E3A Mathématiques PC 2026Sujet et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Réduction d'une matrice antisymétrique d'ordre 5, opérateur intégral à paramètre, variance extrémale d'une variable aléatoire à trois valeurs

Le sujet comporte trois exercices indépendants. Le premier réduit une matrice antisymétrique de taille 5 en étudiant son carré, qui est symétrique. Le deuxième étudie l'opérateur qui associe à f l'intégrale de f(t)/(x+t) sur [0,1], dans le cas des monômes puis de l'exponentielle. Le troisième cherche les lois d'une variable à valeurs dans {1, 2, 3} qui rendent la variance maximale ou minimale, via les extrema d'une fonction de deux variables sur un triangle.

1Exercice 1 : réduction d'une matrice antisymétriquePréliminaires sur valeurs propres et sous-espaces propres, puis étude de f et de f au carré (endomorphisme symétrique), décomposition E = Ker(f) ⊕ Im(f) et réduction de M à une forme simple.
2Exercice 2 : un opérateur défini par une intégraleDérivée d'une intégrale fonction de sa borne supérieure, puis calcul de l'image des monômes par récurrence télescopique et étude de l'image de l'exponentielle au voisinage de 0.
3Exercice 3 : optimisation d'une varianceEspérance de X au carré et variance en fonction de deux paramètres, puis extrema d'un polynôme de deux variables sur un triangle fermé borné.

Difficulté moyenne. Le jury décrit des questions détaillées et des cas particuliers simples, mais dresse un bilan mitigé avec très peu de bonnes copies et une moyenne de 6,41.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 6,41 / 20 · écart-type 3,13 · 2 341 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 6,41/ 20
Écart-type: 3,13
Présents: 2 341
Coefficient: 7
Durée: 4 h

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 23 avril 2026. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Rang et automorphisme · Somme directe noyau et image · Dérivée d'une intégrale fonction de sa borne

Le jury dresse un bilan mitigé : très peu de bonnes copies et beaucoup d'erreurs sur des notions fondamentales comme les primitives, le rang ou le vecteur gradient. Dans une majorité de copies, les candidats donnent une formule sans la relier à la question posée. Il signale aussi des copies très faibles, incapables d'étudier la fonction x(1-x) sur [0,1], et un nombre croissant de copies mal présentées.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Rang et automorphismeExercice 1, questions 5.2 et 5.3
La notion d'automorphisme reste floue et le rang est confondu avec la taille de la matrice ; certains affirment que M est inversible puis que 0 est sa seule valeur propre.
« Beaucoup de candidats confondent « rang d’une matrice » et « taille de cette matrice ». »
2
Somme directe noyau et imageExercice 1, question 7
L'égalité des dimensions ne suffit pas pour conclure ; l'argument d'orthogonalité est rarement utilisé.
« Globalement, peu de réussite pour cette question classique. »
3
Dérivée d'une intégrale fonction de sa borneExercice 2, question 2
La dérivée de x donne l'intégrale de a à x de h est souvent écrite h(x) - h(a), et intégrale et primitive sont confondues.
« La notion de primitive semble totalement inconnue de trop de candidats. »
4
Développement limité de l'exponentielleExercice 2, question 1
Le développement limité à l'ordre 2 de exp en 0, pourtant élémentaire, est faux dans un nombre non négligeable de copies.
5
Vecteur gradientExercice 3, questions 4.3 et 4.4
Le gradient est souvent écrit comme la somme des dérivées partielles, donc comme un nombre, et le théorème des bornes atteintes est cité sans la continuité.
6
Variance et variable quasi-certaineExercice 3, question 6
Certains obtiennent une variance négative ; la variance est positive et s'annule pour une variable quasi-certaine.

Ce qui a été bien réussi

Le calcul de M + M transposée (5.1) et la diagonalisabilité de M au carré (5.5) sont en général réussis.
La relation d'antisymétrie (5.6) et la non-diagonalisabilité de f (6.2) sont en général bien traitées.
Le calcul de F0 et de Fk + xFk-1 (5.1 et 5.2 de l'exercice 2) pose peu de difficulté.
L'absence de point critique à l'intérieur de T (4.5 de l'exercice 3) est souvent correctement établie.

Conseils du jury

Relier chaque formule à la question posée au lieu de la donner seule.
Utiliser les questions préliminaires et les indications de l'énoncé, par exemple le produit scalaire de x et f(x) en 6.1.
Vérifier qu'un vecteur propre est non nul, et qu'un dénominateur est strictement positif avant d'intégrer.
Exploiter une relation télescopique plutôt que de se lancer dans une récurrence mal rédigée.
Soigner la présentation, car des points de barème y sont consacrés.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

-Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
-Ne pas utiliser de correcteur.
-Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de trois exercices indépendants.

EXERCICE 1

On rappelle que si

A

est une matrice, alors

A^⊤

désigne sa transposée.

Questions préliminaires

Soit

g

un endomorphisme d'un espace vectoriel réel

H

1.Soit $μ$ une valeur propre de $g$ . Montrer que $μ^2$ est valeur propre de $g^2 = g \circ g$ .
2.Montrer que si $x$ est vecteur propre de $g^2$ associé à une valeur propre non nulle, alors $g(x)$ est un vecteur propre de $g^2$ .
3.Démontrer que deux sous-espaces propres de $g$ associés à des valeurs propres distinctes sont en somme directe.
4.Soit $A$ une matrice carrée d'ordre $n ⩾ 2$ à coefficients réels.
Exprimer, sans démonstration, $det(- A)$ et $det(A^⊤)$ en fonction $dedet(A)$ .
$*****$
On note $E = ℝ^5$ muni du produit scalaire usuel noté $(x|y) = X^⊤Y$ , où $X$ et $Y$ sont les matrices colonnes des coordonnées des vecteurs $x$ et $y$ dans la base canonique $ℬ = (e_j)_(j \in [ [1, 5] ])$ , orthonormale pour ce produit scalaire.
Soit $f$ l'endomorphisme de $E$ défini par sa matrice $M$ dans la base $ℬ$ :
$M = (0, - 1, 0, 0, 0; 1, 0, - 1, 0, 0; 0, 1, 0, - 1, 0; 0, 0, 1, 0, - 1; 0, 0, 0, 1, 0).$
5.Premières propriétés de l'endomorphisme $f$
- 5.1.Déterminer la matrice $M + M^⊤$ .
- 5.2.Montrer que $f$ n'est pas un automorphisme de $E$ .
- 5.3.Déterminer le rang de la matrice $M$ .
- 5.4.Prouver que $f^2$ est un endomorphisme symétrique de $E$ .
- 5.5.Justifier alors que la matrice $M^2$ est diagonalisable dans $ℳ_5(ℝ)$ .
- 5.6.Montrer que $f$ vérifie la propriété : $\forall(x, y) \in E^2, (f(x)|y) = - (x|f(y))$ .
6.Étude des éléments propres de l'endomorphisme $f$
- 6.1.Montrer que 0 est la seule valeur propre de $f$ .
  On pourra utiliser la question précédente.
- 6.2.En déduire que l'endomorphisme $f$ n'est pas diagonalisable.
- 6.3.Démontrer que les valeurs propres non nulles de $f^2$ sont strictement négatives.
  On admet dans la suite que les valeurs propres distinctes de $f^2$ sont $0, - 1$ et -3.
7.Prouver que : $E = Ker(f) \oplus Im(f)$ .
8.Soient $λ$ une valeur propre non nulle de $f^2$ et $x$ un vecteur propre associé.
- 8.1.Montrer que les vecteurs $x$ et $f(x)$ forment une famille libre.

8.2.Justifier que $(x, f(x))$ engendre un plan vectoriel de $Im(f)$ .
9.Soient $u$ un vecteur propre de $f^2$ associé à la valeur propre -1 et $v$ un vecteur propre de $f^2$ associé à la valeur propre -3.
Montrer que ( $u, f(u), v, f(v)$ ) est une base de $Im(f)$ .
On pourra utiliser des questions préliminaires.
10.Déterminer des réels $α, β, γ$ et $δ$ tels que la matrice $M$ soit semblable à la matrice :
$T = (0, 0, 0, 0, 0; 0, 0, α, 0, 0; 0, β, 0, 0, 0; 0, 0, 0, 0, γ; 0, 0, 0, δ, 0).$

EXERCICE 2

Questions préliminaires

1.Écrire le développement limité à l'ordre 2 de la fonction $t \mapsto e^t$ en 0 .
2.Soient $h$ une fonction continue sur $ℝ_+^*$ à valeurs dans $ℝ$ et $a \in ℝ_+^*$ .
Justifier que la fonction $H : x \mapsto \int_a^x h(t)dt$ est de classe $C^1$ sur $ℝ_+^*$ et déterminer sa dérivée.
3.En déduire que la fonction $G : x \mapsto \int_x^(x + 1)h(t)dt$ est de classe $C^1$ sur $ℝ_+^*$ et calculer sa dérivée.
* * * * *
4.Soit $f$ une fonction continue sur [0, 1] à valeurs dans $ℝ$ .
Justifier que la fonction $F : x \mapsto \int_0^1(f(t))/(x + t) dt$ est définie sur $ℝ_+^*$ .
Soit l'application $T$ qui à toute fonction $f$ , continue sur [0, 1], associe la fonction $F$ :
$T(f) = F.$
5.Un premier exemple
On pose pour tout entier naturel $n, f_n : t \in [0, 1] \mapsto t^n$ et $F_n = T(f_n)$ .
Soit $x \in ℝ_+^*$ .
- 5.1.Calculer $F_0(x)$ .
- 5.2.Calculer, pour tout $k \in ℕ^*, F_k(x) + xF_(k - 1)(x)$ .
- 5.3.Soit $k \in ℕ^*$ . Démontrer que :
  $(F_k(x))/((- x)^k) - (F_(k - 1)(x))/((- x)^(k - 1)) = ((- 1)^k)/k(1/x)^k.$
- 5.4.En déduire que, pour tout entier naturel $n$ , il existe un polynôme $P_n$ , que l'on déterminera, tel que :
  $F_n(x) = (- x)^n(ln(1 + 1/x) - P_n(1/x)).$

Un deuxième exemple

Soient

g : t \in [0, 1] \mapsto e^t

G = T(g)

, c'est-à-dire :

G : x \mapsto \int_0^1(e^t)/(x + t) dt.

6.1. En effectuant le changement de variable

u = x + t

, prouver que

G

est de classe

C^1

sur

ℝ_+^*

.
6.2. On pose, lorsque cela existe :

J(x) = \int_0^x(e^t - 1)/t dt et K(x) = \int_0^x(e^t)/(1 + t) dt.

6.2.1. Montrer que

J

K

sont de classe

C^1

sur

ℝ_+

.
6.2.2. Montrer que la fonction

L : x \mapsto G(x)e^x - eK(x) + J(x) + ln(x)

est constante sur

ℝ_+^*

.
6.2.3. En déduire enfin la limite de

lim_(x \to 0^+)G(x)

et un équivalent de

G(x)

lorsque

x

tend vers

0^+

EXERCICE 3

Soit

X

une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé

(Ω, 𝒜, ℙ)

à valeurs dans

{1, 2, 3}

. On pose, pour tout

k \in [ [1, 3] ], p_k = ℙ(X = k) \in [0, 1]

et on se propose de déterminer pour quelles valeurs des

(p_k)_(k \in [ [1, 3] ])

, la variance

𝕍(X)

est maximale, puis minimale.

Déterminer les valeurs possibles pour la variable aléatoire $X^2$ .
Calculer $𝔼(X^2)$ , l'espérance de la variable aléatoire $X^2$ .
Exprimer la variance $𝕍(X)$ de la variable aléatoire $X$ à l'aide des seuls paramètres $p_1$ et $p_2$ .
On considère la fonction $f$ de $ℝ^2$ dans $ℝ$ définie par :

\forall(x, y) \in ℝ^2, f(x, y) = 4x + y - 4x^2 - y^2 - 4xy.

On note

T

l'ensemble fermé et borné défini par :

T = {(x, y) ∈ [0, 1]^2, x + y ⩽ 1}

.
4.1. Représenter graphiquement

T

dans le plan muni d'un repère orthonormé.
4.2. Justifier que

f

est de classe

C^2

dans

ℝ^2

.
4.3. Montrer que

f

possède des extrema dans

T

.
4.4. Soit

m = (x, y)

un point de

ℝ^2

. Déterminer le vecteur gradient

\nablaf(m)

, de

f

, en

m

.
4.5. Prouver que

f

ne possède pas de point critique dans l'intérieur de

T

.
4.6. On note

g

la fonction réelle de la variable réelle qui à tout

x

réel associe

g(x) = x(1 - x)

. Dresser le tableau des variations de la fonction

g

sur l'intervalle [0,1] et en donner une représentation graphique dans le plan muni d'un repère orthonormé.
4.7. Déterminer alors les extrema de

f

dans

T

.
5. Résoudre alors le problème posé au début de l'exercice.
6. Que peut-on dire de la variable aléatoire

X

lorsque sa variance est minimale ?

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de maths e3a PC 2026 ?

Il porte sur la réduction des endomorphismes (matrice antisymétrique, endomorphisme symétrique), les intégrales dépendant de leur borne et les développements limités, les variables aléatoires finies et les extrema de fonctions de deux variables.

Quelle est la moyenne de l'épreuve de maths e3a PC 2026 ?

Selon le rapport du jury, la moyenne est de 6,41 avec un écart-type de 3,13, sur 2341 copies.

Quelles erreurs le jury e3a maths PC 2026 a-t-il le plus relevées ?

Confusion entre rang et taille d'une matrice, dérivée erronée d'une intégrale fonction de sa borne, gradient écrit comme un nombre et difficultés à étudier la fonction x(1-x) sur [0,1].

Quelles questions du sujet de maths e3a PC 2026 ont été les moins traitées ?

La question 10 de l'exercice 1, les questions 6.2.2 et 6.2.3 de l'exercice 2 et les questions 5 et 6 de l'exercice 3 ont été rarement abordées ou rarement abouties.

Pas de description pour le moment

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