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Mines Physique 2 PC 2016Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté
  • Diffusion thermique (loi de Fourier, équation de la chaleur, terme source)
  • Ondes thermiques et relation de dispersion
  • Mécanique quantique : fonction d'onde, équation de Schrödinger, courant de probabilité
  • Effet tunnel
  • Électrostatique : interaction coulombienne
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Annales Mines PC PhysiqueMines PC 2016PC PhysiquePhysique 2016

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
De la physique dans le tunnel du Fréjus : diffusion thermique dans la roche et radioactivité alpha par effet tunnel
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Le sujet comporte deux parties totalement indépendantes, pour 34 questions. La première étudie la température dans le sol et sous le Fréjus par l'équation de la diffusion thermique, d'abord sans puis avec source radioactive, puis en tenant compte du relief. La seconde construit la description quantique d'une particule libre, établit l'effet tunnel à travers une barrière rectangulaire et l'applique à la radioactivité alpha.

  1. 1Partie I.A : évolutions saisonnières de la température dans le solLoi de Fourier, bilan thermique sur une tranche mésoscopique, onde thermique amortie et profondeur de pénétration des oscillations annuelles.
  2. 2Partie I.B : température d'origine géophysiqueBilan en régime stationnaire avec un terme source volumique dû à la radioactivité des roches et calcul de la température au centre du tunnel.
  3. 3Partie I.C : prise en compte du reliefTempérature dépendant de deux variables d'espace, séparation des variables et effet d'une surface ondulée.
  4. 4Partie II.A : le quanton librePostulat de Born, courant de probabilité, équation de Schrödinger indépendante du temps et relation de De Broglie.
  5. 5Partie II.B : effet tunnelSolutions dans les trois régions d'une barrière rectangulaire, conditions de continuité, coefficients de réflexion et de transmission, cas de la barrière épaisse.
  6. 6Partie II.C : radioactivité alphaBarrière coulombienne du noyau, découpage en barrières élémentaires, temps entre deux rebonds et comparaison à des mesures.

Difficulté moyenne. Le jury juge l'épreuve bien dimensionnée en longueur comme en difficulté, avec une bonne répartition entre questions simples et plus difficiles, et de nombreux candidats ont abordé plus de 75 % des questions.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Définir le niveau mésoscopique de façon vague · Terme source mal interprété · Équations différentielles élémentaires mal résolues
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Le sujet, de longueur raisonnable et proche du cours, a permis de classer correctement les candidats. Quatre questions étaient mal posées (2, 9, 15 et 27) et la correction en a tenu compte. Le jury se dit déçu par les applications numériques, qu'il attribue surtout à un manque d'attention aux unités.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Définir le niveau mésoscopique de façon vagueQ5

    Situer simplement l'échelle mésoscopique entre microscopique et macroscopique n'a pas rapporté de points ; il fallait en expliquer la raison d'être.

    « Les réponses qui se contentaient de situer le niveau mésoscopique entre le niveau microscopique et le niveau macroscopique n'ont pas été prise en compte. »
  2. 2
    Terme source mal interprétéQ11 à Q14

    La puissance volumique produite par la radioactivité a souvent été traitée comme une puissance surfacique, et le flux venant du manteau a été ajouté au bilan au lieu d'être une condition aux limites.

    « Il y a eu clairement confusion entre une densité de transfert thermique existant dans toute la croûte terrestre et une condition aux limites »
  3. 3
    Équations différentielles élémentaires mal résoluesQ15, Q21, Q25, Q26

    Séparation des variables mal maîtrisée, solutions harmoniques ou exponentielles réelles manquées dans les différentes régions de la barrière.

  4. 4
    Confusion avec le puits infiniQ27

    Certains annulent la fonction d'onde aux bords de la barrière au lieu d'écrire les conditions de continuité.

    « certains candidats annulent la fonction d'onde en x=0 et x=a comme si l'on se trouvait dans le cas d'un puits de potentiel infini. »
  5. 5
    Barrière épaisse mal caractériséeQ29

    Les applications numériques ont été très faibles et le caractère épais a été justifié par T très petit au lieu de qa très grand.

    « Pour justifier le caractère épais de la barrière de potentiel, de nombreux candidats se contentent de dire que T<<1 au lieu de dire que qa>>1. »
  6. 6
    Constante de l'interaction coulombienneQ30

    L'expression de K, produit de deux charges, était souvent fausse et faussait toute la suite de la question.

    « Il s'agit d'une expression très classique que les candidats devraient connaître. »

Ce qui a été bien réussi

  • Les questions 2 à 7 sur la loi de Fourier et le bilan thermique ont été bien réussies dans l'ensemble.
  • La question 8 sur la solution ondulatoire est bien réussie, malgré des erreurs de signe.
  • Les questions 18 et 19 sur la fonction d'onde ont été très bien réussies, et la relation de De Broglie est bien connue.
  • Les conditions de continuité de la question 27 sont très souvent bien proposées et justifiées.

Conseils du jury

  • Gagner en assurance dans la résolution des équations différentielles établies au fil de l'épreuve.
  • Ne pas négliger les applications numériques et vérifier les unités.
  • Distinguer terme source volumique, flux et condition aux limites dans un bilan thermique.
  • Exploiter les courbes fournies en calculant effectivement les pentes.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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École des PONTS ParisTech, ISAE-SUPAERO, ENSTA ParisTech, TÉLÉCOM ParisTech, MINES ParisTech, MINES Saint-Étienne, MINES Nancy, TÉLÉCOM Bretagne, ENSAE ParisTech (Filière MP).
CONCOURS 2016

SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE

(Durée de l'épreuve : 4 heures)
L'usage de la calculatrice est autorisé.
Sujet mis à la disposition des concours :
Concours Commun TPE/EIVP, Concours Mines-Télécom, Concours
Centrale-Supélec (Cycle international).
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

PHYSIQUE II - PC

L'énoncé de cette épreuve comporte 7 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

De la physique dans le tunnel de Fréjus

Ce sujet comporte deux parties indépendantes qui s'intéressent à divers aspects de la physique dans le tunnel de Fréjus. A l'exception de i tel que i^2 = − 1, les nombres complexes sont soulignés. La notation z¯_– désigne le nombre complexe conjugué de z_–. Les vecteurs seront traditionnellement surmontés d'une flèche, par exemple j⃗ pour un flux surfacique; sauf s'ils sont unitaires et seront alors surmontés d'un chapeau, par exemple eˆ_z tel que ‖eˆ_z‖ = 1. Pour les applications numériques on utilisera 3 chiffres significatifs.

I. - Température dans le tunnel de Fréjus

Le tunnel routier du Fréjus relie la vallée de l'Arc, en France, au val de Suse, en Italie. Long d'environ 13 km , le tunnel passe sous le col du Fréjus dans les Alpes cottiennes. La pointe Fréjus culmine à une altitude de 2934 m .
Figure 1 - Tunnel de Fréjus
La roche environnante dans le tunnel a une température constante tout au long de l'année d'environ 30^∘C. Dans un premier temps nous étudierons les évolutions saisonnières de la température dans le sol. Puis nous tenterons d'expliquer cette température élevée par un modèle géophysique.
Figure 2 - Sol

I.A. - Évolutions saisonnières de la température dans le sol

On se place au sommet de la pointe Fréjus à une altitude de 2934 m . On assimile la roche à un milieu semi-infini de conductivité thermique κ, de masse volumique ρ_s et de capacité thermique massique c_s. Sa surface est plane et horizontale et est soumise à la variation de température extérieure T(z = 0, t) = θ_0 + T_0 cos(ωt) avec θ_0 = 0^∘C. (Voir figure 2).
  • 1 - Calculer la moyenne temporelle de la température extérieure en z = 0. Calculer la température maximale et minimale. Proposer une valeur numérique pour T_0 pour les évolutions annuelles de température.
  • 2 - Le flux thermique élémentaire, défini comme la quantité d'énergie traversant une surface élémentaire dS pendant dt, est noté dφ_Q. Rappeler la définition du vecteur j⃗_Q, densité de flux thermique. Quelle est sa dimension?
  • 3 - Rappeler la loi de Fourier, ainsi que ses conditions d'application. En déduire les dimensions de la conductivité thermique κ.
  • 4 - On étudie une tranche mésoscopique de sol comprise entre z et z + dz de surface S. Quelle est l'énergie thermique δQ reçue par cette tranche entre t et t + dt ?
  • 5 - Pourquoi étudie-t-on une tranche ≪ mésoscopique ≫ ?
  • 6 - Établir l'expression de sa variation d'énergie interne dU en fonction de (∂j_Q)/(∂z) et S puis en fonction de ρ_s, c_s, S et (∂T)/(∂t).
    7- En déduire l'équation de la chaleur à une dimension (∂T(z, t))/(∂t) = D(∂^2 T(z, t))/(∂z^2) dans laquelle on précisera l'expression et la dimension du coefficient D de diffusion thermique.
On cherche des solutions de la forme T_–(z, t) = θ_0 + T_0 e^(i(ωt − k_–z)) vérifiant la condition aux limites T(z = 0, t) = θ_0 + T_0 cos(ωt).
  • 8 - Interpréter cette forme de solution. Déterminer la relation de dispersion correspondante. En déduire l'expression de k_– qu'on mettra sous la forme k_– = k^′ + ik^(′′) avec k^′ > 0. Quelle est la signification physique de k^′ et k^(′′). Déterminer l'expression correspondante de la solution réelle T(z, t).
  • 9 - Calculer la profondeur z_e à partir de laquelle les oscillations annuelles de température ne s'écartent pas de θ_0 de plus de 1%. Que peut-on dire de la température dans le tunnel routier de Fréjus? Pour les roches granitiques constituant le Fréjus on donne ρ_s = 2, 65 × 10^3 kg ⋅ m^(− 3), c_s = 8, 50 × 10^3 J ⋅ K^(− 1) ⋅ kg^(− 1) et κ = 3, 00 SI.
  • 10 - Que peut-on dire des variations quotidiennes de la température à la profondeur z_e ? En terme de filtrage fréquentiel, comment se comporte le sol?

I.B. - Température d'origine géophysique

La température moyenne de 30^∘C relevée dans le tunnel de Fréjus peut être expliquée par un modèle géothermique simple de la croûte terrestre. On considère qu'au niveau des Alpes, l'épaisseur de la croûte terrestre continentale est L_c = 45, 0 km. Les roches granitiques qui constituent une partie des Alpes contiennent des éléments radioactifs comme l'uranium, le thorium et le potassium. La chaleur produite par ces éléments radioactifs est directement proportionnelle à leur concentration.
Dans les modèles couramment utilisés cette concentration décroît exponentiellement avec la profondeur, de sorte que la puissance volumique dégagée peut s'écrire P = P_0 e^(− z/H) avec H = 10, 0 km. On prendra P_0 = 2, 50μ W ⋅ m^(− 3). La croûte terrestre repose sur le manteau terrestre, à la fois plus dense et plus chaud que la croûte. On admet enfin qu'au niveau de l'interface I_(c/m) entre la croûte et le manteau ce dernier génère un flux surfacique constant j⃗_m = − j_m eˆ_z avec j_m = 35, 0 mW ⋅ m^(− 2).
Figure 3 - Modèle géophysique
  • 11 - Effectuer, en régime stationnaire, le bilan thermique dans une tranche de croûte terrestre de surface S, comprise entre z et z + dz.
  • 12 - En déduire la température T(z) en fonction de : H, L_c, P, j_m, κ et θ_0 = 0^∘C la température moyenne de surface en z = 0.
  • 13 - Exprimer le flux thermique total j⃗_S = j_S eˆ_z au niveau de la surface en z = 0.
  • 14 - Comparer les deux termes proportionnels à z et simplifier l'expression de T(z). Calculer la température au centre du tunnel de Fréjus ( z = 1, 70 km ) puis j_S.

I.C. - Prise en compte du relief

On suppose maintenant que la température à la surface plane z = 0 possède une dépendance spatiale en x que l'on modélise par la relation T(x, z = 0) = T_s + T_1 cos((2πx)/λ). Pour étudier l'effet du relief sur la température dans le tunnel de Fréjus on prendra λ = 10, 0 km.
◻15 - On suppose pour cette question qu'il n'y a pas de source d'énergie thermique dans la roche. Donner sans démonstration l'équation différentielle satisfaite par T(x, z) en régime stationnaire. En utilisant la méthode de séparation des variables, déterminer la solution T(x, z) qui respecte la condition aux limites T(x, z = 0) et qui demeure finie lorsque z → + ∞. Justifier la prise en compte des effets de la variation spatiale de la température.
  • 16 - Toujours pour une surface plane d'équation z = 0, en utilisant la linéarité de l'équation satisfaite par la température, déterminer T(x, z) en considérant les sources internes d'énergie thermique.
  • 17 - On considère ici que la topographie de la surface peut être représentée par l'équation h(x) = h_0 cos((2πx)/λ). La température de la surface T_s = T(x, z = h) sera prise égale à celle de l'air ambiant et sera modélisée par T_s = θ_0 + βz. En effectuant un développement limité en z à l'ordre 1 , exprimer la température T(x, z = 0) en fonction de h, T(x, z = h) et ((∂T)/(∂z))_(z = 0). Déterminer ((∂T)/(∂z))_(z = 0) en fonction notamment du flux d'énergie thermique à la surface j_S. En déduire que que l'on peut écrire
T(x, z) = θ_0 + c_1 z + c_2(1 − e^(− z/H)) + c_3 h_0 cos((2πx)/λ)e^(− z/δ)
où l'on précisera l'expression des constantes c_1, c_2, c_3 et δ en fonction des données du problème.

FIN DE LA PARTIE I

II. - Radioactivité α et effet tunnel

Le tunnel de Fréjus abrite le Laboratoire Souterrain de Modane (LSM), sous 1700 mètres de roche. Unité mixte du CNRS et du CEA, le LSM est en fonctionnement depuis 1982. Le LSM est un site scientifique exceptionnel protégé des rayons cosmiques, où ont lieu des recherches sur le neutrino, la matière noire ainsi que des mesures de faibles radioactivités et leurs applications aux études sur l'environnement et aux datations. Le LSM est entre autres spécialisé dans la spectrométrie γ. Le rayonnement γ, qui suit généralement une émission α ou β, est issu du noyau de l'atome et correspond à une désexcitation de ce dernier. En effet, après une désintégration α ou β, le nouveau noyau n'est pas toujours dans un état d'équilibre énergétique : il possède encore << un trop plein d'énergie >>, on dit qu'il est excité. Pour se débarrasser de cet excédent, il va émettre un ou plusieurs rayonnements γ d'énergie déterminée et caractéristique du noyau et donc de l'atome en présence. Nous allons dans cette partie nous intéresser plus particulièrement à la radioactivité α.

II.A. - Le quanton libre

  • 18 - Une particule quantique (quanton) est localisée sur un axe ( O, uˆ_x ). L'état quantique de cette particule est caractérisé par une fonction d'onde : Ψ_–(x, t). Rappeler le postulat de Born donnant la probabilité dP que la particule se trouve dans l'intervalle [x, x + dx] à l'instant t. En déduire la dimension de Ψ(x, t).
  • 19 - Interpréter la propriété ∫_(− ∞)^(+ ∞)|Ψ_–(x, t)|^2 dx = 1.
  • 20 - Quelle est la signification physique de ρ = |Ψ_–(x, t)|^2 ? En associant la probabilité de présence à un «c courant de probabilité >> donner sans démonstration l'équation de conservation de la probabilité de présence. On fera apparaître un vecteur j⃗ appelé vecteur densité de courant de probabilité. Une analyse non demandée montre que dans le cas mono-dimensionnel
j⃗ = (iℏ)/(2m)(Ψ_–(∂Ψ¯)/(∂x) − Ψ¯_–(∂Ψ_–)/(∂x))uˆ_x
Lorsque la particule possède une énergie potentielle V(x), la fonction Ψ_–(x, t) est solution de l'équation de Schrödinger non relativiste
− (ℏ^2)/(2m)(∂^2 Ψ_–(x, t))/(∂x^2) + V(x)Ψ_–(x, t) = iℏ(∂Ψ_–(x, t))/(∂t)
avec ℏ = h/(2π) = 1, 05 × 10^(− 34) J ⋅ s.
  • 21 - Rappeler ce qu'on entend par particule non relativiste. On cherche des états d'énergie stationnaire E de la forme Ψ_–(x, t) = φ_–(x) × f_–(t). Déterminer l'équation de Schrödinger indépendante du temps vérifiée par φ_–(x) et la forme générale de Ψ_–(x, t) en fonction notamment de φ_–(x) et E. Que peut-on dire de la probabilité de présence dP ?
    On définit une particule libre comme une particule de masse m, d'impulsion p⃗ et d'énergie E = (p⃗^2)/(2m) > 0 évoluant dans une région d'énergie potentielle V(x) nulle.
  • 22 - Déterminer la solution générale de l'équation de Schrödinger indépendante du temps pour une particule libre. Montrer que sa fonction d'onde Ψ_–(x, t) est la somme de deux ondes planes se propageant en sens inverse.
  • 23 - Définir le vecteur d'onde k⃗ que l'on peut associer à cette particule. Déterminer la relation entre p⃗ et k⃗. Comment s'appelle cette relation?

II.B. - Effet tunnel

Le quanton d'énergie E arrive d'une région I définie par x < 0 et dans laquelle son énergie potentielle est V(x) = 0. Il est susceptible également de se trouver soit dans une région II telle que 0 < x < a où règne une énergie potentielle V(x) = V_0 ou bien dans une région III définie par x > a, dans laquelle V(x) = 0 . On supposera que 0 < E < V_0 et l'on cherche des états stationnaires d'énergie
Figure 4 - Marche d'énergie potentielle
  • 24 - Rappeler brièvement ce que serait le comportement de ce quanton s'il était régi par la mécanique classique.
  • 25 - Déterminer la forme générale de la solution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps dans la région I et III. On ne cherchera pas à déterminer les 2 constantes d'intégration qui apparaissent dans la région I ni celle qui apparaît dans la région III.
  • 26 - Déterminer la forme générale de la solution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps dans la région II. On posera q = √((2m(V_0 − E))/(ℏ^2)). Cette solution fait apparaître 2 constantes d'intégration que l'on ne cherchera pas à déterminer.
  • 27 - Énoncer les propriétés générales de la fonction d'onde en x = 0 et x = a permettant d'écrire un système de 4 équations dont les 5 inconnues sont les constantes d'intégration des questions 25 et 26 . On ne cherchera pas à résoudre ce système. Quelle dernière hypothèse permet de définir complètement la fonction d'onde en tout point x ?
  • 28 - En utilisant l'équation (1) déterminer les courants de probabilité dans les régions I et III en fonction des constantes d'intégrations de la question 25. Comment peut-on interpréter ces deux courants? En déduire les coefficients de réflexion R et de transmission T caractérisant cette barrière d'énergie potentielle en fonction de ces mêmes constantes.
    Un calcul non demandé permet d'obtenir
T = 1/(1 + (V_0^2)/(4E(V_0 − E))sh^2(qa))
  • 29 - On considère que le quanton est un électron de masse m_e = 9, 11 × 10^(− 31) kg et d'énergie E = 1, 00eV évoluant dans le potentiel décrit sur la figure 4 avec V_0 = 2, 00eV. Dresser un tableau des valeurs de qa et T pour a = 0, 50 nm; 1, 00 nm et 2, 00 nm. Définir ce que l'on appelle une barrière d'énergie potentielle épaisse et montrer que dans ce cas T ≃ T_0(E, V_0)e^(− 2qa) où l'on précisera l'expression de T_0(E, V_0). En étudiant les variations de T_0(E, V_0) pour 0 < E < V_0, déduire que pour une barrière épaisse, l'on peut écrire ln(T) ≈ − 2qa.

II.C. - Radioactivité α

La radioactivité α est l'émission de noyaux d'hélium 4, appelés particules α, par des noyaux atomiques lourds (généralement tels que Z > 82 ), selon la réaction
_Z^A X → _2^4 He + _(Z − 2)^(A − 4)Y
dans laquelle A représente le nombre de nucléons (protons et neutrons) et Z le nombre de protons du noyau X. George Gamow fut le premier en 1928 à interpréter la radioactivité α grâce à l'effet tunnel. Il considéra que le noyau X était constitué au préalable de la particule α et du noyau Y. L'énergie potentielle V(x) d'interaction entre ces deux particules est une fonction de la distance x qui les sépare dont
Figure 5 - Allure de l'énergie de potentielle
  • pour des grandes valeurs de x, cette énergie potentielle correspond à la répulsion électrostatique, et présente donc un profil coulombien de la forme K/(4πε_0 x)
  • pour x < x_0, les interactions nucléaires attractives interviennent et l'énergie potentielle est un puits très profond.
  • pour l'uranium 238: Z = 92 et x_0 = 3, 50 × 10^(− 15) m. La mesure de l'énergie E des particules α émises par ce noyau donne une valeur proche de 4, 00MeV.
  • 30 - Déterminer l'expression de la constante K en fonction de Z et de la charge élémentaire e = 1, 61 × 10^(− 19)C. En déduire la hauteur V_0 de la barrière d'énergie potentielle à franchir. Calculer la distance x_m à laquelle l'énergie potentielle coulombienne est égale à E. Donner un ordre de grandeur de la largeur de la barrière d'énergie potentielle à franchir. Peut-on considérer que la barrière est épaisse? On donne la masse de la particule α, m_α = 6, 64 × 10^(− 27) kg et on rappelle que 1/(4πε_0) = 8, 98 × 10^9 SI.
Etant donné que la barrière d'énergie potentielle n'a pas la forme simple de celle étudiée dans la section II.B, on ne peut donc plus utiliser directement l'approximation de T obtenue à la question 29. Pour x > x_0, on peut cependant approcher la fonction V(x) par une succession de barrières rectangulaires de hauteur V(x) et de largeur dx
Figure 6 - Approximation de la barrière.
  • 31 - En généralisant le résultat obtenu pour T en fonction de T_0, déterminer T(x + dx) en fonction de T(x), q et dx. En considérant, pour simplifier la suite du calcul, que qdx≪1, établir la relation
ln(T) ≈ − 2/ℏ∫_(x_0)^(x_m)√(2m_α(K/(4πε_0 x) − E))dx
  • 32 - On admettra que
∫_(x_0)^(x_m)√((x_m)/x − 1)dx ≈ x_m(π/2 − 2√((x_0)/(x_m)))
En déduire la loi de Gamow-Condon-Gurney, valable pour (x_0)/(x_m)≪1 :
ln(T) = a − b/(√E)
Dans laquelle on exprimera a et b en fonction des données du problème.
  • 33 - En considérant que la particule fait des aller-retour dans une région d'extension 2x_0 et que l'on peut obtenir un ordre de grandeur de la vitesse de la parti-
Figure 7 - Loi de Geiger-Nuttall
  • 34 - Comparer les résultats précédents à ceux que l'on peut déduire des mesures rassemblées sur la figure 7 .

FIN DE LA PARTIE II

FIN DE L'ÉPREUVE

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet Mines Physique 2 PC 2016 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet Mines Physique 2 PC 2016 ?

La première partie porte sur la diffusion thermique avec et sans terme source ; la seconde sur la mécanique quantique, l'effet tunnel et son application à la radioactivité alpha.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Mines Physique 2 PC 2016 ?

Des applications numériques fausses faute d'attention aux unités, une confusion entre puissance volumique et surfacique, des équations différentielles simples mal résolues et des conditions aux limites de puits infini appliquées à tort.

Le sujet Mines Physique 2 PC 2016 comporte-t-il des questions mal posées ?

Oui. Le jury cite les questions 2, 9, 15 et 27 et indique que la correction en a tenu compte pour ne pas pénaliser les candidats.

Faut-il avoir travaillé l'effet tunnel pour Mines Physique 2 PC 2016 ?

Le jury note que les candidats ayant travaillé l'étude documentaire sur l'effet tunnel, obligatoire au programme, étaient en terrain connu dans la seconde partie.

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