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Mines Mathématiques 1 PC 2000Sujet, corrigé et rapport du jury

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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI).
CONCOURDS D’ADMISSION 2000

MATHÉMATIQUES

PREMIÈRE ÉPREUVE FILIÈRE PC (Durée de l'épreuve : 3 heures)

Sujet mis à la disposition des concours : ENSTIM, INT, TPE-EIVP.

L'emploi de la calculette est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon très apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I - PC.
L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PC , comporte 5 pages.
Si un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Dans tout le problème n est un entier naturel supérieur ou égal à 2 ( n ≥ 2 ). Soit B = (e_1, e_2, …, e_n) la base canonique de l'espace vectoriel complexe C^n. A un vecteur X de l'espace vectoriel C^n, de coordonnées x_1, x_2, …, x_n, est associée la matrice V(X) dont les éléments V(X)_(p, q), 1 ≤ p ≤ n, 1 ≤ q ≤ n, sont définis par la relation :
V(X)_(p, q) = (x_p)^(q − 1).
Le déterminant v(X) de la matrice V(X) est un déterminant de Van der Monde ; il est admis que sa valeur est donnée par la relation suivante :
v(X) = detV(X) = ∏_(1 ≤ p < q ≤ n)(x_q − x_p).
Il est admis que l'application ‖. ‖del^′ espacevectorielcomplexeC^n dans R^+:
X ↦ ‖X‖ = sup_(1 ≤ p ≤ n)|x_p|,
est une norme. Soit E_n l'espace vectoriel normé ( C^n, ‖. ‖).
Le but du problème est de montrer qu'à cette application v de E_n dans C peut être associé un réel ρ tel que, pour tout vecteur X de E_n la relation suivante a lieu :
|v(X)| ≤ ρ‖X‖^(n(n − 1)/2)
où le réel ρ est une valeur prise pour un vecteur unitaire particulier W :
ρ = |v(W)|, avec : ‖W‖ = 1

1. Définition du réel ρ :

L'entier n est fixé ( n ≥ 2 ).
a. Comparer pour tout vecteur X de l'espace vectoriel normé E_n et tout nombre complexe λ les deux expressions v(λ.X) et v(X).
En particulier, étant donné un vecteur X de E_n, soit Y un vecteur de E_n de norme unité vérifiant la relation : X = ‖X‖.Y; exprimer le nombre complexe v(X) en fonction de v(Y) et de ‖X‖.
b. Démontrer que l'application v de l'espace vectoriel normé E_n dans C est continue. En déduire que l'application continue X ↦ |v(X)| admet un maximum sur la sphère unité S,
S = {X ∈ E_n|‖X‖ = 1},
atteint pour au moins un vecteur W. Soit ρ le maximum de cette fonction sur la sphère unité :
ρ = max_(‖X‖ = 1)|v(X)|.
c. Démontrer les deux relations :
i. pour tout vecteur X de E_n, |v(X)| ≤ ρ‖X‖^(n(n − 1)/2);
ii. il existe au moins un vecteur unitaire W de E_n tel que
|v(W)| = ρ
  1. Cas n = 2 :
Caractériser les vecteurs qui appartiennent à la sphère unité S :
S = {X ∈ E_2|‖X‖ = 1}.
Déterminer le maximum ρ de la fonction X ↦ |v(X)| sur la sphère unité. Démontrer que les vecteurs unitaires qui rendent maximum |v(X)| sont proportionnels à un même vecteur X_1 dont la première coordonnée est égale à 1 . Les déterminer.
3. Cas n = 3 :
a. Etant donnés trois réels positifs ou nuls t_1, t_2 et t_3, (t_i ≥ 0, 1 ≤ i ≤ 3) démontrer l'inégalité suivante
t_1 ⋅ t_2 ⋅ t_3 ≤ 1/(27)(t_1 + t_2 + t_3)^3
Démontrer que l'égalité a lieu si et seulement si les trois réels t_1, t_2, t_3 sont égaux.
b. Etant donnés trois nombres complexes x_1, x_2 et x_3, soient A, B et C les trois fonctions des variables x_1, x_2 et x_3 définies par les relations suivantes:
A = |x_1 − x_2|^2 + |x_2 − x_3|^2 + |x_3 − x_1|^2; B = ∑_(k = 1)^3|x_k|^2; C = |∑_(k = 1)^3 x_k|^2.
Démontrer que A est une combinaison linéaire de B et de C.
c. Caractériser les vecteurs qui appartiennent à la sphère unité S :
S = {X ∈ E_3|‖X‖ = 1}.
d. Calculer, pour un vecteur X quelconque de l'espace E_3, l'expression |v(X)|^2. En déduire une valeur possible pour le réel ρ. Déterminer les équations que vérifient les coordonnées x_1, x_2 et x_3 d'un vecteur W unitaire rendant |v(W)| maximum. Exhiber une solution à l'aide des racines cubiques de l'unité. En déduire le réel ρ.

4. Une minoration du réel ρ :

Soit Ω le vecteur unitaire dont les coordonnées ω_p, 1 ≤ p ≤ n, sont définies par la relation :
ω_p = e^(2i(p − 1)π/n) = exp((2i(p − 1)π)/n).
a. V(Ω) est la matrice définie à partir du vecteur Ω; V(Ω)^– est la matrice complexe conjuguée. Démontrer que la matrice produit V(Ω)^–.V(Ω) est une matrice proportionnelle à la matrice identité.
b. En déduire la valeur du module |v(Ω)| du déterminant de la matrice V(Ω) et une minoration du réel ρ.

5. Une inégalité de Hadamard :

Dans cette question il est admis que l'application de C^n × C^n dans C qui, à deux vecteurs X = (x_i)_(1 ≤ i ≤ n) et Y = (y_i)_(1 ≤ i ≤ n), fait correspondre le nombre complexe ( X|Y ), défini par la relation suivante
(X|Y) = ∑_(i = 1)^n x_i^– ⋅ y_i,
est un produit scalaire hermitien. Soit F_n l'espace préhilbertien ( C^n, (.|. )).
La norme déduite de ce produit scalaire est notée ‖.‖_2; elle est définie par la relation :
‖X‖_2 = √((X|X)) = √(∑_(i = 1)^n|x_i|^2⎷).
Etant donnée une suite de n vecteurs indépendants V_1, V_2, …, V_n de l'espace préhilbertien F_n, soit M(V_1, V_2, …, V_n) la matrice carrée d'ordre n dont les vecteurs colonnes sont les vecteurs V_1, V_2, …, V_n.
a. Déterminer, lorsque les vecteurs V_1, V_2, …, V_n sont deux à deux orthogonaux, le produit B de la matrice transposée de la matrice complexe conjuguée de la matrice M(V_1, V_2, …, V_n) avec la matrice M(V_1, V_2, …, V_n) :
B = t^t M(V_1, V_2, …, V_n)^– ⋅ M(V_1, V_2, …, V_n).
Que vaut le module du déterminant de la matrice M(V_1, V_2, …, V_n) ?
b. Soit U_1, U_2, …, U_n les vecteurs de l'espace F_n définis de la manière suivante :
  • U_1 = V_1,
  • U_2 = V_2 − proj_1(V_2); proj_1(V_2) est le vecteur projection du vecteur V_2 sur la droite
    vectorielle engendrée par V_1,
  • pour tout entier i compris entre 3 et n(3 ≤ i ≤ n) : U_i = V_i − proj_(i − 1)(V_i); proj_(i − 1)(V_i) est le vecteur projection du vecteur V_i sur l'espace vectoriel engendré par les vecteurs V_1, V_2, …, V_(i − 1).
Démontrer l'égalité entre les déterminants des deux matrices M(V_1, V_2, …, V_n) et M(U_1, U_2, …, U_n) :
detM(U_1, U_2, …, U_n) = detM(V_1, V_2, …, V_n).
c. Déduire des résultats précédents l'inégalité :
|detM(V_1, V_2, …, V_n)| ≤ ‖V_1‖_2 ⋅ ‖V_2‖_2⋯‖V_n‖_2 ⋅
Démontrer, lorsque les vecteurs V_1, V_2, …, V_n sont tous différents de 0 , qu'il y a égalité entre les deux membres de cette relation si et seulement si les vecteurs V_1, V_2, …, V_n sont deux à deux orthogonaux.

6. Une majoration du réel ρ :

Démontrer pour tout vecteur X de l'espace vectoriel E_n, de coordonnées x_1, x_2, …, x_n, l'inégalité suivante :
|v(X)|^2 ≤ ∏_(q = 1)^n∑_(p = 1)^n|x_q|^(2(p − 1))
Déterminer pour un vecteur X unitaire ( ‖X‖ = 1 ) de l'espace vectoriel E_n une majoration du module |v(X)|. En déduire la valeur du réel ρ.

7. Recherche des vecteurs W :

Soit W un vecteur unitaire de l'espace E_n, de coordonnées x_p, 1 ≤ p ≤ n, pour lequel le déterminant v(W) de la matrice V(W) a un module égal au réel ρ = n^(n/2) :
|v(W)| = n^(n/2).
a. Démontrer que les coordonnées x_p, 1 ≤ p ≤ n de ce vecteur W sont deux à deux différentes l'une de l'autre :
pour tout couple d'entiers p et q, p ≠ q, x_p ≠ x_q.
b. Démontrer, en utilisant par exemple l'inégalité de Hadamard, que les coordonnées x_1, x_2, …, x_n, de ce vecteur ont toutes un module égal à 1 et vérifient les n − 1 relations suivantes :
∑_(p = 1)^n x_p = 0, ∑_(p = 1)^n(x_p)^2 = 0, …, ∑_(p = 1)^n(x_p)^(n − 1) = 0.
A ce vecteur W est associé le polynôme P_W défini par la relation suivante : pour tout réel t,
P_W(t) = ∏_(p = 1)^n(t − x_p)
Ce polynôme P_W peut aussi être écrit sous la forme :
P_W(t) = ∑_(k = 1)^n α_k t^k
c. Que vaut le coefficient α_n ? Démontrer qu'il est possible de poser α_0 = − e^(iθ_0) où θ_0 est un réel.
Soit F_W la fraction rationnelle définie par la relation :
F_W(t) = (P_W^′(t))/(P_W(t)).
P_W^′(t) est le polynôme dérivée du polynôme P_W.
d. Démontrer que, sur l'ensemble de définition de la fraction rationnelle F_W, la relation ci-dessous a lieu. :
F_W(t) = ∑_(p = 1)^n 1/(t − x_p)
En déduire qu'il existe un réel R(R > 0) tel que sur l'intervalle ouvert ] − R, R [ la fonction F_W est développable en série entière. Déterminer un minorant du réel R.
La fonction F_W est donc dans l'intervalle ] − R, R [ la somme d'une série entière qui s'écrit :
F_W(t) = ∑_(k = 0)^∞f_k t^k
e. Déterminer les coefficients f_k, k = 0, 1, …, à l'aide des coordonnées du vecteur W. Quelle conclusion en tirer sur les n − 1 premiers coefficients f_0, f_1, …, f_(n − 2) ?
f. Déduire des résultats précédents l'expression du polynôme P_W^′, polynôme dérivée du polynôme P_W. Déterminer le polynôme P_W, puis les coordonnées x_p, 1 ≤ p ≤ n du vecteur W. Calculer, à titre de vérification, les normes de ce vecteur dans E_n et dans F_n c'est-à-dire ‖W‖ et ‖W‖_2 。
g. Combien y-a-t-il de vecteurs W dont une au moins des coordonnées est égale à 1 ?

FIN DU PROBLÈME

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