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Centrale Mathématiques 1 PC 2020Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Étude des matrices symplectiques réelles
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Le problème définit et étudie les matrices symplectiques réelles, associées à une matrice antisymétrique de référence. Il commence par le cas des matrices de taille 2, avant de généraliser à la taille quelconque, d'établir une structure de groupe, puis d'aboutir à la réduction des matrices symétriques et antisymétriques symplectiques, chacune illustrée par une application numérique.

  1. 1I. Cas des matrices de taille 2x2Caractérisation des matrices symplectiques de taille 2 par leur déterminant, puis des cas orthogonal, symétrique et antisymétrique.
  2. 2II. Cas des matrices symplectiques et orthogonalesExtension à la taille quelconque du résultat trouvé en taille 2 sur les matrices à la fois symplectiques et orthogonales.
  3. 3III. Quelques généralités sur les matrices symplectiquesMise en évidence, sans la nommer, de la structure de groupe de l'ensemble des matrices symplectiques.
  4. 4IV. Réduction des matrices symétriques et symplectiquesRéduction des matrices à la fois symétriques et symplectiques de taille quelconque, avec une application numérique.
  5. 5V. Étude du cas des matrices antisymétriquesRéduction des matrices à la fois antisymétriques et symplectiques, avec une application numérique.

Difficile. Le rapport indique une moyenne de seulement 21,8 % du barème sur 3517 copies et qualifie explicitement le sujet de long, tout en soulignant qu'il a permis une bonne discrimination parmi les candidats.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 7,97 / 20 · écart-type 4,12 · 3 582 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
7,97/ 20
Écart-type
4,12
Présents
3 582
Coefficient
12
Durée
4 h
1er quartile
4,7
Médiane
7,1
3e quartile
10,5
moyenne 7,9705101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 27 juin 2020. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Divisions sans vérifier la non-nullité · Symbole d'équivalence mal justifié · Vecteurs propres utilisés sans vérifier leur non-nullité
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Le sujet, long, a été largement abordé mais peu approfondi, avec une moyenne de 21,8 % du barème et un écart-type de 12,7 %. La sélection des meilleurs candidats s'est faite surtout sur le soin apporté aux réponses plutôt que sur le volume traité, la rigueur logique et les vérifications de non-nullité étant les principaux facteurs de discrimination.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Divisions sans vérifier la non-nullitéQ3, Q16, Q19

    Aux questions Q3, Q16 et Q19, la plupart des candidats simplifient par des quantités abstraites sans justifier qu'elles sont non nulles.

    « Attention aux divisions par zéro »
  2. 2
    Symbole d'équivalence mal justifiéQ2, Q3

    L'écriture du symbole d'équivalence ne se fait que si les deux implications sont vérifiées, ce que moins de la moitié des candidats font avec soin.

    « moins de la moitié des candidats s'en préoccupent avec soin »
  3. 3
    Vecteurs propres utilisés sans vérifier leur non-nullitéQ19, Q27, Q29

    La notion de vecteur propre comporte une exigence de non-nullité, étonnamment peu vérifiée par les candidats alors qu'elle est indispensable pour conclure.

    « La notion de vecteur propre comporte une exigence de non-nullité, qui est étonnamment peu vérifiée par les candidats »
  4. 4
    Confusion inclusion et appartenance

    Le jury relève de nombreuses confusions entre le symbole d'inclusion et le symbole d'appartenance, et inversement.

    « On voit beaucoup le symbole d'inclusion à la place du symbole d'appartenance »
  5. 5
    Hypothèses non vérifiées avant d'invoquer un résultatQ4, Q28

    Comme en Q4, il ne faut pas négliger la moitié des hypothèses d'un résultat établi précédemment dans le sujet avant de l'invoquer.

    « il ne faut pas négliger la moitié des hypothèses lorsqu'on invoque un résultat précédemment établi dans le sujet »
  6. 6
    Vocabulaire à bannir : clairement, trivialement, évidemmentQ1, Q13

    Ces mots n'apportent rien au contenu mathématique et jouent en défaveur du candidat, surtout lorsqu'ils précèdent une erreur.

    « bannir de leur vocabulaire des mots comme « clairement », « trivialement », « évidemment »

Ce qui a été bien réussi

  • Les parties I et II ont été abordées par la quasi-totalité des candidats (plus de 99 %).
  • La notion de matrice symplectique, pourtant nouvelle, a été plutôt bien prise en charge par les candidats.
  • La question 7 sur l'application linéaire, très accessible, a été globalement bien traitée.

Conseils du jury

  • Toujours vérifier et justifier la non-nullité d'une quantité avant de diviser ou de simplifier par elle.
  • Ne pas se précipiter : il vaut mieux traiter moins de questions avec rigueur que beaucoup de manière incomplète.
  • Déclarer systématiquement les variables utilisées avant de les manipuler.
  • Utiliser la calculatrice pour les questions numériques, y compris pour déterminer valeurs et vecteurs propres.
  • Vérifier la totalité des hypothèses d'un résultat avant de l'invoquer.
  • Soigner la rédaction et la présentation de la copie, qui influencent l'impression du correcteur.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

Étude de certaines matrices symplectiques

L'objet du problème est de définir et étudier la notion de matrice symplectique, et d'établir des résultats de réduction dans certains cas particuliers.

Vocabulaire et notations

Dans tout le problème, n désigne un entier naturel non nul et J_n la matrice carrée de M_(2n)(ℝ) définie par blocs par
J_n = (0_(n, n), I_n; − I_n, 0_(n, n))
où 0_(n, n) est la matrice nulle à n lignes et n colonnes et I_n est la matrice identité de même taille.
Si p et q sont deux entiers naturels non nuls, la matrice transposée de toute matrice M de M_(p, q)(ℝ) est notée M^⊤.
On dit qu'une matrice M de M_(2n)(ℝ) est symplectique si et seulement si M^⊤J_n M = J_n. On désigne par Sp_(2n)(ℝ) l'ensemble des matrices symplectiques de taille 2n × 2n.
On note O_(2n)(ℝ) le groupe orthogonal de M_(2n)(ℝ), S_(2n)(ℝ) l'ensemble des matrices symétriques de M_(2n)(ℝ) et A_(2n)(ℝ) l'ensemble des matrices antisymétriques de M_(2n)(ℝ).
Soit E un ℝ-espace vectoriel. On appelle forme bilinéaire sur E toute application ψ définie sur E × E et à valeurs dans ℝ telle que pour tout Y ∈ E,
X ↦ ψ(X, Y) et X ↦ ψ(Y, X)
soient toutes les deux linéaires sur E.
Soit ψ une forme bilinéaire ; ψ est dite alternée si et seulement si, pour tout X ∈ E, ψ(X, X) = 0; ψ est dite antisymétrique si et seulement si, pour tout (X, Y) ∈ E^2, ψ(X, Y) = − ψ(Y, X).
Si i et j sont deux entiers naturels, on note δ_(i, j) le nombre qui vaut 1 si i = j et qui vaut 0 sinon.
On note e_i la matrice colonne élémentaire dont le seul coefficient non nul vaut 1 et est placé sur la ligne numéro i.
On munit M_(2n, 1)(ℝ) du produit scalaire canonique noté ⟨ ⋅, ⋅ ⟩ et de la norme euclidienne associée, notée ‖ ⋅ ‖. En identifiant M_1(ℝ) et ℝ, on a, pour tous X et Y dans M_(2n, 1)(ℝ),
⟨X, Y⟩ = X^⊤Y et ‖X‖^2 = X^⊤X
Si X ∈ M_(2n, 1)(ℝ), X^⊥ désigne l'orthogonal de X, c'est-à-dire l'ensemble des éléments Y de M_(2n, 1)(ℝ) tels que ⟨X, Y⟩ = 0. Si F est un sous-espace vectoriel de M_(2n, 1)(ℝ), F^⊥ désignera l'orthogonal de F, c'est-à-dire l'ensemble des éléments de M_(2n, 1)(ℝ) qui sont orthogonaux à tous les éléments de F.
Si A est une matrice de M_(2n)(ℝ), on notera sp_ℝ(A) l'ensemble des valeurs propres réelles de A.
Si A est une matrice de M_(2n)(ℝ) et λ est une de ses valeurs propres, on notera E_λ le sous-espace propre de A associé à la valeur propre λ.
Soit E in espace vectoriel et X_1, …, X_p des vecteurs de E. On note Vect(X_1, …, X_p) l'espace vectoriel engendré parX_1, …, X_p.
Soit A une matrice de M_(2n)(ℝ) et F une partie de M_(2n, 1)(ℝ). On dit que F est stable par A si et seulement si, pour tout X dans F, AX est un élément de F.

I Cas des matrices de taille 2 × 2

Q 1. Dans cette question uniquement, n est un entier naturel non nul quelconque. Déterminer J_n^2 et montrer que J_n ∈ Sp_(2n)(ℝ) ∩ A_(2n)(ℝ).
Dans la suite de cette partie, n = 1.
Q 2. Montrer qu'une matrice de taille 2 × 2 est symplectique si et seulement si son déterminant est égal à 1 .
Q 3. Soit M une matrice orthogonale de taille 2 × 2. On note M_1 = ((x_1)/(x_2)) et M_2 = ((y_1)/(y_2)) les deux colonnes de M. Montrer l'équivalence
M est symplectique ⟺ M_2 = − J_1 M_1.
Q 4. Soit X_1 ∈ M_(2, 1)(ℝ) de norme 1. Montrer que la matrice carrée constituée des colonnes X_1 et − J_1 X_1 est à la fois orthogonale et symplectique.
Q 5. Soit M une matrice de taille 2 × 2 symétrique et symplectique. Montrer que M est diagonalisable et que ses valeurs propres sont inverses l'une de l'autre. Montrer qu'il existe une matrice P à la fois orthogonale et symplectique telle que P^(− 1)MP soit diagonale.
Q 6. Déterminer les matrices de taille 2 × 2 à la fois antisymétriques et symplectiques et montrer qu'elles ne sont pas diagonalisables dans ℝ.

II Cas des matrices symplectiques et orthogonales

Soit K une matrice antisymétrique et φ l'application de (M_(2n, 1)(ℝ))^2 dans ℝ telle que
∀(X, Y) ∈ (M_(2n, 1)(ℝ))^2, φ(X, Y) = X^⊤KY.
(On identifie de nouveau M_1(ℝ) et ℝ.)
Q 7. Montrer que φ est une forme bilinéaire sur M_(2n, 1)(ℝ).
Q 8. En calculant de deux manières φ(X, X)^⊤, montrer que φ est alternée. Montrer de même que φ est antisymétrique.
Dans toute la suite du sujet, K = J_n.
Q 9. Pour tout X = (x_1; x_2; ⋮; x_(2n)) ∈ M_(2n, 1)(ℝ) et pour tout Y = (y_1; y_2; ⋮; y_(2n)) ∈ M_(2n, 1)(ℝ), montrer l'égalité
φ(X, Y) = ∑_(k = 1)^n(x_k y_(k + n) − x_(k + n)y_k).
Q 10. Montrer que pour tout (i, j) ∈ {1, …, 2n}^2, φ(e_i, e_j) = δ_(i + n, j) − δ_(i, j + n) (on pourra commencer par le cas où (i, j) ∈ {1, …, n}^2 puis généraliser).
Q 11. Montrer que pour tout X ∈ M_(2n, 1)(ℝ), J_n X ∈ X^⊥ et calculer φ(J_n X, X).
Q 12. Si Y ∈ M_(2n, 1)(ℝ), on note Y^(J_n) l'ensemble des vecteurs Z de M_(2n, 1)(ℝ) tels que φ(Y, Z) = 0. Montrer que X^(J_n) = (J_n X)^⊥.
Q 13. Soit P une matrice symplectique et orthogonale dont les colonnes sont notées X_1, …, X_(2n). Montrer que, pour tout (i, j) ∈ {1, …, 2n}^2,
{‖X_i‖ = 1; i ≠ j ⟹ X_i ⊥ X_j; φ(X_i, X_j) = δ_(i + n, j) − δ_(i, j + n)
Q 14. Sous les mêmes hypothèses, montrer que, pour tout i ∈ {1, …, n}, X_i^(J_n) = X_(i + n)^⊥.
Q 15. Sous les mêmes hypothèses, montrer que, pour tout i ∈ {1, …, n}, X_(i + n) = − J_n X_i.

III Quelques généralités sur les matrices symplectiques

Q 16. Montrer que le déterminant d'une matrice symplectique vaut soit 1 soit -1 .
Q 17. Montrer que l'inverse d'une matrice symplectique est une matrice symplectique.
Q 18. Montrer que le produit de deux matrices symplectiques est une matrice symplectique. L'ensemble Sp_(2n)(ℝ) est-il un sous-espace vectoriel de M_(2n)(ℝ) ?

IV Réduction des matrices symétriques et symplectiques

Le but de cette partie est de montrer que, si M ∈ S_(2n)(ℝ) ∩ Sp_(2n)(ℝ), il existe P ∈ O_(2n)(ℝ) ∩ Sp_(2n)(ℝ) tel que P^⊤MP est diagonale de coefficients diagonaux d_1, …, d_(2n) avec pour tout k ∈ {1, …, n}, d_(k + n) = 1/d_k.

IV.A - Propriété

Soit M ∈ S_(2n)(ℝ) ∩ Sp_(2n)(ℝ).
Q 19. Montrer que si λ est valeur propre de M, 1/λ est également valeur propre de M. Donner un vecteur propre associé.
Q 20. Soit λ ∈ sp_ℝ(M) et p = dimE_λ. Soit ( X_1, …, X_p ) une base de E_λ. Montrer que ( J_n X_1, …, J_n X_p ) est une base de E_(1/λ) et que
dim(E_λ) = dim(E_(1/λ)).
Q 21. Soient Y_1, …, Y_p des vecteurs de M_(2n, 1)(ℝ). Soit Y ∈ M_(2n, 1)(ℝ). Montrer l'implication
Y ∈ (Vect(Y_1, …, Y_p, J_n Y_1, …, J_n Y_p))^⊥ ⟹ J_n Y ∈ (Vect(Y_1, …, Y_p, Y, J_n Y_1, …, J_n Y_p))^⊥
Q 22. Dans cette question λ = 1. Montrer que E_1 est de dimension paire et qu'il existe une base de E_1 orthonormée de la forme ( X_1, …, X_p, J_n X_1, …, J_n X_p ) où 2p est la dimension de E_1.
Q 23. Qu'en est-il pour E_(− 1) ?
Q 24. Démontrer la propriété annoncée au début de la partie.

IV.B - Mise en application sur un exemple

Dans la fin de cette partie, on note A la matrice
A = 1/8(9, 1, 3, 3; 1, 9, 3, 3; 3, 3, 9, 1; 3, 3, 1, 9)
Q 25. Montrer que A ∈ S_4(ℝ) ∩ Sp_4(ℝ).
Q 26. Construire une matrice orthogonale et symplectique P telle que P^⊤AP soit diagonale.

V Étude du cas des matrices antisymétriques

V.A - Un peu de théorie

Soit M ∈ A_(2n)(ℝ) ∩ Sp_(2n)(ℝ). Soit m l'application linéaire canoniquement associée à M.
Q 27. Montrer l'égalité sp_ℝ(M) = ∅.
Q 28. Montrer qu'il existe P ∈ O_(2n)(ℝ) ∩ Sp_(2n)(ℝ) tel que P^⊤M^2 P soit diagonale de coefficients diagonaux d_1, …, d_(2n) avec pour tout k ∈ {1, …, n}, d_(k + n) = 1/d_k.
Dans toute la suite de cette sous-partie, X désigne un vecteur propre de M^2 de norme 1 associé à une certaine valeur propre λ.
Q 29. Montrer que MX, J_n X et J_n MX sont des vecteurs propres de M^2 et donner les valeurs propres associées à chacun de ces vecteurs.
Q 30. Dans cette question et dans la suite, on note F = Vect(X, MX, J_n X, J_n MX). Montrer que F est stable par M et par J_n.
Q 31. Montrer que toutes les valeurs propres de M^2 sont strictement négatives.
Q 32. Justifier que si λ ≠ − 1, F est un espace vectoriel de dimension 4. Montrer que, dans ce cas,
(X, (− 1)/(√(− λ))MX, − J_n X, 1/(√(− λ))J_n MX)
est une base orthonormée de F. Donner alors la matrice de l'application m_F induite par m sur F dans la base obtenue.
Q 33. Montrer que F^⊥ est stable par M et par J_n.
Q 34. Montrer qu'il existe un entier naturel non nul q et des sous-espaces vectoriels de M_(2n, 1)(ℝ), notés F_1, …, F_q tels que
(a) F_1 ⊕ ⋯ ⊕ F_q = M_(2n, 1)(ℝ);
(b) ∀i ∈ {1, …, q}, F_i est stable par M et par J_n;
(c) ∀i ∈ {1, …, q}, F_i^⊥ est stable par M et par J_n;
(d) ∀(i, j) ∈ {1, …, q}^2, i ≠ j ⟹ ∀(Y, Z) ∈ F_i × F_j, ⟨Y, Z⟩ = 0 = φ(Y, Z);
(e) ∀i ∈ {1, …, q}, dimF_i ∈ {2, 4};
(f) ∀i ∈ {1, …, q}, la matrice de l'application m_(F_i) induite par m sur F_i dans une certaine base est de la forme
J_1 ou (√(− λ)J_1, 0_(2, 2); 0_(2, 2), 1/(√(− λ))J_1)

V. B - Mise en application

Dans la fin de cette partie, on note B la matrice
B = 1/4(0, − 5, 0, − 3; 5, 0, 3, 0; 0, − 3, 0, − 5; 3, 0, 5, 0)
Q 35. Calculer B^2(1; 1; 1; 1).
Q 36. Déterminer un réel a et une matrice P tels que
P ∈ O_4(ℝ) ∩ Sp_4(ℝ) et P^⊤BP = (0, a, 0, 0; − a, 0, 0, 0; 0, 0, 0, 1/a; 0, 0, − 1/a, 0)

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet Mathématiques 1 Centrale PC 2020 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet Mathématiques 1 Centrale PC 2020 ?

Le sujet porte sur la réduction des endomorphismes, les matrices orthogonales et les espaces euclidiens, à travers l'étude des matrices symplectiques.

Quelle est la moyenne au sujet Mathématiques 1 Centrale PC 2020 ?

La moyenne constatée sur 3517 copies est de 21,8 % du barème, avec un écart-type de 12,7 %, ce qui en fait un sujet long.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur Mathématiques 1 Centrale PC 2020 ?

Des divisions sans vérifier la non-nullité, un maniement imprécis des équivalences, et des vecteurs propres utilisés sans vérifier qu'ils sont non nuls.

Le sujet Mathématiques 1 Centrale PC 2020 sur les matrices symplectiques est-il difficile ?

Oui, le rapport le qualifie explicitement de long et la moyenne n'est que de 21,8 % du barème, même s'il a bien discriminé les candidats.

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