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Mines Mathématiques 1 PC 2021Sujet, corrigé et rapport du jury

Variables aléatoires entières symétriques à forte dispersion

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Variables aléatoires entières symétriques à forte dispersion et fonctions caractéristiques
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Le sujet étudie des variables aléatoires entières symétriques sans espérance finie, dont la queue de loi décroît comme α/n. Après des questions de cours et des calculs de sommes de séries trigonométriques, il établit un développement limité de la fonction caractéristique en 0, puis la convergence simple de la suite des fonctions caractéristiques des moyennes empiriques.

  1. 1Questions de cours et généralités sur les variables aléatoires (questions 1 à 5)Définition de l'espérance finie, cas d'une variable bornée, absence d'espérance sous la condition de dispersion, symétrie et égalité en loi.
  2. 2Deux sommes de séries (questions 6 à 13)Étude d'une fonction définie par une intégrale, formule de Taylor, intégrale à paramètre, jusqu'au calcul des sommes des séries de terme général cos(nθ)/n et sin(nθ)/n.
  3. 3Fonction caractéristique d'une variable aléatoire symétrique (questions 14 à 18)Définition, parité et continuité de la fonction caractéristique, sommation d'Abel puis développement limité en 0.
  4. 4Convergence simple des fonctions caractéristiques des moyennes empiriques (questions 19 à 22)Fonction caractéristique d'une somme de variables indépendantes, limite simple vers une exponentielle et question de la convergence uniforme.

Difficulté moyenne. Le jury qualifie le texte de bon niveau mais abordable, avec de nombreuses questions de difficulté moyenne, les meilleurs candidats ayant traité l'essentiel du sujet.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 7,59 / 20 · écart-type 4 · 3 353 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
7,59/ 20
Écart-type
4
Présents
3 353
Coefficient
4
Durée
3 h
moyenne 7,5905101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 26 avril 2021. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Définition incomplète de l'espérance · Confusion entre égalité en loi et égalité · Inégalités entre nombres complexes
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Le sujet mobilisait les probabilités et une large part de l'analyse (intégration, intégrales à paramètre, séries de fonctions). Il a bien classé les copies : les meilleurs candidats ont traité l'essentiel. Une part importante des copies montre toutefois un cours mal assimilé, notamment sur l'espérance et l'égalité en loi, et des difficultés de calcul.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Définition incomplète de l'espéranceQ1, Q2

    Beaucoup oublient que l'espérance n'est définie que sous une condition de convergence absolue. En question 2, une variable bornée est souvent confondue avec une variable ne prenant qu'un nombre fini de valeurs.

    « Beaucoup de candidats oublient que, pour définir l’espérance, une condition de convergence absolue est nécessaire. »
  2. 2
    Confusion entre égalité en loi et égalitéQ4, Q5

    Des candidats traitent deux variables de même loi comme égales, ce qui produit des relations fausses. En question 5, l'indépendance n'est pas utilisée pour comparer les lois des couples.

    « Beaucoup de candidats confondent égalité en loi et égalité »
  3. 3
    Inégalités entre nombres complexesQ6 à Q11

    Dans les questions 6 à 11, de nombreuses copies écrivent des inégalités portant sur des nombres complexes, ce qui n'a pas de sens.

    « Beaucoup de candidats écrivent des inégalités entre nombres complexes. »
  4. 4
    Interversion limite-intégrale sans justificationQ8

    La nécessité de permuter limite et intégrale est souvent repérée, mais la majoration ou le théorème de convergence utilisé est rarement complet.

  5. 5
    Mauvais usage de la formule de TaylorQ9

    Certaines copies invoquent la formule de Taylor-Young, inutilisable ici, ou affirment sans preuve que la fonction est somme de sa série de Taylor.

    « La locution « formule de Taylor » a posé problème. »
  6. 6
    Convergence normale non repéréeQ15, Q17

    La continuité de la fonction caractéristique et la première partie de la question 17 reposaient sur un argument de convergence normale, vu par une minorité de candidats.

Ce qui a été bien réussi

  • Les meilleurs candidats ont su traiter l'essentiel du sujet.
  • La question 11 (classe C1 d'une intégrale à paramètre) a été largement abordée, et une part significative des candidats vérifie correctement l'hypothèse de domination.
  • La question 13, de synthèse, a récompensé les candidats qui avaient compris la démarche de l'énoncé.

Conseils du jury

  • Apprendre le cours de manière réfléchie pour maîtriser en profondeur notions et théorèmes.
  • S'entraîner intensivement au calcul, en particulier à la manipulation des inégalités.
  • Bien traiter une partie des questions plutôt que produire un discours sans contenu : le bluff ne rapporte aucun point.
  • Rédiger complètement les questions faciles, surtout en début de problème.
  • Lire l'énoncé précisément et ne pas ajouter d'hypothèses superflues.
  • Soigner la présentation, utiliser une encre foncée et numéroter les copies de façon cohérente.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2021

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES I - PC

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Variables aléatoires entières symétriques à forte dispersion

Dans tout le sujet, on fixe un espace probabilisé ( Ω, A, P ) sur lequel toutes les variables aléatoires considérées sont définies. On utilisera systématiquement la locution « variable aléatoire » pour parler d'une variable aléatoire réelle discrète, et « variable aléatoire entière » pour parler d'une variable aléatoire à valeurs dans Z. On pourra noter
X(Ω) = {x_n, n ∈ I}
où I est un sous-ensemble fini ou dénombrable de N et x_n ∈ R pour tout n ∈ I.
Définition 1 (Dispersion d'ordre α ) On fixe un réel α > 0. Soit X : Ω → R une variable aléatoire. On dit que X vérifie la condition (D_α) - dite de dispersion d'ordre α - lorsque, quand n tend vers + ∞,
P(|X| ≥ n) = α/n + O(1/(n^2))
Définition 2 (Variables aléatoires symétriques) On dit que X est symétrique lorsque − X suit la même loi que X, autrement dit lorsque
∀x ∈ X(Ω), P(X = x) = P(X = − x)
On admet le principe de transfert de l'égalité en loi :
Théorème 1 Étant donné deux variables aléatoires X et Y prenant leurs valeurs dans un même ensemble E, ainsi qu'une application u : E → F, si X et Y suivent la même loi alors u(X) et u(Y) aussi.
Dans tout le sujet, on se donne une suite (X_n)_(n ≥ 1) de variables aléatoires entières, mutuellement indépendantes, toutes de même loi, symétriques, et vérifiant la condition (D_α). On admet que sous ces conditions la variable X_(n + 1) est indépendante de X_1 + ⋯ + X_n pour tout n ∈ N^∗.
On pose, pour tout n ∈ N^∗,
M_n:=1/n∑_(k = 1)^n X_k
appelée n-ième moyenne empirique des variables X_k. L'objectif du sujet est d'établir la convergence simple d'une suite de fonctions associées aux variables M_n.
Les trois premières parties du sujet sont totalement indépendantes les unes des autres.

Questions de cours

1▹ Soit X une variable aléatoire. Rappeler la définition de « X est d'espérance finie». Montrer alors que X est d'espérance finie si et seulement si |X| est d'espérance finie.
2▹ Soit X une variable aléatoire. Montrer que si X est bornée, autrement dit s'il existe un réel M ≥ 0 tel que P(|X| ≤ M) = 1, alors X est d'espérance finie.

Généralités sur les variables aléatoires

3▹ Soit X une variable aléatoire entière vérifiant (D_α). Montrer que X n'est pas d'espérance finie, et que X^2 non plus.
4▹ Soit X une variable aléatoire symétrique, et f : R → R une fonction impaire. Montrer que f(X) est symétrique et que si f(X) est d'espérance finie alors E(f(X)) = 0 .
5▹ Soit X et Y deux variables aléatoires symétriques indépendantes. En comparant la loi de ( − X, − Y ) à celle de ( X, Y ), démontrer que X + Y est symétrique.

Deux sommes de séries

On fixe ici un nombre complexe z tel que z ≠ 1 et |z| ≤ 1. On introduit la fonction
L : t ↦ ∫_0^t z/(1 − uz) du
6▹ Montrer que, sur le segment [0, 1], la fonction L est convenablement définie et de classe C^∞. Donner une expression simple de sa dérivée n-ième pour tout n ≥ 1.
7▹ Justifier que pour tout t ∈ ]0, 1], on a 1 − t ≤ |1 − tz|, et plus précisément encore que 1 − t < |1 − tz|.
8 - En déduire successivement que
∫_0^1|(1 − t)/(1 − tz)|^n dt ⟶ _(n → + ∞)0 et ∫_0^1(z^(n + 1)(1 − t)^n)/((1 − tz)^(n + 1)) dt ⟶ _(n → + ∞)0
9▹ En déduire, grâce à une formule de Taylor, que L(1) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)(z^n)/n.
10▹ Montrer que la fonction
γ : {R^2, ⟶ R; (t, u), ⟼ |1 + ue^(it)|
est continue. En déduire qu'il existe, pour tout a ∈ ]0, π[, un réel m_a > 0 tel que
∀(t, u) ∈ [ − a, a] × [0, 1], |1 + ue^(it)| ≥ m_a
11 - Montrer que la fonction
F : t ∈ ] − π, π[ ⟼ ∫_0^1(e^(it))/(1 + ue^(it)) du
est de classe C^1 et donner une expression de sa dérivée sous la forme d'une intégrale à paramètre.
12▹ Montrer que
∀t ∈ ] − π, π[, F^′(t) = − (tan(t/2))/2 + i/2
et en déduire la valeur de F(t) pour tout t ∈ ] − π, π[.
13▹ Soit θ ∈ ]0, 2π[. Déduire des questions précédentes que
∑_(n = 1)^(+ ∞)(cos(nθ))/n = − ln(2sinθ/2) et ∑_(n = 1)^(+ ∞)(sin(nθ))/n = (π − θ)/2.

Fonction caractéristique d'une variable aléatoire symétrique

On fixe dans cette partie une variable aléatoire symétrique X. On pose
Φ_X : {R, ⟶ R; t, ⟼ E(cos(tX)),
appelée fonction caractéristique de X.
14▹ Montrer que Φ_X est bien définie, paire et que ∀t ∈ R, |Φ_X(t)| ≤ 1.
15▹ En utilisant le théorème du transfert, montrer que Φ_X est continue.
Dans la suite de cette partie, on suppose que X est une variable aléatoire entière symétrique vérifiant la condition ( D_α ). Pour tout n ∈ N, on pose
R_n:=P(|X| ≥ n).
16▹ On fixe un réel t ∈ ]0, 2π[. Montrer successivement que
Φ_X(t) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)(R_n − R_(n + 1))cos(nt)
puis
Φ_X(t) = 1 + ∑_(n = 1)^(+ ∞)R_n[cos(nt) − cos((n − 1)t)].
On pourra établir au préalable la convergence de la série ∑_n R_n cos(nt).
17▹ Montrer qu'il existe un nombre réel C tel que
∑_(n = 1)^(+ ∞)(R_n − α/n)e^(int) ⟶ _(t → 0^+)C
et en déduire que, quand t tend vers 0^+,
∑_(n = 1)^(+ ∞)R_n cos(nt) = O(lnt) et ∑_(n = 1)^(+ ∞)R_n sin(nt) = (πα)/2 + o(1).
18▹ Conclure que, quand t tend vers 0^+,
Φ_X(t) = 1 − (πα)/2t + o(t)
La fonction Φ_X est-elle dérivable en 0 ?

Convergence simple de la suite des fonctions caractéristiques des variables M_n

19▹ Soit X et Y deux variables aléatoires symétriques indépendantes. Montrer que
∀t ∈ R, Φ_(X + Y)(t) = Φ_X(t)Φ_Y(t)
20▹ Démontrer que pour tout entier n ≥ 1, la variable M_n est symétrique et
∀t ∈ R, Φ_(M_n)(t) = (Φ_(X_1)(t/n))^n.
21▹ En déduire que pour tout réel t,
Φ_(M_n)(t) ⟶ _(n → + ∞)exp(− (πα|t|)/2).
22▹ La convergence établie à la question précédente est-elle uniforme sur R ?
À partir de là, des théorèmes d'analyse de Fourier permettraient de démontrer que la suite (M_n)_(n ≥ 1) converge en loi vers une variable de Cauchy de paramètre (πα)/2, ce qui signifie que pour tout segment [a, b]deR,
P(a ≤ M_n ≤ b) ⟶ _(n → + ∞)α/2∫_a^b(du)/(u^2 + (πα/2)^2).
Fin du problème
  1. Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés sous les termes de la licence Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de Modification 3.0 France.
    Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun Mines Ponts.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet Mines Maths 1 PC 2021 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet Mines Maths 1 PC 2021 ?

Il combine les variables aléatoires discrètes (espérance, indépendance, égalité en loi) et l'analyse : intégrales à paramètre, convergence dominée, séries et séries de fonctions, formule de Taylor.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Mines Maths 1 PC 2021 ?

La définition de l'espérance sans convergence absolue, la confusion entre égalité en loi et égalité, des inégalités écrites entre nombres complexes et des interversions limite-intégrale non justifiées.

Le sujet Mines Maths 1 PC 2021 est-il difficile ?

Le jury le juge de bon niveau mais abordable : il comporte beaucoup de questions de difficulté moyenne qui demandent surtout une connaissance correcte du cours et de la rigueur. Les questions 19 à 22 n'ont été que partiellement abordées, surtout par les meilleurs candidats.

Quels conseils le jury donne-t-il après Mines Maths 1 PC 2021 ?

Apprendre le cours de façon réfléchie, s'entraîner au calcul et aux inégalités, éviter le bluff et rédiger complètement les questions faciles.

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