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Polytechnique Mathématiques 2 PC 2002Sujet et corrigé

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Coefficients diagonaux des matrices semblables à une matrice donnée
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Le problème étudie ce que l'on peut imposer aux coefficients diagonaux d'une matrice en la remplaçant par une matrice semblable ou orthosemblable. Il montre notamment qu'une matrice de trace nulle est semblable à une matrice de diagonale nulle, puis qu'une matrice quelconque est orthosemblable à une matrice à coefficients diagonaux tous égaux, avant d'étudier le lien avec le spectre et la trace.

  1. 1Première partieÉtablir deux propriétés de base des matrices semblables : existence d'un vecteur non propre pour une matrice non scalaire, et possibilité d'échanger deux coefficients diagonaux par similitude.
  2. 2Deuxième partieMontrer par récurrence qu'une matrice de trace nulle est semblable à une matrice ayant tous ses coefficients diagonaux nuls, puis étudier des cas où l'on impose une forme particulière à la diagonale.
  3. 3Troisième partieIntroduire la notion de matrices orthosemblables et montrer, à l'aide d'un argument de compacité, qu'une matrice est orthosemblable à une matrice à coefficients diagonaux tous égaux.
  4. 4Quatrième partieÉtudier l'ensemble des valeurs prises par la forme quadratique associée à une matrice sur la sphère unité et son lien avec la trace et les coefficients diagonaux.
  5. 5Cinquième partieConstruire des matrices dont le spectre est disjoint de celui d'une matrice donnée, et en déduire l'inversibilité de toute application linéaire transformant les matrices inversibles en matrices inversibles.

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE

ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
Ce problème a pour but principal l'étude des coefficients diagonaux des diverses matrices semblables à une matrice donnée.
On désigne par n un entier ⩾ 2, par M_n(R) l'espace des matrices à coefficients réels, à n lignes et n colonnes, et par I la matrice identité; on appelle scalaires les matrices de la forme λI où λ est un réel. On rappelle que deux matrices A et B sont dites semblables s'il existe une matrice inversible Q vérifiant B = QAQ^(− 1), c'est-à-dire si A et B représentent un même endomorphisme de R^n dans deux bases de R^n.

Première partie

  1. Démontrer les assertions suivantes:
    a) Si une matrice A est non scalaire, il existe un vecteur X de R^n, non nul et non vecteur propre pour A.
    b) Soit A ∈ M_n(R), i et j ∈ {1, …, n}. Il existe une matrice B semblable à A telle que
b_(i, i) = a_(j, j), b_(j, j) = a_(i, i), b_(k, k) = a_(k, k) pour tout k ≠ i, j

Deuxième partie

  1. On se donne une matrice A de M_n(R) de trace nulle et on se propose de démontrer qu'il existe une matrice B semblable à A ayant tous ses coefficients diagonaux nuls.
    a) Montrer que si A est non nulle, il existe une base ( X_1, …, X_n ) de R^n telle que AX_1 = X_2.
    b) Conclure en procédant par récurrence sur n.
  2. Applications numériques. Dans chacun des cas considérés, on indiquera une matrice B répondant à la question et une base qui lui correspond.
    a) n = 2, A est diagonale avec coefficients diagonaux 1, − 1.
    b) n = 3, A est diagonale avec coefficients diagonaux 1, 0, − 1.
  3. Soit A une matrice de M_n(R) non scalaire. Montrer qu'il existe une matrice B semblable à A avec coefficients diagonaux de la forme (t, 0, …, 0), et exprimer t en fonction des coefficients diagonaux de A.
  4. Soit A une matrice de M_n(R) non nulle. Montrer qu'il existe une matrice B semblable à A avec coefficients diagonaux tous non nuls.

Troisième partie

On dira que deux matrices A et B de M_n(R) sont orthosemblables s'il existe une matrice orthogonale Q vérifiant B = QAQ^(− 1), c'est-à-dire si A et B représentent un même endomorphisme de R^n dans deux bases orthonormales de R^n. Pour toute matrice A on pose
f(A) = sup{|a_(i, i) − a_(j, j)| : i, j = 1, …, n}
On se donne une matrice A et on se propose de démontrer qu'il existe une matrice B, orthosemblable à A et ayant tous ses coefficients diagonaux égaux.
6. Démontrer l'assertion dans le cas où n = 2.
7. On suppose maintenant n quelconque et les a_(i, i) non tous égaux.
a) Montrer qu'on peut supposer f(A) = |a_(1, 1) − a_(2, 2)|.
b) Construire une matrice A^′, orthosemblable à A et telle que
a_(1, 1)^′ = a_(2, 2)^′, a_(i, i)^′ = a_(i, i) ∀i ⩾ 3, |a_(1, 1)^′ − a_(i, i)^′| < f(A) ∀i ⩾ 3
c) Construire une matrice A^(′′), orthosemblable à A et telle que f(A^(′′)) < f(A).
On désigne par O_n(R) l'ensemble des matrices orthogonales, et par E_A celui des matrices orthosemblables à A.
8.a) Montrer que E_A est une partie compacte de R^(n^2).
b) Montrer que la restriction de la fonction f à E_A atteint son minimum.
c) Conclure.
9. Application numérique. On prend n = 3 et A diagonale avec coefficients diagonaux (1, 0, 0); on note A_m, m = 0, 1, … les matrices successives obtenues par la méthode précédente, de sorte que
diag(A_0) = (1, 0, 0), diag(A_1) = (1/2, 1/2, 0), diag(A_2) = (1/2, 1/4, 1/4), etc.
Déterminer f(A_m) et les coefficients diagonaux de A_m.

Quatrième partie

On munit R^n de son produit scalaire usuel noté (⋅ | ⋅) et de la norme correspondante ‖ ⋅ ‖. Pour toute matrice A de M_n(R) on pose
R(A) = {(AX|X) : ‖X‖ = 1}
  1. Démontrer les assertions suivantes:
    a) R(A) contient les valeurs propres réelles de A ainsi que ses coefficients diagonaux.
    b) R(A) est un intervalle fermé borné de R.
    c) Si A est symétrique et de trace nulle, le nombre 0 appartient à R(A).
  2. Montrer que si la trace t de A appartient à R(A), il existe une matrice B orthosemblable à A avec coefficients diagonaux (t, 0, …, 0).

Cinquième partie

On note Sp(A) l'ensemble des valeurs propres d'une matrice A.
12. On se donne une matrice non nulle A de M_n(R) et on note B une matrice semblable à A ayant tous ses coefficients diagonaux non nuls.
a) Trouver une matrice Y telle que l'on ait
Sp(Y) = {1} et Sp(B + Y) ∩ Sp(Y) = ∅
b) Construire une matrice X non nulle telle que l'on ait
Sp(A + X) ∩ Sp(X) = ∅
  1. On désigne par T une application linéaire de M_n(R) dans lui-même qui transforme toute matrice inversible en une matrice inversible.
    a) Vérifier que l'on a
Sp(T(I)^(− 1)T(A)) ⊂ Sp(A)
b) Montrer que l'application T est inversible.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 2 de l'X-ESPCI PC 2002 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 2 de l'X-ESPCI PC 2002 ?

Il porte sur la réduction des endomorphismes, les matrices semblables et orthosemblables, la trace, et des arguments de compacité en dimension finie.

Les cinq parties du sujet sont-elles indépendantes ?

Non, chaque partie s'appuie sur les résultats établis précédemment, en particulier sur la possibilité de rendre certains coefficients diagonaux nuls ou égaux par similitude.

Quels résultats de cours faut-il connaître pour ce sujet ?

Les propriétés des matrices semblables et de la trace, les matrices orthogonales, le spectre d'une matrice et la compacité en dimension finie.

Ce sujet fait-il appel à la géométrie euclidienne ?

Oui, la troisième et la quatrième partie utilisent le produit scalaire usuel de R^n, la sphère unité et les matrices orthogonales.

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