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Mines Mathématiques 2 PC 2016Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Wronskien et problème de Waring pour les polynômes complexes
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Le sujet porte principalement sur l'algèbre linéaire, avec quelques éléments d'analyse. Il établit les propriétés du wronskien d'une famille de fonctions et le lien entre son annulation et le caractère lié de la famille, puis s'en sert pour étudier le plus petit nombre k(n) de puissances n-ièmes de polynômes complexes dont la somme vaut X : on montre que k(2) = 2 et que n < k(n)² - k(n) pour n ≥ 3.

  1. 1Partie A : propriétés élémentaires du wronskienDéterminant de Vandermonde, wronskien de fonctions monômes, effet d'une multiplication par une fonction et formule de réduction de la taille (questions 1 à 4).
  2. 2Partie B : annulation du wronskienWronskien d'une famille liée, réciproque sur un sous-intervalle, puis cas de fonctions développables en série entière (questions 5 à 12).
  3. 3Partie C : problème de Waring sur C[X]Opérateur de différence finie, majoration de k(n), calcul de k(2) puis minoration de k(n) par un argument de divisibilité et de degrés sur des wronskiens (questions 13 à 20).

Difficile. Le jury signale que dès la question 1 une bonne partie des candidats a calé, et que de nombreuses questions à partir de la question 7 n'ont été que très rarement réussies.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Multilinéarité du déterminant mal utilisée · Définition d'une famille liée ignorée · Démonstration élémentaire inachevée
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Le sujet mêlait algèbre linéaire et analyse. Le jury relève chez de nombreux candidats une maîtrise insuffisante des notions élémentaires : familles libres et liées, calcul matriciel, déterminants, calcul intégral. Les candidats qui ont suivi le fil conducteur du sujet et réutilisé correctement les questions précédentes ont été récompensés.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Multilinéarité du déterminant mal utiliséeQ3

    La multilinéarité et les opérations sur les lignes sont mal employées, jusqu'à des formules aberrantes sur les déterminants ; la formule de Leibniz était l'autre outil attendu.

    « Un bon nombre de candidats s’est égaré dans des énormités du type »
  2. 2
    Définition d'une famille liée ignoréeQ5

    Des vecteurs peuvent être liés sans que deux d'entre eux soient proportionnels.

    « un nombre non négligeable de candidats ignorait la définition d’une famille liée »
  3. 3
    Démonstration élémentaire inachevéeQ6

    Beaucoup obtiennent la bonne égalité mais ne reconnaissent pas la dérivée d'un quotient pour conclure.

    « Encore une question élémentaire qui a été étonnamment mal traitée. »
  4. 4
    Contre-exemple mal construitQ7

    Les exemples proposés sont souvent deux fonctions trivialement liées, sans tenir compte des contraintes issues de la question 6.

    « Les bonnes réponses ont été extrêmement rares »
  5. 5
    Citations vagues des questions précédentesQ10

    La dérivation terme à terme des séries entières et la gestion des restes demandaient de la rigueur ; renvoyer vaguement aux questions 1 et 2 ne rapporte rien.

    « Les correcteurs ont lu beaucoup de citations vagues des questions 1 et 2 qui ne pouvaient pas être prises en compte. »
  6. 6
    Résultats antérieurs non réutilisésQ16 à Q20

    La minimalité de k(n) et les questions 8 ou 12 étaient la clé de la fin du problème.

    « les résultats précédents (la Question 12 ou bien la Question 8) n’étant presque jamais utilisés. »

Ce qui a été bien réussi

  • La question 2, fondée sur la multilinéarité du déterminant, a été bien traitée par la majorité des candidats.
  • La question 5, très élémentaire, a été en général bien traitée.
  • La question 11 n'a pas suscité de difficultés.
  • La première partie de la question 16 a été bien traitée par la majorité.

Conseils du jury

  • Apprendre le cours en profondeur : familles libres et liées, calcul matriciel, déterminants, calcul intégral élémentaire.
  • Prendre le temps de saisir les objectifs et la cohérence du sujet avant de se lancer.
  • Ne pas se laisser déstabiliser par des notions connues présentées dans un cadre inhabituel.
  • S'appuyer explicitement et précisément sur les questions précédentes.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF
École des PONTS ParisTech, ISAE-SUPAERO, ENSTA ParisTech, TÉLÉCOM ParisTech, MINES ParisTech, MINES Saint-Étienne, MINES Nancy, TÉLÉCOM Bretagne, ENSAE ParisTech (Filière MP).

CONCOURS 2016

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

(Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage de l'ordinateur ou de la calculatrice est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : Concours Commun TPE/EIVP, Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle international).
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
Mathématiques II - PC
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
En 1770 Edward Waring, se basant sur des calculs empiriques, pose la conjecture suivante : pour un entier n naturel fixé, on peut exprimer tout entier naturel comme somme d'au plus g(n) puissances n-ièmes d'entiers naturels, g(n) ne dépendant que de n. Le cas n = 2 avait déjà été formulé par Fermat en 1640, Euler et Lagrange ont traité des cas particuliers et finalement en 1909 Hilbert a pu établir ce résultat (appelé parfois théorème de Hilbert-Waring).
On se propose ici de résoudre un problème analogue dans le cadre (algébrique) des polynômes à coefficients complexes. Plus précisément, on fixe un entier naturel n et on étudie les équations
X = f_1^n(X) + … + f_k^n(X)
les inconnues ( f_1, …, f_k ) étant dans C[X]. On s'intéresse particulièrement au plus petit entier k = k(n) pour lequel cette équation possède des solutions. L'objectif de ce problème est de prouver que k(2) = 2 et que pour n ≥ 3, on a l'inégalité
n < k^2(n) − k(n).
On considère dorénavant que n est un entier naturel supérieur ou égal à 2 .
Soient d_1, ⋯, d_n des nombres réels. On note
V(d_1, ⋯, d_n) = |1, 1, ⋯, 1; d_1, d_2, ⋯, d_n; ⋮, ⋮, ⋮; d_1^(n − 1), d_2^(n − 1), ⋯, d_n^(n − 1)|
le déterminant de Vandermonde de (d_1, ⋯, d_n). On rappelle que
V(d_1, ⋯, d_n) = ∏_(1 ≤ i < j ≤ n)(d_j − d_i)
Pour tout d ∈ R et k ≥ 1, on note
(d)_k = d(d − 1)⋯(d − k + 1),
et on introduit le déterminant
D(d_1, ⋯, d_n) = |1, 1, ⋯, 1; (d_1)_1, (d_2)_1, ⋯, (d_n)_1; ⋮, ⋮, ⋮; (d_1)_(n − 1), (d_2)_(n − 1), ⋯, (d_n)_(n − 1)|.

A Propriétés élémentaires du Wronskien

  1. Montrer que D(d_1, ⋯, d_n) = V(d_1, ⋯, d_n).
On fixe à présent un intervalle I = ]a, b[ de R avec − ∞ ≤ a ≤ b ≤ + ∞. Soient f_1, ⋯, f_n des fonctions de I dans R, ( n − 1 ) fois dérivables sur I; leur Wronskien W_n(f_1, ⋯, f_n) est la fonction définie sur I par
W_n(f_1, ⋯, f_n)(x) = det(f_1(x), f_2(x), ⋯, f_n(x); f_1^′(x), f_2^′(x), ⋯, f_n^′(x); ⋮, ⋮, ⋮; f_1^((n − 1))(x), f_2^((n − 1))(x), ⋯, f_n^((n − 1))(x))
  1. Montrer que le Wronskien des fonctions monômiales (x ↦ a_1 x^(d_1)), ⋯, (x ↦ a_n x^(d_n) ) est égal à
V(d_1, ⋯, d_n)x^(d_1 + ⋯ + d_n − (n/2))∏_(i = 1)^n a_i.
  1. Soit g une fonction ( n − 1 ) fois dérivable sur I, montrer que
W_n(f_1 g, f_2 g, ⋯, f_n g) = g^n W_n(f_1, ⋯, f_n)
  1. Pour f_1 ne s'annulant pas sur I, montrer que
W_n(f_1, ⋯, f_n) = f_1^n W_(n − 1)(((f_2)/(f_1))^′, ((f_3)/(f_1))^′, ⋯, ((f_n)/(f_1))^′)

B Annulation du wronskien

On note C^(n − 1)(I; R) l'espace vectoriel des fonctions ( n − 1 ) fois dérivables de I dans R.
5. Montrer que si f_1, ⋯, f_n forment une famille liée dans C^(n − 1)(I; R) alors W_n(f_1, ⋯, f_n) est identiquement nulle sur I.
6. Soit f_1 et f_2 deux éléments de C^(n − 1)(I; R). On suppose que W_2(f_1, f_2) = 0 sur I et que f_1 f_2 ne s'annule pas sur I. Montrer alors que f_1 et f_2 forment une famille liée de C^(n − 1)(I; R).
7. Donner un exemple de fonctions f_1, f_2 formant une famille libre dans C^(n − 1)(I; R) et telles que W_2(f_1, f_2) = 0.
8. En utilisant la question 4 montrer que si W_n(f_1, ⋯, f_n) est la fonction nulle sur I, alors il existe un sous-intervalle J ⊂ I, sur lequel les restrictions de f_1, ⋯, f_n à J forment une famille liée dans C^(n − 1)(J; R).
On suppose maintenant que 0 ∈ I, que les fonctions f_1, …, f_n sont développables en séries entières au voisinage de 0 , qu'elles coïncident avec leur développement sur I et qu'elles forment une famille libre de C^(n − 1)(I; R). On définit l'ordre d'une série entière non nulle ∑_(n ≥ 0)a_n x^n comme le plus petit entier naturel d tel que a_d ≠ 0.
9. Démontrer qu'il existe une matrice inversible A ∈ M_n(C) telle que
(f_1, …, f_n)A = (g_1, …, g_n)
où les g_1, …, g_n sont des fonctions développables en série entière non nulles dont les ordres d_1, …, d_n sont deux à deux distincts. On commencera d'abord par le cas n = 2.
On souhaite démontrer que pour ces fonctions (g_1, …, g_n), il existe un réel C ≠ 0 tel que
W_n(g_1, …, g_n)(x) = Cx^(d_1 + … + d_n − (n/2))(1 + o(1))
au voisinage de 0 .
10. Traiter le cas où pour tout i = 1, ⋯, n, on a d_i ≥ n − 1.
11. On choisit un entier a tel que pour tout i = 1, ⋯, n, on ait d_i + a ≥ n − 1. En utilisant la question 3 avec g(x) = x^a, montrer (1).
12. En déduire que W_n(f_1, ⋯, f_n) est non nulle au voisinage de 0 .

C Problème de Waring sur C[X]

Pour n fixé, on se propose d'étudier les équations
X = f_1^n(X) + ⋯ + f_k^n(X),
en les inconnues f_1(X), ⋯, f_k(X) ∈ C[X] et plus particulièrement le plus petit entier k pour lequel cette équation possède des solutions. On notera ce plus petit entier k(n). Si f appartient à C[X], on note
Δf(X) = f(X + 1) − f(X) et Δ^p f = Δ(Δ^(p − 1)f)
Lorsque cela est nécessaire, on identifie polynômes et fonctions polynomiales associées.
13. Montrer que Δ^(n − 1)(X^n) est de la forme aX + b avec a ≠ 0, et en déduire que l'ensemble des solutions de l'équation est non vide et que k(n) ≤ n.
On notera en particulier que k(n) est fini.
14. Montrer que tout g ∈ C[X] peut s'écrire sous la forme
g(X) = g_1^n(X) + ⋯ + g_(k(n))^n(X)
  1. Montrer que k(2) = 2.
Nous allons maintenant montrer que pour n ≥ 3, n < k^2(n) − k(n).
Soit X = f_1^n(X) + ⋯ + f_(k(n))^n(X) avec f_i ∈ C[X]. On considère les Wronskiens
Z_1 = W_(k(n))(f_1^n, ⋯, f_(k(n))^n) et Z_2 = W_(k(n))(X, f_2^n, ⋯, f_(k(n))^n).
  1. Montrer que Z_1 = Z_2 puis que Z_1 n'est pas le polynôme nul.
  2. Montrer que Z_1 est divisible par ∏_(i = 1)^(k(n))f_i^(n − k(n) + 1).
  3. Montrer que
degZ_2 ≤ 1 + n(∑_(i = 2)^(k(n))degf_i) − (k(n)(k(n) − 1))/2.
  1. Déduire des questions 17 et 18 que
ndegf_1 ≤ (k(n) − 1)∑_(i = 1)^(k(n))degf_i − (k(n)(k(n) − 1))/2 + 1.
  1. Montrer que n < k^2(n) − k(n).

Fin du problème

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet de maths 2 Mines PC 2016 ?
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Sur quoi porte le sujet de maths 2 Mines PC 2016 ?

Sur le wronskien d'une famille de fonctions et son application à un analogue du problème de Waring pour les polynômes à coefficients complexes.

Quels chapitres réviser pour le sujet Mines maths 2 PC 2016 ?

Principalement l'algèbre linéaire (déterminants, familles libres et liées), ainsi que les séries entières et les polynômes.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en maths 2 Mines PC 2016 ?

Des formules fausses sur les déterminants, une définition erronée des familles liées, des démonstrations élémentaires inachevées et des résultats intermédiaires non réutilisés.

Le sujet Mines maths 2 PC 2016 était-il difficile ?

Le rapport montre que dès la première question beaucoup de candidats ont bloqué, et que plusieurs questions n'ont presque jamais été réussies.

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