CCINP Physique 2 PC 2002Sujet

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L'utilisation des calculatrices est autorisée. Les deux problèmes sont indépendants

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

PROBLEME I - TRANSMISSION ENTRE DEUX ARBRES

Deux disques conducteurs identiques de rayon

a

, sont solidaires de deux arbres de rayons négligeables, non couplés l'un à l'autre et coaxiaux. Les deux disques se trouvent dans un champ magnétique,

B⃗ = Bu⃗_z

uniforme, invariable dans le temps. Les arbres sont reliés électriquement par un fil conducteur, aussi bien que les périphéries des disques, formant ainsi un circuit fermé, de résistance

R

(Fig. 1). Le premier disque reçoit une puissance mécanique

P_m

et tourne à la vitesse angulaire

ω⃗_1 = ω_1 u⃗_z

, tandis que sur l'arbre du deuxième disque, on applique un couple résistant de moment

C⃗_r = - C_r u⃗_z

et il tourne en régime permanent à la vitesse angulaire

ω⃗_2 = ω_2 u⃗_z

. On note

J

, le moment d'inertie d'un disque par rapport à son axe.

Fig. 1

Forces électromotrices.
1.1 En utilisant la circulation du terme ( $v⃗ \land B⃗$ ) le long du "rayon actif" $O_1 A_1$ (en pointillés sur la fig. 1) du premier disque, exprimer la force électromotrice $e_1$ induite sur ce rayon, en fonction $deω_1, a$ et $B$ .
Préciser clairement la convention utilisée pour définir $e_1$ .
1.2. Conduire la même démarche pour le calcul de l'expression de la force électromotrice $e_2$ induite le long du "rayon actif" $O_2 A_2$ du deuxième disque, en fonction de $ω_2, a$ et $B$ , en précisant également la convention utilisée pour définir $e_2$ .
1.3. Exprimer l'intensité induite $i$ parcourant la résistance $R$ .
Force et couple.
2.1. En déduire la force de Laplace $F_L^(\to-)$ exercée sur le rayon $O_2 A_2$ . Quel est son point d'application? La représenter sur un schéma.
2.2. Exprimer le moment de $F_L^(\to-)$ , noté $C_L^(\to-)$ , par rapport au centre $O_2$ du deuxième disque.
2.3. Exprimer puis calculer la vitesse de rotation $ω_2$ du deuxième disque, en régime permanent, en fonction de $ω_1, C_r$ , a et $B$ .
2.4. En déduire la valeur maximale $C_(r max)$ du couple résistant; la calculer numériquement.
A.N. : $B = 1$ T
$a = 10 cm$
$ω_1 = 104, 6rad/s$
$R = 0, 2Ω$
$C_r = 10^(- 2) N.m$
A l'instant $t = 0$ , on supprime le couple résistant sur le deuxième disque et on maintient la vitesse de rotation du premier disque constante : $ω_1 = ω_(10) =$ constante et $C_r = 0$ .
3.1. Déterminer $ω_2(t)$ en fonction du temps, si à $t = 0, ω_2(0) = ω_(20)$

On posera

α = ((a^2)/2)^2(B^2)/(RJ)

A.N. :

J = 2, 5 \cdot 10^(- 2) kg \cdot m^2

ω_(10) = 104, 6rad/s; ω_(20) = 24, 6rad/s

Tracer la courbe

ω_2(t)

.
3.2. Donner l'expression de la puissance des forces de Laplace sur le premier disque.

En déduire celle de la puissance mécanique instantanée

P_m(t)

reçue par le premier disque, en fonction de

α, J, ω_(10), ω_(20)

t

.
3.3. A partir de

P_m(t)

, exprimer l'énergie mécanique

W_m

reçue par le système constitué des deux disques, pendant ce régime transitoire, et calculer sa valeur.
4. On suppose maintenant qu'à

t = 0

, on annule le couple résistant sur le deuxième disque et on ne fournit plus de puissance mécanique à l'arbre du premier disque.
4.1. Ecrire les équations différentielles couplées concernant les vitesses angulaires

ω_1(t)

ω_2(t)

des deux disques.
4.2. En déduire les fonctions

ω_1(t), ω_2(t)

i(t)

, d'abord littéralement puis numériquement si, à

t = 0

, on a :

{ω_1(0) = ω_(10) = 104, 6rad/s; ω_2(0) = ω_(20) = 24, 6rad/s

Représenter graphiquement l'allure de

ω_1(t), ω_2(t)

i(t)

.
4.3. Calculer l'énergie dissipée sous forme de chaleur dans la résistance

R

, pendant ce régime transitoire, de deux manières différentes.

PROBLEME II - EFFET HALL

I. Etude de l'effet Hall en régime indépendant du temps

On considère une plaque rectangulaire d'épaisseur

h

et de largeur

b

. Elle est réalisée dans un semiconducteur de type

N

où la conduction électrique est assurée par des électrons mobiles dont le nombre par unité de volume est

n

. On notera par

e

la charge élémentaire égale à

1, 6.10^(- 19)C

.
La plaque est parcourue par un courant électrique d'intensité

I

, uniformément réparti sur la section de la plaque avec la densité volumique

J⃗ = Ju_x^(\to-), J > 0

(fig. 1). Elle est alors placée dans un champ magnétique uniforme

B⃗ = Bu_z^(\to-)

avec

B > 0

créé par des sources extérieures. Le champ magnétique créé par le courant dans la plaque est négligeable devant

B⃗

Fig. 1

On suppose qu'en présence du champ magnétique

B⃗

, le vecteur densité de courant est toujours égal à

J⃗ = Ju_x^(\to-)

.
I. 1 Exprimer le vecteur vitesse

V⃗

des électrons dans la plaque en fonction de

J⃗, n

e

. Montrer qu'en présence du champ magnétique

B⃗

en régime permanent, il apparaît un champ électrique appelé champ électrique de Hall

E⃗_H = 1/(ne)J⃗ \land B⃗

.
Exprimer les composantes de

E⃗_H

.
I.2. On considère deux points 1 et

1^'

en vis-à-vis des faces

A

A^'

de la plaque. Calculer la différence de potentiel

U_H = V(1) - V(1^')

appelée tension de Hall. Montrer que

U_H

peut s'écrire :

U_H = (C_H)/hIB

Expliciter la constante

C_H

.
A.N. : Pour l'antimoniure d'indium

InSb C_H = 375.10^(- 6) m^3.C^(- 1)

I = 0, 1 A; h = 0, 3 mm; B = 1 T

Calculer

U_H

ainsi que la densité volumique

n

, en électrons

/m^3

.
I.3. On veut établir la loi d'Ohm locale, c'est-à-dire, la relation entre le champ électrique

E⃗

dans la plaque et la densité du courant

J⃗

en présence du champ magnétique

B⃗

.
Soit

E^'^(\to-) = E^' u_x^(\to-)

la partie du champ électrique colinéaire à

J⃗

. On pose

J⃗ = σE^'^(\to-), σ

étant une grandeur positive.
Quelle caractéristique du matériau de la plaque

σ

représente-t-elle ?
Montrer qu'en présence du champ magnétique, on a

J⃗ = σ(E⃗ - C_H J⃗ \land B⃗)

.
I.4. Tracer dans un plan

xOy

de la plaque les vecteurs

(J⃗)/σ, E⃗

C_H J⃗ \land B⃗

et les lignes équipotentielles en présence puis en absence de champ magnétique. Faire deux figures en vue de dessus par rapport à la figure 1 .
I.5 Soit

θ

l'angle entre les vecteurs

J⃗

E⃗

. Montrer que l'angle

θ

ne dépend que de

B

et du semiconducteur. Préciser le domaine de définition de

θ

pour le semi-conducteur étudié.
I.6. On veut utiliser la plaque pour mesurer l'induction magnétique

B

, en mesurant la tension de Hall

U_H

. Il faut donc qu'en absence du champ magnétique

U_H(B = 0) = U_(H0) = 0

.
Pour cela, il faut souder deux fils conducteurs exactement en vis-à-vis. C'est un problème difficile, vu les dimensions de la plaque.
Proposer un schéma de montage, utilisant un potentiomètre, ainsi que le protocole expérimental qui permet d'avoir

U_(H0) = 0

II. Régime variable dans la plaque

On considère une longueur infinie de la plaque selon l'axe des

x

. Elle est située dans un champ magnétique produit par des sources autres que le courant électrique dans la plaque et que l'on appellera champ magnétique extérieur. Ce champ magnétique extérieur varie dans le temps. Dans un premier temps, la plaque n'est connectée à aucun circuit électrique : on dit que le courant de commande est nul (fig. 2)

Fig. 2

On veut déterminer la densité volumique du courant électrique et le champ magnétique dans la plaque. On étudiera ensuite l'effet de ces courants sur la tension de Hall.
Soit

B_e^(\to-), B⃗

J⃗

les champs suivants :

B_e^(\to-) = B_e(t)u_z^(\to-)

le champ magnétique extérieur,

B⃗ = B(y, t)u_z^(\to-)

le champ magnétique dans la plaque,

J⃗ = J(y, t)u_x^(\to-)

la densité volumique du courant électrique induit dans la plaque.
On considère cette fois que le champ magnétique créé par les courants volumiques de la plaque n'est plus négligeable. La densité volumique des charges électriques dans la plaque est nulle.
Les propriétés

ε_0

μ_0

de la plaque sont celles du vide.
II.1. Ecrire les quatre équations de Maxwell dans la plaque. On considère le régime quasistationnaire ; préciser l'approximation qui en découle.
II.2. En déduire

divJ⃗

dans la plaque.
II.3. Exprimer

rotJ⃗

en fonction d'une dérivée partielle de

B⃗

en supposant que la loi d'Ohm locale établie en I.3. est toujours valable. De cette expression de

rotJ⃗

et de l'une des équations de Maxwell, déduire deux relations liant

B(y, t)

J(y, t)

ou leurs dérivées partielles.
II.4. En déduire l'équation aux dérivées partielles vérifiée par

J(y, t)

On se place en régime harmonique :

B_e^(\to-) = B_(oe)\sqrt2cosωtu_z^(\to-)

J⃗ = J(y)\sqrt2cos(ωt + φ(y))u_x^(\to-)

A

une fonction

A(y, t) = A(y)√2cos(ωt + φ(y)) = Re{√2A(y)e^(jφ(y))e^(jωt)},

on associe l'image complexe

A_-(y) = A(y)e^(jφ(y))

. Donc à

(\partialA)/(\partialt)

, on associe

jωA_-

et à

(\partialA)/(\partialy)

, on associe

(dA_-)/(dy)

.
On pose

α = \sqrt((μ_0 ωσ)/2)

k^2 = jωμ_0 σ

II.5 Ecrire l'équation différentielle vérifiée par l'image complexe de la densité volumique de courant

J_-(y)

.
A une date quelconque

t, J(y, t)

est une fonction impaire de

y

. Donner la relation liant

J(- y)

J(y)

, celle liant

φ(- y)

φ(y)

et celle liant

J_-(y)

J_-(- y)

.
En déduire la solution

J_-(y)

de l'équation différentielle à une constante multiplicative près.
En raisonnant sur les symétries, justifier la parité de

J(y, t)

par rapport à la variable

y

.
II.6. A partir de la solution

J_-(y)

, donner l'expression de

B_-(y)

. Quelle est la parité de cette fonction ?

Justifier qualitativement que

B_-(\pm b/2) = B_(oe)

En déduire l'expression complète de

J_-(y)

et de

B_-(y)

.
II.7. On considère maintenant que la plaque est connectée à un circuit. Elle est traversée par un courant de commande constant d'intensité

I

et de densité uniforme

J_0^(\to-) = I/(hb)u_x^(\to-)

se superposant à la densité de courant calculée ci-dessus. Ce courant produit dans la plaque un champ magnétique

B⃗_0

Justifier que

B⃗_0 = B_0(y)u⃗_z

.
Quelle relation lie

B_0(- y)

B_0(y)

? Quelle est la valeur de

B_0(0)

?
Montrer que

(dB_0)/(dy) = μ_0 J_0

. Exprimer alors

B_0(y)

.
II.8. Justifier que la tension Hall instantanée a pour expression :

U_H(t) = C_H\int_(- b/2)^(b/2)(J_0 + J(y, t))(B_0(y) + B(y, t))dy

Montrer que

U_H(t) = (C_H)/(μ_0)[B_0(y)B(y, t)]_(- b/2)^(+ b/2)

et exprimer la valeur efficace de la tension de Hall

U_(He)

en fonction de

C_H, n, I

B_(oe)

. Proposer une conclusion.

III. Effet joule dans la plaque

Si les courants induits ne modifient pas la tension de Hall, par contre ils limitent le domaine de fonctionnement de la sonde de Hall. On est toujours dans le cas d'un régime harmonique pour le champ

B_e^(\to-) = B_(oe)\sqrt2cosωtu_z^(\to-)

et la plaque est traversée par le courant de commande d'intensité

I

.
III.1. Exprimer la puissance

P_(T1)

dissipée par effet Joule sur une longueur

ℓ

de la plaque en fonction de

σ, I, h, b

, et

ℓ

, lorsque

B_(oe) = 0

.
III.2. La loi d'Ohm locale établie en I.3. étant toujours applicable, montrer que la puissance moyenne

P(y)

de l'effet Joule en un point quelconque de la plaque est égale à la somme

P_1 + P_2(y)

de la puissance

P_1

de l'effet Joule dû à

J⃗_0

et de la puissance moyenne de l'effet Joule

P_2(y)

dû aux courants

J⃗

induits dans la plaque.
III.3. Pour déterminer

P_2(y)

, on suppose que le champ magnétique créé par les courants induits dans la plaque est négligeable devant le champ magnétique extérieur

B⃗_e = B_e(t)u⃗_z

Donner la relation liant

(\partialJ)/(\partialy)(y, t)

(\partialB_e)/(\partialt)

. En déduire

J(y)

, puis

P_2(y)

en justifiant que

J(0) = 0

.
III.4. Exprimer en fonction de

σ, B_(oe), h, b

ℓ

et de la fréquence

f

, la puissance moyenne

P_(T2)

dissipée par effet Joule dû aux courants induits pour une longueur

ℓ

de la plaque.
III.5. En régime stationnaire, la puissance totale

P_T = P_(T1) + P_(T2)

sera dissipée vers l'extérieur par transfert thermique.
La puissance du transfert thermique est égale à

αSΔT

α

est le coefficient de transfert thermique exprimé en

W \cdot m^(- 2) \cdot K^(- 1)

S

est la surface d'échange entre la plaque et l'extérieur,

h

étant négligeable devant

ℓ

b

ΔT

est l'écart de température entre la plaque et l'extérieur.
En imposant

ΔT

, exprimer l'intensité

I

du courant de commande en fonction de

α, ΔT, σ, b, h, f

B_(oe)

.
III.6. On appelle

I_(st)

l'intensité du courant de commande pour cette valeur de

ΔT

lorsque le champ magnétique extérieur

B⃗_e

est indépendant du temps ou nul.
Exprimer le rapport

I/(I_(st))

I

étant l'intensité définie à la question précédente.
AN :

h = 3, 0.10^(- 4) m

b = 3, 0.10^(- 3) m

B_(oe) = 0, 10 T

α = 40 W \cdot m^(- 2) \cdot K^(- 1)

ΔT = 25 K

Pour In

Sb : σ = 2, 0.10^4 s^s m^(- 1)

Calculer la fréquence

f

pour laquelle

I/(I_(st)) = 0, 5

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