Hydrodynamique du modèle de Saint-Venant : crue d'une rivière, instabilité de l'écoulement et marées avec effet de seiche dans un canal
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Le problème de physique 2, Centrale PC 2002, développe le modèle de Saint-Venant pour l'écoulement d'une rivière peu profonde, puis l'applique successivement à l'étude d'une crue, à l'apparition d'irrégularités (rouleaux) à la surface d'un écoulement rapide, et enfin aux marées et à l'effet de seiche dans un canal de bord de mer.
1Partie I : modèle de Saint-VenantÉtablissement, par des bilans de masse et de quantité de mouvement, des équations couplées reliant la hauteur d'eau et la vitesse d'un écoulement, puis étude du régime permanent et des petits mouvements autour de ce régime.
2Partie II : crue d'une rivièreObtention d'une équation d'onde-diffusion pilotant la perturbation de hauteur d'eau, changement de référentiel suivant l'onde de crue, et évolution de l'étalement et de la hauteur maximale de la crue au cours du temps.
3Partie III : apparition d'irrégularités à la surfaceÉtude de la stabilité de l'écoulement permanent, condition sur le nombre de Froude pour l'amplification exponentielle d'une perturbation, puis confrontation à une expérience d'huile sur plan incliné observée par optique géométrique.
4Partie IV : marées dans un canal de bord de merExpression de la force de marées, comparaison des contributions solaire et lunaire, puis étude de l'effet de seiche du canal de Bristol par analogie avec un circuit RLC série et avec la corde de Melde.
Difficile. Le rapport donne des taux de réussite très contrastés selon les parties : environ 70 % pour la partie I, seulement 35 % pour la partie II jugée très décevante (20 % pour certaines questions), et les trois quarts des candidats ont échoué sur la partie IV, notamment par manque d'attention.
Ce qu'a observé le jury
6 erreurs relevées
Changement de référentiel non maîtrisé · Exposants de la crue établis sans justification · Limitation de l'amplitude de la perturbation mal expliquée
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Le problème, centré sur l'hydrodynamique avec le modèle de Saint-Venant, a permis une bonne évaluation grâce à un large étalement des notes, alternant questions calculatoires, applications numériques et développements qualitatifs. Les correcteurs relèvent un défaut majeur récurrent : le manque d'explications, de nombreux résultats étant donnés sans justification. Les candidats se montrent plus à l'aise dans les questions calculatoires que dans l'interprétation physique des résultats, et les applications numériques aberrantes ne suscitent que rarement un commentaire critique.
Les erreurs les plus sanctionnées
1
Changement de référentiel non maîtriséII.A.2
Cette question pose des problèmes à 85 % des candidats, qui se contentent souvent de recopier ou de paraphraser l'énoncé ; très peu songent à utiliser le concept de dérivée particulaire, et presque aucun ne réalise que le nouveau repère permet de suivre l'onde de crue.
« Le changement de référentiel pose des problèmes à 85% des candidats. »
2
Exposants de la crue établis sans justificationII.B.2, II.B.3
Les exposants caractérisant l'étalement et la hauteur de la crue sont établis sans justification et conduisent à des résultats étonnants : beaucoup trop de candidats trouvent que la hauteur de crue est une fonction croissante du temps, au mépris de toute évidence physique.
« Beaucoup trop de candidats trouvent que la hauteur de crue est fonction croissante du temps, au mépris de toute évidence. »
3
Limitation de l'amplitude de la perturbation mal expliquéeIII.A.4
Les réponses à cette question sont le plus souvent farfelues, à hauteur de 90 %, des prétextes aussi divers que fallacieux étant invoqués pour expliquer pourquoi l'amplitude de la perturbation reste bornée dans la réalité.
« Les réponses à la question III A 4 sont le plus souvent (à 90%) farfelues »
4
Confusion entre optique géométrique et conditions de GaussIII.B.3
Cette unique question d'optique du problème a été mal traitée par plus de 70 % des candidats, avec des explications très diverses, y compris farfelues, et une confusion certaine entre l'approximation de l'optique géométrique et les conditions de Gauss.
« une confusion certaine entre approximation de l'optique géométrique et conditions de Gauss »
5
Périodicité des marées mal identifiéeIV.A.3
La périodicité des marées semble un mystère pour 85 % des candidats ; la réponse la plus fréquente, 24 heures, est erronée, et certains proposent même des valeurs telles que 6 heures ou un an.
« La périodicité des marées semble un mystère pour la plupart (85%) des candidats. »
6
Comparaison des marées lunaire et solaire ratéeIV.A.4
Cette comparaison a été fatale à plus de 90 % des candidats, alors qu'un simple calcul de rapport des forces donnait directement la bonne réponse ; la plupart des candidats se contentent de recopier l'énoncé.
« La comparaison des marées d'origine lunaire avec les marées d'origine solaire a été fatale à plus de 90% des candidats »
Ce qui a été bien réussi
La partie I, portant sur l'établissement des relations de base du modèle de Saint-Venant, a été bien traitée dans l'ensemble, avec de l'ordre de 70 % de réussite.
La partie théorique de la question III.A est en général bien traitée, avec environ 80 % des copies.
Les questions plus mathématiques de la partie IV.B.1 sont dans l'ensemble bien traitées, à l'exception de sa dernière sous-question.
Conseils du jury
Lire tout l'énoncé avec soin avant de commencer à résoudre, ce qui permet d'éviter de nombreuses erreurs grossières.
Justifier systématiquement les résultats donnés (dimension d'un paramètre, valeur d'un exposant) plutôt que de les affirmer sans démonstration.
Commenter les résultats numériques, en particulier lorsqu'ils sont manifestement aberrants et que l'énoncé le réclame explicitement.
Connaître et savoir utiliser le concept de dérivée particulaire pour changer de référentiel dans un problème de mécanique des fluides.
Distinguer clairement l'approximation de l'optique géométrique des conditions de Gauss.
S'entraîner à l'interprétation physique des résultats, pas seulement à leur calcul, pour ne pas se limiter à des réponses purement techniques.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
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Après avoir introduit le modèle de Saint-Venant (partie I), le problème étudie la crue d'une rivière (partie II), l'apparition d'irrégularités à la surface des rivières rapides (partie III) et l'importance étonnamment élevée des marées dans certaines géométries (partie IV). Dans la partie I seules les équations données en I.F et les résultats à établir en I.E. 2 sont utiles pour la suite. Les parties II, III, IV.A, et IV.B sont indépendantes entre-elles.
On rappelle que dans le référentiel terrestre, la force d'inertie d'entraînement due à la rotation de la Terre sur elle-même est incluse dans le poids. Dans tout le problème on suppose que le champ de pesanteur est uniforme avec g = 10 m ⋅ s^(− 2) et on néglige la force d'inertie de Coriolis.
Partie I - Modèle de Saint-Venant
Soit ( Oxyz ) un repère du référentiel terrestre dont l'axe Ox est la ligne de plus grande pente sur un plan incliné d'angle α (figure 1 ci-contre) : α est suffisamment faible pour qu'on limite les calculs à l'ordre un en α; dans ces conditions le champ de pesanteur s'écrit g⃗ = gαu_x^(→−) − gu_z^(→−). On étudie l'écoulement d'eau dans un canal ou une rivière rectiligne d'axe Ox dont le fond plat est
confondu avec le plan d'équation z = 0. L'écoulement est décrit par la masse volumique μ supposée constante, par le champ de pression p(x, z, t), par la hauteur d'eau h(x, t) et par le champ des vitesses qu'on suppose approximativement de la forme v⃗(x, t) = v(x, t)u_x^(→−). L'écoulement est invariant dans la direction Oy et la largeur du canal dans cette direction vaut L.
I.A - Bilan de masse
On se propose de faire un bilan de masse entre les instants t et t + dt pour le système ouvert ( S ) constitué à chaque instant de l'eau comprise entre les plans fixes d'abscisses x et x + dx (figure 2). On limite les calculs à l'ordre un en dx et dt.
I.A.1) Exprimer la masse δ^2 m_x qui entre algébriquement dans ( S ) entre les instants t et t + dt par le plan d'abscisse x.
Filière PC
I.A.2) Exprimer la masse δ^2 m_(x + dx) qui entre algébriquement dans ( S ) entre les instants t et t + dt par le plan d'abscisse x + dx.
I.A.3) En déduire la masse δ^2 m qui entre algébriquement dans ( S ) entre les instants t et t + dt en fonction de μ, L, dx, dt et de ∂(hv)/∂x.
I.A.4) Exprimer la variation d^2 m de la masse de ( S ) entre les instants t et t + dt. En déduire l'équation-bilan :
(∂h)/(∂t) + (∂(hv))/(∂x) = 0
I.B - Résultante des forces de pression et de pesanteur
I.B.1) En projetant l'équation d'Euler sur Oz, et en exploitant la condition aux limites p(x, z = h(x, t), t) = p_0, établir l'expression de la pression p(x, z, t) en fonction de p_0, z, h(x, t), μ et g.
I.B.2) En déduire l'expression de la composante selon Ox de la résultante des forces de pression et de pesanteur sur le système ( S ) en fonction de μ, g, L, dx, α, h(x, t) et ∂h/∂x.
I.C - Bilan de quantité de mouvement
On associe au système ouvert (S) constitué à chaque instant de l'eau comprise entre les plans fixes d'abscisses x et x + dx (figure 2 ci-contre), le système fermé ( S^∗ ) constitué à l'instant t de ( S ) et de la masse δ^2 m_x qui va entrer dans ( S ) entre les instants t et t + dt. À l'instant t + dt, (S^∗) est constitué de (S) et de la masse δ^2 m_(x + dx) qui est sortie de ( S ) entre les instants t et t + dt. On se
propose de faire un bilan de quantité de mouvement pour ( S^∗ ) en limitant les calculs à l'ordre un en dx et dt.
I.C.1) Exprimer la quantité de mouvement P^∗(t) du système ( S^∗ ) à l'instant t en fonction de μ, L, dx, dt, h(x, t) et v(x, t).
I.C.2) Exprimer la quantité de mouvement P^∗(t + dt) du système ( S^∗ ) à l'instant t + dt en fonction de μ, L, dx, dt, h(x, t + dt), h(x + dx, t), v(x, t + dt) et v(x + dx, t).
I.C.3) En déduire l'expression de la variation de quantité de mouvement de ( S^∗ ) en fonction de μ, L, dx, dt, ∂(hv)/∂t et ∂(hv^2)/∂x.
I.D - Équation du mouvement
Dans toute la suite on admet que le théorème de la résultante dynamique appliqué au système fermé ( S^∗ ) défini en I.C - s'écrit en projection sur Ox :
où le terme − μfv/h décrit de manière phénoménologique la contribution des forces de viscosité au sein du fluide.
I.D.1) Vérifier sur l'équation (2) les résultats des questions I.B. 2 et I.C.3.
I.D.2) Quelle est la dimension du coefficient numérique constant f ? À quelle grandeur physique peut-on intuitivement identifier f ? En réalité, f est nettement supérieur à la valeur attendue, car il prend en compte la rugosité du fond qui rend l'écoulement localement turbulent. On admettra aussi dans la suite qu'on peut conserver la condition aux limites d'un écoulement parfait sur le fond plan d'équation z = 0.
I.E - Régime permanent
I.E.1) Rechercher les solutions v(x, t) = v_0 et h(x, t) = h_0 uniformes et stationnaires. Exprimer v_0 en fonction de f, α, g et h_0.
I.E.2) Application numérique. Calculer f pour la rivière Ohio sachant que α = 10^(− 4)rad, h_0 = 6 m et v_0 = 1 m ⋅ s^(− 1).
I.F - Petits mouvements au voisinage
Dans la suite on pose v(x, t) = v_0 + u(x, t) et h(x, t) = h_0 + ε(x, t) et on limite les calculs à l'ordre un en ε(x, t), u(x, t) et leurs dérivées partielles successives. Montrer que l'équation (1) devient :
(∂ε)/(∂t) + h_0(∂u)/(∂x) + v_0(∂ε)/(∂x) = 0
On admettra par ailleurs sans justification que l'équation (2) devient :
Mêmes linéarisées, les équations (3) et (4) restent lourdes à résoudre. On fait donc l'approximation supplémentaire consistant à négliger les quatre termes situés dans le membre gauche de l'équation (4) (termes inertiels).
II.A.1) Montrer que ε(x, t) est alors solution de l'équation :
II.A.2) On se place dans le référentiel ( R^′ ) = ( O^′, x^′, y^′, z^′ ) tel que x^′ = x − 3v_0 t, y^′ = y et z^′ = z. Dans ( R^′ ), l'équation d'onde s'écrit :
(∂ε)/(∂t) = (h_0 v_0)/α(∂^2 ε)/(∂x^(′2))
Justifier brièvement ce résultat.
(On pourra par exemple exploiter le concept de dérivée particulaire).
II.A.3) Citer deux phénomènes pilotés par une équation analogue et indiquer ce qu'est alors l'analogue du coefficient h_0 v_0/α.
II.B - Étude d'une crue
Lors d'une crue, des précipitations violentes mais localisées provoquent une brusque montée des eaux au voisinage de x = 0 à l'instant t = 0. La figure 3 ci-contre donne l'allure de ε(x, t) en fonction de x à un instant t_1 > 0 dans le référentiel ( R ). Dans le référentiel ( R '), la crue est pilotée par l'équation (6) qu'on ne cherchera pas à résoudre, et le profil ε(x^′, t) est pair par rapport à x^′.
II.B.1) Déduire de la figure 3 le graphe de ε(x^′, t) en fonction de x^′ à l'instant t_1. Justifier sommairement que la largeur à mi-hauteur d_(1/2) du graphe de ε(x^′, t) à un instant t est en ordre de grandeur de la forme :
d_(1/2) ≈ ((h_0 v_0 t)/α)^p
où p est un exposant réel dont on donnera la valeur.
II.B.2) En déduire sommairement que le maximum ε_M(t) de la courbe ε(x^′, t) à l'instant t varie proportionnellement à t^q où q est un exposant réel qu'on déterminera.
II.B.3) Tracer sur une même figure l'allure des graphes de ε(x^′, t) dans le référentiel ( R^′ ) aux instants t_1 > 0 et t_2 = 4t_1. En déduire, sur une autre figure, l'allure des graphes de ε(x, t) dans le référentiel ( R ) aux instants t_1 > 0 et t_2 = 4t_1. On fera clairement apparaître sur les graphes l'abscisse x_M du maximum et sa valeur ε_M ainsi que la largeur à mi-hauteur d_(1/2).
II.B.4) En utilisant x_M et d_(1/2), exprimer un ordre de grandeur de l'instant t à partir duquel on peut considérer que «la crue est terminée en x = 0 » (c'est-àdire que le niveau de l'eau est revenu en x = 0 à une valeur proche de sa valeur
d'équilibre ε = 0 ) en fonction de v_0, α et h_0. Application numérique dans le cas de la rivière Ohio ( α = 10^(− 4)rad, h_0 = 6 m et v_0 = 1 m ⋅ s^(− 1) ) puis dans le cas d'une rivière à faible débit comme la Somme ( α = 10^(− 5)rad, h_0 = 6 m et v_0 = 0, 1 m ⋅ s^(− 1) ).
Partie III - Apparition d'irrégularités à la surface
Le traitement approché de la partie II ne rend pas compte du fait que l'écoulement permanent de la question I.E peut être instable lorsqu'il est trop rapide. On observe alors juste au-dessus du seuil d'instabilité des ondulations de la surface libre (rouleaux). Dans cette partie, on revient donc aux équations (3) et (4) complètes. On cherche en notation complexe des solutions de la forme :
avec k réel positif et c a priori complexe. En substituant dans les équations (3) et (4) on obtient un système linéaire homogène et en annulant son déterminant (calculs non demandés) on obtient l'équation suivante dont est solution c :
k((c − v_0)^2 − gh_0) = (jf(3v_0 − c))/(h_0^2)
III.A - Étude théorique
On s'intéresse ici au cas k → 0 et on résout par approximations successives.
III.A.1) Quelle est la valeur c_0 de c lorsque k = 0 ?
III.A.2) En admettant qu'on peut remplacer c par c_0 dans le membre de gauche de l'équation (7), montrer que c est de la forme c = c^′ + jc^(′′) avec c^′ et c^(′′) réels. Exprimer c^′ et c^(′′) en fonction de v_0, g, h_0, f et k. Vérifier que c^(′′) est du signe de 4v_0^2 − gh_0.
III.A.3) À quelle condition sur le nombre de Froude F = v_0^2/gh_0, une petite perturbation initiale peut-elle être amplifiée exponentiellement au cours du temps? Interpréter concrètement cette condition en la faisant apparaître comme un critère traduisant l'importance relative de deux grandeurs physiques simples qu'on précisera. Vérifier qu'une telle instabilité ne peut pas apparaître dans le cas de la rivière Ohio ( h_0 = 6 m et v_0 = 1 m ⋅ s^(− 1) ).
III.A.4) Comment expliquer que le modèle ne rende pas compte du fait qu'en réalité l'amplitude de la perturbation reste bornée?
III.B - Étude expérimentale
Pour tester expérimentalement le modèle, on engendre un écoulement permanent d'huile d'épaisseur h_0 sur un plan incliné d'angle α initialement faible, et on augmente progressivement α. On mesure alors l'angle α_M à partir duquel des ondulations apparaissent spontanément à la surface de l'huile pour différentes valeurs de h_0.
Le graphe de α_M en fonction de h_0 est donné sur la figure 4 en échelle log-log.
III.B.1) Déduire de l'expérience que α_M est proportionnel à h_0^r et déterminer la valeur numérique de l'exposant réel r.
III.B.2) Montrer en rassemblant les résultats de I.E - et III.A.3) que le modèle de SaintVenant rend compte de l'expérience.
III.B.3) Pour observer l'apparition des ondulations, on éclaire l'huile transparente à travers le plan incliné transparent avec un collimateur et on observe la lumière sur un écran situé à une distance d du plan incliné (figure 5 ci-contre). On observe alors des bandes dont la luminosité est renforcée au-dessus des bosses de l'huile. Expliquer qualitativement cette observation sachant qu'elle relève de l'optique géométrique. À quelle condition sur les dimensions des ondulations l'approximation de l'optique géométrique
Des bandes lumineuses parallèles à Oy apparaissent sur l'écran en A, B, C c'est-àdire en face des bosses.
est-elle effectivement validée?
Partie IV - Marées dans un canal de bord de mer
IV.A - Force de marées
On se limite dans un premier temps à la contribution du Soleil. De plus, on suppose pour simplifier que le Soleil est situé dans le plan équatorial à une distance d du centre T de la Terre (figure 6).
Dans ces conditions, on rappelle l'expression de la force de marées subie par une masse m située en un point M de la surface de la Terre :
Le rayon terrestre R = TM est exagéré par rapport à la distance Terre-Soleil d = TS
Dans toute la suite, on limite les calculs à l'ordre un en R/d.
IV.A.1) Indiquer en quelques mots l'origine de chacun des deux termes de cette expression.
IV.A.2) Un développement limité à l'ordre un en R/d non demandé donne pour la composante orthoradiale de la force de marées :
F_θ = (3𝒢mM_s Rcosθsinθ)/(d^3)
Vérifier la pertinence de cette expression sur les cas particuliers θ = 0, θ = π et θ = π/2. Il est recommandé dans chacun des cas de s'appuyer sur une figure.
IV.A.3) Si on tient compte de la rotation de la Terre sur elle-même, justifier que F_θ est une fonction périodique et déterminer sa période τ (on négligera l'influence de la translation circulaire de la Terre autour du Soleil).
IV.A.4) En réalité la force de marées due à la Lune est à peu près deux fois plus grande que celle due au Soleil. Expliquer brièvement pourquoi cette observation n'est pas contradictoire avec le fait que le champ gravitationnel créé par la Lune en un point de la Terre est négligeable par rapport au champ gravitationnel créé par le Soleil.
IV.B - Seiche du canal de Bristol
Dans toute la suite, on suppose que α = 0, de telle sorte que v_0 = 0. On envisage un canal commençant en x = 0 et débouchant sur la mer en x = D et on se propose d'interpréter le fait que la marée puisse être nettement plus importante dans le canal qu'en mer (effet de seiche). Pour les applications numériques, on prendra h_0 = 20 m, D = 150 km et f = 10^(− 4), valeurs qui correspondent au canal de Bristol en Grande-Bretagne (on ne s'offusquera pas du fait que la GrandeBretagne n'est pas située à l'équateur).
IV.B.1) Dans un premier modèle, on utilise les équations (3) et (4) en négligeant les frottements ( f = 0 ) et on admet que la marée en mer impose à l'entrée du canal la condition aux limites ε(x = D, t) = ε_0 cosωt avec ε_0 = 0, 3m et ω = 1, 45 ⋅ 10^(− 4)rad ⋅ s^(− 1). D'autre part on admet que l'extrémité du canal impose la condition aux limites (∂ε/∂x)(x = 0, t) = 0. Enfin en éliminant u(x, t) entre (3) et (4) on obtient (calculs non demandés) :
(∂^2 ε)/(∂t^2) − gh_0(∂^2 ε)/(∂x^2) = 0.
a) On cherche une solution sous la forme ε(x, t) = ε_M cos(ωt)cos(kx − ψ). Exprimer k en fonction de ω, g et h_0.
b) Déterminer ψ puis ε_M en fonction de ε_0, ω, g, h_0 et D. En déduire que pour certaines pulsations ω_n qu'on exprimera en fonction des données, ε_M devient infinie.
c) Quel phénomène met-on ainsi en évidence ? Qu'en est-il avec les valeurs effectives de ω, g, h_0 et D ?
d) Retrouver les pulsations ω_n par analogie avec l'expérience de la corde de Melde.
IV.B.2) On admet désormais que la prise en compte de la force des marées dans l'équation (4) puis l'élimination de ε avec l'équation (3) conduit à l'équation d'onde suivante pour la vitesse :
où le terme sin(πx/2D) est un terme phénoménologique introduit de manière artificielle dans le seul but de simplifier les calculs. Le coefficient s ≈ 3 permet par ailleurs de prendre en compte de façon simplifiée l'influence de la Lune en «amplifiant» la contribution du Soleil. Compte tenu des conditions aux limites, on admet qu'il faut chercher une solution de l'équation d'onde de la forme :
u(x, t) = U(t)sin((πx)/(2D))
où U(t) est une fonction du temps.
a) Établir l'équation différentielle dont est solution U(t). Vérifier que le problème est analogue avec la recherche d'un régime forcé de pulsation ω dans un circuit R − L − C série alimenté par un générateur délivrant une tension Ecosωt, pour lequel on rappelle que la tension V(t) aux bornes de C est solution d'une équation différentielle de la forme :
(d^2 V)/(dt^2) + (ω_0)/Q(dV)/(dt) + ω_0^2 V = ω_0^2 Ecos(ωt)
Exprimer la pulsation propre ω_0 et le facteur de qualité Q en fonction de g, h_0, D et f, puis calculer leur valeur numérique.
b) Sachant que le facteur de qualité Q d'un circuit peu amorti est aussi égal près de la résonance au rapport de la tension aux bornes du condensateur à la tension aux bornes du générateur, exprimer la valeur maximale u_M de l'amplitude de la vitesse u(x, t) en fonction de s, Q, R, Ω, ω et ω_0, puis calculer numériquement sa valeur.
c) Déduire de l'équation (3) écrite pour v_0 = 0 l'expression de ε(x, t), puis la valeur numérique de l'amplitude maximale ε_M de la marée dans le canal. Que faut-il penser de la linéarisation des équations de Saint-Venant?
FIN •••
Questions fréquentes
4 questions
Sur quels chapitres porte l'épreuve de physique 2 Centrale PC 2002 ?
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Sur quels chapitres porte l'épreuve de physique 2 Centrale PC 2002 ?
+
Le sujet porte sur le modèle hydrodynamique de Saint-Venant, appliqué à la crue d'une rivière, à l'instabilité d'un écoulement rapide (rouleaux) et aux marées avec l'effet de seiche dans un canal de bord de mer.
Quelle est la moyenne à l'épreuve de physique 2 Centrale PC 2002 ?
+
Le rapport ne communique pas de moyenne ni d'écart-type global, mais donne des taux de réussite par partie : environ 70 % pour la partie I, 35 % pour la partie II, et un échec des trois quarts des candidats sur la partie IV.
Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées à cette épreuve de physique 2 Centrale PC 2002 ?
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Le jury relève un manque récurrent de justification des résultats, un changement de référentiel mal maîtrisé, une confusion entre optique géométrique et conditions de Gauss, et une périodicité des marées mal identifiée par la grande majorité des candidats.
Cette épreuve de physique 2 Centrale PC 2002 est-elle difficile ?
+
Le rapport la juge difficile dans l'ensemble, avec des taux de réussite très contrastés selon les parties, la partie II sur la crue étant qualifiée de très décevante et la partie IV sur les marées ayant fait échouer les trois quarts des candidats.
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