Centrale Mathématiques 1 PC 2007Sujet, corrigé et rapport du jury

Dans tout le problème, on notera f la fonction définie sur ℝ par :

I.A.1) Montrer que pour tout entier naturel n, la fonction x ↦ x^n f(x) est intégrable sur ℝ. On note m_n(f) = ∫_ℝ x^n f(x)dx.

On admettra dans toute la suite de ce problème que ∫_ℝ f(x)dx = 1.
I.A.2) Déterminer m_1.
I.A.3) Lorsque n ⩾ 2, donner une relation de récurrence liant m_n et m_(n − 2). En déduire une expression de m_n en fonction de n.
I.B - Montrer que pour tout t ∈ ℝ, l'intégrale ∫_ℝ e^(− tx)f(x)dx est convergente et déterminer sa valeur en fonction de t.
On pourra considérer la forme canonique du trinôme x ↦ − (x^2)/2 − tx.
I.C -
I.C.1) Le réel t étant fixé, pour tout x ∈ ℝ, on pose S_n(x) = ∑_(k = 0)^n((− 1)^k t^k x^k)/(k!)f(x).

Calculer lim_(n → ∞)S_n(x)
I.C.2) Montrer à l'aide du théorème de convergence dominée que pour tout t ∈ ℝ,

I.C.3) Retrouver la valeur de ∫_ℝ e^(− tx)f(x)dx obtenue précédemment.

Dans toute la suite du problème, on note E l'ensemble des fonctions g continues sur ℝ à valeurs réelles, telles qu'il existe un réel positif M(g) et un réel strictement positif λ vérifiant : ∀x ∈ ℝ, |g(x)| ⩽ M(g)f(λx).
II.A - Démontrer que E muni des lois + et ⋅ usuelles est un espace vectoriel sur ℝ, qui contient f.
II.B - Soient u et v deux éléments de E. On note u∗v l'application définie, pour tout réel x pour lequel la formule a un sens, par

II.B.1) Démontrer que u∗v est définie sur ℝ.
II.B.2) Démontrer que u∗v = v∗u.
II.B.3) Déterminer (f∗f)(x).
II.B.4) Démontrer que u∗v appartient à E (on utilisera le résultat de la question précédente).
II.C - Soit u ∈ E. On définit l'application uˆ par : uˆ(t) = ∫_ℝ e^(− tx)u(x)dx.
II.C.1) Montrer que uˆ est bien définie sur ℝ.
II.C.2) Montrer que uˆ est de classe C^2 sur ℝ et déterminer une expression de uˆ^′(t) et uˆ^(′′)(t) à l'aide d'intégrales.
II.D - Dans cette section D seulement, on admet le résultat suivant :

Soit f : (x, y) ↦ f(x, y) une application continue de ℝ^2 dans ℝ telle qu'il existe deux applications h_1 et h_2 continues sur ℝ et intégrables sur ℝ avec :

alors ∫_ℝ(∫_ℝ f(x, y)dx)dy et ∫_ℝ(∫_ℝ f(x, y)dy)dx sont convergentes et ces deux intégrales doubles sont égales.
Soient u et v deux éléments de E.
II.D.1) Démontrer qu'il existe une constante a > 0 telle que pour tout couple (x, t) ∈ ℝ^2 :

II.D.2) Démontrer la formule :

II.D.3) Démontrer la relation, pour tout θ ∈ ℝ :

on pourra utiliser l'égalité

Dans la suite de ce problème, on considère le sous ensemble E_1 de E dont les éléments sont les fonctions h ∈ E telles que ∫_ℝ h(x)dx = 1. On notera que la fonction f de la partie I est un élément de E_1. À toute fonction h ∈ E_1, on associe la suite de fonctions (h_n)_(n ∈ ℕ) définie par la récurrence suivante :

On remarquera que la fonction h_n est alors élément de E d'après II B4.
L'objectif est d'étudier certaines propriétés de cette suite de fonctions, dans un premier temps sur des exemples puis dans le cas général.

III.A - Soit h un élément de E_1.
III.A.1) Démontrer que la suite (h_n)_(n ∈ ℕ^∗) est une suite d'éléments de E_1.
III.A.2) Exprimer, pour tout n ∈ ℕ et pour tout x ∈ ℝ, h_n ˆ(x) en fonction de hˆ(x) et de n.
III.B - Dans cette question on étudie la suite (f_n)_(n ∈ ℕ^∗) associée à la fonction f : t ↦ 1/(√(2π))e^((− t^2)/2) étudiée dans la partie I (on a donc posé h = f ).
III.B.1) Déterminer une constante K_2 telle que ∀x ∈ ℝ, f_2(x) = K_2 e^(− (x^2)/4).
III.B.2) Déterminer une constante K_n telle que ∀x ∈ ℝ, f_n(x) = K_n e^(− (x^2)/(2n)).
III.B.3) Déterminer lim_(n → ∞)f_n ˆ(t/(√n)) en fonction de t ∈ ℝ.
III.C - Soit g la fonction définie sur ℝ par : {g(x) = 1/2cos(x), si x ∈ [ − π/2, π/2]; g(x) = 0, sinon
III.C.1) Démontrer que g ∈ E_1.
III.C.2) Montrer que la fonction g∗g est paire. Donner pour x ⩾ 0 l'expression de (g∗g)(x) en fonction des valeurs de x : on distinguera deux intervalles pour x.
III.C.3) Démontrer que g_n est nulle en dehors d'un intervalle [ − a_n, a_n] que l'on précisera.
III.C.4) Déterminer l'expression de gˆ(t) en fonction de t.
III.C.5) Déterminer lim_(n → ∞)g_n ˆ(t/(√n)) en fonction de t.

Soit h un élément de E_1. On note pour n ∈ ℕ^∗ :

IV.A.1) Montrer que la fonction h_n ˆ possède un développement limité à l'ordre 2 dont on précisera les coefficients à l'aide de M_(1, n) et M_(2, n).
IV.A.2) En déduire que M_(1, n) = nM_(1, 1) et V_n = nV_1.
IV.B - On suppose dans cette question que la fonction h est telle que M_(1, 1) = 0.

Déterminer la limite de la suite (h_n ˆ(t/(√n)))_(n ∈ ℕ^∗).