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Mines Mathématiques 2 PC 2001Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Étude d'une équation différentielle linéaire du second ordre à paramètre par séries entières
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Le sujet étudie l'équation différentielle xy'' + (1-x)y' - λy = 0, où λ est un paramètre réel. La première partie cherche les solutions définies sur toute la droite réelle sous forme de série entière ou de polynôme, puis résout un cas particulier par variation de la constante. La deuxième partie étudie un cas particulier lié à l'intégrale de Wallis et à une fonction définie par une intégrale à paramètre.

  1. 1Première partieDéterminer les solutions de l'équation différentielle sous forme de série entière ou de polynôme, puis résoudre le cas λ = 1 par variation de la constante.
  2. 2Deuxième partieÉtudier un cas particulier à l'aide de l'intégrale de Wallis et d'une fonction définie par une intégrale dépendant d'un paramètre.

Difficile. Le rapport indique que le problème ne présentait aucune difficulté théorique mais exigeait une bonne maîtrise des techniques de calcul, ce qui a conduit à une moyenne assez faible malgré un barème indulgent.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Confusion sur la structure des solutions d'une équation homogène · Confusion entre continuité par rapport au couple et par rapport à chaque variable · Résultats affirmés sans calcul explicite
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Le problème couvrait une grande partie du programme d'analyse sans difficulté théorique majeure, mais exigeait une bonne maîtrise des techniques de calcul usuelles, qui a parfois cruellement fait défaut. Cela explique une moyenne assez faible malgré un barème indulgent, même si le jury a rencontré un bon nombre de bonnes et d'excellentes copies.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Confusion sur la structure des solutions d'une équation homogèneI-2.a

    En I-2.a, la méthode de variation de la constante est souvent ignorée, et quand elle est connue, beaucoup de candidats ignorent la structure de l'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire homogène du second ordre.

  2. 2
    Confusion entre continuité par rapport au couple et par rapport à chaque variableII-2.a

    En II-2.a, certains candidats confondent la continuité par rapport au couple (x, θ) et la continuité par rapport à chacun des arguments séparément.

    « certains candidats confondent continuité par rapport au couple (x, θ) et continuité par rapport à chacun des arguments »
  3. 3
    Résultats affirmés sans calcul expliciteI-3.a

    En I-3.a, on assiste fréquemment à des tentatives du type « donc on trouve » sans que le déroulement du calcul soit explicité.

    « donc on trouve »
  4. 4
    Développement en série entière sans vérifier le domaine de validitéII-3.a

    En II-3.a, le développement en série entière est effectué sans tenir compte de son domaine de validité.

  5. 5
    Majoration délicate rarement aboutieII-3.d

    La question II-3.d est la plus délicate du problème et n'a quasiment jamais été abordée avec succès, la majoration attendue n'étant presque jamais trouvée.

Ce qui a été bien réussi

  • La question I-1.a, portant sur la relation de récurrence, est obtenue dans la plupart des copies.
  • La question I-1.c, sur la règle de d'Alembert, est très souvent utilisée à bon escient.
  • La question I-3.a, purement technique, est souvent bien traitée.
  • Le calcul de l'intégrale de Wallis en II-1 ne présente pas de difficulté et est mené à bien dans la majorité des copies.

Conseils du jury

  • Expliciter les calculs du début jusqu'à la fin avec clarté, en évitant les raccourcis abusifs qui sont toujours sanctionnés.
  • S'entraîner régulièrement au calcul, la maîtrise technique ne s'acquérant qu'avec une pratique soutenue.
  • Énoncer avec précision les théorèmes utilisés et vérifier explicitement leurs hypothèses.
  • Soigner l'orthographe et la présentation, qui mettent les correcteurs dans de bonnes dispositions.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière STI).

CONCOURS D’ADMISSION 2001

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ÉPREUVE Filière PC (Durée de l'épreuve : 3 heures) (L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES 2-Filière PC.
Cet énoncé comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
L’objet de ce problème est l’étude de l’équation différentielle suivante :
E_λ : xy^(′′) + (1 − x)y^′ − λy = 0.
où la fonction y est une fonction inconnue deux fois continûment dérivable de la variable x et λ un réel donné.

PREMIÈRE PARTIE

I-1. Solution de l'équation différentielle définie sur toute la droite réelle :
Il est admis qu'il existe une fonction f_λ, somme d'une série entière de rayon de convergence R, strictement positif, prenant la valeur 1 en 0 , ( f_λ(0) = 1 ), solution dans l'intervalle ] − R, R [ de l'équation différentielle E_λ. Cette fonction est définie par la relation :
f_λ(x) = 1 + ∑_(n = 1)^∞a_n x^n.
a. Déterminer les coefficients a_n, n ≥ 1, en fonction de l'entier n et du réel λ. Préciser les fonctions f_1, f_0, f_(− 1), f_(− 2).
b. Pour quelles valeurs du réel λ la fonction f_λ est-elle un polynôme ? Préciser son degré en fonction de la valeur − p donnée au réel λ et le coefficient du terme de plus haut degré (le terme
dominant).
c. Quel est le rayon de convergence R de la série entière de terme général a_n x^n, n ≥ 1, lorsque le réel λ est différent des valeurs obtenues précédemment?
Il est admis, dans la suite, que la fonction f_λ est la seule fonction, développable en série entière sur toute la droite réelle, qui soit solution de l'équation différentielle E_λ et qui prenne la valeur 1 en 0.

I-2. Solution de l'équation différentielle E_1 :

Dans cette question le réel λ est égal à 1 :
E_1 : xy^(′′) + (1 − x)y^′ − y = 0
a. Déterminer la solution générale f_1 de l'équation différentielle E_1 sur la demi-droite ]0, ∞[; exprimer cette solution à l'aide de fonctions usuelles et de la fonction définie sur la demi-droite ]0, ∞[, par la relation
x ↦ ∫_1^x(e^(− t))/tdt
b. Déterminer de même la solution générale de l'équation différentielle E_1 sur la demi-droite ] − ∞, 0[.
c. Déterminer enfin les fonctions solutions sur R de l'équation différentielle E_1.

I-3. Relation entre les fonctions f_λ :

Étant donné un réel λ, soit g_λ la fonction définie sur la droite réelle R par la relation ci-dessous :
g_λ(x) = e^x f_λ(− x).
a. Déterminer une équation différentielle linéaire du second ordre vérifiée par la fonction g_λ.
b. En déduire, en admettant que le produit de deux fonctions réelles développables en série entière sur la droite réelle R est encore une fonction développable en série entière sur la droite réelle R, que, pour tous réels λ et x, il vient :
f_(1 − λ)(x) = e^x f_λ(− x)
c. Préciser, lorsque p est un entier strictement positif, les fonctions f_p. En déduire les fonctions f_2 et f_3.
d. Soit p un entier donné supérieur ou égal à 1(p ≥ 1); quelle est, lorsque le réel x croît indéfiniment, la limite de l'expression ci-dessous :
(f_(p + 1)(x))/(xf_p(x))?

I-4. Application à une équation aux dérivées partielles:

Soit Ω le sous-ensemble ouvert de R^3, rapporté à un repère Oxyz , obtenu en retranchant de R^3 le plan Oxy :
Ω = {(x, y, z)|(x, y, z) ∈ R^3; z ≠ 0}
Soit F une fonction inconnue, définie dans l'ouvert Ω, vérifiant l'équation aux dérivées partielles ( P ) suivante :
(P) (∂^2 F)/(∂x^2) + (∂^2 F)/(∂y^2) + (∂^2 F)/(∂z^2) − r/z(∂F)/(∂z) + 1/(4r^2)F = 0
Il a été posé dans cette relation :
r = √(x^2 + y^2 + z^2)
Comment y a-t-il lieu de choisir le réel λ pour que la fonction F définie dans l'ouvert Ω par la relation suivante
F(x, y, z) = 1/(√r)f_λ(r)
soit solution de l'équation aux dérivées partielles (P) ?

SECONDE PARTIE

L'objet de cette seconde partie est l'étude de certaines propriétés de la fonction f_(1/2). Dans ce but la fonction φ, définie pour tout réel x par la relation suivante :
φ(x) = ∫_0^(π/2)e^(xsin^2 θ)dθ
est introduite ainsi que les intégrales I_p définies par la relation suivante : pour tout entier naturel p, l'intégrale I_p est donnée par la relation :
I_p = ∫_0^(π/2)sin^(2p)θdθ
II-1. Détermination de l'intégrale I_p :
Déterminer une relation entre les intégrales I_p et I_(p + 1). En déduire la valeur de l'intégrale I_p.

II-2. Relation entre les fonctions φ et f_(1/2) :

a. Démontrer que la fonction φ est définie et continue sur toute la droite réelle R. Est-elle plusieurs fois continûment dérivable ?
b. Déterminer le développement en série entière de la fonction φ sur un intervalle ] − R, R[. En déduire qu'elle est proportionnelle à la fonction f_(1/2). Préciser le coefficient de proportionnalité.

II-3. Encadrements de φ(x) :

a. Démontrer que, pour tout réel u strictement inférieur à 1(u < 1), l'inégalité ci-dessous existe :
e^u ≤ 1/(1 − u)
b. Soit x un réel strictement inférieur à 1(x < 1); soit J(x) l'intégrale définie par la relation suivante :
J(x) = ∫_0^(π/2)(dθ)/(1 − xsin^2 θ)
Calculer l'intégrale J(x).
c. Déduire des résultats précédents que, pour tout réel x strictement inférieur à 1(x < 1), la fonction φ vérifie l'encadrement suivant :
0 ≤ φ(x) ≤ π/21/(√(1 − x))
d. Démontrer l'existence d'une constante A strictement positive telle que pour tout réel x inférieur ou égal à − 1(x ≤ − 1), la fonction φ vérifie la minoration suivante :
φ(x) ≥ A/(√(− x))
e. Démontrer que la fonction f_(1/2) admet une limite lorsque le réel x tend vers − ∞. Préciser cette limite. Est-ce que la fonction f_(1/2) est intégrable sur la demi-droite ] − ∞, − 1] ?
Soit h la fonction définie sur la droite réelle par la relation :
h(x) = e^(− x/2)f_(1/2)(x)

II-4. Étude de la fonction h :

a. Démontrer que la fonction h est paire et que la valeur de h(x) est donnée par la relation suivante :
h(x) = k∫_0^(π/2)ch(x(cosθ)/2)dθ
où k est une constante qui sera déterminée.
b. Déterminer, lorsque le réel x croît indéfiniment, les limites des deux expressions suivantes
h(x) et (h(x))/x.
c. Étudier les variations de la fonction h et tracer la courbe représentative, lorsque le réel x varie sur la droite réelle R.
FIN DU PROBLÈME

Questions fréquentes

3 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 2 Mines PC 2001 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 2 Mines PC 2001 ?

Le sujet porte sur les équations différentielles linéaires du second ordre, les séries entières et les intégrales à paramètre, à travers l'étude d'une famille d'équations différentielles dépendant d'un paramètre λ.

Le sujet de mathématiques 2 Mines PC 2001 est-il difficile ?

Le rapport indique que le sujet ne présentait pas de difficulté théorique mais exigeait une bonne maîtrise du calcul, ce qui a entraîné une moyenne assez faible malgré un barème indulgent.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet Mines PC maths 2 2001 ?

Le jury relève une mauvaise maîtrise de la structure des solutions d'une équation homogène, des confusions sur la continuité par rapport à un couple de variables, et des résultats affirmés sans calcul explicite.

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