WikiPrépaLivrets

Mines Mathématiques 2 PC 2000Sujet, corrigé et rapport du jury

5,0(1 vote)
Logo concours Mines

Explorer les annales

BanqueMinesAnnée2000FilièrePCMatièreMathématiques
Annales Mines PC MathématiquesMines PC 2000PC MathématiquesMathématiques 2000

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)
Corrigé
Rapport du juryLire en ligneLaTeXWord

Présentation du sujet

Difficile
Étude d'une équation différentielle du second ordre y'' + φ(t)y = 0 : périodicité, zéros et comportement asymptotique
Afficher ou masquer la section

Le problème étudie quelques propriétés de l'équation différentielle y''(t) + φ(t)y(t) = 0. Il comporte cinq parties, dont les trois premières indépendantes entre elles : caractérisation et construction de solutions périodiques avec une inégalité liée à la dérivée, étude d'une série entière et du signe d'une fonction définie par une série alternée, étude des zéros d'une solution et de leur espacement, étude d'une fonction solution d'une équation différentielle liée par un changement de variable, puis une dernière partie sur une inégalité et le comportement asymptotique des solutions.

  1. 1Première partieCaractériser et construire une solution périodique de l'équation différentielle, puis établir une inégalité entre la fonction et sa dérivée.
  2. 2Deuxième partieCalculer le rayon de convergence d'une série entière et étudier le signe d'une fonction définie par une série alternée.
  3. 3Troisième partieÉtudier les zéros d'une solution de l'équation différentielle et leur espacement.
  4. 4Quatrième partieMontrer qu'une fonction est solution d'une équation différentielle liée à la précédente par changement d'indice, et étudier ses zéros.
  5. 5Cinquième partieÉtablir une inégalité sur les solutions et étudier leur comportement.

Difficile. Le rapport indique que le manque important de rigueur de nombreux candidats explique une moyenne générale restée inférieure à dix malgré un barème généreux, et que la longueur de l'épreuve a incité les candidats à survoler les questions des quatre premières parties, la cinquième étant rarement abordée.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Théorème de Dirichlet cité sans son hypothèse de continuité · Négation d'une proposition mal exprimée · Indices maquillés dans une sommation
Afficher ou masquer la section

Le sujet exigeait une bonne technicité sur des questions classiques de séries de Fourier, de séries réelles alternées et de séries de fonctions. De nombreuses questions, accessibles à un candidat connaissant bien son cours, permettaient d'obtenir facilement une note supérieure à la moyenne, mais de nombreux candidats ne maîtrisent pas le cours et sont incapables d'énoncer précisément les théorèmes utilisés ou de vérifier leurs hypothèses. Le manque de rigueur généralisé explique une moyenne restée inférieure à dix.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Théorème de Dirichlet cité sans son hypothèse de continuitéI.2.a

    En I.2.a, le théorème de Dirichlet, quand il est cité, est trop souvent amputé de l'hypothèse de continuité de f.

  2. 2
    Négation d'une proposition mal expriméeIII.2.a

    En III.2.a, de nombreux candidats sont incapables d'exprimer correctement la négation d'une proposition.

    « de nombreux candidats sont incapables d'exprimer correctement la négation d'une proposition »
  3. 3
    Indices maquillés dans une sommationIV.1.b

    Certains candidats n'hésitent pas, pour arriver au résultat demandé, à maquiller les indices dans une sommation à la question IV.1.b, ce qui est pénalisé pour manque d'honnêteté.

  4. 4
    Critère spécial des séries alternées appliqué sans vérifier la décroissanceII.2

    En II.2, le critère spécial sur les séries alternées est souvent cité mais l'hypothèse de décroissance à partir d'un certain rang du module du terme général est oubliée ou non vérifiée.

  5. 5
    Théorème de Cauchy non mobiliséIII.1.a

    En III.1.a, une bonne moitié des candidats ne pensent pas à utiliser le théorème de Cauchy pour répondre à la question posée.

Ce qui a été bien réussi

  • La question II.1, sur le calcul du rayon de convergence d'une série entière, a souvent été bien traitée.
  • La question IV.1.a a été souvent traitée, la convergence uniforme se déduisant aisément de la convergence normale.
  • Quelques candidats ayant abordé des questions plus difficiles (I.3.b, V.1 et V.2) ont obtenu la note maximale sur ces questions.

Conseils du jury

  • Ne pas se laisser impressionner par la longueur du texte : le barème en tient largement compte, mieux vaut approfondir quelques questions que les survoler toutes.
  • Énoncer correctement les théorèmes utilisés et vérifier systématiquement que leurs hypothèses sont satisfaites.
  • Soigner la rédaction des solutions et l'articulation logique du raisonnement plutôt que de se contenter d'affirmations non justifiées.
  • Mener les calculs jusqu'à leur terme, en évitant les passages illisibles ou les indices maquillés pour obtenir le résultat attendu.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
Afficher ou masquer la section
Sujet en PDF

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI).

CONCOURDS D’ADMISSION 2000

MATHÉMATIQUES

DEUXIÈME ÉPREUVEFILIÈRE PC(Durée de l'épreuve : 3 heures)

Sujet mis à la disposition des concours : ENSTIM, INT, TPE-EIVP.

L'emploi de la calculette est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon très apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - PC.
L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PC , comporte 5 pages.
Si un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Le but de ce problème est d'étudier quelques propriétés de certaines équations différentielles du type suivant :
(E)
y^(′′)(t) + φ(t)y(t) = 0.

Première partie

L’objet de cette partie est l’étude de l’équation différentielle :
( E_1 )
y^(′′)(t) + e^(it)y(t) = 0.

I.1. Caractérisation d'une solution périodique :

Démontrer qu'une fonction f, définie sur toute la droite réelle, solution de l'équation différentielle ( E_1 ), est 2π-périodique si et seulement si elle prend, ainsi que sa dérivée f^′, mêmes valeurs en 0 et en 2π :
f(0) = f(2π), f^′(0) = f^′(2π)

I.2. Construction d'une solution périodique :

Soit f une fonction 2π-périodique solution de l'équation différentielle ( E_1 ) ; soit c_n(f), n ∈ Z, ses coefficients de Fourier.
pour tout entier relatif n : c_n(f) = 1/(2π)∫_0^(2π)f(t)e^(− int)dt.
a. Démontrer que la fonction f est la somme de sa série de Fourier, c'est-à-dire que, pour tout
réel t,
f(t) = ∑_(n = − ∞)^∞c_n(f)e^(int)
b. Exprimer les coefficients de Fourier de la fonction dérivée seconde f^(′′) de f en fonction de ceux de f. En déduire, à l'aide de l'équation différentielle, la relation de récurrence qui lie c_n(f) à c_(n − 1)(f).
c. Préciser la valeur du coefficient de Fourier c_(− 1)(f); en déduire la valeur de tous les coefficients de Fourier de rang strictement négatif. Calculer les coefficients de Fourier de rang positif en fonction de c_0(f). En déduire l'expression de la fonction f.

I.3. Inégalité vérifiée par la fonction f et sa dérivée f^′ :

a. Soit h un réel strictement positif ; établir une majoration du module des deux nombres complexes C et D, définis ci-dessous par les relations :
C = f(t + h) − f(t) − hf^′(t); D = f(t − h) − f(t) + hf^′(t).
en fonction de la norme de la convergence uniforme de la fonction f : ‖f‖_∞ = sup|f(t)|.
b. Déduire des deux inégalités obtenues la relation :
‖f^′‖_∞ ≤ √2‖f‖_∞.

Deuxième partie

Soit (u_n)_(n = 0, 1, 2, …) la suite des fonctions définies sur la droite réelle par la relation suivante :
u_n(x) = (− 1)^n(x^n)/((n!)^2).
Soit g la fonction somme de la série entière de terme général u_n(x), définie dans l'intervalle de convergence de cette série par la relation suivante :
g(x) = ∑_(n = 0)^∞(− 1)^n(x^n)/((n!)^2).
Le but de cette partie est l'étude de la fonction g.

II.1. Rayon de convergence :

Déterminer le rayon de convergence R de la série de terme général u_n(x).

II.2. Signe de la fonction g :

Quelle est le signe de la fonction dérivée g^′, sur le segment [0, 2] ? En déduire qu'il existe un réel x_0 tel que la fonction g est positive sur l'intervalle semi-ouvert [ 0, x_0 [ et négative sur l'intervalle semi-ouvert ]x_0, 2]. Démontrer l'inégalité x_0 > √2 (prendre √2 = 1, 41 ).

Troisième partie

Le but de cette partie est d'étudier les zéros des solutions de l'équation différentielle suivante :
( E_2 )
y^(′′)(t) + e^t y(t) = 0.
Dans toute cette partie y désigne une solution réelle de l'équation différentielle ( E_2 ).

III.1. Zéros de la fonction y :

a. Préciser la fonction y lorsqu'il existe un réel α tel que la fonction y et sa dérivée sont nulles en ce point α : y(α) = 0, y^′(α) = 0.
b. Soient a et b deux réels ( a < b ), z une solution réelle de l'équation différentielle suivante :
(F)
z^(′′)(t) + e^a z(t) = 0
La fonction z est supposée s'annuler en deux points α et β de l'intervalle [a, b] ( a ≤ α < β ≤ b ) et être strictement positive sur l'intervalle ouvert ]α, β [. Soit y une solution de l'équation différentielle ( E_2 ).
Soit H l'hypothèse: "la fonction y est strictement positive sur l'intervalle [α, β] ".
Soit W la fonction définie sur l'intervalle [α, β] par la relation suivante :
W(t) = y(t)z^′(t) − y^′(t)z(t)
Etudier les variations de la fonction W sur l'intervalle [α, β]; en déduire que l'hypothèse H formulée ci-dessus est fausse.
En conclure que, pour toute solution réelle z de l'équation différentielle (F), entre deux zéros consécutifs de la fonction z se trouve au moins un zéro de la fonction y.
c. Déduire des résultats précédents que, pour tout réel τ, toute solution y réelle de l'équation différentielle E_2 a au moins un zéro dans l'intervalle
[τ, τ + πexp(− τ/2)].

III.2. Espacement des zéros de la fonction y :

Soit y une solution réelle de l'équation différentielle E_2, différente de la solution nulle.
a. Soit τ un zéro de la fonction y; démontrer qu'il existe un intervalle ouvert ]τ, τ + c[, où c est un réel strictement positif sur lequel la fonction y n'est pas nulle.
b. Soient deux zéros consécutifs α et β de la fonction y. Démontrer, en considérant une solution réelle z de l'équation différentielle suivante :
(G)
z^(′′)(t) + e^β z(t) = 0
que les réels α et β vérifient l'inégalité suivante :
β − α ≥ πexp(− β/2)

Quatrième partie

L'objet de cette partie est de construire une fonction Ψ solution de l'équation différentielle E_2. Soit (v_n)_(n = 0, 1, 2, …), une suite de fonctions définies sur la droite réelle par la relation :
v_n(t) = ((− 1)^n)/((n!)^2)e^(nt)
Lorsque la série de fonctions de terme général v_n est convergente, soit Ψ la fonction somme de cette série :
Ψ(t) = ∑_(n = 0)^∞((− 1)^n)/((n!)^2)e^(nt)

IV. 1 La fonction Ψ est solution de l'équation différentielle E_2 :

a. Etablir que, pour tout réel a, la série de terme général v_n(t) est uniformément convergente sur la demi-droite ] − ∞, a].
b. Démontrer que la fonction Ψ est une solution de l'équation différentielle (E_2) définie sur toute la droite réelle.

IV.2. Zéros de la fonction Ψ :

Démontrer, en utilisant des résultats des deuxième et troisième parties, que les zéros de la fonction Ψ constituent une suite monotone croissante (t_n)_(n = 0, 1, 2, …), de réels :
t_0 < t_1 < t_2 < … < t_n < …
telle que :
(ln2)/2 < t_0, lim_(n → ∞)t_n = + ∞, lim_(n → ∞)(t_(n + 1) − t_n) = 0

Cinquième partie

Le but de cette partie est d'établir des majorations des fonctions solutions de l'équation différentielle :
y^(′′)(t) + φ(t)y(t) = 0.

V.1.Une inégalité :

Soient M un réel strictement positif ( M > 0 ) et a un réel. Soient f et g deux fonctions positives, définies et continues sur la demi-droite [a, ∞[, telles que, pour tout réel t de la demi-droite [ a, ∞ [, l'inégalité ci-dessous ait lieu :
f(t) ≤ M + ∫_a^t f(x)g(x)dx
Etablir, en considérant par exemple la fonction F, définie sur la demi-droite [a, ∞[ par la relation :
F(t) = ∫_a^t f(x)g(x)dx
la propriété :
f(t) ≤ Mexp(∫_a^t g(x)dx)
Dans la suite le réel a est strictement positif ( a > 0 ) ; soit y une fonction réelle, définie et
continue sur la demi-droite [ a, ∞ [, vérifiant l'équation différentielle ( E ) :
y^(′′)(t) + φ(t)y(t) = 0
où φ est une fonction réelle, définie et continue sur la demi-droite [a, ∞[, telle que la fonction t ↦ t.φ(t) est intégrable sur la demi-droite [a, ∞[. (l'intégrale ∫_a^∞t|φ(t)|dt existe).
V.2. Majoration de la fonction |y(t)|/t :
a. Déterminer une fonction affine A : t ↦ A(t), définie sur la demi-droite [a, ∞[, telle que, pour tout réel t de cette demi-droite, la relation ci-dessous ait lieu :
y(t) = A(t) − ∫_a^t(t − x)y(x)φ(x)dx
b. Démontrer que la fonction j définie par la relation
j(t) = (y(t))/t,
est bornée lorsque le réel t croît vers l'infini. C'est-à-dire : il existe deux réels strictement positifs C et D tels que, pour tout t supérieur ou égal à C(t ≥ C), il vienne : |y(t)| ≤ Dt.
V.3. Limites de y^′(t) et de y(t)/t :
Démontrer, en utilisant les résultats précédents que la fonction dérivée y^′ : t ↦ y^′(t) a une limite lorsque le réel t croît vers l'infini ; soit ℓ cette limite :
ℓ = lim_(t → ∞)y^′(t)
b. En déduire que l'expression j(t) = (y(t))/t a pour limite ℓ lorsque le réel t croît vers l'infini.
FIN DU PROBLEME

Questions fréquentes

3 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 2 Mines PC 2000 ?
Afficher ou masquer la section

Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 2 Mines PC 2000 ?

Le sujet porte sur les équations différentielles linéaires du second ordre, les séries de Fourier, les séries entières et alternées, et les suites et séries de fonctions (convergence uniforme, normale, dérivation terme à terme).

Le sujet de mathématiques 2 Mines PC 2000 est-il difficile ?

Le rapport indique une moyenne générale restée inférieure à dix malgré un barème généreux, en raison d'un manque de rigueur généralisé chez de nombreux candidats, ce qui en fait un sujet exigeant.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet Mines PC maths 2 2000 ?

Le jury relève un théorème de Dirichlet cité sans son hypothèse de continuité, une difficulté à exprimer la négation d'une proposition, des indices maquillés dans des sommations, et une mauvaise application du critère spécial des séries alternées.

Pas de description pour le moment