L'objet de ce problème est d'appliquer les lois de la physique à la bactérie Escherichia coli, que l'on nommera par la suite E. coli. Aucune connaissance de biologie n'est nécessaire. On rappelle que 1μ m = 1 ⋅ 10^(− 6) m et 1 nm = 1 ⋅ 10^(− 9) m. On rappelle également les valeurs :
de la constante de Boltzmann :, k_B = 1, 38 ⋅ 10^(− 23) J ⋅ K^(− 1); de la constante d'Avogadro:, 𝒩_A = 6, 02 ⋅ 10^(23) mol^(− 1); de la permittivité du vide:, ε_0 = 8, 85 ⋅ 10^(− 12) F ⋅ m^(− 1); de la charge élémentaire:, e = 1, 6 ⋅ 10^(− 19)C
Les quatre parties de ce problème sont indépendantes.
Partie I - Taille critique d'une bactérie aérobie
On étudie les conditions de survie d'une bactérie aérobie dans un lac de très grande taille à la température de 297 K . Pour vivre, elle a besoin de consommer le dioxygène dissous dans l'eau au voisinage de sa surface.
La bactérie est modélisée par une sphère de centre O fixe, de rayon R, sa masse volumique μ est assimilée à celle de l'eau. On se place en régime stationnaire et on note n(r) la densité particulaire, exprimée en m^(− 3), du dioxygène dissous à la distance r du centre O(r > R). La diffusion du dioxygène dans l'eau obéit à la loi de Fick avec un coefficient de diffusion D ≅ 2 ⋅ 10^(− 9) m^2 ⋅ s^(− 1). Loin de la bactérie, la concentration molaire volumique du dioxygène dissous dans le lac vaut c_0 ≅ 0, 2 mol ⋅ m^(− 3).
On admet que la consommation en oxygène de la bactérie est proportionnelle à sa masse et on introduit le taux horaire 𝒜 de consommation de dioxygène par unité de masse, mesuré en mol ⋅ kg^(− 1) ⋅ s^(− 1).
I.A - Densité particulaire en dioxygène au voisinage de la bactérie
I.A.1) Rappeler la loi de Fick reliant la densité de courant particulaire _→j⃗ = j(r)e_r→ à la densité particulaire n(r).
Filière PC
I.A.2) Exprimer φ(r) le nombre de molécules de dioxygène entrant par unité de temps dans une sphère de rayon r(r > R) en fonction de j(r) et de r. Justifier que φ ne dépend pas, dans le cas étudié, du rayon r de la sphère considérée.
I.A.3) Déterminer l'expression de la densité particulaire n_1 en dioxygène dissous sur la surface extérieure de la bactérie ( n_1 = n(R^+)) en fonction de φ, D, R, 𝒩_A et de la concentration molaire volumique c_0 de dioxygène à grande distance de la bactérie.
I.B - Taille critique de la bactérie
I.B.1) Exprimer φ en fonction de 𝒩_A, 𝒜, de la masse volumique μ et du rayon R de la bactérie.
I.B.2) En déduire l'expression de n_1 en fonction de μ, 𝒜, R, D, 𝒩_A et c_0. Commenter la variation de n_1 en fonction du rayon R de la bactérie.
I.B.3) Quelle inégalité doit vérifier n_1 afin que la bactérie ne suffoque pas ? En déduire l'expression du rayon critique R_c d'une bactérie aérobie en fonction de D, c_0, μ et 𝒜. Vérifier l'homogénéité du résultat. Calculer numériquement R_c sachant que 𝒜 = 0, 02 mol ⋅ kg^(− 1) ⋅ s^(− 1). Comparer ce résultat à la dimension caractéristique R = 1μ m de la bactérie E. coli.
I.B.4) Pour une bactérie sphérique de rayon critique R_c, calculer la valeur numérique du nombre total de molécules de dioxygène consommées par unité de temps.
Partie II - Propriétés électrostatiques de la membrane de la bactérie
On considère une bactérie E.coli en suspension dans une solution aqueuse (milieu extérieur) contenant des ions Na^+, Cl^−etc... La bactérie est limitée à sa périphérie par une couche continue de lipides et de protéines, appelée membrane, d'épaisseur d = 10 nm. La membrane sépare le milieu interne de la bactérie, appelé cytoplasme, du milieu extérieur. Le cytoplasme est également une solution aqueuse contenant des ions, des molécules, des protéines, etc... Le cytoplasme et le milieu extérieur sont donc des électrolytes, c'est-à-dire des solutions conductrices contenant des cations et des anions. L'ensemble formé par le cytoplasme et le milieu extérieur est globalement neutre.
II.A - Étude préliminaire : longueur de Debye dans un électrolyte
Soit un électrolyte à la température T, globalement neutre, constitué d'une solution aqueuse contenant majoritairement des ions Na^+et Cl^−avec un nombre de cations Na^+par unité de volume uniforme n (densité volumique des cations). La permittivité de l'électrolyte est notée ε.
On introduit dans cet électrolyte une plaque isolante chargée négativement ; les charges liées à la plaque sont réparties de manière uniforme sur sa surface. La plaque est confondue avec le plan x = 0 et l'électrolyte occupe le demi-espace x > 0. Les effets de bord sont négligés.
II.A.1) Après introduction de la plaque chargée, les densités volumiques des ions ne sont plus uniformes, pourquoi? Représenter qualitativement sur un schéma la répartition des ions dans l'électrolyte. Que peut-on dire de la densité volumique de charge électrique dans une région proche de la plaque ? Dans une région très éloignée de la plaque?
À présent, les densités volumiques des ions Na^+et Cl^−en un point M sont notées respectivement n_+(M) et n_−(M). Ces ions obéissent à la loi de Fick avec des coefficients de diffusion D_+pour Na^+et D_−pour Cl^−.
II.A.2) Exprimer les vecteurs densités de courant volumique électrique j_(D +)^(→−) et J_(D_−)^(→−)associés respectivement à la diffusion des ions Na^+et Cl^−.
II.A.3) Soumis à un champ électrostatique E⃗, un ion acquiert une vitesse limite μ_(ion)E⃗ où le coefficient μ_(ion) est sa mobilité. Les mobilités de Na^+et Cl^− sont notées μ_+et μ_−. Donner les expressions des vecteurs densités de courant volumique électrique j_(e^+)^(→−)et j_(e_−)^(→−)associés à l'action du champ électrostatique E⃗ respectivement sur les ions Na^+et Cl^−.
II.A.4) Écrire les équations de Maxwell de l'électrostatique dans l'électrolyte, en présence d'une densité volumique de charge ρ due à un déséquilibre local entre le nombre de cations et le nombre d'anions; on admettra que la prise en compte de la permittivité de l'électrolyte consiste à remplacer par ε la permittivité ε_0 du vide. Montrer que tout champ électrostatique E⃗ dérive d'un potentiel scalaire ψ.
Par la suite, on se place dans le cadre unidimensionnel, c'est-à-dire que tous les champs eulériens ne dépendent plus que de l'abscisse x (coordonnée cartésienne normale à la plaque chargée) : E⃗ = E(x)e_x^(→−); ψ = ψ(x); n_+ = n_+(x); n_− = n_−(x).
II.A.5) On suppose que l'équilibre est réalisé.
a) Écrire pour chaque ion, une relation simple valable à l'équilibre, entre son vecteur densité de courant volumique électrique de diffusion et son vecteur densité de courant volumique électrique dû à l'action du champ électrostatique. En
déduire, pour chaque ion, l'équation différentielle liant sa densité volumique au potentiel électrostatique ψ(x).
b) Déterminer la loi de variation de la densité volumique de chaque ion en fonction de ψ(x). Le potentiel électrostatique sera supposé nul loin de la plaque :
ψ(∞) = lim_(x → + ∞)ψ(x) = 0.
c) En utilisant la relation d'Einstein qui relie la mobilité d'un ion à son coefficient de diffusion μ_±/D_± = ± e/k_B T, où e est la charge élémentaire, k_B est la constante de Boltzmann et T la température de l'électrolyte, montrer que les densités volumiques de ions peuvent finalement s'écrire:
Quel nom donneriez-vous à ces lois de variation?
II.A.6) On désire déterminer la densité volumique de charge électrique ρ(x) à l'équilibre.
a) Exprimer ρ(x) en fonction de ψ(x), n, e, k_B et T. Simplifier cette expression dans l'hypothèse où |eψ(x)| « k_B T. Dans la suite de cette partie, on utilisera l'expression simplifiée de ρ(x).
b) Déduire de l'une des équations de Maxwell, une équation différentielle liant ρ(x) à ψ(x).
c) En déduire l'équation différentielle vérifiée par ψ(x). On fera apparaître une longueur caractéristique λ, appelée longueur de Debye, que l'on exprimera en fonction de e, n, ε (permittivité de l'électrolyte), k_B et T.
d) Résoudre l'équation différentielle précédente sachant que E(x = 0^+) = σ_(eff)/ε où σ_(eff) représente la densité surfacique de charge associée aux ions de l'électrolyte appartenant à l'interface solide/liquide en x = 0. On exprimera la solution ψ(x) en fonction de x, λ, ε et σ_(eff) (que l'on ne cherchera pas à déterminer). Quel est le signe de σ_(eff) ?
e) En déduire la loi de variation de la densité volumique de charge ρ(x).Vérifier la conservation de la charge dans l'électrolyte. À quelle distance caractéristique de la plaque peut-on considérer que le potentiel électrostatique et la densité volumique de charge électrique sont négligeables?
II.B - Répartition des charges de part et d'autre de la membrane de la bactérie
Figure 1 : Champ électrostatique
La membrane de la bactérie permet des échanges d'ions et de molécules entre le cytoplasme et le milieu extérieur mais sa perméabilité varie d'un ion à l'autre. À l'équilibre, la concentration de chaque ion est différente de part et d'autre de la membrane, il apparaît alors un champ électrostatique E⃗. La figure 1 représente l'allure de la composante E(x) du champ électrostatique dans le modèle unidimensionnel (E(x) ≤ 0). Les domaines représentent:
le cytoplasme pour x ≤ x_2
la membrane pour x_2 ≤ x ≤ x_5
le milieu extérieur pour x ≥ x_5
Les permittivités du cytoplasme, de la membrane et du milieu extérieur sont supposées égales et ont la même valeur que la permittivité ε de l'eau.
II.B.1) Tracer, sans effectuer de calcul mais en justifiant, l'allure du potentiel électrostatique ψ(x).
II.B.2) Faire de même pour la distribution volumique de charge ρ(x).
II.B.3)
a) En utilisant les résultats de l'étude préliminaire II.A, donner l'expression de la dimension caractéristique d_c des régions chargées.
b) Au laboratoire, le milieu de culture utilisé pour étudier la bactérie E. coli contient 5, 0 g ⋅ L^(− 1) de NaCl (le milieu contient également d'autres ions que Na^+et Cl^−mais avec des concentrations beaucoup plus faibles). Calculer numériquement d_c et comparer le résultat à l'épaisseur d = 10 nm de la membrane de la bactérie. Conclusion?
Données : ε ≅ 80ε_0 (permittivité de l'eau), T = 297 K, M_(Na) = 23, 0 g ⋅ mol^(− 1) (masse molaire de Na ) et M_(Cl) = 35, 5 g ⋅ mol^(− 1) (masse molaire de Cl ).
II.C - Potentiel de repos de la membrane de la bactérie
La membrane de la bactérie possède une perméabilité sélective suivant la nature des ions. À l'intérieur du cytoplasme, les cations majoritaires sont K^+. Nous considérons à présent le modèle de Bernstein (1902) dans lequel seule la diffusion des ions K^+est prise en compte, la membrane étant supposée imperméable à tous les autres ions. De plus, la densité volumique des ions K^+dans le cytoplasme est beaucoup plus élevée qu'à l'extérieur. On considère à nouveau le modèle unidimensionnel de la figure 1.
II.C.1) Justifier l'existence d'un champ électrostatique E⃗ = E(x)e_x^(→−) à l'équilibre, dû aux ions K^+. Dans quel sens est-il dirigé?
II.C.2) La condition d'équilibre pour l'ion K^+conduit à l'équation différentielle suivante (résultat admis) :
1/(n(x))(dn)/(dx) = − e/(k_B T)(dψ)/(dx)
où n(x) représente la densité volumique des ions K^+à l'abscisse x et ψ(x) est le potentiel scalaire associé au champ électrostatique E⃗ = E(x)e_x^(→−).
a) En déduire la différence de potentiel Δψ = ψ_(int) − ψ_(ext) entre l'intérieur et l'extérieur de la bactérie, appelée potentiel de repos. Le résultat sera exprimé en fonction de k_B, T, e, n_(int) et n_(ext) où n_(int) et n_(ext) représentent les concentrations des ions K^+à l'intérieur et à l'extérieur de la bactérie.
b) Sachant que n_(int)/n_(ext) = 100 pour la bactérie E. coli dans un milieu de culture à la température de 297 K , en déduire la valeur numérique de son potentiel de repos Δψ.
Partie III - Propulsion d'un micro-organisme par flagelle
Dans toute la suite du problème, on supposera que les nombres de Reynolds Re des écoulements sont petits devant 1 . L'observation d'une différence de direction entre la vitesse de sédimentation et la force de traînée s'exerçant sur un bâtonnet en mouvement dans un fluide visqueux a été à l'origine de la théorie de la propulsion des micro-organismes par le mouvement rotatif d'un flagelle.
III.A - Chute d'un bâtonnet dans un fluide visqueux
On considère un bâtonnet cylindrique à section circulaire ; ce bâtonnet présente donc une invariance par rotation autour de son axe Δ que l'on notera Cz, C désignant le centre de masse du bâtonnet. La longueur L du bâtonnet est supposée grande devant son rayon. On notera P⃗ le poids apparent du bâtonnet, c'est-à-dire la somme de son poids et de la poussée d'Archimède exercée par le fluide.
On réalise une série d'expériences de chutes du bâtonnet dans un fluide visqueux de viscosité η.
III.A.1) On observe qu'en régime permanent, la vitesse de chute v⃗_(//), lorsque le bâtonnet est vertical, est égale au double de la vitesse de chute v_⊥^(→−) lorsque le bâtonnet est horizontal. Dans les deux cas, la chute est un mouvement de translation verticale. Ceci conduit à une force de traînée qui s'exprime, pour un bâtonnet de longueur L, en fonction de la vitesse selon la loi:
Déterminer la valeur numérique du rapport τ = λ_⊥/λ_(//).
III.A.2) Comment varient λ_(//)et λ_⊥ en fonction de la longueur L du bâtonnet? On pourra supposer que λ_(//) = KL^(α¯), K étant une constante adimensionnée, et déterminer l'exposant α par analyse dimensionnelle.
III.A.3) En déduire que, pour un bâtonnet de longueur L, animé d'une vitesse v⃗, dont la grande dimension est orientée selon le vecteur directeur u⃗, la force de traînée peut s'écrire :
III.B - Propulsion d'une bactérie par flagelle ; aspect cinématique
La propulsion de certaines bactéries est assurée par le mouvement de longs filaments appelés flagelles.
Le flagelle de la bactérie E.coli est modélisé par un solide Σ en forme d'hélice de rayon a = 0, 20μ m et de
pas 2πh avec h = 0, 10μ m. La longueur totale du filament est L = 10μ m. On note Oz l'axe du cylindre imaginaire sur lequel est enroulée cette hélice. Soit M(θ) le point courant de l'hélice ; on a, en coordonnées cylindriques : OM^(→−)(θ) = ae_r→ + hθe_z→.
Un moteur biologique implanté dans la membrane de la bactérie peut imprimer au flagelle un mouvement de rotation à la vitesse angulaire Ω = 7, 0 ⋅ 10^2 rad ⋅ s^(− 1). La bactérie est plongée dans l'eau de viscosité η = 1, 0 ⋅ 10^(− 3) Pa.s contenue dans un récipient immobile dans le référentiel ℒ du laboratoire. La masse volumique de la bactérie est pratiquement égale à celle de l'eau.
III.B.1)
a) En supposant que le flagelle se visse dans le fluide environnant, de quelle distance d se propulse la bactérie pendant que le flagelle effectue un tour complet? En déduire une première estimation de la vitesse de la bactérie.
b) Vérifier la pertinence de l'hypothèse Re « 1 .
III.B.2) La bactérie étant maintenue immobile dans le référentiel ℒ du laboratoire, le flagelle Σ est mis en rotation à la vitesse angulaire Ω⃗(Σℒ) = Ωe_z→ dans le référentiel du laboratoire.
a) Donner en coordonnées cylindriques l'expression dans ℒ de la vitesse du point courant M du flagelle.
b) Un tronçon du solide Σ compris entre θ et θ + dθ est assimilé à un petit bâtonnet de longueur dL = √(a^2 + h^2)dθ. Le vecteur unitaire u⃗ de l'axe de ce petit bâtonnet est :
u⃗ = ((ae_θ→ + he_z→))/(√(a^2 + h^2))
Préciser l'expression de la composante v⃗_(//)de la vitesse parallèle à l'axe du bâtonnet.
III.C - Existence d'une force propulsive
Les résultats du premier paragraphe, avec K = 4π, conduisent pour un tronçon de flagelle de longueur dL à une force de traînée dF^(→−) = − 4πη(2v⃗ − v_(//)^(→−))dL.
III.C.1) La bactérie est maintenue immobile, et le flagelle Σ est en rotation à la vitesse angulaire Ω⃗(Σℒ) = Ωe_z→ dans le référentiel ℒ du laboratoire.
a) Exprimer la force de traînée dF⃗_1 s'exerçant sur ce bâtonnet élémentaire.
b) En supposant que θ varie de − 2πp à 0 où p = L/(2πa) est entier, montrer que la force de traînée exercée par le fluide environnant sur le flagelle entier est F_1^(→−) = 4πη(LahΩ)/(√(a^2 + h^2))e_z→.En déduire que, pour un signe approprié de Ω, la
bactérie peut se propulser selon e_z→.
III.C.2) Lorsque le flagelle est en mouvement de translation à la vitesse ve⃗_z par rapport au référentiel ℒ on montre, par un raisonnement analogue au précédent, que la force de traînée F_2^(→−) exercée par le fluide environnant sur le flagelle entier est
En remarquant la linéarité de la relation entre la force de traînée et la vitesse, quelle est la force de traînée F⃗ exercée par le fluide environnant sur le flagelle entier lorsqu'il tourne à la vitesse angulaire Ωe_z→ tandis que la bactérie se propulse à la vitesse ve_z→ ?
III.C.3) La bactérie (hors flagelle) est modélisée par une sphère de rayon R = 0, 5μ m. On rappelle l'expression de la traînée s'exerçant sur une sphère de rayon R en mouvement à la vitesse v⃗ dans un fluide de viscosité η :
T⃗ = − 6πRηv⃗
a) Montrer que cette force peut être négligée devant F_2^(→−).
b) Justifier l'estimation de la vitesse de la bactérie en régime permanent:
v_p^(→−) = hΩ(a^2)/(2a^2 + h^2)e_z→ et calculer numériquement cette vitesse.
III.D - Aspect énergétique
III.D.1) Exprimer en fonction des forces dF_1^(→−) et dF_2^(→−) définies au paragraphe précédent le moment élémentaire dℐ_O^(→−) en O des efforts exercés par le fluide sur un tronçon [θ, θ + dθ] du flagelle.
III.D.2) Lorsque la bactérie est propulsée par le flagelle à la vitesse v_p^(→−), on obtient par sommation une composante sur e_z→ de ce moment
ℳ_z = − 8πη(aL(a^2 + h^2)^(3/2))/(2a^2 + h^2)Ω.
(résultat admis)
Calculer 𝒰_z numériquement.
III.D.3) Déterminer littéralement puis numériquement la puissance 𝒫_m du moteur cellulaire qui maintient le flagelle en rotation à la vitesse angulaire Ω = 7, 0 ⋅ 10^2 rad ⋅ s^(− 1).
Partie IV - Moteur rotatif biologique
La rotation du flagelle est assurée par un moteur rotatif biologique de taille nanométrique, incorporé dans la membrane de la bactérie. L'objectif de cette partie est d'étudier quelques caractéristiques de ce moteur rotatif.
IV.A - Source d'énergie du moteur
IV.A.1) Question préliminaire
Soit G = U + pV − TS l'enthalpie libre d'un système thermodynamique d'énergie interne U, de volume V, d'entropie S à la température T et sous la pression p. On rappelle l'inégalité vérifiée par le travail utile récupérable W (autre que celui des forces de pression) et la variation d'enthalpie libre ΔG du système entre un état d'équilibre initial et un état d'équilibre final au cours d'une évolution monotherme et monobare: W ≤ − ΔG. A quelle condition l'inégalité précédente devient-elle une égalité ?
On considère le système fermé constitué de la bactérie et du milieu aqueux (milieu extérieur) dans lequel elle évolue. La température T et la pression p du système, grandeurs uniformes, sont maintenues constantes. On admet que la différentielle de l'enthalpie libre du système s'écrit dans cette situation dG = (μ_e + eψ_e)dn_e + (μ_i + eψ_i)dn_i, où :
dn_e et dn_i représentent respectivement les variations du nombre de protons H^+à l'extérieur et dans le cytoplasme (milieu intérieur) de la bactérie ;
ψ_e et ψ_i sont respectivement les potentiels électrostatiques du milieu extérieur et du cytoplasme (e est la charge élémentaire) ;
μ_e = μ^∘ + k_B Tln(([H^+]_e)/(c^∘)) et μ_i = μ^∘ + k_B Tln(([H^+]_i)/(c^∘)), où :
le terme μ^∘ ne dépendant que de T est une constante ;
k_B est la constante de Boltzmann ;
[H^+]_e et [H^+]_i sont les concentrations molaires des protons à l'extérieur et dans le cytoplasme ;
c^∘ = 1, 0 mol ⋅ L^(− 1) est une concentration de référence.
IV.A.2) Les protons en traversant la membrane fournissent l'énergie nécessaire au fonctionnement du moteur. Montrer que le travail utile récupérable δW lorsque dn protons traversent la membrane dans le sens milieu extérieur → cytoplasme s'écrit, à la limite du fonctionnement réversible : δW = − eΔpdn où Δp, grandeur appelée force protomotrice, sera exprimée en fonction de e, k_B, T, [H^+]_e, [H^+]_i et Δψ = ψ_i − ψ_e.
IV.A.3) En déduire qu'à la température de 297 K , la force protomotrice peut également s'écrire: Δp = − 0, 059ΔpH + Δψ(V) où ΔpH = pH_i − pH_e avec pH_i = − log([H^+]_i/c^∘) et pH_e = − log([H^+]_e/c^∘).
IV.A.4) Calculer Δp à 297 K sachant que la bactérie E.coli maintient pH_i = 7, 8 à l'intérieur de son cytoplasme, que le milieu extérieur impose pH_e = 7, 0 et que Δψ = − 0, 12 V.
IV.B - Caractéristique couple-fréquence de rotation
On désire étudier la loi de variation du couple Γ délivré par le moteur rotatif en fonction de la fréquence de rotation f du flagelle. À cette fin, on considère une bactérie E. coli, ayant la forme d'un bâtonnet cylindrique aux extrémités arrondies, liée à la surface en verre de l'une des
faces du récipient qui la contient. En outre, la longueur du flagelle a été considérablement réduite par un procédé chimique et on y a attaché une petite bille de latex de rayon micrométrique a_0 (cf. figure 3 ).
Lorsque la petite bille de latex tourne à la vitesse de rotation uniforme ω = 2πf autour d'un axe passant par son centre, elle subit un couple de frottement fluide Γ_v = − 8πa_0^3 ηω résultant de l'action des forces de viscosité où η est la viscosité dynamique de la solution dans laquelle plonge la bactérie. Le couple visqueux s'exerçant sur le flagelle raccourci sera négligé.
IV.B.1) Montrer que Γ_v est bien homogène à un couple. Donner l'expression, en régime permanent, du couple moteur Γ en fonction de a_0, η et ω.
IV.B.2) La fréquence de rotation f de la bille de latex peut être mesurée par un procédé d'optique physique. Sur quel(s) paramètre(s) peut-on jouer pour obtenir le tracé de la caractéristique Γ en fonction de f ? L'allure de la caractéristique expérimentale Γ(f) est fournie sur la figure 4.
On y distingue deux régimes de fonctionnement :
un bas régime ( 0 ≤ f ≤ 175 Hz ) où le couple moteur est pratiquement constant;
un haut régime ( 175 ≤ f ≤ 350 Hz ) où le couple moteur chute avec la fréquence de rotation.
IV.B.3) Déterminer la valeur numérique du couple maximal Γ_(max), sachant qu'une petite bille de latex de rayon a_0 = 0, 50μ m tourne à la fréquence f = 10 Hz dans une solution de viscosité η = 0, 020 Pa ⋅ s.
IV.B.4) Donner l'ordre de grandeur numérique de la fréquence de rotation du flagelle raccourci lorsqu'aucune bille de latex n'est accrochée.
IV.C - Évaluation du rendement du moteur
On considère toujours la même bille de latex entraînée à la fréquence de rotation f = 10 Hz par le moteur de la bactérie dans une solution de viscosité η = 0, 020 Pa ⋅ s.
IV.C.1) Déterminer l'expression de la puissance mécanique 𝒫_m fournie par le moteur. Faire l'application numérique avec les données précédentes.
IV.C.2) Sachant que pour chaque tour effectué par le moteur, le nombre de protons traversant la membrane de la bactérie est n = 1200, déterminer l'expression littérale du flux de protons φ traversant la membrane en fonction de n et f. Faire l'application numérique.
IV.C.3) En utilisant le résultat de la question IV.A.2, exprimer la puissance 𝒫_r reçue par le moteur due à la traversée de la membrane par les protons en fonction de la force protomotrice Δp, de la charge élémentaire e et du flux des protons φ. Faire l'application numérique sachant que Δp = − 0, 17 V.
IV.C.4) Définir et calculer la valeur du rendement de ce moteur rotatif biologique pour la fréquence f = 10 Hz. Comment évolue le rendement lorsque la fréquence de rotation f varie dans le domaine de fonctionnement bas régime? Dans le domaine de fonctionnement haut régime?
IV.D - «Moteur pas à pas »
Le rotor du moteur est assimilé à un disque de rayon r = 20 nm et d'épaisseur négligeable. La rotation du rotor est assurée par un stator constitué de huit «unités biologiques », régulièrement réparties sur sa
Figure 5
axe de rotation : Δ
"unité biologique »: (U.B.) périphérie et générant chacune une force orthoradiale d'intensité F (cf. figure 5). On envisage le fonctionnement du moteur en bas régime.
IV.D.1) Exprimer l'intensité F de la force en fonction de r et Γ_(max). Calculer numériquement F. Afin d'avoir une idée intuitive de ce que représente cette force, calculer numériquement la distance qui doit séparer deux électrons dans le vide pour obtenir une force électrostatique de même intensité.
IV.D.2) Le moteur biologique est en fait un «moteur pas à pas», c'est-à-dire qu'il tourne par bonds successifs d'un angle fixe dit incrément. Dans notre cas, un tour complet s'effectue en 52 incréments. Calculer le déplacement d d'un point de la périphérie du rotor correspondant à un incrément. En déduire la valeur numérique du travail fourni par une «unité biologique» pour réaliser un incrément.
IV.D.3) Déterminer le nombre de protons n^′ qui doivent traverser la membrane pour qu'une «unité biologique» réalise un incrément. On supposera que le rendement du moteur est de 100% pour ce calcul.
Pas de description pour le moment
Commentaires• Centrale Physique 1 PC 2008
Connectez-vous pour participer aux discussions
Partagez vos avis, posez des questions et échangez avec la communauté
Même année, E3AE3A Physique PC 2008E3A · 2008Corrigé
Même année, CCINPCCINP Physique 1 PC 2008CCINP · 2008Corrigé
Même année, XPolytechnique Physique 2 PC 2008X · 2008Corrigé
