Spectre ordonné des matrices symétriques réelles : théorème de Courant-Fischer, inégalités de Weyl et de Ky Fan
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Le problème étudie l'application qui associe à une matrice symétrique réelle la liste décroissante de ses valeurs propres. Il établit la caractérisation min-max de Courant-Fischer et la continuité de cette application, puis compare le spectre d'une somme de deux matrices symétriques à ceux des termes (inégalités de Weyl et de Ky Fan), avant de décrire complètement le cas des matrices 2 x 2. Le sujet est progressif et découpé en questions fines.
1Première partie : spectre ordonné et théorème min-maxNon-linéarité du spectre ordonné, calcul en taille 2, résolution spectrale, caractérisation min-max des valeurs propres, continuité et régularité C1 sur les matrices à valeurs propres simples (questions 1 à 5).
2Deuxième partie : spectre d'une somme de deux matrices symétriquesTrace, inégalités de Weyl à l'aide d'une intersection de trois sous-espaces, puis inégalités de Ky Fan sur les sommes partielles de valeurs propres (questions 6 à 8).
3Troisième partie : le cas n = 2Description de l'ensemble des spectres possibles de la somme de deux matrices symétriques de spectres donnés comme un segment (questions 9 et 10).
Difficile. La moyenne est de 7,89 et le jury indique que la deuxième partie a été peu réussie et que la troisième n'a été abordée que par une fraction infime des candidats.
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)
Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.
Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.
Ce qu'a observé le jury
5 erreurs relevées
Croire le spectre ordonné linéaire · Calculs élémentaires faux · Bornes supérieures et inférieures mal maîtrisées
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Le jury note des efforts de rédaction chez une grande partie des candidats mais un manque de rigueur sur des calculs élémentaires (déterminant d'ordre 2, racines d'un trinôme). Environ 75 % des candidats traitent le même lot de questions faciles ; la différence se fait sur quelques questions plus longues demandant un raisonnement en plusieurs étapes. Les parties II et III ont été très peu traitées.
Les erreurs les plus sanctionnées
1
Croire le spectre ordonné linéaire1b
Il fallait un contre-exemple en dimension au moins 2 ; affirmer la linéarité rendait plusieurs questions suivantes triviales, ce qui aurait dû alerter.
« n’aient pas été surpris par la trivialité de certaines des questions suivantes. »
2
Calculs élémentaires faux1d
Déterminant 2 x 2, discriminant d'un trinôme ou classement des racines sont parfois erronés, ce que le jury juge inacceptable.
3
Bornes supérieures et inférieures mal maîtrisées2b, 3c
Beaucoup oublient de montrer que la borne supérieure est atteinte ou manipulent mal le sup et l'inf dans la caractérisation min-max.
« Il est regrettable de voir que pour de nombreux candidats, la notion de sup et d’inf n’est pas acquise. »
4
Formule de Grassmann mal généralisée7a
La formule ne s'étend pas telle quelle à trois sous-espaces ; il fallait l'appliquer deux fois.
« une fausse généralisation de la formule de Grassmann à trois sous-espaces vectoriels »
5
Questions calculatoires « grattées »8b à 8d
La question 8b a été survolée par de nombreux candidats, et presque personne n'a vu qu'elle servait en 8c et 8d.
Ce qui a été bien réussi
La question 1a a été plutôt bien traitée par la plupart des candidats.
La majorité a pensé au théorème spectral en 2a.
Les questions 3a et 6a ont été correctement traitées par la plupart ou un grand nombre de candidats.
La question 8a a été plutôt réussie quand elle a été abordée.
Conseils du jury
Lire tout le sujet avant de commencer et rester attentif à la cohérence des résultats.
Énoncer entièrement les théorèmes utilisés et vérifier toutes leurs hypothèses.
Mettre en évidence les points clés d'une démonstration et citer proprement les questions précédentes utilisées.
Rendre une copie propre et aboutie : elle ne doit pas ressembler à un brouillon.
Traiter avec soin quelques questions plus longues plutôt que survoler toutes les questions faciles.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES
COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES - (XEULC)
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
Toute affirmation doit être clairement et complètement justifiée.
Dans ce problème, n est un entier strictement positif. L'espace vectoriel réel ℝ^n est muni du produit scalaire canonique ⟨ ⋅, ⋅ ⟩ et de la norme euclidienne associée ‖ ⋅ ‖; on l'identifie à l'espace M_(n, 1)(ℝ) des vecteurs colonnes à n coordonnées. Ainsi, pour deux vecteurs x et y de ℝ^n, ⟨x, y⟩ = ^t xy. M_n(ℝ) est l'algèbre des matrices n × n à coefficients réels et S_n(ℝ) est le sous-ensemble de M_n(ℝ) composé des matrices réelles symétriques. On notera ^t M la matrice transposée de M et I_n la matrice identité. Par abus de notation, on identifiera ⟨x, y⟩ au vecteur à une ligne et une colonne ^t xy.
Les coordonnées d'un n-uplet m de réels (considéré comme vecteur ligne) seront notées m_1, …, m_n.
Si m est un n-uplet de réels, m^↓ est le n-uplet obtenu à partir de m par permutation de ses coordonnées de sorte que m_1^↓ ⩾ m_2^↓ ⩾ ⋯ ⩾ m_n^↓. Autrement dit, il s'agit du n-uplet obtenu en ordonnant dans l'ordre décroissant les coordonnées de m. Par exemple, si m = (3, 2, − 1, 6, 2, 9), m^↓ = (9, 6, 3, 2, 2, − 1).
L'ensemble des valeurs propres d'une matrice M de M_n(ℝ) sera appelé, comme à l'habitude, spectre de M. On notera s^↓ l'application de S_n(ℝ) dans ℝ^n qui à une matrice M symétrique associe le n-uplet (appelé spectre ordonné) de réels dont les cordonnées sont les éléments ordonnés dans l'ordre décroissant du spectre de M (répétés autant de fois que leur ordre de multiplicité). Ainsi, par exemple, si le spectre de la matrice M ∈ S_4(ℝ) vaut { − 1, 3, 3, 7}, on a s^↓(M) = (7, 3, 3, − 1).
Pour M ∈ M_n(ℝ), on pose
‖M‖ = sup_(‖x‖ = 1)‖Mx‖
On admet qu'il s'agit d'une norme sur M_n(ℝ).
Première partie
1a. Rappeler pourquoi S_n(ℝ) est un espace vectoriel réel et quelle est sa dimension. Pourquoi l'application s^↓ est-elle bien définie sur S_n(ℝ) ?
1b. L'application s^↓ est-elle linéaire? Justifier votre réponse.
1c. Si M ∈ S_n(ℝ), exprimer s^↓(− M) en fonction des coordonnées (m_1, …, m_n) de s^↓(M).
1d. Soit M = (λ, h; h, μ) une matrice de S_2(ℝ). Calculer s^↓(M).
2a. Soit M ∈ S_n(ℝ), on note m = s^↓(M) son spectre ordonné. Montrer qu'il existe une base orthonormée (v_1, …, v_n) de ℝ^n telle que
M = ∑_(i = 1)^n m_i v_i^t v_i
Une telle décomposition de M sera appelée dans la suite résolution spectrale de M.
2b. Calculer
sup_(‖x‖ = 1)⟨x, Mx⟩
en fonction des coordonnées de m. Cette borne supérieure est-elle atteinte? (On pourra décomposer x et Mx sur la base orthonormée (v_1, …, v_n) de la question 2a).
2c. Les notations sont celles de la question 2a. Soit j un entier, 1 ⩽ j ⩽ n. On note V_j le sous-espace vectoriel de ℝ^n engendré par(v_1, …, v_j), et W_j celui engendré par (v_j, v_(j + 1), …, v_n). Montrer les égalités
3a. Soient U et V deux sous-espaces vectoriels de ℝ^n tels que
dimU + dimV > n.
Montrer que U ∩ V ne se réduit pas à {0}.
3b. Soit M ∈ S_n(ℝ), on note m = s^↓(M). Soient j un entier, 1 ⩽ j ⩽ n, et V un sous-espace vectoriel de ℝ^n de dimension j. Montrer que
inf_(x ∈ V, ‖x‖ = 1)⟨x, Mx⟩ ⩽ m_j
(On pourra utiliser les questions 2 c et 3a, en choisissant U = W_j.)
3c. En reprenant les notations de la question 3b, en déduire que
Cette borne supérieure est-elle atteinte?
4. Soient m et ℓ deux n-uplets de réels. On note
ℓ≼m si et seulement si, pour tout entier j, 1 ⩽ j ⩽ n, ℓ_j ⩽ m_j.
4a. Soient L, M ∈ S_n(ℝ) telles que (0, …, 0)≼s^↓(M − L). Montrer que s^↓(L)≼s^↓(M).
4b. Montrer que pour toute matrice M ∈ S_n(ℝ), (0, …, 0)≼s^↓(‖M‖I_n − M).
4c. Soit L, M ∈ S_n(ℝ), on note m = s^↓(M) et ℓ = s^↓(L). Montrer que
max_(1 ⩽ j ⩽ n)|ℓ_j − m_j| ⩽ ‖L − M‖.
4d. Conclure que la fonction s^↓ : S_n(ℝ) → ℝ^n est continue.
5. On note S_n^†(ℝ) l'ensemble des matrices symétriques n × n dont toutes les valeurs propres sont simples.
5a. Soit M ∈ S_n^†(ℝ). Déterminer un réel r > 0 tel que la boule ouverte de S_n(ℝ) centrée en M et de rayon r soit incluse dans S_n^†(ℝ). En déduire que S_n^†(ℝ) est un ouvert de S_n(ℝ).
5b. Montrer que la première composante s_1^↓ de s^↓ est de classe 𝒞^1 sur S_2^†(ℝ), mais pas sur S_2(ℝ). (On pourra utiliser la question 1d.)
Deuxième partie
Dans toute cette partie, on considère deux matrices symétriques réelles A, B ∈ S_n(ℝ) et leur somme C = A + B. On note a = s^↓(A), b = s^↓(B) et c = s^↓(C).
6b. Montrer que a_1 + b_1 ⩾ c_1.
6c. Montrer que a_n + b_n ⩽ c_n.
7a. Soient U, V et W trois sous-espaces vectoriels de ℝ^n tels que
dimU + dimV + dimW > 2n
Montrer que U ∩ V ∩ W ne se réduit pas à {0}.
7b. En utilisant des résolutions spectrales de A, B et C, montrer que si les entiers strictement positifs j et k vérifient j + k ⩽ n + 1, on a
c_(j + k − 1) ⩽ a_j + b_k
En déduire pour tout entier j, 1 ⩽ j ⩽ n,
a_j + b_n ⩽ c_j
On note a_(ii) pour 1 ⩽ i ⩽ n les éléments diagonaux de A.
8a. Démontrer que a_(11) ⩽ a_1.
8b. Soient j et k des entiers positifs tels que 1 ⩽ j < k et s_1 ⩾ s_2 ⩾ ⋯ ⩾ s_k des réels. On définit D_(j, k) = {(t_1, …, t_k) ∈ [0, 1]^k|t_1 + ⋯ + t_k = j} et f la fonction de D_(j, k) dans ℝ définie par
Dans toute cette partie, on étudie le cas n = 2. Pour deux réels u et v tels que u ⩾ v, on note :
S(u, v) = {M ∈ S_2(ℝ)|s^↓(M) = (u, v)}
On fixe a_1 ⩾ a_2 et b_1 ⩾ b_2, quatre réels vérifiant la relation
a_1 − a_2 ⩾ b_1 − b_2.
On cherche à identifier l'ensemble
Σ = {s^↓(A + B)|A ∈ S(a_1, a_2), B ∈ S(b_1, b_2)}
autrement dit, l'ensemble des spectres possibles de somme de deux matrices symétriques réelles de spectres respectifs donnés.
9. Montrer que Σ est inclus dans un segment de droite L de longueur √2(b_1 − b_2), et dont on précisera les extrémités. On pourra étudier d'abord le cas où A et B sont diagonales.
10a. Montrer que
Σ = {s^↓(A + B)| A = (a_1, 0; 0, a_2), B ∈ S(b_1, b_2)}.
10b. Déterminer une fonction continue définie sur [ − π, π] dont l'image vaut S(b_1, b_2).
10c. Montrer que Σ = L.
Questions fréquentes
4 questions
Sur quoi porte le sujet de maths X-ENS PC 2015 ?
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Sur quoi porte le sujet de maths X-ENS PC 2015 ?
+
Sur les valeurs propres des matrices symétriques réelles : théorème min-max de Courant-Fischer, continuité du spectre ordonné, puis inégalités de Weyl et de Ky Fan pour une somme de deux matrices.
Quelle est la moyenne de l'épreuve de maths X-ENS PC 2015 ?
+
Pour les 1255 copies des candidats français, la moyenne est de 7,89 avec un écart-type de 3,29.
Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en maths X-ENS PC 2015 ?
+
Affirmer que le spectre ordonné est linéaire, des calculs élémentaires faux, une mauvaise maîtrise des bornes supérieures et inférieures et une fausse généralisation de la formule de Grassmann.
Comment gagner des points au sujet de maths X-ENS PC 2015 ?
+
Selon le jury, la différence se fait sur deux ou trois questions plus longues traitées avec soin ; la présentation et la rédaction comptaient pour 3,5 points.
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Commentaires• X ENS Mathématiques PC 2015
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