Normes matricielles et approximation par différences finies de problèmes aux limites
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Le problème étudie d'abord une norme subordonnée sur les matrices carrées et ses propriétés de continuité, puis applique ces outils à l'approximation numérique par différences finies de la solution d'un problème aux limites du type -u'' = f sur [0,1] avec conditions de Dirichlet, en estimant l'erreur d'approximation.
1Première partie : normes matriciellesOn montre que N(X) = sup ||XV||/||V|| est une norme sous-multiplicative sur les matrices, on étudie la continuité de l'inversion matricielle, et on introduit les matrices à diagonale dominante positive (propriété P).
2Deuxième partie : approximation par différences finiesOn montre l'existence et la positivité de la solution du problème -u'' = f, u(0) = u(1) = 0, puis on construit le schéma aux différences finies associé et on majore l'erreur entre la solution discrète et la solution exacte.
3Troisième partie : problème perturbé et passage à la limiteOn étudie le problème -u'' + u/p² = f et sa version discrétisée, on montre la convergence de la solution quand p tend vers l'infini, et on estime à nouveau l'erreur d'approximation.
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES
DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.
Le but de ce problème est l'étude d'approximations discrètes de solutions d'équations différentielles avec conditions aux extrémités de l'intervalle de définition.
Première partie
Soit n un entier fixé, n ≥ 1. On note M_n(R) l'espace vectoriel des matrices carrées réelles à n lignes, et I la matrice identité à n lignes. On note X_(ij), 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n, les coefficients d'une matrice X ∈ M_n(R). On identifie un vecteur V de R^n, de composantes v_1, …, v_n dans la base canonique, à la matrice colonne (v_1; ⋮; v_n). On désigne par ‖ ⋅ ‖ la norme euclidienne de R^n.
Pour toute matrice X ∈ M_n(R), on pose
N(X) = sup_(V ∈ R^n; V ≠ 0)((‖XV‖)/(‖V‖))
a) Montrer que N est une norme sur M_n(R).
b) Montrer que, pour toutes matrices X, Y ∈ M_n(R), N(XY) ≤ N(X)N(Y).
Cette propriété est-elle vérifiée si l'on remplace la norme N sur M_n(R) par la norme N_∞ définie par
N_∞(X) = sup_(1 ≤ i ≤ n; 1 ≤ j ≤ n)|X_(ij)|?
Soit (X_p)_(p = 1, 2, …) une suite de matrices de M_n(R) et X une matrice de M_n(R). On suppose que X est inversible et que lim_(p → + ∞)X_p = X.
a) Montrer que, pour p assez grand, X_p est inversible.
b) Soit V ∈ R^n. Montrer que, si X_p est inversible,
En déduire qu'il existe un entier p_0 et un nombre C indépendant de p tel que, pour p ≥ p_0,
‖X_p^(− 1)V‖ ≤ C‖X^(− 1)V‖.
c) Montrer que lim_(p → + ∞)N(X_p^(− 1) − X^(− 1)) = 0.
3. On dit qu'une matrice X = (X_(ij)) de M_n(R) possède la propriété ( P ) si les trois conditions suivantes sont satisfaites
{X_(ii) > 0, pour tout i = 1, …, n; X_(ij) ≤ 0, pour tous i, j = 1, …, n tels que i ≠ j; ∑_(j = 1)^n X_(ij) > 0, pour tout i = 1, …, n
Soit X une matrice qui possède la propriété (P) et soit V ∈ R^n, de composantes v_1, …, v_n.
a) Montrer que si XV = 0, alors V = 0. [On considérera i_0 tel que |v_(i_0)| = max_(i = 1, …, n)|v_i|.]
b) On suppose que XV a toutes ses composantes positives ou nulles. Montrer que V a toutes ses composantes positives ou nulles. [On considérera i_1 tel que v_(i_1) = min_(i = 1, …, n)v_i.]
4. Soit X ∈ M_n(R). On suppose que X est inversible et que X = lim_(p → + ∞)X_p, où chaque X_p est une matrice de M_n(R) qui possède la propriété (P). Montrer que les coefficients de la matrice inverse X^(− 1) sont positifs ou nuls.
Deuxième partie
Soit f une fonction à valeurs réelles, de classe C^2 sur l'intervalle [0, 1].
5.a) Montrer qu'il existe une unique fonction u de classe C^4 sur [0, 1] telle que
{− u^(′′) = f; u(0) = 0; u(1) = 0
b) Montrer que si f ≥ 0, alors u ≥ 0.
c) On choisit pour f la fonction constante égale à 1 . Déterminer la solution uˆdu problème (1) dans ce cas.
Soit n un entier, n ≥ 1. On pose h = 1/(n + 1) et l'on considère la subdivision (x_i)_(i = 0, 1, …, n + 1) de l'intervalle [0, 1] telle que x_0 = 0, x_(n + 1) = 1 et x_(i + 1) − x_i = h pour i = 0, 1, …, n.
6.a) Soit u une fonction à valeurs réelles de classe C^4 sur [0, 1]. Montrer que, pour tout i = 1, …, n,
où u^((4)) désigne la dérivée quatrième de u.
b) Que devient cette inégalité dans le cas où u est la fonction uˆ trouvée à la question 5.c) ?
7. Soit F ∈ R^n, de composantes f_1, …, f_n. On désigne par U un vecteur de R^n, de composantes u_1, …, u_n et l'on pose u_0 = 0, u_(n + 1) = 0.
a) Écrire sous forme matricielle AU = F le système (2) linéaire en les inconnues u_1, …, u_n :
1/(h^2)(− u_(i − 1) + 2u_i − u_(i + 1)) = f_i, 1 ≤ i ≤ n
b) Montrer que, pour tout vecteur V de R^n, le produit scalaire canonique ( AV|V ) peut s'écrire comme une somme de carrés de nombres réels.
c) En déduire que la matrice A est inversible.
8.a) Soit B = A^(− 1) l'inverse de A. Montrer que les coefficients B_(ij) de B sont positifs ou nuls.
b) Soit Fˆ le vecteur de composantes toutes égales à 1 . Déterminer les composantes de BFˆ à l'aide des valeurs de la fonction uˆ trouvée à la question 5.c). En déduire que, pour tout i = 1, …, n,
0 ≤ ∑_(j = 1)^n B_(ij) ≤ 1/8
On suppose que ( u_1, …, u_n ) est la solution du système (2) avec f_i = f(x_i), 1 ≤ i ≤ n, et l'on désigne par u(x_1), …, u(x_n) les valeurs prises en x_1, …, x_n par la solution u du problème (1).
a) Donner une majoration de |u_i − u(x_i)|, valable pour tout i = 1, …, n, en fonction de h et de la fonction f^(′′).
b) En quel sens peut-on dire que la solution du problème linéaire (2) avec f_i = f(x_i) approxime la solution du problème (1)?
c) On choisit la fonction f définie par f(x) = (25)/(√(x^4 + 5)).
Trouver une valeur de l'entier n qui assure |u_i − u(x_i)| < 10^(− 4), pour tout i = 1, …, n.
Troisième partie
Soit f une fonction de classe C^2 sur [0, 1] comme dans la deuxième partie. Pour tout entier p ≥ 1, on considère le problème
{− u^(′′) + 1/(p^2)u = f; u(0) = 0; u(1) = 0
10.a) Montrer que, pour tout entier p ≥ 1, il existe une unique fonction u^([p]) de classe C^4 sur [0, 1] qui est solution du problème (3).
b) Montrer que la suite de fonctions (u^([p]))_(p ≥ 1) tend simplement, quand p tend vers + ∞, vers une fonction u de classe C^4 sur [0, 1], et que u est solution du problème (1) de la deuxième partie.
11. On choisit pour f la fonction constante égale à 1 et l'on note uˆ^([p]) la solution du problème (3) dans ce cas.
a) Déterminer uˆ^([p]).
b) Pour tout entier p ≥ 1, étudier les variations de la fonction x ∈ [0, 1] ↦ uˆ^([p])(x) ∈ R.
c) Montrer que, pour tout entier p ≥ 1 et pour tout x ∈ [0, 1], 0 ≤ uˆ^([p])(x) < 1/8.
12. On reprend les notations de la deuxième partie.
a) Montrer que pour chaque entier p ≥ 1, le système linéaire
(A + 1/(p^2)I)U = F
a une solution unique, notée U^([p]). Que peut-on dire de lim_(p → + ∞)U^([p]) ?
b) Soit (u_1^([p]), …, u_n^([p])) la solution du système (4) avec f_i = f(x_i), 1 ≤ i ≤ n. Donner une majoration de |u_i^([p]) − u^([p])(x_i)|, valable pour tout i = 1, …, n, en fonction de h, p, f et f^(′′).
Questions fréquentes
4 questions
Sur quels chapitres porte ce sujet de maths 2 PC de l'X 2000 ?
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Sur quels chapitres porte ce sujet de maths 2 PC de l'X 2000 ?
+
Il porte sur les normes matricielles, l'inversion de matrices, les équations différentielles avec conditions aux limites et leur approximation par un schéma aux différences finies.
Quelles parties sont indépendantes dans ce sujet ?
+
La première partie sur les normes matricielles sert d'outil aux deux parties suivantes, qui étudient successivement le problème -u''=f puis sa version perturbée -u''+u/p²=f.
Quels résultats de cours faut-il connaître pour ce sujet ?
+
Les normes subordonnées sur les matrices, la résolution des équations différentielles linéaires du second ordre, et la formule de Taylor-Lagrange pour estimer une erreur d'approximation.
Ce sujet mélange-t-il algèbre linéaire et analyse numérique ?
+
Oui, il utilise les normes matricielles et l'inversion de matrices pour justifier et estimer la précision d'un schéma numérique de résolution d'une équation différentielle.
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Commentaires• Polytechnique Mathématiques 2 PC 2000
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