Centrale Mathématiques 2 PC 2000Sujet, corrigé et rapport du jury

Nota : les trois parties du problème peuvent être abordées indépendamment.

Dans toute la partie I -, I désigne un intervalle de ℝ et f une fonction à valeurs réelles, définie sur I. On note J(f) l'ensemble des réels p tels que la fonction définie sur I par x ↦ (px − f(x)) soit majorée; si J(f) ≠ ∅, on définit la fonction g sur J(f) par:

La fonction g est appelée la transformée de Legendre de f; on note g = L(f).

Calculer la transformée de Legendre g = L(f) (en précisant l'ensemble J(f) ) et tracer le graphe de g, dans les cas suivants :
I.A.1) f(x) = kx^2(k ∈ ℝ_+^∗); I = ℝ.
I.A.2) f(x) = e^x; I = ℝ.
I.A.3) f(x) = arctan(x); I = ℝ.

Soit f une fonction réelle définie sur un intervalle I. On suppose que J(f) est non vide.
I.B.1) Montrer que J(f) est un intervalle : on montrera que, si a et b sont dans J(f), alors pour tout t ∈ [0, 1], ta + (1 − t)b appartient à J(f).
I.B.2) Montrer que g = L(f) est convexe sur J(f), c'est-à-dire :

I.B.3) Que peut-on dire de la monotonie de g = L(f) dans les cas suivants :
a) I ⊂ ℝ^+
b) I ⊂ ℝ^−.

Soit f une fonction de classe C^2 sur l'intervalle I, telle que : ∀x ∈ I, f^(′′)(x) > 0.

On sait que f^′(I) est un intervalle ; on note α et β ses extrémités et l'on suppose α < β (on peut avoir α = − ∞ ou β = + ∞ ).
I.C.1) Montrer que J(f) contient l'intervalle ouvert ]α, β[ et donner l'expression de g sur ]α, β[ en fonction de f et f^(′[ − 1]) (fonction réciproque de la fonction f^′ ). Pour p ∈ ]α, β[, on note x(p) l'unique point de I tel que: g(p) = px(p) − f(x(p)).
I.C.2) Pour p ∈ ]α, β[, calculer g^′(p) au moyen de x(p).
I.C.3) Montrer que, ∀p ∈ ]α, β[, la droite D_p d'équation y = px − g(p) est tangente au graphe de la fonction f.
I.C.4) Soit H = {h ∈ C^2(ℝ, ℝ)/(∀x ∈ ℝh^(′′)(x) > 0) et h^′(ℝ) = ℝ}. Montrer que:
a) L(H) ⊂ H.
b) ∀h ∈ H, L(L(h)) = h.
c) L est une bijection de H sur H.

Soit n ∈ ℕ^∗.E désigne l'espace vectoriel euclidien ℝ^n muni du produit scalaire canonique

si x = (x_1, …, x_n) ∈ E, on note X le vecteur colonne associé X = x_2; ⋮; x_n.
Ainsi, si Y est le vecteur colonne associé à y ∈ E, x, y = ^t XY.
Soit f une application de E dans ℝ, telle que, pour tout p ∈ E, l'application de E dans ℝ définie par x ↦ p, x − f(x), soit majorée; on définit alors la transformée de Legendre de f, notée L(f), comme étant l'application de E dans ℝ définie par L(f) : p ↦ sup_(x ∈ E)(p, x − f(x))

Dans la suite de cette partie II, f est définie par f(x) = ^t XAX, où A est une matrice carrée réelle d'ordre n, symétrique et dont toutes les valeurs propres sont strictement positives.
II.1) Soit p ∈ E fixé. On pose F(x) = p, x − f(x).

Démontrer qu'il existe une base B = (e_i)_(1 ≤ i ≤ n) de E telle que :

où les q_i et les λ_i sont des réels à déterminer.
Montrer que la fonction F est majorée sur E et atteint sa borne supérieure.
On en déduit en particulier que la transformée de Legendre de f est bien définie.
II.2) Calculer g = L(f), la transformée de Legendre de f et montrer qu'il existe une matrice carrée réelle symétrique B, d'ordre n, qu'on exprimera en fonction de A telle que

où P est le vecteur colonne associé à p.
Calculer la fonction h = L(L(f)).
II.3)
a) Montrer que ∀p ∈ E, ∀t ∈ ℝ_+^∗, f(tp) = t^2 f(p),
b) Montrer que :

Indication : on pourra calculer la dérivée de la fonction t ↦ f(tp).
II.4) En utilisant la question II.3-b), déterminer pour tout p ∈ E, un vecteur x(p) ∈ E tel que g(p) = f(x(p)).
Indication : on pourra utiliser ξ ∈ E tel que (gradF)(ξ) = 0.

E désigne l'espace vectoriel euclidien ℝ^n(n ∈ ℕ^∗) muni du produit scalaire canonique, noté , et de la norme associée, notée ‖‖. Si x ∈ E, on note X le vecteur colonne associé et par extension ‖X‖ = ‖x‖ = √tXX.

Soit p un vecteur donné de E, A une matrice carrée réelle d'ordre n, symétrique et ayant toutes ses valeurs propres positives ou nulles.

On note F l'application de E dans IR définie par :

Une partie C de E est dite convexe si:

Soit C une partie fermée, non vide, convexe, de E.
Lorsque F est majorée sur C, on s'intéresse à M, ensemble - éventuellement vide - des points de C où l'application F restreinte à C atteint sa borne supérieure :

III.A.1) Soit x_1 et x_2 deux points de C et pour t ∈ [0, 1], x = tx_1 + (1 − t)x_2.

Montrer que: F(x) = (1 − t)F(x_2) + tF(x_1) + t(1 − t)^t(X_1 − X_2)A(X_1 − X_2).
III.A.2) On suppose M non vide. Montrer que M est convexe.

Dans cette seule question III.B, on suppose de plus que toutes les valeurs propres de A sont strictement positives.
III.B.1) Démontrer qu'il existe un nombre k > 0 tel que:

III.B.2) Montrer que M est non vide.
III.B.3) Montrer que M ne contient qu'un élément.

III.C.1) Avec les mêmes notations qu'au III.A.1, montrer que :

III.C.2) Montrer l'équivalence :

Donner l'interprétation de la caractérisation trouvée au moyen du gradient de F au point x.

Dans cette question III.D, on suppose de plus que l'ensemble C est borné, contenu dans la boule fermée de centre O et rayon R.
III.D.1) Démontrer que M est non vide.

Trouver un exemple avec F non identiquement nulle où M a une infinité d'éléments.
III.D.2) Démontrer qu'il existe un réel α tel que : ∀x ∈ E, ‖AX‖ ≤ α‖X‖.
III.D.3) Soit r un nombre réel strictement positif tel que:

(où α est défini au III.D.2).
On se propose de construire par récurrence des suites (u_m), (v_m) de points de C et une suite réelle (t_m) telles que si U_m (resp. V_m ) est le vecteur colonne associé à u_m (resp. v_m ), on a pour tout m ∈ ℕ :
i) ∀x ∈ C, ^t(2AU_m − P)V_m ≤ ^t(2AU_m − P)X;
ii) t_m = 1/r^t(P − 2AU_m)(V_m − U_m);
iii) u_(m + 1) = u_m + t_m(v_m − u_m).

On suppose donné m ∈ ℕ et u_m ∈ C.
a) Montrer l'existence de v_m ∈ C vérifiant la relation i).
b) Montrer que t_m défini par la relation ii) est dans l'intervalle [0, 1].
c) Montrer que u_(m + 1) défini par la relation iii) est dans C.

Déduire des questions a), b) et c) que pour tout u_0 ∈ C, les relations i), ii) et iii) permettent de définir les suites (u_m), (v_m) et (t_m).
III.D.4) Montrer que, si ( u_m ) est la suite définie à la question III.D.3), la suite ( F(u_m) ) est croissante et convergente.
Montrer qu'il existe une suite extraite de la suite ( u_m ) qui converge vers un élément de M.