X ENS Mathématiques PC 2016Sujet, corrigé et rapport du jury

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Annales X-ENS PC Mathématiques X-ENS PC 2016 PC Mathématiques Mathématiques 2016

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Présentation du sujet

Difficile

Étude mathématique de l'entropie et détermination de son maximum sous contraintes

Le sujet s'intéresse à la définition et à l'étude de l'entropie d'un point de vue mathématique, ainsi qu'à la détermination de son maximum sous différentes contraintes. Il progresse en difficulté de façon lente sur trois parties, la troisième comportant les questions les plus difficiles, avec de nombreuses questions intermédiaires facilitant la résolution.

1Partie IÉtude d'une fonction, du simplexe des probabilités, de l'entropie H_N et de son maximum, puis d'une question de probabilités.
2Partie IIÉtude d'une fonction J sur un compact, de sous-espaces vectoriels et de leur orthogonal, puis identification d'un ensemble Σ_N(f).
3Partie IIIÉtude d'une matrice symétrique définie par une espérance, d'une forme quadratique et de la régularité d'une fonction L, avec les questions les plus difficiles du sujet.

Difficile. La moyenne obtenue sur 1373 copies est de 8,45/20 avec un écart-type de 2,77, et la troisième partie n'a été traitée, même partiellement, que par une fraction infime des candidats.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 8,45 / 20 · écart-type 2,77 · 1 373 copies · où vous situez-vous ?

Moyenne: 8,45/ 20
Écart-type: 2,77
Copies: 1 373

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Confusion sur le prolongement par continuité · Confusion sur la nature du simplexe · Existence du maximum non justifiée par compacité

Le sujet, à progression lente, a été correctement abordé sur ses deux premières parties par la majorité des candidats, mais la troisième partie, plus difficile, n'a quasiment pas été traitée. Le jury regrette un manque de rigueur sur des questions élémentaires, alors que les calculs plus complexes de séries entières sont souvent mieux réussis.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Confusion sur le prolongement par continuitéQ1
Certains candidats croient qu'il faut prolonger une fonction déjà définie en 0, alors qu'il fallait seulement vérifier que sa limite en 0 égalait sa valeur en 0.
« trop d’entre eux ont montré que φ avait une limite en 0 et ont indiqué qu’il suffisait de la prolon ger en 0 »
2
Confusion sur la nature du simplexeQ2
Le caractère borné de la partie étudiée a donné lieu à de graves confusions, certaines copies la confondant avec une sphère.
« la partie Σ N est par exemple devenue une sphère. »
3
Existence du maximum non justifiée par compacitéQ4.b
Peu de candidats ont pensé à invoquer le caractère fermé borné de l'ensemble et la continuité de la fonction pour justifier l'existence du maximum.
« L’existence du maximum découlait directement du caractère fermé borné de la partie »
4
Valeur fausse proposée pour la limite en l'infiniQ12
La valeur 0 a été la réponse la plus fréquemment donnée pour cette limite, alors qu'elle était incorrecte.
« la valeur fausse de 0, a été la proposition la plus fréquemment faite. »
5
Troisième partie quasiment non traitéePartie III
Seule une fraction infime des candidats a abordé cette partie, et une fraction encore plus infime y a obtenu des points.
« La troisième et dernière partie n’a été traitée »

Ce qui a été bien réussi

La plupart des candidats ont plutôt bien traité la première question de la partie I.
La quasi-totalité des candidats a abordé la question 3 et l'a en général résolue correctement.
L'idée du raisonnement par l'absurde de la question 8.b a été trouvée par beaucoup de candidats.

Conseils du jury

Lire le sujet intégralement avant de commencer à le traiter, avec attention et perspicacité.
Énoncer entièrement les théorèmes utilisés et vérifier toutes leurs hypothèses.
Mettre en évidence les points clés d'une démonstration plutôt que la seule solution finale.
Traiter avec soin quelques questions un peu difficiles plutôt que de survoler l'ensemble des questions faciles.
Justifier systématiquement une limite proposée plutôt que de se contenter de la donner.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES - (XEULC)

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
Toute affirmation doit être clairement et complètement justifiée.

Les parties I, II et III sont assez largement indépendantes. En particulier la partie II peut être traitée indépendamment de la partie I en admettant les trois premières questions et la partie III (exceptée la dernière question) indépendamment de la partie II. Il est cependant vivement conseillé de suivre la progression naturelle du problème.

Notations

Dans le problème, pour tous entiers positifs non nuls

n

k, ℳ_(n, k)(ℝ)

désignera les matrices à coefficients réels de taille

n \times k

. Un vecteur

u \in ℝ^n

sera considéré comme un vecteur colonne

(u_1; ⋮; u_n)

u^T

désignera le vecteur ligne obtenu par transposition. De même, pour

M \in ℳ_(n, k)(ℝ)

M^T

désignera la transposée de

M

On note

φ

la fonction de

[0, + \infty[

dans

ℝ

définie par

φ(t) = {0, si t = 0; - tln(t), sinon

Soit

N ⩾ 2

un entier. On note

Σ_N

l'ensemble des vecteurs

p \in ℝ^N

tels que

\sum_(i = 1)^N p_i = 1

p_i ⩾ 0

pour tout

1 ⩽ i ⩽ N

. On remarquera que

p

peut être interprété comme une loi de probabilité sur

{1, \dots, N}

. On note également

H_N

la fonction définie sur

Σ_N

par

H_N(p) = \sum_(i = 1)^N φ(p_i)

Partie I

Vérifier que $φ$ est de classe $𝒞^0$ sur $[0, + \infty[$ et $𝒞^\infty$ sur $]0, + \infty[$ . Donner la limite de la dérivée $φ^'(t)$ de $φ$ lorsque $t$ tend vers 0 dans $]0, + \infty[$ .
Montrer que $Σ_N$ est une partie fermée, bornée et convexe de $ℝ^N$ .
Montrer que $H_N$ est positive, continue sur $Σ_N$ et calculer la valeur de $H_N(p)$ lorsque $p_i = 1/N$ pour tout $i \in {1, \dots, N}$ (loi uniforme sur ${1, \dots, N}$ ).
(a) Soient $a$ et $b$ dans $[0, + \infty[$ tels que $a < b$ . Montrer qu'il existe $ε \in ]0, b]$ tel que $φ(a + t) + φ(b - t) > φ(a) + φ(b)$ pour tout $t > 0$ tel que $t ⩽ ε$ .
(b) En déduire que $H_N$ atteint son maximum sur $Σ_N$ en un unique point que l'on déterminera.
On note $Σ_\infty$ l'ensemble des suites de réels $p = (p_i)_(i ⩾ 1)$ telles que $p_i ⩾ 0$ pour tout $i ⩾ 1$ et $\sum_(i = 1)^(+ \infty)p_i = 1$ . On note $H_\infty$ la fonction sur $Σ_\infty$ définie par $H_\infty(p) = \sum_(i = 1)^\inftyφ(p_i)$ à valeurs dans $ℝ_+ ∪ { + ∞}$ .
(a) On considère $a \in ]0, 1[$ et $p_i = a(1 - a)^(i - 1)$ pour $i ⩾ 1$ . Calculer $H_\infty(p)$ et étudier ses variations en fonction de $a$ .
(b) Montrer qu'il existe $p \in Σ_\infty$ telle que $H_\infty(p) = + \infty$ . (Ind : On pourra utiliser sans démonstration que la série de terme général $n^(- 1)ln(n)^(- β)$ pour $n ⩾ 2$ converge si et seulement si $β > 1$ ).
Soit $n$ un entier strictement positif. On considère une famille $(X_k)_(1 ⩽ k ⩽ n)$ de $n$ variables aléatoires à valeurs dans ${1, \dots, N}$ , deux à deux indépendantes et de même loi, définies sur un espace probabilisé $(Ω, 𝒜, P)$ . On suppose de plus que $P(X_1 = i) = p_i$ et que $p_i > 0$ pour tout $i \in {1, \dots, N}$ . Montrer que pour tout $ε > 0$ , on a $P(|1/nln(\prod_(k = 1)^n p_(X_k)) + H_N(p)| ⩾ ε)$ tend vers 0 lorsque $n$ tend vers l'infini.

Partie II

Soient

f \in ℝ^N

J_f : Σ_N \to ℝ

définie

parJ_f(p) = H_N(p) + \sum_(i = 1)^N p_i f_i

. On note

J_(f, ∗) = sup{J_f(p)|p ∈ Σ_N}

la borne supérieure de

J_f

sur

Σ_N

Σ_N(f) = {p ∈ Σ_N|J_f(p) = J_(f, ∗)}

l'ensemble des

p

Σ_N

pour lesquels la borne supérieure est atteinte.
7. Montrer que

Σ_N(f)

est non vide.
8. Soit

p \in Σ_N

.
(a) On suppose que

p_1 = 0

p_2 > 0

. Montrer alors qu'il existe

p^'

dans

Σ_N

tel que

J_f(p^') > J_f(p)

(on pourra chercher

p^'

proche de

p

).
(b) En déduire que si

p \in Σ_N(f)

, alors

p_i > 0

pour tout

i \in {1, \dots, N}

.
9. Soit

p \in Σ_N

. On suppose maintenant que

p_i > 0

pour tout

i \in {1, \dots, N}

. On note

E_0 = {a ∈ ℝ^N|∑_(i = 1)^N a_i = 0}

.
(a) Vérifier que

E_0

est un sous-espace vectoriel de

ℝ^N

dont on donnera la dimension. Identifier l'orthogonal

E_0^⊥

E_0

pour le produit scalaire canonique sur

ℝ^N

.
(b) Soient

a \in E_0

p~ : ℝ \to ℝ^N

définie par

p~(t) = p + ta

. Montrer qu'il existe

ε > 0

tel que

p~(t) \in Σ_N

pour tout

t \in ] - ε, ε[

. Calculer la dérivée de

p~

en 0 .
(c) On suppose de plus que

p \in Σ_N(f)

. Montrer que pour tout

a \in E_0

, on a

\sum_(i = 1)^N a_i(f_i - ln(p_i)) = 0

. En déduire qu'il existe

c \in ℝ

, tel que

ln(p_i) = f_i + c

pour tout

i \in {1, \dots, N}

.
10. Identifier

Σ_N(f)

. Montrer que

J_(f, *) = ln(\sum_(i = 1)^N e^(f_i))

On considère maintenant

F : ]0, + \infty[ \to ℝ

la fonction définie par

F(β) = 1/βln(\sum_(i = 1)^N e^(βf_i))

11. Montrer que

F

est dérivable et calculer sa dérivée

F^'

. Montrer de plus que pour tout

β \in ]0, + \infty[

, il existe

p(β) \in Σ_N(βf)

tel que

F^'(β) = - 1/(β^2)H_N(p(β))

.
12. Etudier les limites de

F

en 0 et en

+ \infty

Partie III

Soient

(Ω, 𝒜, P)

un espace probabilisé et

X : Ω \to {1, \dots, N}

une variable aléatoire de loi

q \in Σ_N

. On suppose que l'on dispose d'une famille finie

g = (g_k)_(1 \leq k \leq d)

de fonctions sur

{1, \dots, N}

à valeurs dans

ℝ

et de la valeur

g¯_k = E(g_k(X))

de l'espérance de

g_k(X)

pour tout

k \in {1, \dots, d}

On note

Σ_N(g¯, g) = {p ∈ Σ_N|∑_(i = 1)^N p_i g_k(i) = g¯_k, 1 ⩽ k ⩽ d},

et on remarque que

q \in Σ_N(g¯, g)

et que si

p \in Σ_N(g¯, g)

alors pour toute variable aléatoire

Y : Ω \to {1, \dots, N}

de loi

p

, on a

E(g_k(X)) = E(g_k(Y))

On cherche dans cette partie à déterminer les probabilités

p

Σ_N(g¯, g)

sur lesquelles

H_N

atteint son maximum.

Soient

M \in ℳ_(N, d)(ℝ)

définie par

M_(i, j) = g_j(i)

pour

(i, j) = {1, …, N} × {1, …, d}, p ∈ Σ_N

m \in ℝ^d

. On note

A \in ℳ_d(ℝ)

la matrice carrée de taille

d \times d

définie pour tous

(k, l) ∈ {1, …, d}^2

par

A_(lk) = \sum_(i = 1)^N p_i(M_(il) - m_l)(M_(ik) - m_k).

On note

M˜ = (M|1) \in ℳ_(N, d + 1)(ℝ)

la matrice augmentée obtenue en ajoutant une colonne de 1 à droite de

M

.
13. Vérifier que si

Y : Ω \to {1, \dots, N}

est une variable aléatoire de loi

p

, alors

A_(lk) = E((g_l(Y) - m_l)(g_k(Y) - m_k))

puis que

A

est une matrice symétrique telle que

θ^T Aθ ⩾ 0

pour tout

θ \in ℝ^d

.
14. Soit

θ \in ℝ^d

tel que

θ^T Aθ = 0

. On suppose que

p_i \neq 0

pour tout

1 ⩽ i ⩽ N

.
(a) Montrer qu'il existe

c \in ℝ

, que l'on précisera, tel que pour tout

i \in {1, \dots, N}

, on a

\sum_(l = 1)^d M_(il)θ_l = c

.
(b) Montrer que si

KerM˜ = {0}

alors

θ = 0

On note pour tout

θ \in ℝ^d, f(θ) = Mθ \in ℝ^N, Z(θ) = \sum_(i = 1)^N e^(f_i(θ))

p(θ) = ((e^(f_1(θ)))/(Z(θ)), \dots, (e^(f_N(θ)))/(Z(θ))) \in Σ_N

où

f(θ) = (f_1(θ), \dots, f_N(θ))

. Enfin, on considère la fonction

L : ℝ^d \to ℝ

définie par

L(θ) = ln(Z(θ)) - q^T Mθ.

Montrer que $L$ est de classe $𝒞^1$ et calculer son gradient.
Montrer que si $θ$ est un point critique de $L$ (c'est-à-dire en lequel le gradient de $L$ s'annule) alors $M^T p(θ) = M^T q$ et $p(θ) \in Σ_N(g¯, g)$ .
Montrer que $L$ est de clase $𝒞^2$ et que pour tous entiers $1 ⩽ l, k ⩽ d$ on a

(\partial^2 L)/(\partialθ_l\partialθ_k)(θ) = \sum_(i = 1)^N p_i(θ)(M_(il) - m_l(θ))(M_(ik) - m_k(θ))

où

m(θ) = M^T p(θ)

.
On suppose dorénavant que

KerM˜ = {0}

.
18. On s'intéresse dans cette question au nombre de points en lesquels la fonction

L

atteint son minimum.
(a) Montrer que si

θ

θ^'

sont deux points distincts de

ℝ^N

tels que

L

admet un point critique en

θ

, alors la dérivée de

t \to L(tθ + (1 - t)θ^')

est strictement croissante sur

[0, 1]

et s'annulle en

t = 1

.
(b) En déduire qu'il existe au plus un point critique pour

L

et conclure sur le nombre de points en lesquels

L

atteint son minimum.
19. On suppose que la fonction

L

a un minimum global atteint en

θ_*

.
(a) Montrer que

H_N(p(θ_*)) ⩾ H_N(q)

puis que

H_N(p(θ_*))

est la valeur maximale de

H_N

sur

Σ_N(g¯, g)

.
(b) Montrer que

p(θ_*)

est l'unique point de

Σ_N(g¯, g)

en lequel

H_N

atteint son maximum.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet de Mathématiques X-ENS PC 2016 ?

Le sujet porte sur l'étude mathématique de l'entropie et la détermination de son maximum sous différentes contraintes, en trois parties de difficulté croissante.

Ce sujet de Mathématiques X-ENS PC 2016 est-il difficile ?

Oui, la moyenne obtenue est faible (8,45/20) et la troisième partie n'a été traitée, même partiellement, que par une fraction infime des candidats.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet X-ENS Maths PC 2016 sur l'entropie ?

Le jury relève un manque de rigueur sur des questions élémentaires, une confusion entre le simplexe étudié et une sphère, et l'oubli fréquent de justifier l'existence d'un maximum par compacité.

Faut-il traiter la troisième partie du sujet X-ENS Maths PC 2016 pour bien réussir ?

Elle est la plus difficile et n'a été abordée que par très peu de candidats ; se concentrer sur les deux premières parties, correctement traitées, permet déjà de bien se classer.

Pas de description pour le moment

Commentaires• X ENS Mathématiques PC 2016

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