E3A Mathématiques PC 2025Sujet, corrigé et rapport du jury

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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
Ne pas utiliser de correcteur.
Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de quatre exercices indépendants.

EXERCICE 1

Question préliminaire

Soit

φ

la fonction réelle de la variable réelle définie par :

\forallt \in ℝ, φ(t) = 2t^3 - t^2 + 1

Étudier les variations de la fonction $φ$ sur l'intervalle $[ - 1, 1]$ et en donner la représentation graphique dans le plan muni d'un repère.

Soit

f : M = (x, y) \in ℝ^2 \mapsto x^3 + y^2 \in ℝ

.
2. Déterminer les points critiques sur

ℝ^2

de la fonction

f

.
3. En déduire que la fonction

f

n'admet pas d'extremum local sur

ℝ^2

.
4. Soit

D

le disque fermé de centre O et de rayon 2 :

D = {M = (x, y) ∈ ℝ^2, x^2 + y^2 ≤ 4}

.
4.1. Justifier que

f

admet dans

D

des extrema globaux.
4.2. Justifier que ces extrema sont atteints sur le cercle de centre O et de rayon 2.
4.3. Soit

M

un point du cercle de centre O et de rayon 2 : il existe donc

α \in ] - π, π]

tel que

M = (2cos(α), 2sin(α))

. Démontrer que :

f(M) = 4φ(cos(α))

.
4.4. En déduire les extrema globaux de

f

sur

D

EXERCICE 2

On considère l'équation

(E)

\forallx \in ℝ, x^2 y^('')(x) + xy^'(x) - (x^2 + x + 1)y(x) = 0

où

y

est une fonction inconnue de classe

C^2

sur

ℝ

Soit $y$ de classe $C^2$ une solution de $(E)$ . Calculer $y(0)$ .
On cherche une solution $f$ de $(E)$ développable en série entière et telle que $f^'(0) = 1$ .

On suppose qu'il existe

R > 0

tel que,

\forallx \in ] - R, R[, f(x) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)a_n x^n

.
2.1. Montrer que l'on a:

{∀n ⩾ 2, (n^2 − 1)a_n − a_(n − 1) − a_(n − 2) = 0; a_0 = 0; a_1 = 1

2.2. Montrer, en utilisant un raisonnement par récurrence, que :

\foralln ⩾ 1, |a_n| ⩽ 1/((n - 1)!)

.
2.3. Justifier alors que la fonction

f

est définie sur

ℝ

.
3. Soit

y

une fonction de classe

C^2

sur

ℝ

solution de

(E)

. On pose, pour tout

x

réel,

z(x) = xy(x)e^x

.
3.1. Calculer

z(0)

z^'(0)

.
3.2. Prouver que

z^'

est solution sur

ℝ

de l'équation

xu^'(x) - (2x + 1)u(x) = 0 (F)

d'inconnue la fonction

u

de classe

C^1

sur

ℝ

3.3. Une équation différentielle

3.3.1. Résoudre sur

ℝ_+^*

l'équation différentielle :

u^' - (2 + 1/x)u = 0

3.3.2. Justifier que les solutions sont prolongeables par continuité en 0 .
3.4. Démontrer que, pour tout réel

c

, la fonction

x \mapsto cxe^(2x)

est solution de

(F)

sur

ℝ

On admet que ce sont les seules solutions de

(F)

sur

ℝ

tout entier.
3.5. Démontrer qu'il existe un réel

a

tel que :

\forallx \in ℝ, z(x) = a(2x - 1)e^(2x) + a

3.6. Déterminer alors une expression de

f

à l'aide des fonctions usuelles.

EXERCICE 3

Soient

r

un nombre réel,

n

un entier naturel supérieur ou égal à 2 et

M_r

la matrice de

ℳ_n(ℝ)

définie par:

M_r = (1, r, \dots, r; r, 1, ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, r; r, \dots, r, 1)

On rappelle que si

A \in ℳ_(p, q)(ℝ)

alors

A^⊤ \in ℳ_(q, p)(ℝ)

désigne la transposée de la matrice

A

.
On munit l'espace vectoriel

ℝ^n

de son produit scalaire canonique :

(X|Y) = X^⊤Y

.
On note enfin

J

la matrice de

ℳ_n(ℝ)

dont tous les éléments sont égaux à 1 .

Déterminer une base de $Im(J)$ et le rang de la matrice $J$ .
Déterminer une base de $Ker(J)$ .
Prouver que la matrice $J$ est diagonalisable dans $ℳ_n(ℝ)$ .
Déterminer les sous-espaces propres de la matrice $J$ et une matrice diagonale $D$ semblable à $J$ .
Démontrer que $Im(J)$ et $Ker(J)$ sont deux sous-espaces orthogonaux supplémentaires dans $ℝ^n$ .
Justifier que $M_r \in Vect(I_n, J)$ .
Vérifier que la matrice $M_r$ est diagonalisable dans $ℳ_n(ℝ)$ et déterminer une matrice $Δ_r$ diagonale semblable à $M_r$ .
Pour tout couple ( $X, Y$ ) de vecteurs de $ℝ^n$ , on pose $f_r(X, Y) = X^⊤M_r Y$ .
8.1. Soit $X$ un vecteur de $ℝ^n$ . Montrer que l'application $Y \mapsto f_r(X, Y)$ est une forme linéaire sur $ℝ^n$ .
8.2. Montrer que: $\forall(X, Y) \in (ℝ^n)^2, f_r(X, Y) = f_r(Y, X)$ .
8.3. Justifier qu'il existe une matrice $P \in ℳ_n(ℝ)$ , orthogonale, telle que :

\forall(X, Y) \in (ℝ^n)^2, f_r(X, Y) = (X^')^⊤Δ_r Y^'

où l'on a posé

X^' = PX

Y^' = PY

.
On ne déterminera pas la matrice

P

.
8.4. Déterminer les valeurs de

r

pour lesquelles l'application

f_r

définit un produit scalaire sur

ℝ^n

EXERCICE 4

Questions de cours

Soit $Z$ une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre $p$ . Rappeler la loi de $Z$ , son espérance et sa variance.
Soient $X_1$ et $X_2$ deux variables aléatoires discrètes définies sur le même espace probabilisé ( $Ω, 𝒜, ℙ$ ). Rappeler la définition de « $X_1$ et $X_2$ sont indépendantes».

Soient

X

Y

deux variables aléatoires indépendantes définies sur le même espace probabilisé (

Ω, 𝒜, ℙ

) et telles que :

$X(Ω) = Y(Ω) = ℕ$
il existe $p \in ]0, 1[$ tel que $\forallk \in ℕ, ℙ(X = k) = ℙ(Y = k) = pq^k$ avec $q = 1 - p$ .

Soit $k \in ℕ$ . Montrer que $ℙ(X ⩾ k) = q^k$ .
Étude de la variable aléatoire $X + Y$
4.1. Dans quel ensemble la variable aléatoire $X + Y$ prend-elle ses valeurs?
4.2. Déterminer la loi de la variable aléatoire $X + Y$ .
4.3. Soient $n$ et $k$ deux entiers naturels.
4.3.1. Lorsque $k > n$ , calculer $ℙ_((X + Y = n))(X = k)$ .
4.3.2. On prend $k ⩽ n$ . Démontrer qu'il existe un scalaire $r_n$ tel que : $ℙ_((X + Y = n))(X = k) = r_n$ .
On pose $V = Y - X$ et $M = min(X, Y)$ où $min(a, b)$ désigne le plus petit des deux réels $a$ et $b$ .
5.1. Dans quels ensembles les variables aléatoires $V$ et $M$ prennent-elles leurs valeurs?
5.2. Calculer, pour tout entier naturel $k$ , la valeur de $ℙ(M ⩾ k)$ .
5.3. En déduire la loi de la variable aléatoire $M$ .
5.4. Soient $k \in ℕ$ et $r \in ℤ$ . Calculer la probabilité de l'évènement ( $M = k$ ) $\cap (V = r)$ .

On pourra distinguer les deux cas

r < 0

r ⩾ 0

.
5.5. En déduire la loi de

V

.
5.6. Étudier l'indépendance des deux variables aléatoires

M

V

FIN

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