WikiPrépaLivrets

E3A Mathématiques PC 2023Sujet et rapport du jury

Pas encore noté
Logo concours E3A

Explorer les annales

BanqueE3AAnnée2023FilièrePCMatièreMathématiques
Annales E3A PC MathématiquesE3A PC 2023PC MathématiquesMathématiques 2023

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)
Rapport du juryLire en ligneLaTeXWord
  • Corrigé : pas encore disponible

Ces sujets peuvent vous intéresser

Pas encore de corrigé pour ce sujet : voici des sujets proches corrigés.

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
Afficher ou masquer la section
Sujet en PDF

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de quatre exercices indépendants.

EXERCICE 1

Soient E un ℝ-espace vectoriel de dimension n ⩾ 1 et u un endomorphisme de E, tel que :
u^2 − 3u + 2id_E = 0 (⋆)
où 0 désigne l'endomorphisme nul 0_(L(E)).
  1. L'endomorphisme u est il diagonalisable?
  2. Déterminer les valeurs propres possibles α et β de l'endomorphisme u. On choisira α inférieure à β.
  3. On pose alors v = u − αid_E et w = u − βid_E.
    3.1. Déterminer l'endomorphisme v − w et en déduire que E = Im(v) + Im(w).
    3.2. Préciser v ∘ w et w ∘ v.
    3.3. Prouver que Im(w) ⊂ Ker(v) et que Im(v) ⊂ Ker(w).
    3.4. Démontrer que E = Ker(v) ⊕ Ker(w).
  4. Comment peut-on déterminer une base de E dans laquelle la matrice de u est diagonale ?
  5. Application
Dans cette question, E est de dimension trois. On munit E de la base ℬ = (e_1, e_2, e_3) et, dans cette base, on définit l'endomorphisme u par sa matrice U = (1, 1, 0; 0, 2, 0; − 1, 1, 2).
5.1. Vérifier que u satisfait à la relation ( ⋆ ). On fera apparaître les calculs sur la copie.
5.2. Déterminer les matrices V et W des endomorphismes v et w définis à la question 3 .
5.3. Déterminer une base ℬ_1 de Ker(v) et une base ℬ_2 de Ker(w).
5.4. Déterminer une matrice diagonale D et une matrice inversible P telles que U = PDP^(− 1).

EXERCICE 2

Questions de cours

  1. Soit α un réel non nul.
Donner un développement limité à l'ordre 2 en 0 de la fonction x ↦ (1 − x)^α.
En déduire un équivalent de 1 − (1 − x)^α lorsque x tend vers 0 .
2. Soient a et b deux réels avec a > 0. Choisir sans justification l'expression correcte de a^b :
(A) e^(bln(a))
(B) e^(aln(b))
(C) e^(ln(a)ln(b)).

Soit n un entier supérieur ou égal à 2 .

  1. Pour tout k ∈ ℕ, on pose a_k = 1 − (1 − 1/(2^k))^(n − 1) et pour k ⩾ 1, u_k = a_(k − 1) − a_k.
    3.1. Montrer que la série de terme général u_k est convergente et calculer sa somme.
    3.2. Montrer que la série de terme général a_k est convergente.
On notera S_n sa somme que l'on ne cherchera pas à calculer.

4. Étude d'une variable aléatoire

4.1. Démontrer que ∀k ⩾ 1, u_k > 0.
4.2. Dans l'espace probabilisé ( Ω, A, ℙ ), on considère la variable aléatoire X_n à valeurs dans ℕ^∗ telle que, pour tout k > 0, ℙ(X_n = k) = λu_k, où λ est un réel. Déterminer λ.
4.3. Montrer que X_n admet une espérance et que 𝔼(X_n) = S_n.
5. Pour tout t réel, on pose f_0(t) = 0 et pour tout p ∈ ℕ^∗, f_p(t) = 1 − (1 − e^(− t))^p.
5.1. Pour tout entier naturel p, montrer que l'intégrale I_p = ∫_0^(+ ∞)f_p(t)dt est convergente.
5.2. Calculer I_(p + 1) − I_p pour tout entier naturel p.
5.3. En déduire que : ∑_(k = 1)^(n − 1)1/k = I_(n − 1).

6. Un encadrement

6.1. Prouver que, pour tout entier naturel non nul k, 1/(k + 1) ⩽ ∫_k^(k + 1)(dt)/t ⩽ 1/k.
6.2. En déduire que : ln(n) ⩽ I_(n − 1) ⩽ 1 + ln(n − 1).
7. Soit g_n la fonction définie sur ℝ_+par: ∀t ⩾ 0, g_n(t) = 1 − (1 − 2^(− t))^(n − 1) = 1 − (1 − 1/(2^t))^(n − 1).
Montrer que pour tout entier m ⩾ 2 :
∑_(k = 1)^m a_k ⩽ ∫_0^m g_n(t)dt ⩽ ∑_(k = 0)^(m − 1)a_k
  1. Soit β un réel strictement positif, montrer que l'on a :
∫_0^β g_n(v)dv = 1/(ln(2))∫_0^(βln(2))f_(n − 1)(u)du
  1. Démontrer que : 𝔼(X_n) − 1 ⩽ (I_(n − 1))/(ln(2)) ⩽ 𝔼(X_n).
  2. Donner un équivalent simple de S_n lorsque n tend vers l'infini.

EXERCICE 3

Soit n un entier supérieur ou égal à 2 .
On désigne par E un espace vectoriel euclidien de dimension n.
Le produit scalaire de deux vecteurs x et y de E est noté ⟨x|y⟩ et ‖x‖ représente la norme du vecteur x. Pour tout vecteur u non nul de E, on note φ_u l'application de E dans lui-même définie par :
∀x ∈ E, φ_u(x) = 2(⟨x|u⟩)/(⟨u|u⟩)u − x.

1. Étude de l'application φ_u

1.1. Montrer que φ_u est un endomorphisme de E.
1.2. En calculant φ_u ∘ φ_u, montrer que φ_u est un automorphisme de E et déterminer φ_u^(− 1).
1.3. Soit x appartenant à E, calculer ⟨φ_u(x)|φ_u(x)⟩.
1.4. En déduire que φ_u conserve le produit scalaire, c'est-à-dire que :
∀(x, y) ∈ E^2, ⟨φ_u(x)|φ_u(y)⟩ = ⟨x|y⟩.
1.5. On note D_u la droite vectorielle de base u et H_u = D_u^⊥.
Déterminer l'image de D_u par φ_u.
En déduire sans calcul que H_u est stable par φ_u.
1.6. Reconnaître alors la nature géométrique de l'endomorphisme φ_u et en donner les éléments caractéristiques.
2. Étude d'un exemple dans le cas n = 3
Soit H le sous-espace vectoriel de ℝ^3 muni de sa structure euclidienne canonique et constitué des vecteurs X = (x; y; z) tels que x + y + z = 0.
2.1. Donner la dimension et une base orthonormale de H^⊥.
2.2. Écrire la matrice dans la base canonique de ℝ^3 de la projection orthogonale sur H^⊥ puis celle de la projection orthogonale sur H.
2.3. Soit v un vecteur unitaire de H^⊥.
Écrire la matrice de φ_v dans la base canonique de ℝ^3.

3. Étude d'une réciproque

Soit ψ un endomorphisme de E tel qu'il existe une droite vectorielle Δ de E vérifiant :
∀x ∈ Δ, ψ(x) = x et ∀x ∈ Δ^⊥, ψ(x) = − x.
3.1. Montrer que ψ ∘ ψ = id_E et que ψ conserve le produit scalaire.
3.2. Montrer qu'il existe au moins un vecteur u de E tel que ψ = φ_u.

EXERCICE 4

Pour tout entier naturel n et tout réel x, on pose :
I_n(x) = ∫_0^1(1 − t^2)^n cos(tx)dt
  1. Étudier la parité des fonctions I_n.
  2. Prouver que les fonctions I_n sont de classe C^1 sur ℝ.
  3. Démontrer que, pour tout réel x et tout entier naturel n, I_n^′(x) = − x/(2(n + 1))I_(n + 1)(x).
  4. Prouver par récurrence sur l'entier naturel k, que la fonction I_n est, pour tout entier naturel n, de classe C^k sur ℝ.
Soit n un entier naturel fixé.

5. Calcul de I_n(0)

5.1. Déterminer, pour tout entier naturel p, une relation entre I_(p + 1)(0) et I_p(0).
5.2. En déduire l'expression de I_n(0) à l'aide de factorielles.
6. Calculer la somme : ∑_(k = 0)^n((− 1)^k)/((2k + 1)k!(n − k)!).
Le résultat sera exprimé à l'aide de factorielles.
7. Donner le développement en série entière au voisinage de 0 et son domaine de validité de la fonction u ↦ cos(u).
8. Montrer que la fonction I_n est développable en série entière au voisinage de 0 et déterminer le domaine de validité de ce développement.
Chaque coefficient sera donné sous forme d'une intégrale et on citera avec précision les théorèmes utilisés.
9. Quel résultat démontré antérieurement retrouve-t-on alors pour la fonction I_n ?

FIN

Pas de description pour le moment