Centrale Mathématiques 1 PC 2008Sujet et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile

Résolution d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants d'ordre n

Le problème vise à trouver les solutions d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants d'ordre n, d'abord dans le cas homogène puis lorsque le second membre est le produit d'un polynôme par une exponentielle. Il teste les connaissances en algèbre linéaire et vérifie l'acquisition de résultats d'analyse sur les séries entières, les séries de fonctions et l'intégrabilité, avant de demander l'élaboration d'un programme pour déterminer une solution particulière.

1Partie IEtablir des résultats préliminaires d'algèbre linéaire utiles pour la suite du problème.
2Partie IIDéterminer l'ensemble des solutions de l'équation homogène (H), de dimension n.
3Partie IIIEtudier un polynôme B et l'ordre de multiplicité d'une racine complexe z du polynôme caractéristique A.
4Partie IVRechercher une solution particulière de l'équation avec second membre et élaborer un programme pour la déterminer.

Difficile. Le rapport indique que les résultats ont été jugés décevants étant donné le grand nombre de questions faciles proposées, avec des lacunes de logique dans les raisonnements par récurrence et les questions d'existence et d'unicité.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Notion d'espace vectoriel mal acquise · Confusion entre somme et produit · Existence et unicité confondues

Les résultats ont été jugés décevants compte tenu du grand nombre de questions faciles. Des lacunes de logique sont apparues dans les raisonnements par récurrence, l'établissement de conditions nécessaires et suffisantes et les questions d'existence et d'unicité. Les copies sont en général soignées même si l'orthographe laisse parfois à désirer.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Notion d'espace vectoriel mal acquisePartie I.A
Certains cherchent la dimension d'un ensemble avant de montrer que c'est un espace vectoriel, et les dimensions trouvées ne sont pas toujours des entiers.
2
Confusion entre somme et produitPartie II.B
En partie II.B, il y a beaucoup de confusion entre les symboles somme et produit, et la manipulation des polynômes d'endomorphismes pose de gros problèmes.
3
Existence et unicité confonduesPartie III.C
En partie III.C, beaucoup confondent existence et unicité et utilisent un raisonnement circulaire pour conclure à tort à l'existence d'une solution.
« si une solution existe, d'après l'injectivité de Ψ, elle est unique donc la solution existe et est unique »
4
Programme informatique presque toujours sauté
La question concernant le programme à réaliser a été presque toujours sautée par les candidats.
5
Hypothèses du théorème de dérivation mal vérifiéesPartie IV.F
Le théorème de dérivation d'une série de fonctions est en général bien énoncé en partie IV.F mais la vérification de ses hypothèses est rarement correcte.

Ce qui a été bien réussi

La question III.D a permis de départager les candidats sachant utiliser les questions précédentes
La question IV.E.b a été traitée correctement par ceux qui l'ont abordée

Conseils du jury

Bien maîtriser les techniques usuelles : prouver qu'un ensemble est un sous-espace vectoriel, qu'une application est linéaire, trouver une dimension.
Ne pas se contenter d'affirmer un résultat par une récurrence facile sans la détailler.
Distinguer clairement existence et unicité d'une solution.
Vérifier soigneusement les hypothèses des théorèmes employés avant de les appliquer.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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MATHÉMATIQUES I

Objectifs

On se propose, dans ce qui suit, de déterminer l'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants lorsqu'elle est homogène, puis lorsque celle-ci admet un «second membre» d'un type particulier.
La partie I vise à établir des résultats utiles dans les suivantes.

Notations

Pour tout couple $(m, n) \in ℕ^2$ :

si $m \leq n$ l'ensemble ${k \in ℕ, m \leq k \leq n}$ est noté $[[m, n]]$ ;
$δ_(m, n)$ vaut 1 si $m = n, 0$ sinon.

Si $(p, q) \in ℕ^2$ , on note $ℂ_q[X]$ l'ensemble constitué des éléments de $ℂ[X]$ de degré inférieur ou égal à $q$ et $ℂ_(q, p)[X]$ celui constitué des éléments de $ℂ_q[X]$ divisibles par $X^p$ .
Si $u$ est une application linéaire, $Ker(u)$ et $Im(u)$ désignent respectivement son noyau et son image.
Si $u$ est un endomorphisme, par convention, $u^0$ est l'application identité, et pour tout entier naturel $p$ , on pose $u^(p + 1) = u \circ u^p$ .
On considère un intervalle $I$ de $ℝ$ contenant au moins deux éléments. On dira que l'intervalle $I$ est un voisinage de 0 s'il existe un réel $α > 0$ tel que $[ - α, α] \subset I$ . On note $E$ le $ℂ$ -espace vectoriel des applications de classe $C^\infty$ de $I$ dans $ℂ, 0_E$ son élément nul, $id_E$ l'application identité de $E$ et $D$ l'endomorphisme «dérivation» de $E$ , c'est-à-dire tel que : $\forallf \in E, D(f) = f^'$ .
Pour tout $y$ de $E$ , et pour tout $k$ entier strictement positif, $y^((k))$ désigne la dérivée $è k^(ième)$ de $y$ . Par convention $y^((0)) = y$ .
Si $P \in ℂ[X]$ et $z \in ℂ$ , on note $deg(P)$ le degré de $P$ et $P_(⟨z⟩)$ l'application de $I$ dans $ℂ$ définie par: $\forallt \in I, P_(⟨z⟩)(t) = P(t)e^(zt)$ .

Filière PC

Partie I -

Soient

z \in ℂ

(p, q) \in ℕ^2

tel que

p \leq q

.
I.A - Montrer que

ℂ_(q, p)[X]

est un

ℂ

- espace vectoriel de dimension finie et préciser sa dimension.
I.B - Montrer qu'on peut définir une application

φ_z

ℂ[X]

dans

E

définie par :

\forallP \in ℂ[X], φ_z(P) = P_(⟨z⟩).

Montrer que

φ_z

est linéaire et injective.
I.C - Déduire des questions précédentes que les images par

φ_z

ℂ_q[X]

ℂ_(q, p)[X]

sont des sous-espaces vectoriels de

E

de dimensions finies que l'on précisera.

Dans la suite de ce problème,

n

est un entier naturel non nul,

α = (α_0, \dotsα_n)

un élément de

ℂ^(n + 1)

tel que

α_n

n'est pas nul, et on note (

H

) l'équation différentielle, d'inconnue y élément de

E

\sum_(k = 0)^n α_k y^((k)) = 0_E

Partie II -

On se propose, dans cette partie, de déterminer

S_H

, l'ensemble des solutions de (

H

) définies sur

I

. On admettra que

dim(S_H) = n

.
II.A - Justifier que

S_H = Ker(\sum_(k = 0)^n α_k D^k)

On note

p

le nombre de racines distinctes du polynôme

A = \sum_(k = 0)^n α_k X^k

ℂ[X]

; on note

r_1, r_2\dotsr_p

ses racines et

m_1, m_2\dotsm_p

leurs ordres de multiplicité respectifs.
II.B - Vérifier que

S_H

contient le sous-espace vectoriel de

E

\sum_(j = 1)^p Ker((D - r_j \cdot id_E)^(m_j))

On admettra que cette somme est directe.
II.C - Dans cette question,

r \in ℂ

m \in ℕ^*

.
a) Soit

P

un élément non nul de

ℂ[X]

. Justifier l'existence d'un élément

Q

ℂ[X]

tel que

d^\circQ < d^\circP

(D - r \cdot id_E)(P_(⟨r⟩)) = Q_(⟨r⟩)

.
b) En déduire par récurrence la propriété suivante pour tout entier

k

[[1, m]]

si P \in ℂ_(k - 1)[X], alors P_(⟨r⟩) \in Ker((D - r \cdot id_E)^k)

c) En conclure que

Ker((D - r \cdot id_E)^m)

est un sous-espace vectoriel de

E

de dimension au moins

m

.
II.D - Déduire de ce qui précède que, pour tout élément

y

E

, on a l'équivalence suivante,

y \in S_H

si et seulement si il existe une famille

(P_j)_(j \in [[1, p]])

d'éléments de

ℂ[X]

telle que :

\forallj \in [[1, p]], deg(P_j) < m_j et \forallt \in I, y(t) = \sum_(j = 1)^p P_j(t)e^(r_j t)

II.E - Dans le cas où

I

est un voisinage de 0 , prouver que pour tout réel

α

strictement positif tel que

] - α, α[ \subset I

, les solutions de

(H)

sont développables en série entière sur

] - α, α[

Partie III -

Dans cette partie, on considère un polynôme

B

ℂ[X]

, non nul. On note

d

le degré du polynôme

B

. On choisit un nombre complexe

z

et on note

m

l'ordre de multiplicité (éventuellement nul) de

z

en tant que racine du polynôme

A = \sum_(k = 0)^n α_k X^k

ℂ[X]

.
On se propose de résoudre l'équation différentielle, d'inconnue

y

élément de

E

, notée (

L

) :

(L) \sum_(k = 0)^n α_k y^((k)) = B_(⟨z⟩).

III.A - Vérifier qu'on peut définir une application

ψ

, de

ℂ_(m + d, m)[X]

dans

E

, définie par

\forallP \in ℂ_(m + d, m)[X], ψ(P) = [\sum_(k = 0)^n α_k D^k](P_(⟨z⟩))

puis montrer que celle-ci est linéaire.
III.B - Prouver que

ψ

est injective et que

Im(ψ) \subset φ_z(ℂ_d[X])

.
III.C - Démontrer qu'il existe un unique élément

Π

ℂ_(m + d, m)[X]

tel que

Π_(⟨z⟩)

soit solution de

(L)

, définie sur

I

, puis préciser, en fonction de

Π

, l'ensemble des solutions de (

L

) sur

I

.
III.D - Dans le cas où l'intervalle

I

est un voisinage de 0 , les solutions de (

L

) sont-elles développables en série entière sur tout intervalle

] - α, α[(α > 0)

tel que

] - α, α[ \subset I

Partie IV -

On suppose, dans cette dernière partie, que

α_0

vaut 1 et que :

M = max_(k \in [[0, n]])|α_k|

On considère également un élément

b

E

et on note (

L_b

) l'équation différentielle, d'inconnue

y

élément de

E

(L_b) \sum_(k = 0)^n α_k y^((k)) = b

IV.A - Soit

α \in ℝ^(+ *)

tel que

] - α, α[ \subset I

et que (

L_b

) admette une solution développable en série entière sur l'intervalle

] - α, α[

.
Montrer que

b

est également développable en série entière sur l'intervalle

] - α, α[

. Qu'en est-il alors des autres solutions de (

L_b

) ?
IV.B - Montrer que, si

p \in ℕ

, alors il existe un unique élément

Π_p

ℂ_p[X]

tel que:

\sum_(k = 0)^n α_k Π_p^((k)) = (X^p)/(p!).

Prouver qu'il existe un unique élément

(π_(p, j))_(j \in [[0, p]])

ℂ^(p + 1)

tel que :

Π_p = \sum_(j = 0)^p(π_(p, j) \cdot (X^j)/(j!)).

IV.C - Prouver que :

∀(p, q) ∈ ℕ^2 q ≤ p ⇒ ∑_(k = 0)^(min{n, p − q})(α_k ⋅ π_(p, q + k)) = δ_(p, q)

IV.D - Lorsque

p

est un entier strictement positif, traduire sous forme matricielle le système linéaire précédent d'inconnue

(π_(p, j))_(j \in [[0, p]])

, élément de

ℂ^(p + 1)

, puis écrire une procédure qui, en fonction de

n

et du système

α

, détermine l'unique solution de celui-ci.

IV.E -

a) Vérifier que:

\forallp \in ℕ, \forallj \in [[0, p]], |π_(p, p - j)| \leq (2M)^j

.
b) En déduire que, pour tout

t \in ℝ

et pour tout entier

q

, alors :

|Π_q(t)| \leq (2M + |t|)^q.

On suppose dorénavant que

b

est une application de

I

dans

ℂ

développable en série entière sur un intervalle

] - α, α[(α > 0)

inclus dans

I

. On note

r

le rayon de convergence de la série entière

\sumb^((n))(0)z^n

et on suppose que

r > 2M

IV.F -

a) Montrer qu'il existe

β

élément de

]0

α[

tel que la suite de fonctions

(f_p)_(p \in ℕ)

définie par:

\forallp \in ℕ \forallt \in I, f_p(t) = \sum_(q = 0)^p b^((q))(0)Π_q(t)

converge sur

] - β, β[

.
On note

f

la limite de cette suite de fonctions, définie sur

] - β, β[

.
b) Prouver que

f

est de classe

C^n

sur

] - β, β[

.
IV.G - Justifier que

f

est une solution de

(L_b)

définie sur l'intervalle sur

] - β, β[

.
IV.H - Prouver que

f

est de classe

C^\infty

sur

] - β, β[

et que pour tout entier

k > 0

, on a:

\forallt \in ] - β, β[, f^((k))(t) = lim_(p \to + \infty)f_p^((k))(t)

IV.I - Si

t \in ℝ^+

, on note

E(t)

sa partie entière.

On se propose, dans cette question, de démontrer que

f

est développable en série entière sur

] - β, β[

. À cet effet, on introduit un élément

x

] - β

β[

puis, pour tout entier

p

ℕ

, l'application

e_p

ℝ^+

dans

ℂ

définie par:

\forallp \in ℕ, \forallt \in ℝ^+, e_p(t) = (f_p^((E(t)))(0) \cdot x^(E(t)))/([E(t)]!).

a) Montrer que, si

p \in ℕ

e_p

est intégrable sur

ℝ^+

et préciser la valeur de son intégrale sur

ℝ^+

.
b) Exhiber une application

e

en escalier de

ℝ^+

dans

ℝ

intégrable telle que :

\forallp \in ℕ, \forallt \in ℝ^+, |e_p(t)| \leq e(t)

c) Conclure.

IV.J -

a) Qu'en déduit-on pour les solutions de (

L_b

) sur l'intervalle

] - β

β[

?
b) Les résultats précédents sont-ils encore valables si

α_0

n'est pas égal à 1 ?

Questions fréquentes

3 questions

Sur quoi porte le sujet de mathématiques 1 Centrale PC 2008 ?

Il porte sur la résolution d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants d'ordre n, d'abord homogène puis avec un second membre polynôme fois exponentielle.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées ?

Une notion d'espace vectoriel mal acquise, une confusion entre somme et produit dans la manipulation de polynômes d'endomorphismes, et une confusion entre existence et unicité d'une solution.

Ce sujet de mathématiques PC est-il difficile ?

Le rapport juge les résultats décevants malgré de nombreuses questions faciles, révélant des lacunes de logique chez de nombreux candidats.

Pas de description pour le moment

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