Le problème étudie les ondes thermiques en vue de mesurer le coefficient de diffusion thermique d'un gaz par interférométrie multiple. La partie I introduit la diffusion thermique en régime stationnaire puis sinusoïdal forcé et le concept d'onde thermique. La partie II propose une analogie électrocinétique discrète de l'équation de diffusion. La partie III étudie un capteur pyroélectrique très sensible. La partie IV décrit le protocole expérimental complet de mesure par interférences d'ondes thermiques.
1Partie I : étude de la diffusion thermiqueRégime stationnaire puis régime sinusoïdal forcé, introduction du concept d'onde thermique.
2Partie II : analogie électrocinétique et discrétisation de l'équation de diffusionÉtude expérimentale de l'équation de diffusion à partir d'une chaîne de cellules RC.
3Partie III : étude d'un détecteur pyroélectriqueCapteur de flux lumineux modulé basé sur l'effet pyroélectrique, conversion courant-tension et fonction de transfert.
4Partie IV : interférences d'ondes thermiquesRéflexion d'ondes thermiques à une interface, traitement de la réponse du détecteur et protocole de mesure du coefficient de diffusion thermique du gaz.
Difficile. Le rapport indique que l'épreuve était relativement longue, que la fin de la partie IV n'a pratiquement pas été abordée même par les très bons candidats, et que de nombreuses questions n'ont été réussies que par une faible proportion des candidats, par exemple 8% en I.C.1 ou 6% en II.D.2.
Ce qu'a observé le jury
5 erreurs relevées
Analyse dimensionnelle utilisée pour éviter une démonstration · Raisonnements aberrants pour retrouver une relation donnée · Signes ajustés artificiellement en fin de calcul
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Le jury relève un étalement des notes tout à fait satisfaisant grâce à une alternance de questions de cours, de questions liées aux travaux pratiques et de questions plus difficiles. Les candidats ont passé beaucoup de temps sur la partie I, et la partie IV, pourtant originale et intéressante, n'a été traitée que par grappillage désordonné.
Les erreurs les plus sanctionnées
1
Analyse dimensionnelle utilisée pour éviter une démonstrationI.B.2
De plus en plus de candidats cherchent à obtenir par analyse dimensionnelle un résultat que l'énoncé demande de trouver autrement, ce qui ne constitue pas une démonstration.
« Il ne faut pas chercher à donner par analyse dimensionnelle des résultats que l’énoncé demande de trouver autrement. »
2
Raisonnements aberrants pour retrouver une relation donnéeIII.A, III.B.3
Face à une relation donnée par l'énoncé, certains candidats mènent des raisonnements totalement aberrants pour la retrouver à tout prix.
3
Signes ajustés artificiellement en fin de calculIV.B.5
Certains candidats font redevenir des signes justes simplement parce que c'est plus commode pour la suite, ce qui est une attitude peu honnête et sanctionnée.
4
Analogie avec la diffusion thermique non vueII.D.2
L'analogie entre la chaîne électrocinétique et la diffusion thermique n'a pas été vue, même par les très bons candidats.
5
Confusion entre pulsation et fréquenceI.C.2
De nombreuses erreurs sur la fréquence proviennent d'une confusion entre pulsation et fréquence, d'une division par 2 oubliée ou d'un mauvais nombre de chiffres significatifs.
Ce qui a été bien réussi
La question I.B.1 est bien réussie avec 64% de bonnes réponses.
La question III.B.2 est souvent bien faite, à 59%.
Le schéma avec les foyers de la question IV.A.2 est souvent bien traité, à 36% de réponses justes.
Les candidats font globalement des efforts de rédaction et de présentation.
Conseils du jury
Ne pas se contenter d'une affirmation péremptoire mais construire une véritable démonstration, en particulier pour les questions de cours.
Vérifier l'homogénéité des relations par analyse dimensionnelle sans s'en servir comme substitut à une démonstration.
Se relire pour corriger les fautes, en particulier de signe.
Ne pas chercher à ajuster artificiellement un résultat pour qu'il soit cohérent avec la suite du problème.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
Aucune connaissance concernant les ondes thermiques n'est nécessaire à la résolution du problème. Les résultats utiles sont établis en cours d'épreuve.
Des expériences récentes d'interférométrie d'ondes thermiques ont permis d'étudier de manière fine les propriétés thermiques des gaz. Le but de ce problème est d'analyser de façon détaillée une telle expérience.
La Partie I concerne l'étude de la diffusion thermique en régime stationnaire, puis en régime sinusoüdal forcé. Le concept d'onde thermique est alors introduit. La Partie II propose une étude expérimentale de l'équation de diffusion à partir d'un modèle électrocinétique discret. Les capteurs pyroélectriques étudiés dans la Partie III sont des détecteurs très sensibles, développés depuis une trentaine d'années. Ils constituent une pièce maîtresse dans toutes les expériences faisant intervenir des flux lumineux modulés. La Partie IV précise enfin le protocole expérimental de l'expérience d'interférométrie multiple d'ondes thermiques (Thermal Waves Interferometry).
Partie I - Étude de la diffusion thermique
On cherche à étudier le phénomène de diffusion thermique dans une barre cylindrique de cuivre, de diamètre d = 15, 0 mm et de conductivité thermique λ. À cet effet, on creuse une cavité à l'extrémité de la barre pour y placer
une résistance chauffante R_(ch) = 8, 00Ω. Cette résistance est alimentée par un générateur délivrant une tension continue U_0 = 6, 00 V. Afin de rendre les pertes thermiques par la face latérale du cylindre négligeables, le barreau de cuivre est isolé latéralement par une matière plastique de conductivité thermique suffisamment faible par rapport à celle du cuivre. La mesure de température se fait par l'intermédiaire de petits capteurs logés dans des puits creusés latéralement en divers points du cylindre conducteur. Un dispositif de refroidissement par circulation d'eau est placé à l'autre extrémité de la barre de telle sorte que la température du cuivre y soit égale à 20, 0^∘C.
Filière PC
I.A - Étude du régime stationnaire
On se place tout d'abord en régime stationnaire et on suppose que la température, considérée uniforme dans une section droite de la barre, ne dépend que de la position z.
I.A.1) Quel est a priori la direction et le sens du vecteur grad^(→−)T ? Rappeler la loi de Fourier donnant l'expression du vecteur densité de courant thermique j_Q^(→−). Préciser la signification des différents termes ainsi que leur dimension respective.
I.A.2) Exprimer la puissance fournie par l'alimentation continue à la résistance chauffante. En supposant que cette puissance est intégralement transférée à la barre située dans la partie z > 0, exprimer j_Q^(→−)(z = 0) en fonction de R_(ch), U_0 et d.
Évolution de la température dans la barre
I.A.3) Montrer que j_Q^(→−) est uniforme dans la barre. En déduire l'équation différentielle vérifiée par la température T(z).
I.A.4) Exprimer littéralement T(z) en fonction des données ci-dessus et de T(L). Les deux capteurs de température placés en z_1 = 8 cm et z_2 = 16 cm indiquent T_(p1) = 46, 4^∘C et T_(p2) = 41, 4^∘C. Donner l'expression de la conductivité thermique du cuivre λ et calculer sa valeur numérique.
I.A.5) Le refroidissement à l'extrémité de la barre est assuré par une circulation d'eau de débit volumique d_v. En négligeant les fuites thermiques latérales, exprimer grâce à un raisonnement simple la variation de température de l'eau lors de la traversée du système de refroidissement. On pourra introduire la masse volumique et la capacité thermique massique de l'eau.
I.B - Équation d'évolution de la température en régime variable
Le générateur délivre maintenant une tension U(t), ce qui entraîne une variation temporelle de la température en chaque point du barreau. Néanmoins, on conserve l'hypothèse d'uniformité de la température dans une section droite de la barre, ce qui permet d'écrire la température en un point sous la forme T(z, t).
Analyse qualitative
I.B.1) D'une manière générale, le phénomène de diffusion thermique ne peut faire intervenir que les caractéristiques pertinentes du matériau, à savoir la
conductivité thermique λ, la capacité thermique massique à pression constante c_p = 380 J ⋅ kg^(− 1) ⋅ K^(− 1) et la masse volumique ρ = 8870 kg ⋅ m^(− 3). Montrer à l'aide d'une analyse dimensionnelle, qu'il est possible de construire un coefficient de diffusion D exprimé en m^2 s^(− 1) à partir de ces trois grandeurs.
I.B.2) Le coefficient de diffusion D peut s'exprimer directement en fonction de la résistance thermique linéique r_(th) (résistance thermique par unité de longueur de la barre) et de la capacité thermique linéique c_(th). Exprimer r_(th) et c_(th) et donner l'expression de D faisant intervenir ces deux grandeurs. Pour le cuivre, la valeur numérique du coefficient de diffusion D est D = 1, 19 ⋅ 10^(− 4) m^2 ⋅ s^(− 1).
I.B.3) Quel est l'ordre de grandeur Δt, de la durée nécessaire pour qu'une modification brutale de la température en un point d'abscisse z_1 atteigne un point d'abscisse z_2 = z_1 + Δz ? La barre de cuivre utilisée a une longueur L = 0, 5 m. Donner une estimation de la durée du régime transitoire précédant le régime stationnaire étudié au paragraphe I.A. Quelles conséquences pratiques peut-on en déduire?
Équation de la chaleur
I.B.4) Établir l'équation de diffusion thermique, dite «équation de la chaleur », à partir d'un bilan énergétique effectué pour la portion de barre comprise entre z et z + dz.
I.B.5) Pourquoi peut-on dire que le phénomène de diffusion thermique est irréversible?
I.C - «Ondes thermiques»
Dans cette partie, la tension délivrée par le générateur est sinusoïdale: U(t) = U_0√2cos(Ωt). Dans ce cas, en régime périodique établi, la réponse de chaque capteur oscille autour d'une valeur moyenne spécifique à chacun d'entre eux : T(z, t) = T_p(z) + θ_m(z)cos(ωt + φ(z)).
Par exemple, la figure 2 représente les graphes des fonctions T(z_1, t) et T(z_2, t) avec z_1 = 8 cm et z_2 = 16 cm.
I.C.1) Mesurer sur cette figure les amplitudes θ_m(z_1) et θ_m(z_2) ainsi que le déphasage φ(z_2) − φ(z_1) exprimé en radians.
I.C.2) Mettre la puissance électrique dissipée dans la résistance chauffante sous la forme p(t) = P_0 + P_0 cos(ωt) en explicitant P_0 en fonction de U_0 et R_(ch). Relier ω et Ω. Quelle est la fréquence de la tension aux bornes du générateur dans l'expérience dont les résultats sont présentés en figure 2 ?
I.C.3) Justifier que θ(z, t) = θ_m(z)cos(ωt + φ(z)) vérifie l'équation différentielle de la diffusion thermique.
Afin de déterminer les fonctions θ_m(z) et φ(z), on utilise la représentation complexe pour θ(z, t) en posant θ_–(z, t) = Aexp(j(ωt − K_–z)).
Écrire l'équation vérifiée par le nombre complexe K_– et montrer qu'il peut se mettre sous la forme
K_– = ε(1 − j)/δ avec ε = ± 1.
Exprimer δ en fonction de λ, ρ, c_p, ω puis de r_(th), c_(th), ω.
I.C.4) Préciser la valeur de ε sachant que la barre de cuivre peut être considérée comme semi-infinie pour le signal sinusoïdal. En déduire les expressions de θ_m(z) et φ(z). Une longueur de 50 cm vous semble-t-elle suffisante pour que cette approximation soit valable?
I.C.5) Déterminer à partir des résultats expérimentaux de la figure 2, la valeur numérique de δ de deux manières différentes.
I.C.6) On utilise souvent le terme «ondes thermiques » à propos de ce type d'expérience. Quels adjectifs utiliseriez-vous pour caractériser cette «onde»?
Evolution des températures en deux points de la barre
Figure 2 : températures en deux points de la barre
Partie II - Analogie électrocinétique et discrétisation de l'équation de diffusion
Les ondes thermiques abordées dans la section I.C peuvent être étudiées expérimentalement sur un modèle électrocinétique discret, facilement réalisable dans le laboratoire de votre lycée. On considère tout d'abord une chaîne infinie de cellules, associant chacune un conducteur ohmique de résistance R et un condensateur de capacité C. Cette ligne est alimentée par un générateur idéal de tension sinusoïdale de force électromotrice e(t) = U_0 cosωt. En régime sinusoïdal forcé, la tension aux bornes du nième condensateur est de la forme u_n(t) = U_n cos(ωt + φ_n), représentée en notation complexe par u_n.
Figure 3
II.A - Chaine de cellules RC en régime sinusoïdal forcé
II.A.1) Établir la relation de récurrence liant les amplitudes complexes u_n des diverses tensions aux bornes des condensateurs. On pourra utiliser la loi des nœuds exprimée à l'aide des tensions.
II.A.2) On cherche une solution de la forme u_n_– = k^n_–u_0_–.
Montrer que de telles solutions existent si k_– vérifie une condition à expliciter.
II.A.3) On se place dans l'hypothèse RCω «1. Montrer que k_– ≅ 1 ± (1 + j)√(RCω/2) au deuxième ordre près en √(RCω).
II.A.4) Interpréter physiquement le caractère complexe de k_–. Déterminer |k_–| au même ordre d'approximation que précédemment. Lever alors l'indétermination de signe dans l'expression de k_–.
II.B - Choix du nombre de cellules
II.B.1) Comme RCω < 1, |k_–| est proche de l'unité. Montrer que l'amplitude U_n de u_n(t) présente alors une décroissance quasi exponentielle du type U_n/U_0 ≅ exp(− n/n_0). Exprimer n_0.
II.B.2) En pratique, on peut se contenter d'un nombre fini de cellules électrocinétiques. Combien de cellules faut-il prendre, à R, C et f fixés, pour que l'on puisse considérer la chaîne ci-dessus comme infinie ?
II.C - Validation expérimentale
Le tableau ci-dessous consigne des résultats expérimentaux à R et C fixés. On cherche à savoir si ces données sont modélisables sous la forme n_(0exp) = Af^s :
Fréquence f
200
350
500
650
n_(0exp)
4,0
3,0
2,5
2,2
II.C.1) À l'aide d'une représentation graphique simple, montrer que le modèle proposé est en accord avec les données expérimentales. Estimer la valeur de s. Comparer aux résultats de la question II.B.1.
II.C.2) Sachant que R = 1, 0kΩ, calculer la valeur numérique de la capacité des condensateurs utilisés.
II.D - Discrétisation de l'équation de diffusion
Les condensateurs sont repérés par leur position x_n = na où a est la taille caractéristique d'une cellule. On introduit une fonction u(x, t), des variables x et t, telle que la tension u_n(t) (non nécessairement sinusoïdale) aux bornes du n^(ième) condensateur se note u_n(t) = u(na, t) = u(x_n, t).
II.D.1) On suppose que la variation spatiale de la fonction u(x, t) est petite sur une échelle de distance de l'ordre de a. Montrer alors que u(x, t) vérifie l'équation différentielle
∂/(∂t)u(x, t) = 1/(rc)(∂^2 u)/(∂x^2).
Préciser l'expression du produit rc en fonction de R, C et a, ainsi que son unité.
II.D.2) On désire construire une analogie entre la diffusion thermique dans la barre isolée latéralement (étudiée dans la Partie I ) et la propagation de signaux électriques dans la chaîne de composants électriques abordée dans cette seconde partie du problème. Reproduire et compléter sur votre copie le tableau ci-dessous qui regroupe les grandeurs physiques analogues.
Thermique
T(x, t) − T_0
ρc_p
δ
Électrocinétique
(u_(n + 1) − u_n)/R
rc
R
II.D.3) Soit la grandeur (u_(n + 1) − u_n)^2/(RT), où T désigne la température de la pièce où a lieu l'expérience. Cette grandeur possède-t-elle un équivalent dans le cas de l'expérience thermique? Quel rapprochement peut-on faire avec la question I.B. 5 ?
II.D.4) Proposer, sans justification, un schéma du montage à réaliser pour simuler les phénomènes thermiques dans une barre présentant des pertes ther-
miques par la surface latérale. La température extérieure est identique à la température à l'extrémité du barreau.
Partie III - Étude d'un détecteur pyroélectrique
Des matériaux cristallins non centro-symétriques présentent une polarisation volumique spontanée P⃗(T) variant fortement avec la température. Cet effet pyroélectrique est particulièrement important dans LiNbO_3 ou LiTaO_3. Bien que l'effet pyroélectrique soit connu depuis les travaux de Brewster en 1824, il n'a été exploité qu'à partir de 1970 pour développer des capteurs très sensibles et très robustes de flux lumineux modulé, utilisables à la température ambiante. L'effet pyroélectrique d'un matériau est caractérisé par son coefficient pyroélectrique p liant la variation de polarisation à la variation de température. Par exemple, pour un cristal polarisé suivant l'axe Ox, on a en première approximation P_x(T) = P_x(T_1) + p(T − T_1).
Nous proposons d'analyser le fonctionnement d'un capteur pyroélectrique formé d'un fin film de LiTaO_3, métallisé sur les deux faces afin d'assurer les contacts électriques. Les valeurs numériques utilisées dans ce problème correspondent aux données indiquées par le fabricant de ce composant optoélectronique.
III.A - Existence d'un courant en régime thermique variable
Pour LiTaO_3, le paramètre pyroélectrique p vaut p = 17 ⋅ 10^(− 5)C ⋅ m^(− 2) ⋅ K^(− 1).
Établir la relation générale i = Sp(∂T)/(∂t) liant l'intensité du courant traversant le film cristallin de surface utile S, placé perpendiculairement à l'axe Ox, à l'évolution temporelle de la température du matériau.
III.B - Évolution de la température du film de tantalate de lithium LiTaO_3 en régime forcé
Le film cristallin, d'épaisseur e = 25μ m et de surface S = 4 mm^2, est fixé sur un support dont la température est maintenue à la valeur T_1. Les échanges énergétiques par conduction thermique entre le film de capacité thermique C_T = 3, 1 ⋅ 10^(− 4) J ⋅ K^(− 1) et le support sont modélisés par une résistance thermique R_T de valeur R_T = 512 K ⋅ W^(− 1). Le cristal est éclairé par un laser modulé, délivrant une puissance lumineuse (appelée flux lumineux) Φ_l(t)
de la forme Φ_l(t) = Φ_0 + Φ_m cos(ωt) avec Φ_m = 1μ W. La fréquence de modulation est en général de l'ordre de 1 Hz . Tout le flux est absorbé par le capteur pyroélectrique.
III.B.1) On suppose que la température dans le film cristallin est uniforme. On la note T(t). Montrer que cela nécessite que l'épaisseur du film soit faible devant une longueur caractéristique à déterminer.
Cette hypothèse est-elle validée, sachant que la conductivité thermique du cristal est voisine de 100 SI ?
III.B.2) En exploitant l'unité de la résistance thermique, écrire la relation entre la différence de température T(t) − T_1 et la puissance thermique cédée par le film au support.
III.B.3) Montrer que la température T(t) vérifie l'équation différentielle :
(dT)/(dt) + (T − T_1)/(τ_T) = A + Bcos(ωt).
Exprimer les constantes A, B et τ_T.
III.B.4) Lorsque le flux lumineux n'est pas modulé Φ_l = Φ_0 et la température du cristal prend la valeur T = T_0. Exprimer T_0 en fonction de T_1, Φ_0 et R_T.
III.B.5) On pose dans la suite θ(t) = T(t) − T_0 et on revient à un flux modulé sinusoïdalement de composante alternative Φ_a(t) = Φ_m cos(ωt). Montrer en utilisant la représentation complexe associée à ces fonctions sinusoïdales que
θ_– = (Φ_a R_T)/(jωτ_T + 1).
III.B.6) On prend une fréquence de modulation égale à 1 Hz . Calculer les valeurs numériques de l'amplitude des oscillations de température et du déphasage entre θ(t) et Φ_a(t).
III.C - Conversion pyroélectrique
III.C.1) Relier en notation complexe l'intensité i du courant électrique traversant le film au flux Φ_a.
III.C.2) En déduire l'amplitude des oscillations de courant dans le cristal pyroélectrique pour une fréquence de modulation de 1 Hz , sachant que p = 17 ⋅ 10^(− 5)C ⋅ m^(− 2) ⋅ K^(− 1) pour LiTaO _3. Commentaires.
III.D - Conversion courant tension
Lorsque le film de tantalate de Lithium est soumis à un flux lumineux modulé sinusoïdalement en intensité, il se comporte comme un générateur idéal de courant i(t) associé à un condensateur de capacité C_e. Un conducteur ohmique de résistance très élevée
PHYSIQUE I
R_e = 24 ⋅ 10^9 Ω est associé en parallèle au film pyroélectrique. Un montage de sortie construit autour d'un amplificateur opérationnel idéal complète l'ensemble.
III.D.1) Quelle est la fonction du montage de sortie ? Sa présence est-elle nécessaire ? Peut-on utiliser dans cette expérience un amplificateur opérationnel du type de ceux utilisés en travaux pratiques?
III.D.2) Établir l'expression du rapport (u_–)/i en fonction de R_e, C_e et ω.
III.D.3) En déduire u_–/Φ_a et donner l'expression littérale de l'amplitude de la tension de sortie dans les conditions expérimentales définies précédemment.
III.E - Fonction de transfert du détecteur
Le détecteur pyroélectrique délivre en sortie une tension u image du flux lumineux incident Φ en entrée (ou du moins de la composante modulée de ce flux). On définit la fonction de transfert de ce filtre par H_– = u_–/Φ_a.
Le fabricant de ce composant optoélectronique fournit le diagramme de réponse du capteur donné figure 6.
III.E.1) Montrer que H_–(jω) peut se mettre sous la forme suivante :
III.E.2) Quelle est la nature de ce filtre?
III.E.3) Mettre H_– sous la forme canonique
H_– = (H_m)/((1 + jQ(f/(f_0) − (f_0)/f)))
Expliciter les expressions littérales de H_m, Q et de f_0.
III.E.4) Exploitation du diagramme de réponse donné par le constructeur.
a) Préciser l'unité de cette fonction de transfert H_–. Pour quelle fréquence obtient-on une réponse maximale du capteur d'après le diagramme ? Donner la valeur numérique de l'amplitude de la tension de sortie pour cette fréquence.
b) Estimer le facteur de qualité Q_(exp) de ce capteur à partir du graphe donné par le constructeur. Justifier votre réponse par un schéma.
c) Comparer Q_(exp) au facteur de qualité Q_(th) calculé à partir des valeurs des temps caractéristiques τ_e = 1, 49 s et τ_T = 0, 159 s.
La figure 6 donne :
PHYSIQUE I
en ordonnée logarithmique : H_– = u_–/Φ_a pour une amplitude du flux lumineux égal à F_1 = 1μW.
en abscisse logarithmique : fréquence de modulation du flux lumineux en Hz ;
Figure 6: réponse du capteur pyroélectrique
Partie IV - Interférences d'ondes thermiques
Un dispositif d'interférométrie thermique comporte trois parties.
PHYSIQUE I
Un modulateur fait varier périodiquement la puissance du faisceau lumineux, préalablement élargi, émis par un laser hélium-néon. Cette onde lumineuse éclaire ensuite la face noircie d'un film d'aluminium d'épaisseur 20μ m, ce qui provoque une modulation de la température de ce film. L'onde thermique qui en résulte se propage vers le détecteur pyroélectrique à travers une zone remplie du gaz que l'on souhaite étudier. Cette cavité thermique est le siège d'interférences multiples d'ondes thermiques suite aux réflexions sur la feuille d'aluminium et le film du détecteur. La réponse du système est l'image de la température sur la surface de détection. Un traitement de cette réponse à l'aide d'un montage électronique permet de déterminer les fréquences de résonances thermiques. Par la suite, on note ℓ la distance entre le film métallique et le détecteur pyroélectrique.
IV.A - Élargissement du faisceau laser
IV.A.1) Pourquoi la face avant du film d'aluminium est-elle noircie?
IV.A.2) Afin d'éclairer la plus grande surface possible du film métallique, il est nécessaire d'élargir le faisceau laser. Le dispositif optique utilisé comporte deux lentilles minces convergentes espacées de 12 cm . Le diamètre du faisceau parallèle en entrée est de 5 mm tandis que celui du faisceau parallèle de sortie vaut 25 mm . Faire un schéma indiquant la marche des rayons lumineux à travers ce système et calculer les valeurs numériques des deux distances focales.
IV.B - Réflexion d'ondes thermiques à l'interface de deux milieux
À l'interface de deux matériaux présentant des paramètres thermiques différents, des phénomènes de réflexion et de transmission d'ondes thermiques peuvent se produire. Nous nous limiterons à une analyse monodimensionnelle largement suffisante dans nos conditions expé-
Figure 8
rimentales. Dans ce contexte, nous considérons trois ondes θ_i(z, t), θ_r(z, t) et θ_t(z, t) respectivement incidente, réfléchie et transmise. En l'absence d'ondes thermiques, la température sera supposée uniforme.
IV.B.1) Quelle relation lie les fonctions θ_i(z = 0, t), θ_r(z = 0, t) et θ_t(z = 0, t) ?
IV.B.2) Traduire la conservation de l'énergie au niveau de l'interface. En déduire une relation entre les trois dérivées spatiales prises en z = 0.
IV.B.3) On suppose maintenant que l'onde thermique incidente est de la forme :
On admet que les expressions des ondes réfléchies et transmises correspondantes s'écrivent :
θ_r(z, t) = A_r exp(+ z/(δ_1))cos(ωt + z/(δ_1) + φ_r) pour l'onde réfléchie, avec A_r positif.
θ_t(z, t) = A_t exp(− z/(δ_2))cos(ωt − z/(δ_2) + φ_t) pour l'onde transmise, avec A_t positif.
Justifier la forme des expressions données ci-dessus.
IV.B.4) Pourquoi peut-on utiliser la représentation complexe des fonctions sinusoïdales dans le cas du phénomène étudié ici?
Dans ce contexte, on notera:
IV.B.5) Écrire deux relations liant les amplitudes complexes A_i_–, A_r_– et A_t_– en utilisant les paramètres λ_1, δ_1, λ_2 et δ_2.
IV.B.6) On introduit les coefficients de réflexion et de transmission en amplitude r_– = A_r_–/A_i_– et t_– = A_t_–/A_i_–.
Déterminer les expressions littérales de ces coefficients en fonction de λ_1, δ_1, λ_2 et δ_2 puis en fonction des effusivités e_1 = √(λ_1 ρ_1 c_(p1)) et e_2 = √(λ_2 ρ_2 c_(p2)).
IV.B.7) Commenter physiquement les cas limites e_1 « e_2 et e_1»e_2.
IV.C - Traitement de la réponse du détecteur
En régime sinusoïdal forcé, la réponse du détecteur est de la forme u_s(ℓ, ω, t) = f(ℓ, ω)cosωt + g(ℓ, ω)sinωt et le modulateur délivre par ailleurs une tension u_(mod)(t) = U_(mod)cosωt. Les données pertinentes concernant le gaz étudié sont obtenues à partir de la fonction g(ℓ, ω) que l'on détermine à l'aide du montage électronique ci-dessous.
IV.C.1) Montrer que le bloc (entouré en pointillés) construit autour de l'amplificateur opérationnel fonctionnant en régime linéaire permet de déphaser le signal u_(mod)(t). Montrer que u_(deph)(t) et u_(mod)(t) sont en quadrature de phase à condition d'imposer une relation, supposée vérifiée par la suite, liant R_2, C_2 et ω.
IV.C.2) Le multiplieur est un composant analogique dont la tension de sortie u_(mult)(t) est égale à u_(mult)(t) = k^′ × u_s(t) × u_(deph)(t) avec k^′ = 0, 1 V^(− 1). Exprimer u_(mult)(t) et montrer que sa moyenne temporelle est de la forme < u_(mult)(t)>= Cte × g(ℓ, ω).
IV.C.3) La fréquence de modulation du flux lumineux de chauffage est comprise entre 10 Hz et 1 kHz . Proposer un montage et des valeurs réalistes de composants, afin que le filtre situé en sortie du multiplieur délivre une tension de sortie u_(filt) proportionnelle à g(ℓ, ω).
IV.D - Balayage en fréquence
On fait varier très lentement la fréquence de modulation du flux lumineux pour ℓ = 2, 00 mm. Les quatre premières fréquences de résonance de la cavité valent f_1 = 17, 4 Hz, f_2 = 70, 0 Hz, f_3 = 157 Hz et f_4 = 280 Hz.
IV.D.1) Montrer que les fréquences de résonance f_n s'expriment aisément en fonction de n.
IV.D.2) Comment peut-on définir une longueur d'onde thermique Λ_(ther, n) associée à l'onde étudiée ? Déterminer la dépendance de Λ_(ther, n) en fonction de n.
IV.D.3) Pouvez-vous proposer une analogie avec d'autres types d'ondes ?
IV.D.4) Quelle information peut-on tirer de ce protocole expérimental au sujet du gaz étudié ?
Questions fréquentes
4 questions
Sur quels chapitres porte l'épreuve de physique 1 Centrale PC 2009 ?
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Sur quels chapitres porte l'épreuve de physique 1 Centrale PC 2009 ?
+
L'épreuve porte sur la diffusion thermique et les ondes thermiques, une analogie électrocinétique discrète, un capteur pyroélectrique avec sa fonction de transfert, et la réflexion d'ondes thermiques à une interface pour une mesure par interférométrie.
Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur l'épreuve de physique 1 Centrale PC 2009 ?
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Le jury relève un usage abusif de l'analyse dimensionnelle à la place d'une démonstration, des raisonnements aberrants pour retrouver une relation donnée, des erreurs de signe parfois ajustées artificiellement, et une analogie électrocinétique-diffusion thermique non vue.
L'épreuve de physique 1 Centrale PC 2009 est-elle difficile ?
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Oui, le rapport la juge relativement longue, avec une partie IV pratiquement pas abordée même par les très bons candidats et de nombreuses questions réussies par une faible proportion seulement des candidats.
L'épreuve de physique 1 Centrale PC 2009 est-elle adaptée à la filière PC ?
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Oui, le rapport souligne que les aspects expérimentaux occupent une large place dans le problème, en accord avec l'esprit de la filière PC.
Pas de description pour le moment
Commentaires• Centrale Physique 1 PC 2009
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