CCINP Mathématiques 1 PC 2002Sujet et corrigé

SESSION 2002

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les ruisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Soit n et p des entiers supérieurs ou égaux à 1 . 𝕂 désignant le corps des réels ou celui des complexes, on note M_(n, p)(𝕂) le 𝕂-espace vectoriel des matrices à coefficients dans 𝕂 ayant n lignes et p colonnes. Lorsque p = n, M_(n, n)(𝕂) est noté plus simplement M_n(𝕂) et est muni de sa structure d'algèbre, I_n représentant la matrice identité.
0_(n, p) désigne la matrice nulle de M_(n, p)(𝕂) et 0_n la matrice nulle de M_n(𝕂).
GL_n(𝕂) désigne l'ensemble des matrices inversibles de M_n(𝕂) et T_n(𝕂) l'ensemble des matrices carrées d'ordre n triangulaires supérieures à éléments dans 𝕂.
Tout vecteur x = (x_i)_(1 ≤ i ≤ n) de 𝕂^n est identifié à un élément X de M_(n, 1)(𝕂) tel que l'élément de la i ème ligne de X soit x_i. Dans toute la suite, nous noterons indifféremment X = (x_i)_(1 ≤ i ≤ n) un élément de M_(n, 1)(𝕂) aussi bien que le vecteur de 𝕂^n qui lui est associé.
Pour A = (a_(i, j))_(1 ≤ i ≤ n; 1 ≤ j ≤ p) dans M_(n, p)(𝕂) et X = (x_i)_(1 ≤ i ≤ p) dans 𝕂^p, on note (AX)_i le coefficient de la i^(ème) ligne de AX.
Pour toute matrice A de M_n(𝕂), on note Sp(A) l'ensemble des valeurs propres complexes de A et on appelle rayon spectral de A le réel ρ(A) défini par :

Conformément à l'usage, on note N_∞ la norme définie sur ℂ^n par :

On qualifie de norme matricielle toute norme φ définie sur M_n(𝕂) vérifiant la propriété :

M_n(𝕂) étant de dimension finie, on rappelle qu'une suite de matrices (A_k)_(k ∈ ℕ) de M_n(𝕂) converge vers une matrice A de M_n(𝕂) si et seulement si la convergence a lieu dans M_n(𝕂) muni d'une norme quelconque.

Une matrice A de M_n(𝕂) est dite trigonalisable si et seulement si il existe P ∈ GL_n(𝕂) et T ∈ T_n(𝕂) tels que T = P^(− 1)AP.
I. 1 Pour n fixé, on suppose que toute matrice de M_n(ℂ) est trigonalisable et on considère une matrice M de M_(n + 1)(ℂ).
a) Montrer que M admet au moins une valeur propre.
b) Soit λ une valeur propre de M. Montrer qu'il existe Q ∈ GL_(n + 1)(ℂ), L ∈ M_(1, n)(ℂ) et N ∈ M_n(ℂ) tels que :

c) En déduire qu'il existe H ∈ GL_n(ℂ) et S ∈ T_n(ℂ) tels que :

d) On pose R = (1, 0_(1, n); 0_(n, 1), H). Montrer que R est inversible et exprimer R^(− 1).
e) Calculer R^(− 1)Q^(− 1)MQR et en déduire que M est trigonalisable.
I. 2 Déduire de la question précédente que pour tout n entier supérieur ou égal à 1 , toute matrice de M_n(ℂ) est trigonalisable.
I. 3 Soit la matrice G = (1, 1, 0; 1, − 1, 1; 2, − 5, 3).
a) La matrice G est-elle diagonalisable ?
b) On note B = (e_1, e_2, e_3) la base canonique de ℂ^3. Montrer que G admet un unique vecteur propre u dont la première composante dans la base B est égale à 1 et vérifier que B_1 = ( u, e_2, e_3 ) est une base de ℂ^3.
c) On note Q la matrice de passage de B à B_1. Calculer Q^(− 1)GQ et en déduire, en s'inspirant de la méthode décrite aux questions I.1 et I.2, P ∈ GL_3(ℂ) et T ∈ T_3(ℂ) telles que P^(− 1)GP = T.
I. 4 Soit A ∈ M_n(ℂ). Si T est une matrice triangulaire supérieure semblable à A, que représentent les éléments diagonaux de T ?
I. 5 Soit S = (s_(i, j)) et T = (t_(i, j)) deux matrices triangulaires supérieures de M_n(ℂ).
a) Montrer que ST est une matrice triangulaire supérieure dont les coefficients diagonaux sont s_(1, 1)t_(1, 1), s_(2, 2)t_(2, 2), …, s_(n, n)t_(n, n).
b) Pour k ∈ ℕ^∗, quels sont les éléments diagonaux de T^k ?
I. 6 Montrer que pour toute matrice A de M_n(ℂ), ρ(A^k) = [ρ(A)]^k.
I. 7 Montrer que l'application ψ : M_n(ℂ) → ℝ, A = (a_(i, j)) ↦ max_(1 ≤ i, j ≤ n)|a_(i, j)| est une norme sur M_n(ℂ), mais n'est pas en général une norme matricielle sur M_n(ℂ).
I. 8 En admettant l'existence de normes matricielles sur M_n(ℂ) (la suite du problème montrera effectivement cette existence), montrer que pour toute norme N définie sur M_n(ℂ), il existe une constante C réelle positive telle que :

I. 9 Soit (A_k)_(k ∈ ℕ) une suite de matrices de M_n(ℂ), A ∈ M_n(ℂ) et P ∈ GL_n(ℂ). Montrer que la suite (A_k)_(k ∈ ℕ) converge vers A si et seulement si la suite (P^(− 1)AP)_(k ∈ ℕ) converge vers P^(− 1)AP.
I. 10 a) Soit T = (λ, μ; 0, λ) un élément de M_2(ℂ). Pour tout k ∈ ℕ^∗, calculer T^k et en déduire que la suite (T^k)_(k ∈ ℕ^∗) converge si et seulement si (|λ| < 1) ou (λ = 1 et μ = 0).
b) Soit A ∈ M_2(ℂ) diagonalisable. Donner une condition nécessaire et suffisante sur les valeurs propres de A pour que la suite (A^k)_(k ∈ ℕ) soit convergente.
c) Soit A ∈ M_2(ℂ) non diagonalisable. Montrer que la suite (A^k)_(k ∈ ℕ) est convergente si et seulement si ρ(A) < 1. Dans ce cas, préciser lim_(k → + ∞)A^k.
d) Soit A ∈ M_2(ℂ). Donner une condition nécessaire et suffisante sur ρ(A) pour que la suite (A^k)_(k ∈ ℕ) converge vers la matrice nulle.

Soit A = (a_(i, j)) une matrice de M_n(ℂ) et N une norme quelconque sur ℂ^n. On pose:

II. 1 a) Montrer que pour tout X ∈ ℂ^n : N_∞(AX) ≤ M_A N_∞(X).
b) Montrer qu'il existe une constante réelle C_A telle que :

c) Montrer que l'ensemble {(N(AX))/(N(X))| X ∈ ℂ^n∖{0}} possède une borne supérieure dans ℝ. On notera dans la suite :

d) Montrer que : N_∞˜(A) ≤ M_A.
e) On reprend dans cette question la matrice G introduite en I.3. Déterminer un vecteur X_0 de ℂ^3 tel que N_∞(X_0) = 1 et N_∞(GX_0) = 10. En déduire la valeur de N_∞˜(G).
II. 2 Soit i_0 un entier compris entre 1 et n tel que ∑_(j = 1)^n|a_(i_0, j)| = M_A. En considérant le vecteur Y de ℂ^n de composantes y_j définies par :

montrer que M_A ≤ N_∞˜(A) et en déduire N_∞˜(A) = M_A.
II. 3 Montrer :
a) N~(A) = 0 ⇔ A = 0_n.
b) ∀λ ∈ ℂ, N~(λA) ≤ |λ|N~(A).
c) En déduire : ∀λ ∈ ℂ, N~(λA) = |λ|N~(A).
d) ∀B ∈ M_n(ℂ), N~(A + B) ≤ N~(A) + N~(B).
e) ∀X ∈ ℂ^n, N(AX) ≤ N~(A)N(X).
f) Déduire de ces résultats que N~ est une norme matricielle sur M_n(ℂ). On lui donne le nom de norme matricielle subordonnée à la norme N.
II. 4 a) En considérant une valeur propre λ de A telle que |λ| = ρ(A), montrer que :

b) Donner un exemple simple de matrice A non nulle vérifiant ρ(A) = N_∞˜(A).
c) Montrer que si A est nilpotente non nulle, on a l'inégalité stricte :

II. 5 Montrer que si lim_(k → + ∞)A^k = 0_n, alors ρ(A) < 1.

Dans toute la suite du problème, on admettra que, réciproquement, si ρ(A) < 1, alors lim_(k → + ∞)A^k = 0_n.
II. 6 a) Montrer que pour tout k entier naturel non nul : ρ(A) ≤ [N~(A^k)]^(1/k).
b) Montrer que pour tout α ∈ ℂ, ρ(αA) = |α|ρ(A).
c) Soit ε > 0 et A_ε = A/(ρ(A) + ε). Vérifier que ρ(A_ε) < 1 et en déduire l'existence d'un entier naturel k_ε tel que :

d) En déduire lim_(k → + ∞)[N~(A^k)]^(1/k) = ρ(A).

Une matrice A de M_(n, p)(ℝ) est dite positive (resp. strictement positive) et on note A ≥ 0 (resp. A > 0 ) si et seulement si tous ses coefficients sont positifs ou nuls (resp. strictement positifs). Si A et B sont deux matrices de M_(n, p)(ℝ), on note A ≥ B (resp. A ≤ B, A > B, A < B ) si et seulement si A − B ≥ 0 (resp. B − A ≥ 0, A − B > 0, B − A > 0 ).
Notons que grâce à l'identification de ℝ^n et M_(n, 1)(ℝ), on pourra parler de vecteur de ℝ^n positif ou strictement positif.
III. 1 Donner un exemple de matrice A montrant que les conditions A ≥ 0 et A ≠ 0 n'impliquent pas nécessairement A > 0.
III. 2A, B, A^′, B^′ désignent des matrices de M_n(ℝ).
a) Montrer que si 0 ≤ A ≤ B et 0 ≤ A^′ ≤ B^′, alors 0 ≤ AA^′ ≤ BB^′.
b) Montrer que si 0 ≤ A ≤ B, alors pour tout k ∈ ℕ^∗, 0 ≤ A^k ≤ B^k.
c) Montrer que si 0 ≤ A ≤ B, alors N_∞˜(A) ≤ N_∞˜(B).
d) Montrer que si 0 ≤ A ≤ B, alors ρ(A) ≤ ρ(B).
e) Montrer que si 0 ≤ A < B, il existe c ∈ ]0, 1[ tel que A ≤ cB et en déduire ρ(A) < ρ(B).
III. 3 Soit A une matrice positive de M_n(ℝ) telle que la somme des termes de chaque ligne soit constante égale à α. Montrer que α est valeur propre de A et que :

III. 4 Soit A une matrice positive de M_n(ℝ). Pour tout i ∈ {1, …, n}, on note α_i la somme des termes de la i^(ème) ligne de A et α = min_(1 ≤ i ≤ n)α_i. On définit la matrice B = (b_(i, j)) par B = 0_n si α = 0 et b_(i, j) = α/(α_i)a_(i, j) si α > 0. Montrer à l'aide de la matrice B ainsi construite que :

III. 5 Soit A une matrice positive de M_n(ℝ) et X = (x_i) un vecteur strictement positif de ℝ^n.

On note D_x la matrice diagonale de M_n(ℝ) ayant pour termes diagonaux x_1, x_2, …, x_n. Calculer les éléments de la matrice D_x^(− 1)AD_x et en déduire :

III. 6 Soit A une matrice positive de M_n(ℝ). Montrer que si A admet un vecteur propre strictement positif, alors la valeur propre associée est ρ(A) et :