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Centrale Mathématiques 1 PC 2012Sujet, corrigé et rapport du jury

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Si n et k sont deux entiers naturels, on note (n/k) le nombre de parties à k éléments d'un ensemble à n éléments.

I Approximation

I.A - Quelques calculs préliminaires

Dans cette sous-partie, x est un nombre réel et n est un entier naturel.
I.A.1) Montrer que ∑_(k = 0)^n(n/k)x^k(1 − x)^(n − k) = 1.
I.A.2) Montrer que ∑_(k = 0)^n k(n/k)x^k(1 − x)^(n − k) = nx.
I.A.3) Montrer que ∑_(k = 0)^n k(k − 1)(n/k)x^k(1 − x)^(n − k) = n(n − 1)x^2.
I.A.4) Déduire des questions précédentes que
∑_(k = 0)^n(x − k/n)^2(n/k)x^k(1 − x)^(n − k) = (x(1 − x))/n

I.B - Étude de S(x)

Soit n ∈ ℕ^∗ et x ∈ [0, 1]. Le but de cette sous-partie est de majorer la somme
S(x) = ∑_(k = 0)^n|x − k/n|(n/k)x^k(1 − x)^(n − k).
I.B.1) Majoration de S(x) : première méthode
On note
  • V l'ensemble des entiers k ∈ {0, …, n} tels que |x − k/n| ⩽ 1/(√n),
  • W l'ensemble des entiers k ∈ {0, …, n} tels que |x − k/n| > 1/(√n),
    et on pose
S_V(x) = ∑_(k ∈ V)|x − k/n|(n/k)x^k(1 − x)^(n − k) et S_W(x) = ∑_(k ∈ W)|x − k/n|(n/k)x^k(1 − x)^(n − k).
a) Montrer que S_V(x) ⩽ 1/(√n).
b) Montrer que S_W(x) ⩽ (x(1 − x))/(√n).
c) En déduire que S(x) ⩽ 5/(4√n).
I.B.2) Majoration de S(x) : seconde méthode
a) Écrire l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans l'espace ℝ^(n + 1) muni de son produit scalaire canonique.
b) À l'aide de la question I.A.4, en déduire que S(x) ⩽ 1/(2√n).

I. C - Application à l'approximation uniforme

Dans cette sous-partie, on note C l'espace vectoriel des fonctions continues de [ 0,1 ] dans ℝ. On munit C de la norme de la borne supérieure, notée ‖‖_∞ :
∀f ∈ C, ‖f‖_∞ = sup_(x ∈ [0, 1])|f(x)|.
Pour f ∈ C et n ∈ ℕ^∗, on définit le n-ième polynôme de Bernstein de f, noté B_n(f), en posant, pour tout x ∈ [0, 1]
B_n(f)(x) = ∑_(k = 0)^n f(k/n)(n/k)x^k(1 − x)^(n − k).
Le but de cette sous-partie est d'étudier ‖B_n(f) − f‖_∞ lorsque f est un élément de C vérifiant une hypothèse additionnelle.

I.C.1) Un exemple

Si f(x) = x^2 pour tout x ∈ [0, 1], déterminer, pour tout n ∈ ℕ^∗, le polynôme B_n(f) et en déduire la valeur de ‖B_n(f) − f‖_∞.
I.C.2) Soit f ∈ C. Montrer, pour tout x ∈ [0, 1], la relation
B_n(f)(x) − f(x) = ∑_(k = 0)^n(f(k/n) − f(x))(n/k)x^k(1 − x)^(n − k).
I.C.3) a) Montrer que si f est δ-lipschitzienne, alors ‖B_n(f) − f‖_∞ ⩽ δ/(2√n) pour tout entier n ⩾ 1.
b) En déduire que si f est de classe C^1, alors il existe un réel c tel que, pour tout n ∈ ℕ^∗, ‖B_n(f) − f‖_∞ ⩽ c/(√n).
c) Étendre le résultat précédent au cas où f est une fonction continue, de classe C^1 par morceaux.
I.C.4) Soit f : [0, 1] → ℝ une fonction continue, C^1 par morceaux. Déduire de ce qui précède que, pour tout réel r > 0, il existe un polynôme P à coefficients réels tel que ∀x ∈ [0, 1], f(x) − r ⩽ P(x) ⩽ f(x) + r.

II Un théorème de Hardy-Littlewood

Soit (a_n)_(n ⩾ 0) une suite réelle. On suppose que la série entière associée ∑a_n x^n admet pour rayon de convergence R_a = 1 et que la somme f de cette série, définie par
∀x ∈ ] − 1, 1[ f(x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)a_n x^n
vérifie
f(x) ∼ 1/(1 − x) quand x → 1, x < 1.
On note
A_n = ∑_(k = 0)^n a_k et a~_n = (A_n)/(n + 1).
Ainsi, a˜_n est la moyenne arithmétique des nombres a_0, …, a_n.
Le but de cette partie est d'étudier le comportement des a_n lorsque n tend vers l'infini. On s'intéresse en particulier aux deux propriétés suivantes :
lim_(n → ∞)a_n = 1
et
lim_(n → ∞)a˜_n = 1

II.A - L'hypothèse II. 1 n'entraîne pas la propriété II. 2

II.A.1) Déterminer une suite réelle (b_n)_(n ⩾ 0) telle que
∀x ∈ ] − 1, 1[, 1/(1 − x^2) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)b_n x^n.
II.A.2) En déduire un exemple de suite (a_n)_(n ⩾ 0) vérifiant II. 1 mais ne convergeant pas vers 1 .

II.B - L'hypothèse II. 1 n'entraîne pas la propriété II. 3

II.B.1) Donner le développement en série entière de la fonction t ↦ 1/((1 − t)^2) ainsi que son rayon de convergence. Préciser si la série converge aux bornes de l'intervalle de convergence.
II.B.2) On considère les fonctions φ : x ↦ 1/((1 − x^2)^2) et ψ : x ↦ 1/((1 + x)^2(1 − x)). Déterminer des suites (u_n)_(n ∈ ℕ) et (v_n)_(n ∈ ℕ) telles que, pour tout x ∈ ] − 1, 1[,
φ(x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)u_n x^n et ψ(x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)v_n x^n.
On explicitera en fonction de n, suivant la parité de n, les réels u_n et v_n.
II.B.3) Calculer v˜_n (moyenne arithmétique des nombres v_0, …, v_n ).
II.B.4) Construire à l'aide de ψ un exemple de suite (a_n)_(n ⩾ 0) vérifiant II. 1 mais ne vérifiant pas la propriété II.3.
Jusqu'à la fin de cette partie, on continue de supposer II. 1 et on fait l'hypothèse supplémentaire :
∀n ∈ ℕ, a_n ⩾ 0.
L'objectif principal, après quelques observations concernant la suite (a˜_n)_(n ⩾ 0), est de démontrer la propriété II. 3 (théorème de Hardy et Littlewood).
II.C - Majoration de la suite (a˜_n)_(n ⩾ 0)
II.C.1) Pour tout x ∈ [0, 1[ et tout n ∈ ℕ, montrer que f(x) ⩾ A_n x^n.
II.C.2) Montrer l'existence d'un entier N > 0 tel que
∀n ⩾ N, f(e^(− 1/n)) ⩽ 2/(1 − e^(− 1/n))
II.C.3) En déduire que la suite (a˜_n)_(n ⩾ 0) est majorée.
II.D - Minoration, à partir d'un certain rang, de (a˜_n)_(n ⩾ 0) par un réel > 0
On désigne par μ > 0 un majorant de la suite (a˜_n)_(n ⩾ 0) : ∀n ∈ ℕ, a˜_n ⩽ μ.
II.D.1) a) Pour tout x ∈ ] − 1, 1[, montrer que (1 − x)∑_(k = 0)^(+ ∞)A_k x^k = f(x).
b) En déduire que pour tout x ∈ [0, 1[ et tout N ∈ ℕ^∗
(f(x))/(1 − x) ⩽ A_(N − 1)(1 − x^N)/(1 − x) + μ∑_(k = N)^(+ ∞)(k + 1)x^k.
c) En déduire que pour tout x ∈ [0, 1[ et tout N ∈ ℕ^∗
f(x) ⩽ A_(N − 1) + μ((N + 1)x^N + (x^(N + 1))/(1 − x)).
II.D.2) Soit λ un réel strictement positif.
a) Montrer qu'il existe un entier N_0 > 0 tel que pour tout N ⩾ N_0,
f(e^(− λ/N)) ⩾ 1/(2(1 − e^(− λ/N))) ⩾ N/(2λ).
b) Montrer que pour tout N ⩾ N_0
a~_(N − 1) ⩾ 1/(2λ) − μe^(− λ)(1 + 1/N + e^(− λ/N)1/(N(1 − e^(− λ/N)))).
c) Déterminer en fonction de λ la limite, quand N tend vers l'infini, du membre de droite dans l'inégalité précédente.
d) Montrer qu'il existe un réel λ > 0 tel que cette limite soit strictement positive.
II.D.3) Conclure qu'il existe un réel ν > 0 tel qu'à partir d'un certain rang on ait a˜_n ⩾ ν.

II.E - Démonstration de la propriété II.3, due à Karamata

Soit g : [0, 1] → ℝ la fonction telle que g(x) = 1/x si x ⩾ e^(− 1) et g(x) = 0 sinon.
On fixe un réel ε ∈ ]0, e^(− 1)[. On définit deux applications continues g^+, g^− : [0, 1] → ℝ ainsi :
− g^+est affine sur [e^(− 1) − ε, e^(− 1)] et coüncide avec g sur [0, e^(− 1) − ε] ∪ [e^(− 1), 1];
  • g^−est affine sur [e^(− 1), e^(− 1) + ε] et coïncide avec g sur [0, e^(− 1)[ ∪ [e^(− 1) + ε, 1].
Pour tout entier N > 0 on pose x_N = e^(− 1/N).
On rappelle que dans cette sous-partie, on fait les hypothèses II. 1 et II. 4
II.E.1) Calculer ∫_0^1 g^+(t)dt et ∫_0^1 g^−(t)dt.
II.E.2) Soit P un polynôme à coefficients réels. Montrer que
(1 − x)∑_(n = 0)^(+ ∞)a_n x^n P(x^n) ⟶ _(x → 1; x < 1)∫_0^1 P(t)dt.
On considérera d'abord le cas particulier P(x) = x^k, où k ∈ ℕ.
II.E.3) Établir l'existence de deux polynômes P, Q à coefficients réels tels que :
∀x ∈ [0, 1], g^−(x) − ε ⩽ P(x) ⩽ g(x) ⩽ Q(x) ⩽ g^+(x) + ε.
II.E.4) Établir l'existence d'un entier N_1 > 0 tel que pour tout entier N ⩾ N_1,
(1 − x_N)∑_(n = 0)^(+ ∞)a_n x_N^n P(x_N^n) ⩾ ∫_0^1 P(t)dt − ε
et
(1 − x_N)∑_(n = 0)^(+ ∞)a_n x_N^n Q(x_N^n) ⩽ ∫_0^1 Q(t)dt + ε.
II.E.5) Déduire des trois questions précédentes que pour tout entier N ⩾ N_1
1 − 5ε ⩽ (1 − x_N)A_N ⩽ 1 + 5ε.
II.E.6) Conclure.

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