9,6
3e quartile: 12,4

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Intégrabilité mal comprise · Module des nombres complexes évité · Intégration terme à terme mal rédigée

Le sujet, au cœur du programme de PC, a fait apparaître une forte hétérogénéité des niveaux et un grand étalement des notes. La notion d'intégrabilité est mal comprise par au moins un quart des candidats, et la mise en œuvre des grands théorèmes d'intégration reste hasardeuse. Plus d'un tiers des candidats ont néanmoins produit un travail de qualité.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Intégrabilité mal compriseQ1, Q4, Q6, Q8
Des candidats pensent qu'une fonction bornée est intégrable sur R, que le produit de deux fonctions intégrables l'est, ou qu'une limite nulle en l'infini est nécessaire. Cela bloque notamment Q6.
« La notion d'intégrabilité est mal comprise par au moins un quart des candidats, ce qui sur ce sujet est souvent rédhibitoire. »
2
Module des nombres complexes évitéQ4
Par crainte du module, beaucoup reviennent aux parties réelle et imaginaire pour dominer une fonction complexe, ce qui alourdit le raisonnement.
3
Intégration terme à terme mal rédigéeQ11
La convergence de la série des intégrales des modules est omise, alors que le résultat étant donné, seule la justification était notée.
4
Domination sans choix de TQ14, Q15, Q16
La domination sur ]0, T[ exigeait de choisir T en fonction de t ou de la suite (t_n), ce que très peu de candidats ont fait.
5
Matrice symétrique sans préciser réelleQ28
Reconnaître une matrice symétrique ne suffit pas pour le théorème spectral : il faut dire qu'elle est à coefficients réels. La somme de deux matrices diagonalisables ne l'est pas forcément.
6
Indépendance oubliéeQ35
Pour justifier la loi binomiale, l'indépendance est souvent passée sous silence.

Ce qui a été bien réussi

Les compétences en calcul laissent une impression générale plutôt satisfaisante.
La relation de récurrence de Q9 est obtenue par la majorité des candidats.
Q19 a été réussie par tous les candidats qui l'ont abordée.
Q25, Q27, Q28 et Q30 sont plutôt bien traitées dans l'ensemble.
À Q16, les hypothèses du théorème de Leibniz sont souvent bien citées.

Conseils du jury

Citer tous les arguments connus : les oublis répétés peuvent coûter jusqu'à un quart de la note finale.
Quand un résultat est donné, l'argumenter réellement : une réponse non justifiée est pénalisée et jette le doute sur la suite de la copie.
Justifier la classe C¹ ou C² avant une intégration par parties, un développement de Taylor ou un calcul de dérivées.
Simplifier soi-même les constantes pour vérifier une égalité demandée.
Retenir les valeurs obtenues en début de sujet, comme μ en Q12, qui servent plus loin.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Objectifs et notations

Ce problème étudie quelques aspects de l'équation de diffusion (1) :

(\partialf)/(\partialt)(t, x) = (\partial^2 f)/(\partialx^2)(t, x)

.
Cette équation modélise l'évolution au cours du temps de la température le long d'une barre métallique unidimensionnelle, ou encore l'évolution au cours du temps de la concentration d'une espèce chimique (par exemple un polluant dans une rivière assimilée à l'axe des

x

).
Le problème est constitué de quatre parties.

La partie I permet de démontrer quelques résultats sur la transformée de Fourier d'une fonction continue et intégrable sur $ℝ$ . Ces résultats sont utilisés dans la partie II.
La partie II aboutit à la résolution de l'équation (1) lorsqu'on impose à la solution $f$ d'être de classe $C^2$ et de vérifier certaines conditions.
La partie III étudie la stabilité du schéma numérique correspondant à la discrétisation de $t$ et de $x$ .
La partie IV fournit une interprétation probabiliste du paramètre qui détermine la stabilité étudiée dans la partie III.
Les parties III et IV sont indépendantes des parties I et II et largement indépendantes entre elles.
On désigne par $C^2(ℝ_+^* \times ℝ, ℝ)$ l'ensemble des fonctions de $ℝ_+^* \times ℝ$ dans $ℝ$ , de classe $C^2$ .
Pour toute fonction $h$ définie sur $ℝ_+^* \times ℝ$ , pour tout réel $t_0 > 0$ , on note $h(t_0, \cdot)$ la fonction partielle $x \mapsto h(t_0, x)$ définie sur $ℝ$ ; de même, pour tout réel $x_0$ , on note $h(\cdot, x_0)$ la fonction partielle $t \mapsto h(t, x_0)$ définie sur $ℝ_+^*$ .
Si $a$ et $b$ sont deux entiers tels que $a ⩽ b$ , on note $[ [a, b] ]$ l'ensemble des entiers $k$ vérifiant $a ⩽ k ⩽ b$ .
Pour tout réel $σ > 0, g_σ$ désigne la fonction $g_σ : | ℝ \to ℝ; x \mapsto 1/(σ\sqrt(2π))exp(- (x^2)/(2σ^2))$ .

I Préliminaires

Dans cette partie, on fixe un réel strictement positif

σ

I.A - Quelques propriétés de $g_σ$

Q 1. Montrer que

g_σ

est intégrable sur

ℝ

.
Q 2. En admettant que

\int_(- \infty)^(+ \infty)exp(- x^2)dx = \sqrtπ

, donner la valeur de

\int_(- \infty)^(+ \infty)g_σ(x)dx

.
Q 3. Étudier les variations de

g_σ

. Montrer que la dérivée seconde de

g_σ

s'annule en changeant de signe en exactement deux points. Donner l'allure de la courbe représentative de

g_σ

et placer les deux points précédents.
I.

B

Soit

f

une fonction de

ℝ

dans

ℂ

, continue et intégrable sur

ℝ

Q 4. Montrer que, pour tout réel

ξ

, la fonction

| ℝ \to ℂ; x \mapsto f(x)exp(- i2πξx)

est intégrable sur

ℝ

.
On définit alors la fonction

F(f) : | ℝ \to ℂ; ξ \mapsto \int_(- \infty)^(+ \infty)f(x)exp(- i2πξx)dx

.
On dit que

F(f)

est la transformée de Fourier de

f

.
Q 5. Montrer que

F(f)

est continue sur

ℝ

.
I.

C

- Soit

f

une fonction de

ℝ

dans

ℂ

, de classe

C^1

. On suppose que

f

et sa dérivée

f^'

sont intégrables sur

ℝ

.
Q 6. Montrer que

f

tend vers zéro en

+ \infty

et en

- \infty

.
Q 7. Montrer que, pour tout réel

ξ, F(f^')(ξ) = 2iπξF(f)(ξ)

I.D -

Q 8. Montrer que, pour tout entier naturel

p

, la fonction

x \mapsto x^(2p)exp(- x^2)

est intégrable sur

ℝ

On note

M_p = \int_(- \infty)^(+ \infty)x^(2p)exp(- x^2)dx

.
Q 9. Pour

p

entier naturel, donner une relation entre

M_(p + 1)

M_p

et en déduire que, pour tout

p \in ℕ

M_p = (\sqrtπ(2p)!)/(2^(2p)p!)

Q 10. Montrer que, pour tout réel

ξ

, il existe une suite réelle

(c_p(ξ))_(p \in ℕ)

telle que

\forallx \in ℝ, exp(- x^2)cos(2πξx) = \sum_(p = 0)^(+ \infty)c_p(ξ)exp(- x^2)x^(2p)

Q 11. En déduire que, pour tout réel

ξ, \int_(- \infty)^(+ \infty)exp(- x^2)exp(- i2πξx)dx = \sqrtπexp(- π^2 ξ^2)

.
Q 12. On pose

σ^' = 1/(2πσ)

. Montrer qu'il existe un réel

μ

tel que

F(g_σ) = μg_(σ^')

.
La valeur de

μ

n'est pas à expliciter.

II Équation de diffusion avec une condition initiale gaussienne

Dans cette partie,

σ

désigne un réel strictement positif. On cherche les éléments

f

C^2(ℝ_+^* \times ℝ, ℝ)

vérifiant
i. l'équation de diffusion:

\forall(t, x) \in ℝ_+^* \times ℝ, (\partialf)/(\partialt)(t, x) = (\partial^2 f)/(\partialx^2)(t, x)

;
ii. les trois conditions de domination : pour tout réel

T > 0

, il existe des fonctions

φ_T, χ_T

ψ_T

ℝ

dans

ℝ

, continues et intégrables sur

ℝ

, telles que

∀t ∈ ]0, T[, ∀x ∈ ℝ, {|f(t, x)| ⩽ φ_T(x); |(∂f)/(∂x)(t, x)| ⩽ χ_T(x); |(∂^2 f)/(∂x^2)(t, x)| ⩽ ψ_T(x)

iii. la condition aux limites:

\forallx \in ℝ, lim_(t \to 0^+)f(t, x) = g_σ(x)

Q 13. Montrer que la fonction

| ℝ_+^* \times ℝ \to ℝ; (t, x) \mapsto g_(\sqrt(σ^2 + 2t))(x)

vérifie les conditions i et iii.
On admet que cette fonction vérifie également les trois conditions de domination ii. L'objectif est de démontrer que c'est la seule fonction de classe

C^2

sur

ℝ_+^* \times ℝ

vérifiant i, ii et iii.
Pour cela, on note

f

une fonction qui vérifie i, ii et iii.
II.A -

Q 14. Justifier que, pour tout réel

t > 0

et tout réel

ξ

, la fonction

x \mapsto f(t, x)exp(- 2iπξx)

est intégrable sur

ℝ

.
On définit alors la fonction

f^

sur

ℝ_+^* \times ℝ

par:

\forall(t, ξ) \in ℝ_+^* \times ℝ, f^(t, ξ) = \int_(- \infty)^(+ \infty)f(t, x)exp(- i2πξx)dx

.
Avec les notations de la partie I, on a ainsi, pour tout réel

t > 0, f^(t, \cdot) = F(f(t, \cdot))

.
Q 15. Montrer que, pour tout nombre réel

ξ, lim_(t \to 0^+)f^(t, ξ) = g_σ ˆ(ξ)

.
On pourra utiliser une suite quelconque

(t_n)_(n \in ℕ)

de réels strictement positifs convergeant vers zéro.
Q 16. Montrer que, pour tout réel

ξ

et tout réel

t > 0, (\partialf^)/(\partialt)(t, ξ) = \int_(- \infty)^(+ \infty)(\partialf)/(\partialt)(t, x)exp(- i2πξx)dx

.
Q 17. En remarquant que

\int_(- \infty)^(+ \infty)(\partialf)/(\partialt)(t, x)exp(- i2πξx)dx = F((\partialf)/(\partialt)(t, \cdot))(ξ)

et en utilisant la question 7 , montrer que, pour tout réel

ξ

et tout réel

t > 0, (\partialf^)/(\partialt)(t, ξ) = - 4π^2 ξ^2 f^(t, ξ)

II.B -

Q 18. Montrer que, pour tout

ξ \in ℝ

, il existe un réel

K(ξ)

tel que pour tout

t \in ℝ_+^*, f^(t, ξ) = K(ξ)exp(- 4π^2 ξ^2 t)

.
Q 19. En utilisant la question 15 , déterminer, pour tout réel

ξ

, la valeur de

K(ξ)

II. C -

Q 20. En déduire l'existence d'un réel

ν_σ

tel que, pour tout réel

ξ

et tout réel

t > 0

f^(t, ξ) = ν_σ exp(- 2π^2(σ^2 + 2t)ξ^2)

Q 21. Donner la valeur de

ν_σ

.
On admet le résultat suivant :
si

u

v

sont des fonctions de

ℝ

dans

ℝ

, continues et intégrables sur

ℝ

et vérifiant

F(u) = F(v)

, alors

u = v

.
Q 22. Soit

t

un réel strictement positif. Déduire des questions 20 et 12 l'existence d'un réel

λ_(t, σ)

tel que

f(t, \cdot) = λ_(t, σ)g_(\sqrt(σ^2 + 2t))

Q 23. Montrer que la fonction

I : | ℝ_+^* \to ℝ; t \mapsto \int_(- \infty)^(+ \infty)f(t, x)dx

est constante.
On pourra utiliser le résultat de la question 17.
Q 24. En déduire que, pour tout réel

t

strictement positif,

f(t, \cdot) = g_(\sqrt(σ^2 + 2t))

III Étude numérique

Dans cette partie, on étudie, du point de vue numérique, un certain problème de diffusion.
On fixe une fonction

f

, continue sur

ℝ_+ \times [0, 1]

et de classe

C^2

sur

ℝ_+^* \times ]0, 1[

, vérifiant l'équation de diffusion

\forall(t, x) \in ℝ_+^* \times ]0, 1[, (\partialf)/(\partialt)(t, x) = (\partial^2 f)/(\partialx^2)(t, x)

ainsi que les conditions aux limites

\forallt \in ℝ_+, f(t, 0) = f(t, 1) = 0

On suppose connue la fonction

f(0, \cdot)

et on se propose d'étudier une méthode de calcul numérique de

f

III.A -

Q 25. Soit

t \in ℝ_+^*

x \in ]0, 1[

. Donner la limite, quand

θ

tend vers zéro, de

(f(t + θ, x) - f(t, x))/θ

.
Q 26. Soit

t \in ℝ_+^*

x \in ]0, 1[

. Montrer que

lim_(h \to 0)(f(t, x + h) - 2f(t, x) + f(t, x - h))/(h^2) = (\partial^2 f)/(\partialx^2)(x, t)

.
III. B - Soit

τ

un réel strictement positif et

q

un entier naturel supérieur ou égal à 2 .

On pose

δ = 1/(q + 1)

r = τ/(δ^2)

.
La méthode numérique retenue consiste à discrétiser

t

selon le pas

τ

x

selon le pas

δ

, ce qui amène à chercher une valeur approchée de

f(nτ, kδ)

, notée

f_n(k)

, pour

n \in ℕ

k \in [ [0, q + 1] ]

.
Compte tenu des questions 25 et 26 , l'équation de diffusion et les conditions aux limites conduisent à imposer, pour tout entier naturel

n

et tout

k \in [ [1, q] ], (f_(n + 1)(k) - f_n(k))/τ = (f_n(k + 1) - 2f_n(k) + f_n(k - 1))/(δ^2)

ainsi que

f_n(0) = f_n(q + 1) = 0

f_0(k) = f(0, kδ)

(on rappelle que la fonction

f(0, \cdot)

est supposée connue).
Pour

n \in ℕ

, on pose

F_n = (f_n(1); ⋮; f_n(q))

.
On note

I_q

la matrice identité d'ordre

q

, et on définit la matrice

B

carrée d'ordre

q

par

B = (0, 1, 0, \dots, \dots, 0; 1, 0, 1, 0, ⋮; 0, 1, ⋱, ⋱, ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, ⋱, 1, 0; ⋮, ⋱, 1, 0, 1; 0, \dots, \dots, 0, 1, 0)

Ainsi, pour tous

i, j

dans

[ [1, q] ]

, le coefficient de place

(i, j)

B

est égal à 1 si

|i - j| = 1

et à 0 sinon.
Enfin, on pose

A = (1 - 2r)I_q + rB

.
Q 27. Montrer que, pour tout

n \in ℕ, F_(n + 1) = AF_n

.
Q 28. Justifier que les matrices

A

B

sont diagonalisables sur

ℝ

et que, pour tout

n \in ℕ, F_n = A^n F_0

.
Q 29. Montrer que la suite

(F_n)_(n \in ℕ)

est bornée quel que soit le choix de

F_0

si et seulement si les valeurs propres de

A

appartiennent à

[ - 1, 1]

.
Soit

λ

une valeur propre de

B

et soit

Y = (y_1; ⋮; y_q)

un vecteur propre associé.
Q 30. En considérant un coefficient de

Y

dont la valeur absolue est maximale, montrer que

λ \in [ - 2, 2]

et justifier l'existence d'un élément

θ

[0, π]

, tel que

λ = 2cosθ

.
Q 31. Montrer que, si on impose

y_0 = y_(q + 1) = 0

, alors, pour tout

k \in [ [1, q] ], y_(k - 1) - λy_k + y_(k + 1) = 0

.
Q 32. En déduire qu'il existe

j \in [ [1, q] ]

tel que

λ = 2cos(jπ)/(q + 1)

.
Q 33. Déterminer le spectre de

B

et une base de vecteurs propres de

B

.
Q 34. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur

r

pour que la suite

(F_n)_(n \in ℕ)

soit bornée quels que soient les choix de

q

et de

F_0

.
On dit alors que le schéma numérique retenu est stable.

IV Équation de diffusion et marche aléatoire

Le déplacement d'une particule dans une direction donnée sous l'action des chocs avec les particules voisines peut se modéliser par des déplacements successifs à droite ou à gauche équiprobables, d'une quantité strictement positive

δ

, qui interviennent à intervalles de temps réguliers, le temps entre deux chocs étant égal à

τ > 0

.
Une variable aléatoire est dite de Rademacher si elle est à valeurs dans

{1, - 1}

et si elle prend les valeurs 1 et -1 avec la même probabilité

1/2

.
Soit

(X_n)_(n \in ℕ)

une suite de variables de Rademacher mutuellement indépendantes, définies sur un espace probabilisé

(Ω, A, ℙ)

.
On note, pour tout entier

n ⩾ 1, S_n = \sum_(j = 1)^n X_j

.
Ainsi, la variable aléatoire

δS_n

modélise la position de la particule au temps

nτ

.
IV.

A -

Pour tout

n \in ℕ^*

, on pose

Y_n = 1/2(X_n + 1)

Z_n = \sum_(j = 1)^n Y_j

Soit

n \in ℕ^*

.
Q 35. Déterminer la loi de la variable aléatoire

Y_n

et celle de la variable aléatoire

Z_n

.
Soit

k

un entier tel que

- n ⩽ k ⩽ n

.
Q 36. Montrer que, si

n

k

ne sont pas de même parité, alors

ℙ(S_n = k) = 0

.
On rappelle que

(n/j)

désigne le coefficient binomial «

j

parmi

» n»

.
Q 37. Montrer que, si

n

k

sont de même parité,

ℙ(S_n = k) = (n/((k + n)/2))1/(2^n)

.
IV.B - Pour

x

réel, on note

⌊x⌋

la partie entière de

x

Q 38. Pour tous réels

δ > 0

τ > 0

, calculer

𝕍(δS_(⌊1/τ⌋))

, variance de la variable aléatoire

δS_(⌊1/τ⌋)

.
Q 39. Montrer que, pour tout réel

δ, 𝕍(δS_(⌊1/τ⌋))

est équivalent à

(δ^2)/τ

, lorsque

τ

tend vers 0 par valeurs supérieures.
Q 40. Pour tout

n \in ℕ^*

et tout

k \in ℤ

, en posant

p_n(k) = ℙ(S_n = k)

, montrer que

(p_(n + 1)(k) - p_n(k))/τ = (δ^2)/(2τ)(p_n(k + 1) - 2p_n(k) + p_n(k - 1))/(δ^2)

Q 41. En déduire une interprétation probabiliste de la condition de stabilité étudiée à la partie III.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet Centrale Maths 1 PC 2018 ?

Sur l'intégrabilité, les intégrales à paramètre et la convergence dominée, les séries entières, les fonctions de plusieurs variables, la diagonalisation et les lois de probabilité usuelles, autour de l'équation de diffusion.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Centrale Maths 1 PC 2018 ?

Une notion d'intégrabilité mal comprise, des dominations mal construites, une mauvaise gestion du module des nombres complexes et des résultats donnés recopiés sans justification.

Quelle partie du sujet Centrale Maths 1 PC 2018 relève du programme de première année ?

Selon le jury, la partie IV sur la marche aléatoire porte sur le programme de PCSI et ne présentait pas de réelle difficulté, sinon de rédaction.

Le sujet Centrale Maths 1 PC 2018 était-il difficile ?

Le jury le juge complet et dense, avec des difficultés graduelles. Il a révélé une très forte hétérogénéité des niveaux, mais plus d'un tiers des candidats ont produit un travail de qualité.

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Les erreurs les plus sanctionnées

Ce qui a été bien réussi

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Objectifs et notations

I Préliminaires

I.A - Quelques propriétés de g_σ

I.D -

II Équation de diffusion avec une condition initiale gaussienne

II.B -

II. C -

III Étude numérique

III.A -

IV Équation de diffusion et marche aléatoire

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet Centrale Maths 1 PC 2018 ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Centrale Maths 1 PC 2018 ?

Quelle partie du sujet Centrale Maths 1 PC 2018 relève du programme de première année ?

Le sujet Centrale Maths 1 PC 2018 était-il difficile ?

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I.A - Quelques propriétés de $g_σ$