Mines Mathématiques 1 PC 2020Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile

Espaces vectoriels d'endomorphismes nilpotents : théorème de Gerstenhaber

Le sujet démontre, sur R, qu'un sous-espace d'endomorphismes nilpotents de dimension maximale n(n-1)/2 est trigonalisable en matrices triangulaires supérieures strictes dans une base commune. Il enchaîne des généralités sur les nilpotents, une représentation des endomorphismes de rang 1 dans un espace euclidien, deux lemmes sur les traces, puis une démonstration par récurrence sur la dimension.

1Partie I : généralités sur les endomorphismes nilpotentsTrigonalisation sur C et trace des puissances, espace des triangulaires strictes, familles libres engendrées par les itérés et majoration du nilindice.
2Partie II : endomorphismes de rang 1 d'un espace euclidienReprésentation des formes linéaires par le produit scalaire, endomorphismes de la forme a ⊗ x et calcul de leur trace.
3Partie III : deux lemmesDéveloppement de (u + tv) puissance k, relations de trace entre éléments d'un sous-espace nilpotent et lemme sur le sous-espace engendré par les images.
4Partie IV : démonstration du théorème BRécurrence sur la dimension à l'aide d'une projection orthogonale sur un hyperplan, de calculs de dimensions et du théorème du rang.

Difficile. Le jury qualifie le sujet de très long et d'un niveau conceptuel élevé, avec un point de vue géométrique et de nombreuses notations à absorber, même s'il comporte des questions simples.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Combinaison linéaire de nilpotents · Concaténation de familles libres · Formes linéaires sur un espace euclidien

Le sujet mobilise une grande partie de l'algèbre de PCSI et PC (algèbre linéaire, espaces euclidiens, réduction). Les meilleurs candidats l'ont bien compris et l'étalonnage des notes est jugé satisfaisant. Le jury déplore toutefois beaucoup de copies presque vides ou superficielles, et des confusions fréquentes sur la nature des objets manipulés.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Combinaison linéaire de nilpotentsQ2, Q9
Affirmer qu'une combinaison linéaire d'endomorphismes nilpotents est nilpotente est faux ; l'erreur réapparaît à la question 9.
« On relève assez fréquemment l'erreur grossière suivante : une combinaison linéaire d'endomorphismes nilpotents est nilpotente. »
2
Concaténation de familles libresQ3
Deux familles libres mises bout à bout ne forment pas forcément une famille libre ; il fallait un argument géométrique.
« Un nombre non négligeable de candidats pense conclure en énonçant qu'une famille obtenue par concaténation de deux familles libres est libre »
3
Formes linéaires sur un espace euclidienQ5
La vérification de la linéarité, de l'injectivité puis l'argument de dimension sont rarement complets sur cette question de cours.
« Cette question très simple et très classique (représentation des formes linéaires sur un espace euclidien) donne des résultats décevants. »
4
Formule du binôme sans commutationQ8
u et v ne commutent pas a priori ; une récurrence sur k donnait l'existence et l'unicité demandait un argument sur les polynômes.
« Dans une écrasante majorité, les candidats répondent à cette question en utilisant la formule du binôme »
5
Théorème du rang non exploitéQ14
La formule de dimension de la partie IV reposait sur deux applications du théorème du rang ; beaucoup de solutions étaient fantaisistes.
« Cette question reposait sur deux applications successives du théorème du rang. Elle n'a été bien traitée que dans très peu de copies. »
6
Trace et termes diagonauxQ1
La nullité des coefficients diagonaux et l'invariance de la trace par similitude ont été mal justifiées.

Ce qui a été bien réussi

La première partie de la question 3, très classique, est souvent correctement traitée.
L'inégalité sur le nilindice et l'inclusion facile de la question 4 sont traitées dans beaucoup de copies.
Parmi ceux qui ont abordé la question 7, une partie significative a produit un argument satisfaisant.
La première partie de la question 10 est souvent traitée.

Conseils du jury

Apprendre le cours de manière réfléchie, en s'appuyant sur les intuitions géométriques de l'algèbre linéaire.
Avoir une idée claire du type de chaque objet : ne pas confondre scalaires, vecteurs et applications linéaires.
Bien traiter une partie des questions plutôt que de répondre à toutes sans contenu ; le bluff n'apporte aucun point.
Rédiger complètement les questions faciles du début et soigner la présentation.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Concours Centrale-Supélec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.

CONCOURS 2020

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve :

3

heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES I - PC
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Espaces vectoriels d'endomorphismes nilpotents

Dans tout le sujet, on considère des

R

-espaces vectoriels de dimension finie. Soit

E

un tel espace vectoriel et

u

un endomorphisme de

E

. On dit que

u

est nilpotent lorsqu'il existe un entier

p \geq 0

tel que

u^p = 0

; le plus petit de ces entiers est alors noté

ν(u)

et appelé nilindice de

u

, et l'on notera qu'alors

u^k = 0

pour tout entier

k \geq ν(u)

. On rappelle que

u^0 = id_E

. L'ensemble des endomorphismes nilpotents de

E

est noté

N(E)

: on prendra garde au fait qu'il ne s'agit a priori pas d'un sous-espace vectoriel de

L(E)

Un sous-espace vectoriel

V

L(E)

est dit nilpotent lorsque tous ses éléments sont nilpotents, autrement dit lorsque

V \subset N(E)

Une matrice triangulaire supérieure est dite stricte lorsque tous ses coefficients diagonaux sont nuls. On note

T_n^(+ +)(R)

l'ensemble des matrices triangulaires supérieures strictes de

M_n(R)

. On admet qu'il s'agit d'un sous-espace vectoriel de

M_n(R)

, de dimension

(n(n - 1))/2

Dans un sujet antérieur du concours (PSI Maths II 2016), le résultat suivant a été établi :

Théorème A .

Soit

E

R

-espace vectoriel de dimension

n > 0

, et

V

un sous-espace vectoriel nilpotent de

L(E)

. Alors,

dimV \leq (n(n - 1))/2

Le théorème

A

est ici considéré comme acquis. L'objectif du présent sujet est de déterminer les sous-espaces vectoriels nilpotents de

L(E)

dont la dimension est égale à

(n(n - 1))/2

. Plus précisément, on se propose d'établir le résultat suivant (Gerstenhaber, 1958) :

Théorème B .

Soit

E

R

-espace vectoriel de dimension

n > 0

, et

V

un sous-espace vectoriel nilpotent de

L(E)

de dimension

(n(n - 1))/2

. Il existe alors une base de

E

dans laquelle tout élément de

V

est représenté par une matrice triangulaire supérieure stricte.

Les trois premières parties du sujet sont largement indépendantes les unes des autres. La partie I est constituée de généralités sur les endomorphismes nilpotents. Dans la partie II, on met en évidence un mode de représentation des endomorphismes de rang 1 d'un espace euclidien. Dans la partie III, on établit deux résultats généraux sur les sous-espaces vectoriels nilpotents : une identité sur les traces (lemme

C)

, et une condition suffisante pour que les éléments d'un sous-espace nilpotent non nul possèdent un vecteur propre commun (lemme

D

). Dans l'ultime partie IV, les résultats des parties précédentes sont combinés pour établir le théorème

B

par récurrence sur la dimension de l'espace

E

I Généralités sur les endomorphismes nilpotents

Dans toute cette partie, on fixe un espace vectoriel réel

E

de dimension

n > 0

. Soit

u \in N(E)

. On choisit une matrice carrée

M

représentant l'endomorphisme

u

Démontrer que $M$ est semblable à une matrice complexe triangulaire supérieure, établir que les coefficients diagonaux de cette dernière sont nuls, et en déduire que $tru^k = 0$ pour tout $k \in N^*$ .

On fixe une base

B = (e_1, \dots, e_n)

E

. On note

N_B

l'ensemble des endomorphismes de

E

dont la matrice dans

B

est triangulaire supérieure stricte.
2. Justifier que

N_B

est un sous-espace vectoriel de

L(E)

de dimension

(n(n - 1))/2

, et mettre en évidence dans

N_B

un élément nilpotent de nilindice

n

. On pourra introduire l'endomorphisme

u

E

défini par

u(e_i) = e_(i - 1)

pour tout

i \in [ [2, n] ]

, et

u(e_1) = 0

.
3. Soit

u \in L(E)

. On se donne deux vecteurs

x

y

E

, ainsi que deux entiers

p \geq q \geq 1

tels que

u^p(x) = u^q(y) = 0, u^(p - 1)(x) \neq 0

u^(q - 1)(y) \neq 0

. Montrer que la famille

(x, u(x), \dots, u^(p - 1)(x))

est libre, et que si

(u^(p - 1)(x), u^(q - 1)(y))

est libre alors

(x, u(x), \dots, u^(p - 1)(x), y, u(y), \dots, u^(q - 1)(y))

est libre.
4. Soit

u \in N(E)

, de nilindice

p

. Déduire de la question précédente que

p \leq n

et que si

p \geq n - 1

p \geq 2

alors

Imu^(p - 1) = Imu \cap Keru

Imu^(p - 1)

est de dimension 1 .

II Endomorphismes de rang 1 d'un espace euclidien

On considère ici un espace vectoriel euclidien

(E, (- | -))

. Lorsque

a

désigne un vecteur de

E

, on note

φ_a : {E, ⟶ R; x, ⟼ (a|x).

Calculer la dimension de $L(E, R)$ en fonction de celle de $E$ . Montrer que $a \mapsto φ_a$ définit un isomorphisme de $E$ sur $L(E, R)$ .

Étant donné

a \in E

x \in E

, on notera désormais

a \otimes x

l'application de

E

dans lui-même définie par :

\forallz \in E, (a \otimes x)(z) = (a|z) \cdot x

On fixe $x \in E∖{0}$ . Montrer que l'application $a \in E \mapsto a \otimes x$ est linéaire et constitue une bijection de $E$ sur ${u \in L(E) : Imu \subset Vect(x)}$ .
Soit $a \in E$ et $x \in E∖{0}$ . Montrer que $tr(a \otimes x) = (a|x)$ .

III Deux lemmes

On considère ici un espace euclidien

(E, (- | -))

de dimension

n > 0

. On rappelle que l'on a démontré à la question 4 que le nilindice d'un élément de

N(E)

est toujours inférieur ou égal à

n

. Soit

V

un sous-espace vectoriel nilpotent de

L(E)

contenant un élément non nul. On note

p:=max_(u \in V)ν(u),

appelé nilindice générique de

V

. On a donc

p \geq 2

.
On introduit le sous-ensemble

V^∙

E

formé des vecteurs appartenant à au moins un des ensembles

Imu^(p - 1)

pour

u

dans

V

; on introduit de plus le sous-espace vectoriel engendré

K(V):=Vect(V^∙).

Enfin, étant donné

x \in E

, on pose

Vx:={v(x)|v \in V}.

L'objectif de cette partie est d'établir les deux résultats suivants :
Lemme C. Soit

u

v

dans

V

. Alors

tr(u^k v) = 0

pour tout entier naturel

k

.
Lemme D. Soit

x

dans

V^∙∖{0}

. Si

K(V) \subset Vect(x) + Vx

, alors

v(x) = 0

pour tout

v

dans

V

Dans les questions 8 à 11, on se donne deux éléments arbitraires

u

v

V

.
8. Soit

k \in N^*

. Montrer qu'il existe une unique famille

(f_0^((k)), \dots, f_k^((k)))

d'endomorphismes de

E

telle que

\forallt \in R, (u + tv)^k = \sum_(i = 0)^k t^i f_i^((k)).

Montrer en particulier que

f_0^((k)) = u^k

f_1^((k)) = \sum_(i = 0)^(k - 1)u^i vu^(k - 1 - i)

. Pour l'unicité, on pourra utiliser une représentation matricielle.
9. À l'aide de la question précédente, montrer que

\sum_(i = 0)^(p - 1)u^i vu^(p - 1 - i) = 0

.
10. Étant donné

k \in N

, donner une expression simplifiée de

tr(f_1^((k + 1)))

, et en déduire la validité du lemme

C

.
11. Soit

y \in E

. En considérant, pour un

a \in K(V)^⊥

quelconque, la fonction

t \in R \mapsto (a|(u + tv)^(p - 1)(y))

, démontrer que

f_1^((p - 1))(y) \in K(V)

. À l'aide d'une relation entre

u(f_1^((p - 1))(y))

v(u^(p - 1)(y))

, en déduire que

v(x) \in u(K(V))

pour tout

x \in Imu^(p - 1)

.
12. Soit

x ∈ V^∙∖{0}

tel que

K(V) \subset Vect(x) + Vx

. On choisit

u \in V

tel que

x \in Imu^(p - 1)

.
Étant donné

y \in K(V)

, montrer que pour tout

k \in N

il existe

y_k \in K(V)

λ_k \in R

tels que

y = λ_k x + u^k(y_k)

. En déduire que

K(V) \subset Vect(x)

puis que

v(x) = 0

pour tout

v \in V

IV Démonstration du théorème $B$

Dans cette ultime partie, nous démontrons le théorème

B

par récurrence sur l'entier

n

. Le cas

n = 1

est immédiat et nous le considérerons comme acquis. On se donne donc un entier naturel

n \geq 2

et on suppose que pour tout espace vectoriel réel

E^'

de dimension

n - 1

et tout sous-espace vectoriel nilpotent

V^'

L(E^')

, de dimension

((n - 1)(n - 2))/2

, il existe une base de

E^'

dans laquelle tout élément de

V^'

est représenté par une matrice triangulaire supérieure stricte.

On fixe un espace vectoriel réel

E

de dimension

n

, ainsi qu'un sous-espace vectoriel nilpotent

V

L(E)

, de dimension

(n(n - 1))/2

. On munit

E

d'un produit scalaire

(- | -)

, ce qui en fait un espace euclidien.

On considère, dans un premier temps, un vecteur arbitraire

x

E∖{0}

. On pose

H:=Vect(x)^⊥, Vx:={v(x)|v ∈ V} et W:={v ∈ V : v(x) = 0}

On note

π

la projection orthogonale de

E

sur

H

. Pour

u \in W

, on note

u¯

l'endomorphisme de

H

défini par

\forallz \in H, u¯(z) = π(u(z))

On considère enfin les ensembles

V^–:={u¯|u ∈ W} et Z:={u ∈ W : u¯ = 0}

Montrer que $Vx, W, V^-$ et $Z$ sont des sous-espaces vectoriels respectifs de $E$ , $V, L(H)$ et $V$ .
Montrer que

dimV = dim(Vx) + dimZ + dimV^-

Montrer qu'il existe un sous-espace vectoriel $L$ de $E$ tel que

Z = {a \otimes x|a \in L} et dimL = dimZ,

et montrer qu'alors

x \in L^⊥

.
16. En considérant

u

(a \otimes x)

pour

u \in V

a \in L

, déduire du lemme

C

que

Vx \subset L^⊥

, et que plus généralement

u^k(x) \in L^⊥

pour tout

k \in N

et tout

u \in V

.
17. Justifier que

λx \notin Vx

pour tout

λ \in R^*

, et déduire alors des deux questions précédentes que

dimVx + dimL \leq n - 1

Soit $u \in W$ . Montrer que $(u¯)^k(z) = π(u^k(z))$ pour tout $k \in N$ et tout $z \in H$ . En déduire que $V^-$ est un sous-espace vectoriel nilpotent de $L(H)$ .
Déduire des questions précédentes et du théorème $A$ que

dimV^- = ((n - 1)(n - 2))/2, dim(Vect(x) \oplus Vx) + dimL = n

L^⊥ = Vect(x) \oplus Vx

En déduire que

Vect(x) \oplus Vx

contient

v^k(x)

pour tout

v \in V

et tout

k \in N

.
20. En appliquant, entre autres, l'hypothèse de récurrence et la question 19, montrer que le nilindice générique de

V

est supérieur ou égal à

n - 1

, et que si en outre

Vx = {0}

alors il existe une base de

E

dans laquelle tout élément de

V

est représenté par une matrice triangulaire supérieure stricte.

Compte tenu du résultat de la question 20 , il ne nous reste plus qu'à établir que l'on peut choisir le vecteur

x

de telle sorte que

Vx = {0}

On choisit

x

dans

V^∙∖{0}

(l'ensemble

V^∙

a été défini dans la partie III). On note

p

le nilindice générique de

V

, et l'on fixe

u \in V

tel que

x \in Imu^(p - 1)

. On rappelle que

p \geq n - 1

d'après la question 20 .
21. Soit

v \in V

tel que

v(x) \neq 0

. Montrer que

Imv^(p - 1) \subset Vect(x) \oplus Vx

. On pourra utiliser les résultats des questions 4 et 19.
22. On suppose qu'il existe

v_0

dans

V

tel que

v_0(x) \neq 0

. Soit

v \in V

. En considérant

v + tv_0

pour

t

réel, montrer que

Imv^(p - 1) \subset Vect(x) \oplus Vx

.
On pourra s'inspirer de la méthode de la question 11.
23. Conclure.

Fin du problème

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Questions fréquentes

3 questions

Sur quels chapitres porte le sujet Mines Maths 1 PC 2020 ?

Sur l'algèbre de PCSI et PC : algèbre linéaire élémentaire, espaces euclidiens et réduction des endomorphismes, autour des sous-espaces d'endomorphismes nilpotents.

Le sujet Mines Maths 1 PC 2020 est-il difficile ?

Le jury le juge très long et d'un niveau conceptuel élevé, mais il contient des questions simples qui permettaient de montrer sa connaissance du cours.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Mines Maths 1 PC 2020 ?

Croire qu'une combinaison de nilpotents est nilpotente, utiliser la formule du binôme pour des endomorphismes qui ne commutent pas, et confondre scalaires, vecteurs et applications linéaires.

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CONCOURS 2020

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Espaces vectoriels d'endomorphismes nilpotents

Théorème A .

Théorème B .

I Généralités sur les endomorphismes nilpotents

II Endomorphismes de rang 1 d'un espace euclidien

III Deux lemmes

IV Démonstration du théorème B

Fin du problème

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet Mines Maths 1 PC 2020 ?

Le sujet Mines Maths 1 PC 2020 est-il difficile ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Mines Maths 1 PC 2020 ?

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IV Démonstration du théorème $B$