X ENS Mathématiques PC 2014Sujet, corrigé et rapport du jury

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Annales X-ENS PC Mathématiques X-ENS PC 2014 PC Mathématiques Mathématiques 2014

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Présentation du sujet

Difficile

Intégrales à paramètre : méthode de Laplace, fonctions périodiques et intégrales oscillantes

Le sujet étudie le comportement asymptotique d'intégrales dépendant d'un paramètre. La partie I développe une méthode de Laplace pour des intégrales à phase réelle, avec ou sans point critique, appliquée à la formule de Stirling. La partie II étudie les séries de Fourier de fonctions périodiques puis un phénomène de moyennisation d'intégrales oscillant rapidement, appliqué à une équation différentielle linéaire. La partie III établit des majorations d'intégrales oscillantes à phase complexe par intégration par parties. Les trois parties sont indépendantes.

1Partie I : intégrales à phase réelleÉquivalents d'intégrales à paramètre selon que la phase a ou non un point critique, avec application à la formule de Stirling.
2Partie II : fonctions périodiquesPropriétés des séries de Fourier, limite d'intégrales oscillant rapidement, et application à une équation différentielle linéaire d'ordre 2.
3Partie III : intégrales oscillantesMajoration d'intégrales à phase complexe par intégration par parties, selon que la phase est stationnaire ou non.

Difficile. La moyenne des candidats français est de 8,73/20 (écart-type 3,39 sur 1383 copies) ; le jury note que le sujet était pourtant clair et bien écrit, mais que les résultats n'ont pas été à la hauteur, et la partie III n'a été abordée que par une très faible portion de candidats.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 8,73 / 20 · écart-type 3,39 · 1 383 copies · où vous situez-vous ?

Moyenne: 8,73/ 20
Écart-type: 3,39
Copies: 1 383

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Interversion limite-intégrale non justifiée · Domaine de définition non vérifié · Question 5b) surprenamment peu réussie

Le jury juge le sujet clair, bien écrit et au découpage adapté à la difficulté des questions, mais regrette des résultats décevants (moyenne 8,73/20). Il déplore un manque de rigueur généralisé dans l'énoncé des théorèmes et la vérification de leurs hypothèses, ainsi qu'une explosion du nombre de copies mal écrites ou illisibles. Il conseille de soigner en profondeur quelques questions difficiles plutôt que de survoler l'ensemble du sujet.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Interversion limite-intégrale non justifiéeQ1a
La justification de l'interversion entre limite et intégrale n'a été correctement faite que dans peu de copies, l'hypothèse de domination du théorème étant la plus souvent oubliée.
2
Domaine de définition non vérifiéQ3a
Trop de candidats ont oublié de commencer par montrer que la fonction étudiée est bien définie avant d'étudier sa régularité.
3
Question 5b) surprenamment peu réussieQ5b
Bien qu'elle reposait sur l'application directe d'une inégalité classique à un résultat déjà obtenu, cette question n'a été correctement traitée que dans très peu de copies.
« De manière extrêmement surprenante, cette question n’a été correctement traitée que dans très peu de copies. »
4
Définition de la partie entière mal connueQ7a
De nombreux candidats ignorent la définition de la partie entière, ce qui a compromis le traitement de cette question.
« Cette question a été maltraitée par de nombreux candidats »
5
Partie III très peu abordée
La partie sur les intégrales oscillantes, qui pouvait rapporter 6,3 points, n'a été abordée que par une très faible portion de candidats.
« Elle n’a été abordée que par une très faible portion de candidats. »

Ce qui a été bien réussi

La question 1a) a été correctement traitée par la plupart des candidats ayant suivi l'indication donnée dans le sujet.
La question 2a) a été correctement traitée par la plupart des candidats.
La question 4a), une démonstration par récurrence, a été correctement traitée par la plupart des candidats.
La question 5a), sur une propriété classique des séries de Fourier, a été correctement traitée par la quasi-totalité des candidats.
La question 7c), reposant sur l'inégalité des accroissements finis, a été correctement traitée par une majorité de candidats.

Conseils du jury

Prendre le temps d'énoncer précisément les théorèmes utilisés et de vérifier toutes leurs hypothèses plutôt que de les appliquer sans justification.
Soigner la présentation et la rédaction de la copie : elle est notée sur 2,5 points et une copie mal écrite ou uniquement symbolique est pénalisée.
Privilégier la résolution soignée de quelques questions plus difficiles plutôt que de survoler l'ensemble des questions faciles.
Mettre en évidence les points clés d'une démonstration (nom d'un théorème, hypothèse utilisée) plutôt que seulement le résultat final.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

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COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES - (XEULC)

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Ce sujet est consacré à l'étude de propriétés asymptotiques de certaines intégrales à paramètre.

Notations, définitions, Rappels.
Nombres. On note

ℕ = {0, 1, 2, \dots}

l'ensemble des entiers naturels,

ℕ^*

l'ensemble des entiers naturels non nuls,

ℤ

l'ensemble des entiers relatifs et

ℤ^*

l'ensemble des entiers relatifs non nuls.

Fonctions numériques. Si

I

est un intervalle de

ℝ

, on note

C^0(I)

(respectivement

C^0(I, ℂ)

), l'ensemble des fonctions continues sur

I

à valeurs réelles (respectivement à valeurs complexes). Pour

k \in ℕ^*

, on note

C^k(I)

(respectivement

C^k(I, ℂ)

), l'ensemble des fonctions de classe

C^k

sur

I

à valeurs réelles (respectivement à valeurs complexes). On note

C^\infty(I)

(respectivement

C^\infty(I, ℂ)

) l'ensemble des fonctions de classe

C^\infty

sur

I

à valeurs réelles (respectivement à valeurs complexes).

g

est une fonction bornée sur

I

, on note

‖g‖_(\infty, I)

(ou simplement

‖g‖_\infty

) la valeur

‖g‖_(\infty, I) = sup_(x \in I)|g(x)|.

I

est un intervalle ouvert, on dit qu'une fonction

f : I \to ℝ

est à support compact dans

I

s'il existe

α, β \in I, α < β

, tels que pout tout

x \in I∖[α, β], f(x) = 0

Séries indexées par

ℤ

. Pour une famille de nombres réels ou complexes

(a_n)_(n \in ℤ)

, on dit que la série

\suma_n

est convergente si les deux séries

\sum_(n = 0)^(+ \infty)a_n et \sum_(n = 1)^(+ \infty)a_(- n)

sont convergentes, et on pose alors

\sum_(n \in ℤ)a_n = \sum_(n = 0)^(+ \infty)a_n + \sum_(n = 1)^(+ \infty)a_(- n), \sum_(n \in ℤ^*)a_n = \sum_(n = 1)^(+ \infty)a_n + \sum_(n = 1)^(+ \infty)a_(- n).

Coefficients de Fourier. Si

φ \in C^0(ℝ, ℂ)

est périodique de période

2π

, et si

n \in ℤ

, le

n

-ième coefficient de Fourier de

φ

est

c_n(φ) = 1/(2π)\int_0^(2π)e^(- inx)φ(x)dx

Dans tout le sujet,

a

b

sont deux nombres réels tels que

a < b

Les trois parties du sujet sont indépendantes.

I - Intégrales à phase réelle

Deux cas particuliers. Soit $d > 0$ . Soit $g \in C^0([0, d])$ telle que $g(0) \neq 0$ .
(a) Montrer que

\int_0^d e^(- tx)g(x)dx \sim _(t \to + \infty)(g(0))/t

Indication. Pour

t > 0

, on pourra construire une fonction

g_t

continue par morceaux sur

[0, + \infty[

, bornée, telle que

\int_0^d e^(- tx)g(x)dx = 1/t\int_0^(+ \infty)e^(- x)g_t(x)dx

(b) Montrer de même que

\int_0^d e^(- tx^2)g(x)dx \sim _(t \to + \infty)(\sqrtπ)/2(g(0))/(\sqrtt)

Indication. On rappelle l'égalité

\int_0^(+ \infty)e^(- x^2)dx = (\sqrtπ)/2

Soit

f \in C^0([a, b])

telle que

f(a) \neq 0

φ \in C^1([a, b])

. Pour tout paramètre

t \in ℝ

, on note

F(t) = \int_a^b e^(- tφ(x))f(x)dx

Les deux cas étudiés à la question 1) correspondent à

φ(x) = x

φ(x) = x^2

, respectivement, lorsque

a = 0

b = d

.
2. Cas où la phase

φ

n'a pas de point critique dans

[a, b]

. On suppose que

φ^'(x) > 0

pour tout

x \in [a, b]

.
(a) Montrer que

Φ : x \mapsto φ(x) - φ(a)

réalise une bijection de

[a, b]

sur un intervalle de la forme

[0, β]

, et qu'elle est de classe

C^1

.
(b) Montrer que

F(t) \sim _(t \to + \infty)(e^(- tφ(a))f(a))/(φ^'(a)t).

Indication. On se ramènera au cas traité à la question 1a) à l'aide d'un changement de variable.
3. Cas où la phase

φ

a un point critique en a. On suppose maintenant que

φ \in C^2([a, b])

φ^'(a) = 0, φ^('')(a) > 0

, et

φ^'(x) > 0

pour tout

x \in ]a, b]

.
(a) Montrer que la formule

ψ(x) = \sqrt(φ(x) - φ(a))

définit une fonction de classe

C^1

sur

[a, b]

. Calculer

ψ^'(a)

.
(b) Montrer que

ψ

réalise une bijection de

[a, b]

sur un intervalle de la forme

[0, β]

.
(c) Montrer que

F(t) \sim _(t \to + \infty)\sqrt(π/(2φ^('')(a)))(e^(- tφ(a))f(a))/(\sqrtt).

Indication. On se ramènera au cas traité à la question 1b) à l'aide d'un changement de variable.

On admettra que le résultat se généralise de la façon suivante :
Résultat 1. Soit

f \in C^0(]0, + \infty[)

φ \in C^2(]0, + \infty[)

. On suppose qu'il existe un unique

c > 0

tel que

φ^'(c) = 0

. On suppose de plus que

f(c) \neq 0

φ^('')(c) > 0

. On suppose finalement que

\int_0^(+ \infty)e^(- φ(x))|f(x)|dx

converge. Alors,

\int_0^(+ \infty)e^(- tφ(x))f(x)dx \sim _(t \to + \infty)\sqrt((2π)/(φ^('')(c)))(e^(- tφ(c))f(c))/(\sqrtt)

Application. Pour tout $n \in ℕ^*$ , on note $Γ(n) = \int_0^(+ \infty)x^(n - 1)e^(- x)dx$ .
(a) Calculer $Γ(n)$ pour tout $n \in ℕ^*$ . On utilisera une récurrence.
(b) En déduire l'équivalent suivant

n! \sim _(n \to + \infty)\sqrt(2π)n^(n + 1/2)e^(- n)

Indication. On réécrira d'abord

Γ(n + 1)

sous la forme

Γ(n + 1) = n^(n + 1)\int_0^(+ \infty)e^(- n(x - lnx))dx

II - Fonctions périodiques

Séries de Fourier. Soit $φ : ℝ \to ℂ$ une fonction périodique de période $2π$ , de classe $C^1$ .
(a) Montrer que pour tout $n \in ℤ^*, c_n(φ) = (c_n(φ^'))/(in)$ .
(b) Montrer que la série $\sum_(n \in ℤ)|c_n(φ)|$ converge. Indication. Utiliser la formule de Parseval pour la fonction $φ^'$ .
(c) Montrer que $‖φ‖_\infty \leq \sum_(n \in ℤ)|c_n(φ)|$ .

Soit

ψ : ℝ \to ℝ

une fonction continue, périodique de période

2π

. Soit

f : [a, b] \to ℝ

une fonction de classe

C^1

sur

[a, b]

. Pour tout paramètre

ε > 0

, on pose

J_ε = \int_a^b ψ(x/ε)f(x)dx

Premier cas. Dans cette question, on suppose de plus que $ψ$ est de classe $C^1$ sur $ℝ$ et que $f$ est à support compact dans $]a, b[$ .
(a) Montrer que pour tout $ε > 0$ ,

|J_ε - c_0(ψ)(\int_a^b f(x)dx)| \leq ε(b - a)‖f^'‖_\infty\sum_(n \in ℤ^*)(|c_n(ψ)|)/(|n|)

Indication. On pourra se ramener au cas où

\int_0^(2π)ψ(y)dy = 0

.
(b) En déduire la limite de

J_ε

quand

ε \to 0

.
7. Deuxième cas. On suppose maintenant seulement que

ψ \in C^0(ℝ)

est périodique de période

2π

, et

f \in C^1([a, b])

. Soit

ε > 0

. On définit une subdivision de l'intervalle

[a, b]

de la façon suivante. On note

N_ε

la partie entière de

(b - a)/(2πε)

. On définit alors

x_k^ε = a + 2kπε, pour tout entier k tel que 0 \leq k \leq N_ε.

(a) Montrer que

lim_(ε \to 0)x_(N_ε)^ε = b

.
(b) En déduire que

lim_(ε \to 0)\int_(x_(N_ε)^ε)^b ψ(x/ε)f(x)dx = 0

k

tel que

0 \leq k \leq N_ε - 1

, pour tout

x \in [x_k^ε, x_(k + 1)^ε]

|f(x) - f(x_k^ε)| \leq 2πε‖f^'‖_\infty

(d) Montrer que

\sum_(k = 0)^(N_ε - 1)\int_(x_k^ε)^(x_(k + 1)^ε)ψ(x/ε)f(x_k^ε)dx = (\int_0^(2π)ψ(y)dy)(ε\sum_(k = 0)^(N_ε - 1)f(x_k^ε))

(e) Montrer que

|\sum_(k = 0)^(N_ε - 1)\int_(x_k^ε)^(x_(k + 1)^ε)ψ(x/ε)(f(x) - f(x_k^ε))dx| \leq ε(b - a)‖f^'‖_\infty(\int_0^(2π)|ψ(y)|dy)

(f) En déduire que

lim_(ε \to 0)J_ε = (1/(2π)\int_0^(2π)ψ(y)dy)(\int_a^b f(x)dx)

.
8. Application. Soit

ε > 0

. Soit

α \in ℝ

. Soit

g : ℝ \to ℝ

une fonction continue. On considère l'équation différentielle suivante

{u^(′′)(t) + u(t) = g(t/ε); u(0) = α, u^′(0) = 0

(a) Justifier l'existence et l'unicité d'une solution de (1), définie pour

t \in ℝ

.
(b) Calculer cette solution au moyen de la méthode de variation des constantes. On notera cette solution

u_ε

.
(c) On suppose que

g

est

2π

-périodique. Montrer que pour tout

t \in ℝ, u_ε(t)

admet une limite quand

ε \to 0^+

, limite que l'on calculera.

III - Intégrales oscillantes

Dans cette partie,

φ : [a, b] \to ℝ

f : [a, b] \to ℝ

sont deux fonctions de classe

C^\infty

. On s'intéresse maintenant à des intégrales de la forme

I(λ) = \int_a^b e^(iλφ(x))f(x)dx

où

λ

est un paramètre réel strictement positif.
Dans toute la suite, on fixe

λ > 0

.
9. Cas d'une phase non stationnaire. On suppose dans cette question que

φ^'(x) \neq 0

pour tout

x \in [a, b]

.
(a) On définit

L : C^\infty([a, b], ℂ) \to C^\infty([a, b], ℂ)

M : C^\infty([a, b], ℂ) \to C^\infty([a, b], ℂ)

par : pour tout

g \in C^\infty([a, b], ℂ)

, tout

x \in [a, b]

Lg(x) = 1/(iλφ^'(x))g^'(x), Mg(x) = - (g/(iφ^'))^'(x)

i. Déterminer les fonctions

g \in C^\infty([a, b], ℂ)

telles que

Lg = g

.
ii. Soit

g, h \in C^\infty([a, b], ℂ)

. On suppose que

h

est à support compact dans

]a, b[

. Montrer que

\int_a^b h(x)Lg(x)dx = 1/λ\int_a^b g(x)Mh(x)dx

(b) Montrer que si

f

est à support compact dans

]a, b[

, alors pour tout

N \in ℕ^*

, il existe une constante

γ_N

indépendante de

λ

telle que

|I(λ)| \leq γ_N λ^(- N)

(a) On suppose que $|φ^'(x)| \geq 1$ pour tout $x \in [a, b]$ et que $φ^'$ est monotone sur $[a, b]$ . Montrer qu'il existe une constante $c_1 > 0$ , indépendante de $λ, φ$ et de $a, b$ , telle que

|\int_a^b e^(iλφ(x))dx| \leq c_1 λ^(- 1)

Indication. On pourra écrire

\int_a^b e^(iλφ(x))dx = \int_a^b iλφ^'(x)e^(iλφ(x))1/(iλφ^'(x))dx

et intégrer par parties.
(b) Soit

δ > 0

. On suppose que

|φ^'(x)| \geq δ

pour tout

x \in [a, b]

et que

φ^'

est monotone sur

[a, b]

. Montrer que

|\int_a^b e^(iλφ(x))dx| \leq c_1(λδ)^(- 1)

Cas où la phase peut être stationnaire. Dans toute cette question, on suppose que $|φ^('')(x)| \geq 1$ pour tout $x \in [a, b]$ .
(a) Montrer que $φ^'$ est strictement monotone sur $[a, b]$ et qu'il existe un unique point $c \in [a, b]$ tel que $|φ^'(c)| = inf_(x \in [a, b])|φ^'(x)|$ .
(b) Si $x \in [a, b]$ , montrer que $|φ^'(x)| \geq |x - c|$ .
(c) Montrer que pour tout $δ > 0$ ,

|\int_a^b e^(iλφ(x))dx| \leq 2c_1(λδ)^(- 1) + 2δ

(d) En déduire qu'il existe une constante

c_2

, indépendante de

λ, φ, a

b

telle que

|\int_a^b e^(iλφ(x))dx| \leq c_2 λ^(- 1/2)

(e) Montrer que

|\int_a^b e^(iλφ(x))f(x)dx| \leq c_2 λ^(- 1/2)(|f(b)| + \int_a^b|f^'(x)|dx)

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques PC X-ENS 2014 ?

Il porte sur les intégrales à paramètre : méthode de Laplace pour les intégrales à phase réelle, séries de Fourier et moyennisation d'intégrales oscillant rapidement, et majoration d'intégrales oscillantes à phase complexe.

Le sujet de maths PC X-ENS 2014 est-il difficile ?

Oui : la moyenne des candidats français est de 8,73/20 avec un écart-type de 3,39, alors même que le jury juge le sujet clair et bien écrit.

Quelle partie du sujet X-ENS maths PC 2014 est la moins abordée par les candidats ?

La partie III sur les intégrales oscillantes, qui pouvait rapporter 6,3 points, n'a été traitée que par une très faible portion de candidats.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées dans ce sujet X-ENS maths PC 2014 ?

Un manque de rigueur dans la vérification des hypothèses des théorèmes, notamment pour l'interversion limite-intégrale, ainsi qu'une présentation des copies jugée trop souvent négligée.

Pas de description pour le moment

Commentaires• X ENS Mathématiques PC 2014

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