WikiPrépaLivrets

Centrale Mathématiques 2 PC 2012Sujet et rapport du jury

Pas encore noté
Faisable en Sup
Logo concours Centrale

Explorer les annales

BanqueCentraleAnnée2012FilièrePCMatièreMathématiques
Annales Centrale PC MathématiquesCentrale PC 2012PC MathématiquesMathématiques 2012

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)
Rapport du juryLire en ligneLaTeXWord
  • Corrigé : pas encore disponible

Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Équations linéaires : pivot de Gauss, équations différentielles et de récurrence, applications géométriques
Afficher ou masquer la section

Le sujet étudie les opérations élémentaires sur les matrices par la méthode du pivot, utilisées pour trouver le rang, l'image et le noyau d'une matrice, avec l'exemple des polynômes interpolateurs. Il explore ensuite en parallèle les suites récurrentes et les équations différentielles linéaires, avant d'appliquer ces outils à un problème de géométrie et à des équations fonctionnelles linéaires.

  1. 1Partie I : pivotsÉtudier différentes déclinaisons de l'algorithme du pivot, avec interprétation graphique et vectorielle, et l'exemple de la matrice de Vandermonde.
  2. 2Partie II : équations différentielles et équations de récurrenceÉtudier en parallèle un système différentiel linéaire et un système de récurrence linéaire analogue, par découplage et réduction matricielle.
  3. 3Partie III : exemple en géométrieDéterminer le nombre de zones découpées sur une sphère par n cercles.
  4. 4Partie IV : équations fonctionnelles linéairesÉtudier des équations fonctionnelles linéaires à l'aide d'outils d'analyse classiques.

Difficulté moyenne. Le rapport indique que les candidats se sont montrés assez efficaces sur les premières questions, élémentaires malgré une présentation inhabituelle, mais que le reste de l'épreuve a montré des faiblesses sur les conditions initiales et le changement de variable.

Ce qu'a observé le jury

4 erreurs relevées
Justifications manquantes pour des assertions suggérées · Confusion sur la suite (rⁿ) dans le cas r=0 · Questions de programmation contournées
Afficher ou masquer la section

Cet énoncé a permis de bien séparer les meilleurs candidats sur leurs connaissances, leur rapidité et leur rigueur. Il est très clair que les candidats montrent une plus grande maîtrise et rapidité en analyse qu'en algèbre, même élémentaire.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Justifications manquantes pour des assertions suggéréesI.C.1-3

    La situation est souvent correctement interprétée mais rarement justifiée : linéarité, invertibilité des opérations élémentaires, liberté d'une famille, théorème du rang.

  2. 2
    Confusion sur la suite (rⁿ) dans le cas r=0II.A.3

    Les candidats ne savent pas ce qu'ils entendent par la suite (rⁿ) dans le cas r=0, l'assimilant presque toujours à la suite nulle en comparaison avec ((-1)ⁿ).

  3. 3
    Questions de programmation contournéesII.A.4

    Les questions demandant un programme informatique sont encore trop souvent contournées par les candidats.

  4. 4
    Cas des cercles tangents oubliéIII.A.1

    L'oubli du cas de cercles tangents est fréquent dans le dénombrement des zones découpées sur une sphère.

Ce qui a été bien réussi

  • La question I.A a été correctement traitée le plus souvent.
  • La question I.B, plus difficile pour la reconnaissance des figures, a obtenu un bon taux de réussite.
  • Les questions classiques d'analyse de la partie IV.C semblent maîtrisées.

Conseils du jury

  • Vérifier soi-même ses résultats en les substituant dans le problème posé initialement (équations polynomiales, vecteurs propres, systèmes linéaires).
  • Justifier chaque assertion, même succinctement, plutôt que de se contenter d'une affirmation suggérée par l'énoncé.
  • Bien numéroter ses copies et respecter l'ordre des parties et des questions de l'énoncé.
  • Ne pas contourner systématiquement les questions demandant un programme informatique.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Pas encore de corrigé pour ce sujet : voici des sujets proches corrigés.

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
Afficher ou masquer la section
Sujet en PDF
Dans tout le problème, le corps de base des espaces vectoriels est ℝ. Les matrices et les systèmes linéaires sont à coefficients réels. Les suites et les fonctions sont à valeurs réelles.

Équations linéaires

Ce problème porte sur des applications du théorème de structure de l'ensemble des solutions d'une équation linéaire.
Les parties sont largement indépendantes, mais les résultats numériques de la partie I sont utilisés dans les parties II et III.

Question préliminaire

Soit E et F deux espaces vectoriels sur ℝ; soit f une application linéaire de E dans F, et b un élément de F. Quelle structure possède l'ensemble S des solutions de l'équation f(x) = b ?

I Pivots

On va étudier dans cette partie différentes déclinaisons de l'algorithme du pivot.

I.A - Résolution d'un système linéaire : interprétation graphique

On considère le système linéaire
{x + y + z, = 2; x + 2y + 4z, = 4; x + 3y + 9z, = 8
Afin de résoudre ce système, on a utilisé un algorithme du pivot : en effectuant des opérations sur les lignes, on a obtenu une séquence de systèmes équivalents avec de plus en plus de coefficients nuls. L'objectif est de résoudre le système en aboutissant à un système de la forme
{x, = a; y, = b; z, = c
où on a annulé tous les coefficients non diagonaux de la matrice du système (les coefficients au-dessous de la diagonale et les coefficients au-dessus de la diagonale). L'ordre choisi pour effectuer les opérations est indiqué sur le schéma que voici
{■; 1; 25 = ◻ = ◻
Chaque numéro indique après combien d'opérations élémentaires le coefficient correspondant a été annulé. Chaque opération élémentaire est de la forme L_i ← αL_i + βL_j (avec α ≠ 0 ) et permet d'annuler le coefficient situé en ligne i et colonne j. Par exemple, la troisième étape a été une opération élémentaire de la forme L_1 ← α_3 L_1 + β_3 L_2 (avec α_3 ≠ 0 ) qui a permis d'annuler le coefficient placé à la position marquée du chiffre 3 sur le schéma.
À chaque étape de l'algorithme, on a représenté par un schéma les trois plans de ℝ^3 correspondant aux équations du système linéaire. Ces schémas sont reproduits en figure 1, dans le désordre.
Reconstituer les étapes du calcul, et indiquer quel schéma correspond à chaque étape.

I.B - Résolution d'un système linéaire : interprétation vectorielle

Dans cette question, on s'intéresse de nouveau au système
{x + y + z, = 2; x + 2y + 4z, = 4; x + 3y + 9z, = 8
On considère ici les vecteurs colonnes
u = (1; 1; 1), v = (1; 2; 3), w = (1; 4; 9), t = (2; 4; 8)
Pour résoudre le système, on cherche des réels x, y et z tels que xu + yv + zw = t. Pour cela, on va considérer le tableau
(u, v, w, t; 1, 1, 1, 2; 1, 2, 4, 4; 1, 3, 9, 8)
qu'on interprète comme une matrice. On utilise un algorithme du pivot sur les colonnes : par des opérations élémentaires sur les colonnes, on obtient des zéros à tous les emplacements marqués d'un numéro dans le schéma ci-dessous :
(∗, ∗, ∗, ∗; ∙, 1, 2, 3; ∙, ∙, 4, 5; ∙, ∙, ∙, 6)
Comme pour la question précédente, chaque numéro indique après combien d'opérations élémentaires le coefficient correspondant a été annulé. Chaque opération élémentaire est de la forme C_j ← αC_j + βC_i (avec α ≠ 0 ). Par exemple, la première étape a été la réalisation de l'opération élémentaire C_2 ← C_2 − C_1, qui a fourni le tableau
(u, v − u, w, t; 1, 0, 1, 2; 1, 1, 4, 4; 1, 2, 9, 8)
Les deux dernières étapes ont été des opérations élémentaires de la forme C_4 ← α_5 C_4 + β_5 C_2 (avec α_5 ≠ 0 ) pour l'avant-dernière, et enfin C_4 ← α_6 C_4 + β_6 C_3 (avec α_6 ≠ 0 ) pour la dernière.
À chaque étape de l'algorithme, on a représenté sur la figure 2 les quatre vecteurs colonnes indiqués sur la première ligne de la matrice. Pour que le dessin soit plus facile à interpréter, surtout lorsque deux vecteurs sont presque colinéaires, les droites engendrées par les vecteurs ont été représentées par un trait fin. On a également représenté la construction géométrique traduisant l'opération élémentaire, le vecteur ayant été remplacé à une étape étant représenté par une ligne discontinue. Les figures correspondant à chacune des étapes de la résolution sont représentées dans le désordre.
Reconstituer les étapes du calcul, et indiquer quelle figure correspond à chaque étape. Expliquer aussi où on lit la solution du système dans la dernière matrice obtenue.

I.C - Pivots synchronisés

Dans cette question, on étudie un algorithme permettant d'obtenir dans un unique calcul une base du noyau d'une application linéaire et une base de son image. Comme l'image est dans l'espace d'arrivée et que le noyau est dans l'espace de départ, l'algorithme de calcul s'interprète comme deux pivots synchronisés, l'un avec des vecteurs de l'espace de départ, l'autre avec des vecteurs de l'espace d'arrivée.
Soit E et F deux espaces vectoriels sur ℝ de dimensions finies n et p; soit B = (e_1, e_2, …, e_n) une base de E, et C une base de F; soit f une application linéaire de E dans F et M sa matrice dans les bases B et C. On note Y_1, Y_2, …, Y_n les colonnes de M.
Soit N le tableau formé en ajoutant à M la ligne supplémentaire (e_1, e_2, …, e_n). Le tableau N comporte donc n colonnes et p + 1 lignes, la ( p + 1 )-ième ligne étant ( e_1, e_2, …, e_n ); les coefficients des p premières lignes sont donc des scalaires, tandis que ceux de la dernière ligne sont des vecteurs. On note C_1, …, C_n les colonnes de N. L'algorithme de recherche simultanée d'une base de Ker(f) et d'une base de Im(f) s'effectue grâce à des opérations élémentaires sur les colonnes de N. Conformément à l'usage pour ces algorithmes, on notera encore C_1, …, C_n les colonnes des tableaux obtenus aux différentes étapes. On notera C_1^′, …, C_n^′, les colonnes correspondant aux p premières lignes des tableaux obtenus aux différentes étapes de l'algorithme, et C_1^(′′), …, C_n^(′′) les coefficients de la dernière ligne de ces tableaux (on rappelle que ce sont des vecteurs de E ). Conformément à l'usage, on identifie les vecteurs de F et leurs colonnes associées dans la base C.
Exemple - Si E = ℝ^3, F = ℝ^2, et si f est l'application de ℝ^3 dans ℝ^2 de matrice
M = (1, 2, 3; 4, 5, 6)
le tableau N s'écrit
N = ((1, 2, 3; 4, 5, 6))/((e_1, e_2, e_3))
Pour simplifier, on le notera avec un seul jeu de parenthèses,
N = (1, 2, 3; 4, 5, 6; e_1, e_2, e_3)
On a alors
C_1 = (1; 4; e_1), C_1^′ = (1/4), C_1^(′′) = (e_1)
La double opération élémentaire C_2 ← C_2 − 2C_1, C_3 ← C_3 − 3C_1 conduit à
(1, 0, 0; 4, − 3, − 6; e_1, e_2 − 2e_1, e_3 − 3e_1)
I.C.1) Au départ, quels sont les liens entre e_k et Y_k, pour 1 ⩽ k ⩽ n ? Que représentent Y_1, Y_2, …, Y_n pour Im(f) ?
I.C.2) Après chaque étape de l'algorithme, préciser les liens entre C_k^′ et C_k^(′′), pour 1 ⩽ k ⩽ n. Que représentent C_1^(′′), …, C_n^(′′) pour E ? Que représentent C_1^′, …, C_n^′ pour Im(f) ?
I.C.3) À la fin de l'algorithme, on obtient un tableau pour lequel les colonnes C_1^′, C_2^′, …, C_q^′ forment une matrice échelonnée de colonnes non nulles, et les colonnes C_(q + 1)^′, C_(q + 2)^′, …, C_n^′ sont nulles. Expliquer où on lit une base de Ker(f) et où on lit une base de Im(f).

I.C.4) Exemples numériques

En utilisant l'algorithme que l'on vient d'étudier, déterminer une base du noyau et une base de l'image des endomorphismes f_1 et f_2 de ℝ^4 dont les matrices respectives, dans la base canonique de ℝ^4 sont
(− 3, 0, 1, 0; 0, − 3, 0, 1; 0, 0, 0, 3/2; 2, 3, − 2/3, − 2) (0, 0, 1, 0; 0, 0, 0, 1; 0, 0, 3, 3/2; 2, 3, − 2/3, 1)

II Équations différentielles et équations de récurrence

Dans cette partie, nous allons explorer sur des exemples les liens entre équations différentielles linéaires et relations de récurrence linéaires.

II.A - Question de cours et exemple élémentaire

II.A.1) Déterminer le noyau de l'application T, de ℝ^ℕ dans ℝ^ℕ qui, à une suite (u_n)_(n ∈ ℕ) = (u_0, u_1, u_2, … ) associe la suite (u_(n + 1))_(n ∈ ℕ) = (u_1, u_2, u_3, …).
Soit a, b et c trois réels, avec a ≠ 0. On considère la relation de récurrence ∀n ∈ ℕ, au_(n + 2) + bu_(n + 1) + cu_n = 0
II.A.2) Quelle est la structure algébrique de l'ensemble des suites réelles solutions de cette récurrence? Quelle est sa dimension? Comment fait-on pour déterminer l'ensemble des suites réelles (u_n)_(n ∈ ℕ) vérifiant cette relation de récurrence? Quels cas doit-on distinguer pour la recherche des suites solutions?
II.A.3) Illustrer la méthode en déterminant l'ensemble A des suites réelles (u_n)_(n ∈ ℕ) vérifiant la relation de récurrence ∀n ∈ ℕ, u_(n + 2) + u_(n + 1) = 0. On indiquera la dimension de l'espace vectoriel des solutions.
II.A.4) On suppose a ≠ 0. Écrire en Maple ou en Mathematica une fonction f de six variables telle que, pour tous a, b, c, d, e réels et tout p entier naturel, f(a, b, c, d, e, p ) soit le terme d'ordre p, c'est-à-dire u_p, de la suite récurrente ( u_n ) définie par
{u_0 = d; u_1 = e; ∀n ∈ ℕ, au_(n + 2) + bu_(n + 1) + cu_n = 0
Dans la suite de cette partie, on va étudier en parallèle un système différentiel linéaire S_D et un système d'équations de récurrence S_R s'écrivant de façon analogue.
Le système différentiel S_D a comme fonctions inconnues deux fonctions réelles x et y de classe C^2 sur ℝ, et s'écrit
S_D : {2x^(′′) + 3y^(′′) − 4x^′ − 6y^′ − 6x − 9y = 0; − 6x^(′′) − 6y^(′′) + 14x^′ + 15y^′ + 12x + 18y = 0
Le système d'équations de récurrence S_R porte sur deux suites réelles inconnues ( u_n ) et ( v_n ), et s'écrit, pour tout n ∈ ℕ,
S_R : {2u_(n + 2), +, 3v_(n + 2), −, 4u_(n + 1), −, 6v_(n + 1), −, 6u_n, −, 9v_n; − 6u_(n + 2), −, 6v_(n + 2), +, 14u_(n + 1), +, 15v_(n + 1), +, 12u_n, +, 18v_n = 0
Pour déterminer les solutions de S_D et de S_R, on va d'abord transformer leurs écritures pour se ramener à des systèmes équivalents écrits sous forme standard. On note
X = (x; y; x^′; y^′), U_n = (u_n; v_n; u_(n + 1); v_(n + 1))
On a alors
X^′ = (x^′; y^′; x^(′′); y^(′′)), U_(n + 1) = (u_(n + 1); v_(n + 1); u_(n + 2); v_(n + 2))
On cherche une matrice carrée A de taille 4 × 4 permettant d'écrire S_D et S_R sous la forme X^′ = AX et U_(n + 1) = AU_n.

II.B - Découplage des systèmes d'équations

En utilisant l'algorithme du pivot, déterminer un système S_D^′ d'équations différentielles équivalent à S_D et pouvant s'écrire sous la forme voulue X^′ = AX.
Par la même méthode, déterminer un système S_R^′ d'équations de récurrence équivalent à S_R et pouvant s'écrire sous la forme voulue U_(n + 1) = AU_n.
On pourra diviser la feuille en deux colonnes pour traiter en parallèle les deux systèmes. Les calculs communs aux deux systèmes pourront alors n'être effectués qu'une seule fois.

II.C - Interprétation de la réduction matricielle

On considère à présent le système différentiel S_D^′ : X^′ = AX et le système de récurrence S_R^′ : ∀n ∈ ℕ, U_(n + 1) = AU_n. On admettra que les dimensions de l'espace vectoriel des solutions de S_D^′ et de l'espace vectoriel des solutions de S_R^′ sont égales.
II.C.1) Si λ est une valeur propre réelle de A, et si u_λ est un vecteur propre de A pour la valeur propre λ, justifier que la fonction φ_λ : ℝ → ℝ^4, t ↦ e^(λt)u_λ est une solution de S_D^′.
Justifier aussi que la suite vectorielle ω_λ : ℕ → ℝ^4, n ↦ λ^n u_λ est une solution de S_R^′.
II.C.2) Si A est diagonalisable sur ℝ et si (u_λ, u_μ, u_ν, u_ξ) est une base de vecteurs propres associés respectivement aux valeurs propres λ, μ, ν et ξ (pas nécessairement distinctes), que représente la famille ( φ_λ, φ_μ, φ_ν, φ_ξ ) pour l'ensemble des solutions de S_D^′ ? Que représente la famille ( ω_λ, ω_μ, ω_ν, ω_ξ ) pour l'ensemble des solutions de S_R^′ ?

II.D - Résolution numérique

II.D.1) On considère à présent
A = (0, 0, 1, 0; 0, 0, 0, 1; 0, 0, 3, 3/2; 2, 3, − 2/3, 1)
À l'aide éventuellement de la calculatrice, calculer le polynôme caractéristique de A, puis déterminer les valeurs propres de cette matrice, ainsi que des vecteurs propres associés à ces valeurs propres.
II.D.2) En déduire l'ensemble des solutions de S_D^′ et l'ensemble des solutions de S_R^′. Déterminer enfin les ensembles de solutions respectifs de S_D et de S_R.

III Exemple en géométrie

III.A - Nombre de zones découpées sur une sphère par n cercles

Soit u_n le nombre maximal de zones distinctes de la sphère unité que n cercles distincts tracés sur cette sphère peuvent déterminer.
III.A.1) Combien de points d'intersection peuvent avoir deux cercles tracés sur la sphère unité? (On justifiera succinctement.)
III.A.2) Déterminer u_1, u_2 et u_3.
III.A.3) Montrer que la suite (u_n)_(n ∈ ℕ) vérifie la relation de récurrence ∀n ∈ ℕ^∗, u_(n + 1) = u_n + 2n.
Considérons n cercles tracés sur la sphère. Traçons un ( n + 1 )-ième cercle sur la sphère qui rencontre les n cercles existants en délimitant un nombre maximal de zones. En notant p le nombre de points d'intersection entre le ( n + 1 )-ième cercle et les cercles précédemment tracés, on pourra remarquer que les arcs du n + 1-ième cercle délimités par les p points d'intersections sont des frontières entre deux nouvelles zones.
III.B - Étude des suites (t_n)_(n ∈ ℕ) vérifiant la relation de récurrence ∀n ∈ ℕ, t_(n + 1) = t_n + 2n
Soit T l'endomorphisme de ℝ^ℕ qui, à toute suite (t_n)_(n ∈ ℕ), associe la suite (t_(n + 1))_(n ∈ ℕ). Soit v la suite de ℕ dans ℝ définie par v_n = 2n pour tout n ∈ ℕ. Soit enfin Φ l'endomorphisme de ℝ^ℕ défini par Φ = T − Id, où Id est l'application identité de ℝ^ℕ.
III.B.1) Montrer qu'une suite t = (t_n) vérifie la relation de récurrence ∀n ∈ ℕ, t_(n + 1) = t_n + 2n si et seulement si Φ(t) = v. On note S l'ensemble des suites vérifiant cette relation de récurrence. Préciser la structure de S.
III.B.2) Déterminer le noyau de Φ.
III.B.3) Pour tout entier naturel p > 0, soit E_p l'espace vectoriel des suites réelles polynomiales de degré inférieur ou égal à p, c'est-à-dire l'ensemble des suites ( w_n ) pour lesquelles il existe un polynôme P, à coefficients réels et de degré inférieur ou égal à p, vérifiant w_n = P(n) pour tout n ∈ ℕ.
Quelle est la dimension de E_p ?
Vérifier que, pour tout entier p > 0, E_p est stable par Φ. On note Ψ_p la restriction de Φ à E_p.
Comparer Ker(Ψ_p) et Ker(Φ).
Montrer que, pour tout p > 1, Im(Ψ_p) = E_(p − 1).

III.C - Conclusion

Déduire des questions précédentes qu'il existe un polynôme P de degré ⩽ 2 tel que, pour tout entier n ⩾ 1, on ait u_n = P(n).
Écrire le système d'équations donnant u_1, u_2 et u_3. En déduire, pour tout n ∈ ℕ, une expression de u_n en fonction de n.

IV Équations fonctionnelles linéaires

Dans cette partie, on va d'abord explorer l'effet de la composition des applications sur des exemples simples d'équations fonctionnelles. On se concentrera ensuite sur l'équation fonctionnelle
y(x + 1) − y(x) = 1/((1 + x)^2)
en utilisant des propriétés linéaires en analyse.

IV.A - Résultats préliminaires

IV.A.1) Soit T l'ensemble des fonctions continues y de ] − 1, + ∞[ dans ℝ telles que, pour tout x ∈ ] − 1, + ∞[, on ait y(x + 1) − y(x) = 1/((1 + x)^2). Quelle structure T possède-t-il? (On vérifiera les hypothèses du théorème invoqué).
IV.A.2) Quelles sont les fonctions périodiques de ] − 1, + ∞[ dans ℝ possédant une limite en + ∞ ?

IV.B - Quelques équations fonctionnelles linéaires élémentaires

IV.B.1) On considère l'équation fonctionnelle
f(x + 1) − f(x) = 1
Préciser l'ensemble K des fonctions continues de ℝ dans ℝ vérifiant l'équation IV. 2 pour tout réel x.
IV.B.2) On note lb la fonction logarithme binaire, définie par lb(x) = ln(x)/ln(2). Soit f une solution sur ℝ de l'équation fonctionnelle IV.2. Déterminer une équation fonctionnelle vérifiée par g = f ∘ lb sur ]0, + ∞[, ainsi qu'une équation fonctionnelle vérifiée par h = f ∘ lb ∘ ln sur ]1, + ∞[.
Si f est en outre de classe C^1, déterminer une équation fonctionnelle vérifiée par la fonction dérivée k de h.
IV.B.3) Préciser l'ensemble L (resp. M, N ) des fonctions continues g de ]0, + ∞[ dans ℝ (resp. h de ]1, + ∞[ dans ℝ, k de ]1, + ∞[ dans ℝ ), telles que, pour tout x ∈ ]0, + ∞[ (resp. ]1, + ∞[]1,, + ∞[ ), on ait
g(2x) − g(x) = 1; h(x^2) − h(x) = 1; ∫_x^(x^2)k = 1
IV.C - Étude de l'équation fonctionnelle IV. 1 - Recherche d'une première solution particulière Pour tout entier n > 0, soit u_n la fonction de ] − 1, + ∞[ dans ℝ définie par u_n(x) = (− 1)/((n + x)^2).
IV.C.1) Montrer que la série de fonctions ∑_(k ⩾ 1)u_k converge simplement sur ] − 1, + ∞[.
Soit U = ∑_(k = 1)^∞u_k la somme de cette série de fonctions. Pour tout entier n ⩾ 1, on note U_n la n-ième somme partielle de U définie par U_n = ∑_(k = 1)^n u_k, et on note R_n = U − U_n son reste d'ordre n.
IV.C.2) Montrer que U est de classe C^1 sur ] − 1, + ∞[. Quelles sont les variations de U ?
IV.C.3) Montrer que U ∈ T
IV.C.4) Montrer que pour tout x > 0, on a ∫_x^(+ ∞)(− 1)/(t^2) dt ⩽ U(x) ⩽ ∫_(x + 1)^(+ ∞)(− 1)/(t^2) dt.
En déduire un équivalent de U au voisinage de + ∞.

IV.D - Représentation intégrale d'une solution

Soit V la fonction définie par
V(x) = ∫_0^(+ ∞)(te^(− xt))/(1 − e^t) dt
IV.D.1) Déterminer l'ensemble de définition de V.
IV.D.2) Montrer que V possède une limite en + ∞ que l'on déterminera.
IV.D.3) Montrer que V est une solution de l'équation fonctionnelle IV. 1 sur ] − 1, + ∞[.
IV.D.4) Comparer U et V.
Figure 1
Figure 2

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de maths 2 Centrale PC 2012 ?
Afficher ou masquer la section

Sur quels chapitres porte le sujet de maths 2 Centrale PC 2012 ?

Le sujet porte sur les systèmes linéaires et la méthode du pivot, la réduction des endomorphismes, les suites récurrentes et les équations différentielles linéaires.

Le sujet de maths 2 Centrale PC 2012 est-il difficile ?

Le rapport indique que les premières questions, élémentaires, ont été bien réussies, mais que le reste de l'épreuve a révélé des faiblesses sur les conditions initiales et le changement de variable.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de maths 2 Centrale PC 2012 ?

Le jury signale un manque de justifications pour des assertions suggérées par l'énoncé, une confusion sur la suite géométrique de raison nulle, et des questions de programmation souvent contournées.

Ce sujet de maths 2 Centrale PC 2012 est-il plutôt d'algèbre ou d'analyse ?

Il combine les deux, mais le rapport note que les candidats montrent une plus grande maîtrise en analyse qu'en algèbre linéaire, même élémentaire.

Pas de description pour le moment