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Mines Mathématiques 1 PC 2001Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Endomorphismes g tels que g² = λId + D sur les polynômes
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Le problème étudie, pour un réel λ donné, l’existence d’endomorphismes g de l’espace des polynômes réels (ou de ses sous-espaces de degré borné) vérifiant g² = λId + D, où D est l’endomorphisme de dérivation. Après des préliminaires sur les noyaux itérés et la nilpotence, il traite successivement le cas d’un exemple en petite dimension, le cas λ = 0, une construction matricielle par des séries de matrices nilpotentes, puis le cas général λ > 0 par un développement en série entière.

  1. 1Préliminaires : noyaux itérésOn étudie la suite croissante des noyaux des itérés d’un endomorphisme f et sa stationnarité, ce qui permet de définir la notion d’endomorphisme nilpotent.
  2. 2Première partie : caractérisation des sous-espaces stables par gOn établit des propriétés des endomorphismes g cherchés, leur commutation avec D, la stabilité des sous-espaces de polynômes de degré borné, le cas λ < 0, une représentation matricielle de D_n, puis un exemple explicite en dimension 3.
  3. 3Deuxième partie : le cas λ = 0On montre qu’il n’existe pas d’endomorphisme g tel que g² = D, puis on étudie l’existence d’un g tel que g^k = D^m pour des entiers k et m donnés.
  4. 4Troisième partie : construction matricielle pour λ > 0À l’aide de matrices L_n(t) et φ_u(t) construites par séries entières de la matrice de dérivation, on établit l’existence d’une matrice M telle que M² = λI + D_n.
  5. 5Quatrième partie : développement en série entière et cas généralOn développe en série entière la fonction racine de 1+x, puis on l’utilise pour construire un endomorphisme g de l’espace des polynômes vérifiant g² = λId + D pour tout λ > 0.

Difficile. Le rapport indique que la longueur et la difficulté du sujet semblent avoir déstabilisé les candidats, avec une moyenne assez basse de l’ordre de 6,1, en net retrait par rapport à l’année précédente.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 6,1 / 20
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Moyenne
6,1/ 20

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Stationnarité des noyaux itérés mal justifiée · Question 1c) rarement traitée · Indice de nilpotence mal défini
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Le thème de l’algèbre linéaire, rarement abordé les années précédentes, a déstabilisé les candidats, dont les connaissances sont apparues trop approximatives. La quatrième partie, plus proche de l’analyse, a été globalement négligée, et la troisième partie a été la plus sacrifiée. Le jury déplore un manque de rigueur et de clarté dans de nombreuses copies.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Stationnarité des noyaux itérés mal justifiéepréliminaire

    Peu de candidats savent démontrer que la suite des noyaux Ker f^k est stationnaire, et les démonstrations par récurrence utilisées restent souvent approximatives.

    « Moins de la moitié des candidats est capable de justifier le caractère stationnaire de la suite des Ker fk. »
  2. 2
    Question 1c) rarement traitéeI.1.c

    Le lien entre le sous-espace F et le préambule sur les noyaux itérés n’est pas compris, et le cas de la dimension infinie a été rarement considéré.

    « on ne voit pas pourquoi les polynômes de F sont de degré borné, ni comment appliquer le préambule à DF. »
  3. 3
    Indice de nilpotence mal définiII.1.a

    La définition même de l’indice de nilpotence n’est pas connue d’une partie importante des candidats.

    « beaucoup ne connaissent pas la définition de l’indice de nilpotence. »
  4. 4
    Troisième partie quasiment abandonnéeIII

    Les dérivées de matrices et l’expression des coefficients ont rarement été menées à terme, et la dernière question n’a presque jamais été abordée.

    « Cette partie a été la plus sacrifiée. »
  5. 5
    Rayon de convergence incohérentIV.1

    Le développement en série entière de la quatrième partie a été médiocrement traité, avec parfois des rayons de convergence dépourvus de sens.

    « Un rayon de convergence négatif ou infini a été trouvé dans certaines copies. »

Ce qui a été bien réussi

  • Les questions 1a) et 1b) du préliminaire ont été les mieux traitées dans l’ensemble.
  • Le début de la question 3a) de la première partie a été correctement traité.

Conseils du jury

  • Réviser sérieusement les notions de base de l’algèbre linéaire, en particulier la nilpotence et les noyaux itérés.
  • Ne pas se limiter à une démonstration par récurrence systématique quand elle n’est pas nécessaire.
  • Aborder l’ensemble du sujet, y compris les parties d’analyse en fin de problème, plutôt que de les négliger.
  • Soigner la rigueur et la clarté de la rédaction pour faciliter la correction.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière STI).

CONCOURS D’ADMISSION 2001
ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES PREMIÈRE ÉPREUVE Filière PC (Durée de l'épreuve : 3 heures) (L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit).
Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT, TPE-EIVP. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES 1-Filière PC.
Cet énoncé comporte 8 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

NOTATIONS

Soit V un espace vectoriel réel ; l'espace vectoriel des endomorphismes de l'espace vectoriel V est désigné par L(V). Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel V; l'endomorphisme noté f^k, où k est un entier naturel désigne l'endomorphisme unité Id_V si l'entier k est nul, l'endomorphisme obtenu en composant fk-fois avec lui-même si l'entier k est supérieur ou égal à 1:
f^0 = Id_V; f^(k + 1) = f^k ∘ f.
Soit E l'espace vectoriel des polynômes réels ; étant donné un entier naturel n, soit E_n l'espace vectoriel des polynômes réels de degré inférieur ou égal à n :
E = R[X]; E_n = R_n[X].
Soit D l'endomorphisme de l'espace vectoriel E = R[X] qui, au polynôme Q, fait correspondre le polynôme dérivé Q^′. De même, soit D_n l'endomorphisme de l'espace vectoriel E_n = R_n[X] qui, au polynôme Q, fait correspondre le polynôme dérivé Q^′.
L'objet du problème est de rechercher des réels λ pour lesquels l'endomorphisme λId_E + D est égal au composé d'un endomorphisme g de l'espace vectoriel E avec lui-même ; ainsi que des réels λ pour lesquels l'endomorphisme λId_(E_n) + D_n est égal au composé d'un endomorphisme g de l'espace vectoriel E_n avec lui-même.

Les troisième et quatrième parties peuvent être abordées indépendamment des première et deuxième parties ainsi que des préliminaires.

PRÉLIMINAIRES

Noyaux itérés :

Soient V un espace vectoriel réel et f un endomorphisme de V.
a. Démontrer que la suite des noyaux des endomorphismes f^k, k = 0, 1, 2, … est une suite de sous-espaces vectoriels de V emboitée croissante :
kerf^0 ⊂ kerf^1 ⊂ kerf^2 ⊂ … ⊂ kerf^k ⊂ kerf^(k + 1) ⊂ …
b. Démontrer que, s'il existe un entier p tel que les noyaux des endomorphismes f^p et f^(p + 1) soient égaux ( kerf^p = kerf^(p + 1) ), pour tout entier q supérieur ou égal à p, les noyaux des endomorphismes f^q et f^(q + 1) sont égaux ( kerf^q = kerf^(q + 1) ) ; en déduire la propriété suivante :
pour tout entier k supérieur ou égal à p, kerf^k = kerf^p.
En déduire que, si l'espace vectoriel V est de dimension finie n, la suite des dimensions des noyaux des endomorphismes f^k est constante à partir d'un rang p inférieur ou égal à la dimension n(p ≤ n). En particulier les noyaux kerf^n, kerf^(n + 1) sont égaux.
c. Démontrer que, si l'endomorphisme u d'un espace vectoriel V de dimension finie n, est tel qu'il existe un entier q supérieur ou égal à 1(q ≥ 1), pour lequel l'endomorphisme u^q est nul ( u^q = 0 ), l'endomorphisme u^n est nul ( u^n = 0 ).
L'endomorphisme u est dit nilpotent.

PREMIÈRE PARTIE

Le but de cette partie est d'établir des propriétés des endomorphismes g recherchés et de donner un exemple.

I-1. Une caractérisation des sous-espaces vectoriels stables par g :

Soit λ un réel donné.
a. Étant donné un entier naturel n(n ∈ N), soit p un entier naturel inférieur ou égal à l'entier n(0 ≤ p ≤ n). Démontrer que, s'il existe un endomorphisme g de l'espace vectoriel E_n = R_n[X], tel que
g^2 = λId_(E_n) + D_n,
l'endomorphisme g commute avec D_n :
g ∘ D_n = D_n ∘ g.
En remarquant que le sous-espace vectoriel E_p = R_p[X] est égal à ker(D_n)^(p + 1), démontrer que E_p est stable par l'endomorphisme g de E_n; soit g_p la restriction de l'endomorphisme g à E_p. Démontrer la relation :
(g_p)^2 = λId_(E_p) + D_p.
b. Démontrer que, s'il existe un endomorphisme g de l'espace vectoriel E = R[X], tel que
g^2 = λId_E + D,
l'endomorphisme g commute avec D :
g ∘ D = D ∘ g.
En déduire que, pour tout entier naturel n, le sous-espace vectoriel E_n = R_n[X] est stable par l'endomorphisme g et que, si g_n est la restriction de l'endomorphisme g à E_n, il vient :
(g_n)^2 = λId_(E_n) + D_n.
c. Soit g un endomorphisme de l'espace des polynômes réels E = R[X] tel que :
g^2 = λId_E + D.
i/ Soit F un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel E de dimension n + 1 stable par l'endomorphisme D. Démontrer que l'endomorphisme D_F, restriction de D à F, est nilpotent.
En déduire que le sous-espace vectoriel F est égal à E_n = R_n[X]. Déterminer ensuite tous les sous-espaces vectoriels G de E (de dimension finie ou non) stables par D.
ii/ Démontrer que, pour qu'un sous-espace vectoriel G de E soit stable par l'endomorphisme g, il faut et il suffit qu'il soit stable par D.
I-2. Une application immédiate : le cas λ < 0 :
a. À quelle condition nécessaire sur le réel λ existe-t-il un endomorphisme g de l'espace vectoriel E_0 = R_0[X] tel que
g^2 = λId_(E_0) + D_0?
b. Soit λ un réel strictement négatif ( λ < 0 ), déduire des résultats précédents les deux propriétés :
. Il n'existe pas d'endomorphisme g de E tel que :
g^2 = λId_E + D.
. Il n'existe pas d'endomorphisme g de E_n tel que :
g^2 = λId_(E_n) + D_n.

I-3. Une représentation matricielle simple de D_n :

Soient n un entier naturel supérieur ou égal à 1, λ un réel.
Matrice A_λ : soit A_λ la matrice carrée d'ordre n + 1 définie par les relations suivantes : ses coefficients a_(ij), i = 0, 1, …n, j = 0, 1, …, n, sont définis par les relations :
a_(ii) = λ, a_(ii + 1) = 1, a_(ij) = 0 si j ≠ i ou si j ≠ i + 1.
C'est-à-dire :
A_λ = (λ, 1, 0, …, 0; 0, λ, 1, …, 0; 0, 0, λ, …, 0; …, …, …, …, …; 0, 0, 0, …, λ).
a. Soit f un endomorphisme d'un espace vectoriel V de dimension finie n + 1 tel que l'endomorphisme f^(n + 1) soit nul sans que l'endomorphisme f^n le soit :
f^(n + 1) = 0, f^n ≠ 0
Démontrer qu'il existe un vecteur y de l'espace vectoriel V tel que la famille B = (f^n(y), f^(n − 1)(y), …, y) soit libre. Quelle est la matrice associée à l'endomorphisme f dans la base B ?
b. En déduire qu'il existe une base B_n de l'espace vectoriel E_n = R_n[X] pour laquelle la matrice associée à l'endomorphisme D_n est la matrice A_0. Que vaut la matrice associée à l'application λId_(E_n) + D_n dans cette base B_n ?

I-4. Un exemple :

Dans cette question l'entier n est égal à 2 .
a. Démontrer que les seuls endomorphismes h de E_2 qui commutent avec l'endomorphisme D_2 sont les polynômes de degré inférieur ou égal à 2 en D_2 :
h = aId_(E_2) + bD_2 + c(D_2)^2.
a, b, c sont trois réels.
b. En déduire qu'il existe des endomorphismes g de E_2 qui vérifient la relation suivante :
g^2 = λId_(E_2) + D_2.
Déterminer les matrices carrées G d'ordre 3 qui vérifient la relation suivante :
G^2 = A_1.

DEUXIÈME PARTIE

L'objet de cette partie est d'étudier le cas où le réel λ est nul. Dans cette partie l'entier n est supposé donné supérieur ou égal à 1 .
II-1. Existence d'un endomorphisme g tel que g^2 = D_n :
a. Montrer que, s'il existe un endomorphisme g de l'espace vectoriel E_n = R_n[X] tel que g^2 = D_n, alors l'endomorphisme g est nilpotent et le noyau de l'endomorphisme g^2 a une dimension au moins égale à 2(dimkerg^2 ≥ 2).
b. En déduire qu'il n'existe pas d'endomorphisme g de l'espace vectoriel E_n = R_n[X] tel que g^2 = D_n.
c. En déduire qu'il n'existe pas d'endomorphisme g de l'espace vectoriel E = R[X] tel que
g^2 = D.
II-2. Existence d'un endomorphisme g tel que g^k = D^m :
Soit m un entier supérieur ou égal à 1(m ≥ 1) et k un entier supérieur ou égal à 2(k ≥ 2). Soit g un endomorphisme de l'espace vectoriel E = R[X] tel que la relation ci-dessous soit vérifiée :
g^k = D^m.
a. Démontrer que les deux endomorphismes D et g sont surjectifs.
b. Démontrer que les sous-espaces vectoriels de E, kerg^q ont des dimensions finies lorsque l'entier q est inférieur ou égal à l'entier k(0 ≤ q ≤ k).
c. Soit p un entier supérieur ou égal à 2 et inférieur ou égal à k(2 ≤ p ≤ k). Soit Φ l'application définie dans l'espace vectoriel kerg^p par la relation :
Φ : P ↦ g(P).
Démontrer que cette application Φ est une application linéaire de kerg^p dans l'espace vectoriel kerg^(p − 1). Quel est le noyau de l'application Φ ? Démontrer que l'application Φ est surjective ( ImΦ = Kerg^(p − 1) ).
En déduire une relation entre les dimensions des sous-espaces vectoriels kerg^p et kerg^(p − 1). Quelle est la dimension de l'espace vectoriel ker^p en fonction de la dimension de l'espace vectoriel ker g ?
d. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur les entiers k et m pour qu'il existe au moins un endomorphisme g de l'espace vectoriel E tel que g^k = D^m. Retrouver le résultat de la question II-1.c.

TROISIÈME PARTIE

L'entier strictement positif n est supposé fixé. Dans cette partie, l'espace vectoriel E_n = R_n[X] est muni de la base B_n définie à la question I-3.b. La matrice associée à l'application I_(E_n) est la matrice I_(n + 1); la matrice associée à l'endomorphisme D_n, est désignée par le même symbole D_n.
Étant donné un réel λ supposé strictement positif ( λ > 0 ), soit L_n l'application de R dans l'espace des matrices carrées réelles d'ordre n + 1, M_(n + 1)(R) qui, au réel t associe la matrice L_n définie par la relation suivante :
L_n(t) = ∑_(k = 1)^n(− 1)^(k − 1)(t^k)/k(D_n)^k
La matrice (D_n)^k est le produit k-fois avec elle-même de la matrice D_n.
III-1. Dérivée de l'application t ↦ (L_n(t))^k :
a. Démontrer que, pour tout t réel, la matrice I_(n + 1) + tD_n est inversible et que son inverse,
noté (I_(n + 1) + tD_n)^(− 1), s'écrit sous la forme suivante :
(I_(n + 1) + tD_n)^(− 1) = ∑_(k = 0)^n a_k(t)(D_n)^k
Déterminer les fonctions a_k : t ↦ a_k(t) (bien sùr : (D_n)^0 = I_(n + 1) ).
b. Démontrer que l'application de R dans l'ensemble des matrices, réelles, carrées, d'ordre n + 1 : t ↦ (I_(n + 1) + tD_n)^(− 1) est dérivable ; exprimer sa dérivée à l'aide des matrices (I_(n + 1) + tD_n)^(− 1) et D_n.
c. Démontrer que, pour tout réel t, la matrice L_n(t), élevée à la puissance n + 1 est nulle :
(L_n(t))^(n + 1) = 0.
d. Calculer la fonction dérivée t ↦ d/(dt)L_n(t) de la fonction t ↦ L_n(t) au moyen des matrices D_n et (I_(n + 1) + tD_n)^(− 1).
Étant donné un entier naturel k donné, déduire des résultats précédents l'expression de la fonction dérivée t ↦ d/(dt)(L_n(t))^k de la fonction t ↦ (L_n(t))^k à l'aide de l'entier k et des matrices L_n(t), D_n et (I_(n + 1) + tD_n)^(− 1).
III-2. Matrice φ_u(t) :
Étant donné un réel u, soit φ_u(t) la matrice définie par la relation suivante :
φ_u(t) = ∑_(k = 0)^n(u^k)/(k!)(L_n(t))^k.
La matrice (L_n(t))^k est la matrice L_n(t) élevée à la puissance k.
a. Démontrer qu'étant donnés deux réels u et v le produit des matrices φ_u(t) et φ_v(t) est égal à la matrice φ_(u + v)(t) :
φ_u(t) ⋅ φ_v(t) = φ_(u + v)(t).
b. Démontrer que la fonction t ↦ φ_u(t) est dérivable et que sa dérivée φ_u^′ est définie sur la droite réelle par la relation suivante :
φ_u^′(t) = u(I_(n + 1) + tD_n)^(− 1) ⋅ D_n ⋅ φ_u(t).
c. Dans cette question le réel u est égal à 1 ; démontrer que la dérivée seconde de la fonction φ_1 est nulle : pour tout réel t, φ_1^(′′)(t) = 0. En déduire la relation :
φ_1(t) = I_(n + 1) + tD_n.

III-3. Existence de l'endomorphisme g :

a. Soit λ un réel strictement positif ( λ > 0 ) ; en utilisant les résultats de la question
précédente et en remarquant la relation suivante
λI_(n + 1) + D_n = λ(I_(n + 1) + 1/λD_n),
démontrer qu'il existe une matrice carrée réelle d'ordre n + 1 telle que
M^2 = λI_(n + 1) + D_n.
Exprimer cette matrice M avec une matrice φ_u(t). En déduire l'existence d'un endomorphisme g de E_n tel que :
g^2 = λId_(E_n) + D_n.
b. Retrouver les matrices obtenues à la question I-4.

QUATRIÈME PARTIE

IV-1. Un développement en série entière :

a. Soit h la fonction définie sur la demi-droite [ − 1, ∞ [ par la relation :
h(x) = √(1 + x).
Déterminer une équation différentielle linéaire du premier ordre dont une solution est cette fonction h.
b. En déduire qu'il existe un intervalle ouvert ] − R, R [ dans lequel la fonction h est la somme d'une série entière de terme général b_p x^p, p = 0, 1, 2, …. Déterminer le rayon de convergence R et les coefficients b_p.
pour tout réel x appartenant à ] − R, R[, h(x) = ∑_(p = 0)^∞b_p x^p.
c. Déterminer les valeurs des réels c_n, n = 0, 1, 2, …. définis par la relation suivante :
c_n = ∑_(p = 0)^n b_p b_(n − p).
IV-2 Existence d'un endomorphisme g de E tel que g^2 = λId_E + D où λ est strictement positif :
Soit λ un réel strictement positif donné ( λ > 0 ).
a. Soit T l'application définie dans E = R[X] par la relation :
pour tout P de E, T(P) = ∑_(p = 0)^∞(b_p)/(λ^p)D^p P.
Démontrer que T est un endomorphisme de E.
b. Calculer pour tout polynôme P de E son image par l'application composée T ∘ T = T^2.
c. En déduire l'existence d'un endomorphisme g de E qui vérifie la relation suivante :
g^2 = λId_E + D
d. En déduire, pour tout entier naturel n, l'existence d'un endomorphisme g_n de l'espace vectoriel E_n = R_n[X] tel que la relation ci-dessous ait lieu :
(g_n)^2 = λId_(E_n) + D_n
Exprimer l'endomorphisme g_n comme un polynôme de l'endomorphisme D_n. Retrouver les matrices obtenues à la question I-4.

FIN DU PROBLÈME

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet Mines Maths 1 PC 2001 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet Mines Maths 1 PC 2001 ?

Le sujet porte sur l’algèbre linéaire : noyaux itérés, endomorphismes nilpotents, restriction d’un endomorphisme à un sous-espace stable, ainsi que sur les séries entières en fin de problème.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Mines Maths 1 PC 2001 ?

Le rapport cite une mauvaise justification de la stationnarité des noyaux itérés, une définition de l’indice de nilpotence mal connue et des rayons de convergence incohérents en fin de sujet.

Le sujet Mines Maths 1 PC 2001 est-il difficile ?

Oui, le rapport indique que sa longueur et sa difficulté ont déstabilisé les candidats, avec une moyenne basse d’environ 6,1/20.

Quelle partie du sujet Mines Maths 1 PC 2001 a été la moins traitée ?

La troisième partie, consacrée aux dérivées de matrices construites par séries, a été la plus sacrifiée selon le rapport.

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