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Mines Physique 1 PC 2000Sujet et rapport du jury

5,0(1 vote)
  • Second principe de la thermodynamique et entropie créée
  • Transformations monothermes et monobares
  • Bilans d'entropie (variation, échange, création)
  • Systèmes diphasés
  • Bilans d'énergie
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Présentation du sujet

Difficile
Irréversibilité et entropie : fonction G*, système diphasé, et bilans d'entropie de transformations monothermes et monobares
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L'épreuve comporte deux problèmes indépendants portant sur le même thème de l'irréversibilité et de l'entropie, étudiées à travers plusieurs systèmes dont le gaz parfait. Le premier problème étudie la fonction G*, un système diphasé et le mouvement unidimensionnel d'une particule. Le second étudie des transformations monothermes, monobares puis plus générales, avant d'aller au-delà du modèle du gaz parfait.

  1. 1Problème I, section 1 : cas du fluide parfaitÉtude de l'irréversibilité et de la fonction G* pour un fluide parfait.
  2. 2Problème I, section 2 : cas d'un système diphaséÉtude d'un système diphasé, avec calcul des fractions molaires et de variations d'énergie.
  3. 3Problème I, section 3 : thermodynamique du mouvement unidimensionnel d'une particuleApplication des notions thermodynamiques au mouvement d'une particule.
  4. 4Problème II : une approche de la réversibilitéÉtude de transformations monothermes, monobares, puis plus générales, avant une étude au-delà du modèle du gaz parfait.

Difficile. Le rapport signale que le second problème a fait l'objet d'un quiproquo général sur la notion de bilan d'entropie, et que le second principe est mal assimilé par un grand nombre de candidats.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Second principe mal assimilé · Univers confondu avec l'atmosphère assimilée à un gaz parfait · Additivité erronée de l'entropie créée
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Les deux problèmes portaient sur les notions d'irréversibilité et d'entropie. Le jury regrette que les questions accompagnées de résultats intermédiaires aient suscité des réponses relevant du jeu de piste plutôt que de la réflexion, et sanctionne sévèrement toute malhonnêteté intellectuelle visant à retomber sur un résultat donné.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Second principe mal assimiléQ1 (problème I)

    De nombreux candidats pensent à tort que l'entropie d'un système devrait toujours croître.

    « le second principe est mal assimilé par un grand nombre de candidats pour lesquels l’entropie d’un système devrait toujours croître. »
  2. 2
    Univers confondu avec l'atmosphère assimilée à un gaz parfaitQ2 (problème I)

    Cette assimilation erronée fausse le raisonnement sur l'entropie de l'univers.

    « l’univers a été assimilé à l’atmosphère, elle- »
  3. 3
    Additivité erronée de l'entropie crééeQ5 (problème I)

    L'entropie créée n'est pas une fonction d'état, contrairement à ce que suppose la relation additive souvent avancée par les candidats.

    « la relation très souvent avancée »
  4. 4
    Bilan d'entropie confondu avec la seule variation d'entropie du systèmeQ18, Q19, Q21, Q22 (problème II)

    Le bilan d'entropie doit permettre d'obtenir l'entropie créée à partir de la variation d'entropie et de l'entropie échangée, ce que la majorité des candidats n'a pas compris.

    « problème a notoirement fait l’objet d’un quiproquo de la part des candidats qui n’ont pas compris en »
  5. 5
    Réponse simple redoutée par les candidatsQ11 (problème I)

    La réponse correcte « il ne se passe rien » a manifestement effrayé les candidats, qui ont peu osé la proposer.

    « La réponse « il ne se passe rien » à la question 11 »
  6. 6
    Bilan d'énergie jamais mené à son termeQ27, Q29 (problème II)

    Même lorsque les variations d'énergie étaient correctement explicitées, elles n'ont jamais été suivies d'un bilan d'énergie complet.

    « les sources puis celle accumulée dans le condensateur (29) aient été explicitées, ces calculs n’ont jamais été suivis de bilan d’énergie correct. »

Ce qui a été bien réussi

  • La notion de potentiel est assez bien maîtrisée aux questions 7 et 8 du problème I.
  • Les questions 12, 13 et 14 du problème I sont assez bien réussies.
  • Certains calculs de variations d'énergie potentielle, élastique ou accumulée dans le condensateur ont été correctement explicités dans le problème II.

Conseils du jury

  • Lire le problème dans son intégralité avant de commencer, pour en saisir les objectifs et la méthodologie.
  • S'appuyer sur des connaissances de base solides du cours pour bâtir un raisonnement rigoureux.
  • Justifier et rédiger soigneusement chaque réponse, sans se contenter d'un alignement de calculs.
  • Ne jamais chercher à retomber sur un résultat fourni au mépris de la rigueur du raisonnement.
  • Relire sa copie pour détecter d'éventuelles incohérences entre les réponses données.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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A 00 PHYS. I

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)
CONCOURS D'ADMISSION 2000
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière PC
(Durée de l'épreuve : 3 heures; l'emploi de la calculatrice est autorisé)
Sujet mis à disposition du concours ENSTIM, INT, TPE-EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
PHYSIQUE I -PC
L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PC, comporte 8 pages.
  • Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
  • Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions ultérieures, même s'il n'a pas été démontré.
  • Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des considérations numériques) qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.
L'épreuve comprend deux problèmes indépendants entre eux, et qui pourront être traités dans l'ordre que l'on voudra. Le premier étudie l'irréversibilité d'une évolution, le second s'intéresse à une manière de tendre vers la réversibilité. Les diverses parties de ces problèmes sont liées par le sens et certains de leurs résultats sont analogues.

PROBLÈME I : IRRÉVERSIBILITÉ ET FONCTION G*

Toute évolution spontanée d'un système quelconque génère une création d'entropie. Quand le système est en interaction avec une source unique, l'irréversibilité de la transformation est calculable à partir d'une fonction, nommée G^∗. Le problème présente cette fonction successivement pour un fluide parfait homogène, pour un fluide diphasé et pour une particule en mécanique.

1. Cas du Fluide Parfait

1.1. Déséquilibre mécanique

Un corps de pompe horizontal contient une mole de gaz parfait dans les conditions de
température et de pression T_0 et p. La capacité calorifique molaire C_p du gaz à pression constante est constante. Le piston et le corps de pompe sont de bons conducteurs thermiques (parois diathermanes).
L'atmosphère extérieure est une source d'énergie thermique et de travail. Sa température est notée T_0 et sa pression p_0. Elle peut ainsi, d'une part échanger une quantité finie d'énergie thermique (" chaleur ") sans voir varier sa température, d'autre part changer de volume sans que sa pression varie. Le piston (fig. 1) est débloqué à l'instant t = 0_−; on attend l'équilibre final. Les frottements du piston sont négligés.
Fig. 1 : piston, à t = 0 _
◻0 - Établir l'expression de la variation d'entropie d'une mole de gaz parfait, subissant une transformation réversible entre deux états 1 et 2 (on note R la constante des gaz parfaits, ou constante molaire) :
S_2 − S_1 = C_p ln(T_2)/(T_1) − Rln(P_2)/(P_1)
◻1 - Quelle est la variation ΔS_1 de l'entropie S du gaz ? Quelle est son signe selon que p > p_0 ou p < p_0 ? L'évolution du gaz n'est-elle pourtant pas irréversible dans les deux cas ?
◻2 - Calculer la variation de l'entropie de l'Univers (ΔS_1)_U et exprimer cette dernière en fonction de x = (p_0)/p. À l'aide d'une étude graphique, déterminer le signe de (ΔS_1)_U dans les deux cas p > p_0 et p < p_0. On pourra poser, ici et ailleurs, s(x) = (x − 1) − ln(x)

1.2. Déséquilibre thermique

Fig. 2 : t = 0-; éléments isolés
La géométrie du système est la même que la précédente, mais le piston et le corps de pompe sont maintenant recouverts d'un isolant thermique. Le gaz est dans les conditions de température T et de pression p_0. Le piston est libéré à l'instant t = 0 et l'isolant est supprimé (figure 2).
◻3 - Exprimer la variation ΔS_2 de l'entropie du gaz en fonction de T et de T_0.
◻4 - Toujours en procédant graphiquement (poser y = T/(T_0) ), calculer la variation d'entropie de l'Univers (ΔS_2)_U; déterminer son signe dans les deux cas T > T_0 ou T < T_0.

1.3. Déséquilibre thermodynamique

Dans les conditions initiales les plus générales, on note T la température du gaz et p sa pression ; le gaz est isolé thermiquement, le piston est bloqué. À l'instant t = 0, le piston est libéré et l'isolant supprimé.
◻5 - Exprimer et commenter l'expression de (ΔS)_U en fonction de (ΔS_1)_U et (ΔS_2)_U.

1.4. La fonction G^∗

On considère (fig. 3) la transformation la plus générale où le gaz est en déséquilibre thermodynamique aux deux instants initial et final. Pratiquement, on bloque le piston avant
que l'équilibre mécanique soit atteint et on remet en place l'isolant thermique. Le gaz est alors dans l'état ( T^′, p^′ ).
On définit la fonction G^∗ par G^∗ = U + p_0 v − T_0 S où U et v désignent respectivement l'énergie interne et le volume du gaz.
◻6 - On note Δν_s et ΔS_s les variations de volume et d'entropie de la source. Exprimer la variation d'énergie interne de la source ΔU_s au cours de la transformation en fonction de Δν_s, ΔS_s, p_0 et T_0.
◻7 - Exprimer la variation d'entropie de l'Univers (ΔS)_U en fonction de ΔG^∗. En déduire que ΔG^∗ mesure l'irréversibilité de la transformation. Quel est l'intérêt de la fonction G^∗ par rapport à S_U pour ce type d'interaction ? Justifier le nom de potentiel thermodynamique donné à G^∗.
Fig. 3a : état initial
Fig. 3b : état intermédiaire
Fig. 3c : état final
8 - La situation de déséquilibre mécanique (section 1.1) est définie par x = 2, celle du déséquilibre thermique (section 1.2) par y = 2. Quelle est, selon la mesure introduite à la question 7, la transformation la plus irréversible ?

2. Cas d'un système diphasé

La figure 4a décrit la situation : à l'instant t = 0, le corps de pompe, isolé thermiquement, contient 1 mole d'eau à la température T = 100^∘C. Le piston est bloqué et le volume intérieur est v_i = 10^(− 1) m^3. La température de l'atmosphère extérieure est T_0 = 100^∘C, sa pression est p_0 = 10^5 Pa (pression atmosphérique). On suppose que le volume de l'eau liquide est négligeable et que l'eau vapeur se comporte comme un gaz parfait.
À 100^∘C la pression de vapeur saturante de l'eau est p_(sat)(T_0) = 1 atm et la chaleur latente de vaporisation vaut L(T_0) = 41 kJ ⋅ mol^(− 1); la constante molaire est R = 8, 3 J ⋅ K^(− 1).
A l'instant t = 0_+, le piston est libéré. On bloque ce dernier lorsque le volume intérieur atteint la valeur v_f = 10^(− 2) m^3 (fig. 4b).
Fig. 4a : état initial
Fig. 4b : état final
9 - Déterminer les titres molaires initial x_i et final x_f en vapeur d'eau. Il sera commode de formuler une hypothèse, que l'on vérifiera, sur l'état initial de l'eau dans le corps de pompe.
10 - Exprimer littéralement puis numériquement les variations d'énergie interne Δu et d'entropie Δs d'une mole d'eau se vaporisant à la température de 100^∘C. En déduire la variation ΔG^∗ entre les états initial et final. Commenter.
11 - Le piston est à nouveau débloqué. Que se passe-t-il ? On déplace alors très lentement le piston jusqu'à ce que le volume occupé par l'eau soit v_f^′ = 3 × 10^(− 3) m^3. Quelle est la nouvelle variation ΔG^∗ de la fonction G^∗ ? Comparer cette variation à la variation d'enthalpie libre ΔG de l'eau au cours de la même transformation.

3. Thermodynamique du mouvement unidimensionnel d'une particule

En mécanique classique comme en mécanique relativiste, la loi fondamentale de la dynamique dans un référentiel galiléen appliqué à une particule en mouvement sur un axe sous l'action d'une force F s'exprime sous la forme (dp)/(dt) = F. On considère un gaz de particules identiques et équivalentes et on s'intéresse à l'une d'entre elles, représentative de l'ensemble. L'équation d'état de cette particule, c'est-à-dire la relation liant la quantité de mouvement p à la vitesse v est supposée, à ce stade, inconnue. La particule représentative est en interaction avec une source de chaleur de température T_0 et une source de vitesse v_0 (cette source peut échanger une quantité de mouvement finie sans changer de vitesse). La température de la particule est notée T.
12 - Montrer que les différentielles des énergies internes de la particule, U, et de la source (dont les grandeurs sont affectées de l'indice " s "), s’écrivent respectivement
dU = vdp + T dS et dU_s = v_0 dp_s + T_0 dS_s
13 - Par analogie avec les exemples précédents, on définit la fonction G^∗ de la particule par : G^∗ = U − v_0 p − T_0 S. Montrer que la variation de G^∗ au cours de l'interaction parti-cule-source est reliée à l'entropie crée par la relation ΔG^∗ = − T_0 ΔS_U.
14 - On suppose à partir de maintenant que le mouvement est unidimensionnel ; les grandeurs p et v sont des scalaires. L'expression à l'ordre le plus bas de la variation élémentaire dG^∗ de G^∗ pour des variations élémentaires dp et dT est
dG^∗ = (dG^∗)_1 = (◻∂G^∗)/(◻∂T)◻/(◻_p) dT + (◻∂G^∗)/(∂p)◻/(◻_T) dp
Exprimer dans le cas général (◻∂G^∗)/(◻∂T)◻/(|a⃗) et (◻∂G^∗)/(|a⃗∂p) en fonction de (T − T_0), (v − v_0), (◻∂S)/(◻∂T)◻_p^◻ et (◻∂S)/(◻∂p)◻_T^◻; en déduire les grandeurs T et v d'équilibre de la particule.
◻15 - Quelle est alors, à l'ordre le plus bas, la forme de l'expression de d G^∗ autour de l'équilibre ? Exprimer (◻∂^2 G^∗)/(◻∂T^2)◻_p, (◻∂^2 G^∗)/(◻∂p^2)◻_T^◻ et (◻∂^2 G^∗◻)/(◻∂T∂p) = (◻∂^2 G^∗◻)/(◻∂p∂T)◻_(T, p) à l'équilibre en fonction de dérivées premières de S et de v.
◻16-En déduire le sens de variation de l'entropie avec la température ainsi que le sens de variation de la quantité de mouvement avec la vitesse.
◻17-En mécanique classique, l'équation d'état p = mv est évidemment compatible avec le sens de variation de la fonction p(v) établi à la question 16 ; qu’en est-il en mécanique relativiste où p = m/(√(1 − (v^2)/(c^2)))v ?

Fin de ce problème

PROBLÈME II : UNE APPROCHE DE LA RÉVERSIBILITÉ

La mole de gaz parfait considérée dans cette partie est caractérisée par son coefficient γ = (C_p)/(C_v), rapport des chaleurs massiques à pression et à volume constant, supposé indépendant de la température. La constante des gaz parfaits est notée R. Pour chacune des évolutions du gaz, l'état initial sera l'état d'équilibre, caractérisé par les grandeurs ( P_0, V_0, T_0 ) = ( pression, volume, température ); on cherchera chaque fois à limiter la production d'entropie associée à l'évolution.

3. Étude d'une transformation monotherme

Fig. 5 : évolution monotherme
18 - Le gaz parfait est placé dans un récipient à parois fixes. Une des parois est mise en contact avec un thermostat dont la température est notée T_T. Les autres parois sont calorifugées (fig. 5). Déterminer l'état final ( P_f, V_f, T_f ) du gaz quand, à l'issue de la transformation, l'équilibre est atteint. Effectuer un bilan d'entropie. La transformation est-elle thermiquement réversible?
19 - On réalise la transformation précédente en mettant la paroi non calorifugée du récipient contenant le gaz avec une succession de N sources dont les températures respectives T_k(1 ≤ k ≤ N) sont T_k = (T_T − T_0)/(N − 1)k + (NT_0 − T_T)/(N − 1) = T_0 + (k − 1) (ce qui définit θ ). On a de la sorte T_1 = T_0 et T_N = T_T. Définir l'état final du gaz à l'issue de cet ensemble de transformations. Effectuer un bilan entropique pour la transformation élémentaire T_(k − 1) → T_k. En déduire, pour la transformation totale, l'expression de la quantité d'entropie liée à une éventuelle irréversibilité thermique de la transformation.
◻20 - Cette quantité d'entropie peut-elle s'annuler lorsque N est assez grand (en toute rigueur, N → ∞ ) ? on rappelle que ln(1 − ε) = − ε − (ε^2)/2 + o(ε^2).

4. Étude d'une transformation monobare

Fig. 6 : évolution monobare
21 - Le gaz parfait est initialement en contact avec une source à la température T_0, dans un récipient dont les autres parois sont calorifugées (fig. 6). Une de ces parois, initialement bloquée, peut se déplacer sans frottement. On libère la paroi mobile, la pression extérieure, constante, est notée P_T. Déterminer l'état final ( P_f, V_f, T_f ) du gaz quand, à l'issue de la transformation, l'équilibre est atteint. Effectuer un bilan d'entropie. La transformation est-elle thermiquement réversible ?
22 - On réalise la transformation précédente en déplaçant la paroi mobile par étapes successives. À l'étape k, la pression du gaz est P_k = P_0 + (k − 1)Π, de sorte que P_1 = P_0 et P_N = P_T. Avec 1 ≤ k ≤ N, cela définit l'incrément de pression Π. Définir l'état final du gaz à l'issue de la transformation complète. Effectuer un bilan entropique pour la transformation élémentaire P_(k − 1) → P_k. En déduire, pour la transformation totale, la quantité d'entropie liée à une éventuelle irréversibilité mécanique de la transformation.
23 - Cette quantité d'entropie peut-elle s'annuler?

5. Étude d'une transformation plus générale

Fig. 7: Évolutions de gaz parfaits
La figure 7 illustre la situation initiale du système. La paroi A est diathermane. Les parois latérales et la paroi B sont calorifugées. Cette dernière, initialement bloquée, peut se déplacer sans frottement. La pression extérieure, notée P_T, est constante. La transformation consiste à mettre le gaz 1 en contact avec la source à la tempé
rature T_T et à libérer la paroi B .
  • 24 - Déterminer l’état final de chacun des deux gaz. Faire un bilan d’entropie.
    ◻25 - Analyser la nature d'éventuelles irréversibilités.
  • 26 - Est-il possible, tout en arrivant aux mêmes états finaux, de diminuer l'entropie créée?

6. Au-delà du gaz parfait...

Un ressort élastique de raideur k est chargé en N étapes par une masse M; à chacune des étapes, une masse m = M/N est ajoutée au système, et la longueur du ressort augmente de h. Au total, la longueur du ressort a augmenté de H = Nh. On rappelle la formule sommatoire : 1 + 2 + 3 + … + N = (N(N + 1))/2.
Fig. 8 : Ressort élastique
27 - Calculer la variation d'énergie potentielle associée au chargement progressif du ressort, calculer la variation d'énergie élastique et en déduire l'expression de l'énergie dissipée sous forme thermique.
◻28 - La température du milieu est constante, calculer la variation d'entropie associée au processus.
◻29 - Un condensateur de capacité C est chargé sous une différence de potentiel U en N étapes identiques. À chacune des étapes, la différence de potentiel entre les armatures est augmentée de U/N, par le branchement d'une source d'alimentation supplémentaire. La température est constante. Calculer l'énergie totale perdue par les sources, l'énergie électrostatique accumulée dans le condensateur et montrer que l'augmentation d'entropie liée à ce processus est ΔS = 1/2(CU^2)/(NT).
Fig. 9 : Compression d'un gaz parfait
Une mole de gaz parfait en contact avec un thermostat à la température T est comprimée de la pression P_i à la pression P_f, son volume varie de V_i à V_f. Lorsque la transformation est soudaine, comme c'est le cas par exemple si l'on pose sur le piston un objet de masse appropriée, le système se stabilise après quelques oscillations amorties. L'énergie thermique dissipée dans le milieu extérieur est ΔQ = P_f(V_i − V_f).
◻30 - Exprimer la variation d'entropie du thermostat, (ΔS)_T, et celle du gaz, (ΔS)_G. Exprimer la variation totale d'entropie en fonction de R et des pressions initiale et finale.
◻31-Exprimer la variation totale d'entropie lorsque le processus est réalisé en N étapes.
◻32 - Dans le cas où (P_i − P_f)/(P_i)≪1, simplifier l'expression de la variation d'entropie établie à la question 31.
◻33 - Montrer que, q désignant la charge du condensateur sous une tension U et V le volume du piston sous une pression P, la relation ΔS = 1/2(CU^2)/(NT) et la relation analogue pour le piston peuvent être mises respectivement sous les formes
(ΔS)_(condensateur) = 1/(2NT)(U_f − U_i)^2(∂q)/(∂U); (ΔS)_(piston) = − 1/(2NT)(P_f − P_i)^2(∂V)/(∂P)
En comparant R1 et R2, proposer une analogie entre les deux systèmes et leurs variables caractéristiques ; étayer cette analogie par un argument énergétique et justifier qualitativement la différence des signes qui figurent dans ces deux relations.

Fin de ce problème

FIN DE L'ÉPREUVE

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet de Physique I Mines PC 2000 ?
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Sur quoi porte le sujet de Physique I Mines PC 2000 ?

Le sujet porte sur l'irréversibilité et l'entropie, à travers l'étude d'un fluide parfait, d'un système diphasé, et de transformations monothermes et monobares.

Ce sujet de Physique I Mines PC 2000 est-il difficile ?

Le rapport signale un quiproquo général sur la notion de bilan d'entropie et une mauvaise assimilation du second principe par de nombreux candidats.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet Mines Physique I PC 2000 ?

Le jury relève la croyance erronée que l'entropie croît toujours, une confusion entre l'univers et l'atmosphère assimilée à un gaz parfait, et un bilan d'entropie réduit à sa seule variation.

Faut-il bien distinguer entropie créée et variation d'entropie pour ce sujet Mines Physique I PC 2000 ?

Oui, c'est l'un des points centraux du sujet : le bilan d'entropie doit relier la variation d'entropie, l'entropie échangée et l'entropie créée, non une seule de ces grandeurs.

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