Centrale Physique 2 PC 2004Sujet, corrigé et rapport du jury

L' épreuve est constituée de trois parties indépendantes, ayant en commun l'écoulement d'un fluide en géométrie cylindrique. Dans la partie I, l'écoulement d'air dans un tube cylindrique permet une mesure de la viscosité de l'air. Dans la partie II, on étudie une mesure électromagnétique de la vitesse d'un liquide conducteur dans un tuyau cylindrique isolant. La partie III s'intéresse à l'émission d'ondes acoustiques par un tuyau cylindrique crénelé.

Le montage expérimental est représenté sur la figure 1 . Un récipient de volume V communique avec l'atmosphère (pression P_a = 1, 016 ⋅ 10^5 pascals et température T_a = 288 K ) par un tube cylindrique vertical ( C ) de rayon a et de longueur l muni d'un robinet ( R ). Un tube en « U » contenant du mercure permet de suivre l'évolution de la pression dans le récipient par lecture de deux hauteurs h^′ et h^(′′). On note P (majuscule) la pression dans le récipient et p (minuscule) la pression dans le tube ( C ).
Le robinet ( R ) étant fermé, on remplit avec une pompe (non représentée sur la figure) le récipient jusqu'à ce que la pression y atteigne la valeur P_1 avec 1, 1P_a < P_1 < 1, 5P_a; le récipient est

laissé au repos un moment afin de rétablir l'équilibre thermique avec l'extérieur à la température T_a.
On ouvre alors le robinet ( R ) pendant une durée t puis on le ferme ; un nouvel équilibre est atteint avec une température uniforme T_a dans tout le dispositif et une pression finale P_2 dans le récipient.

On s'intéresse à l'écoulement de l'air dans le tube. L'air est supposé vérifier l'équation d'état des gaz parfait et on note M = 29 g ⋅ mol^(− 1) sa masse molaire ; on suppose la température uniforme dans le tube, égale à T_a. Lécoulement est décrit par un champ de vitesse v⃗ = v(r)u⃗_z avec v(r) indépendant de z et par un champ de pression p(z) indépendant de r. On note n^∗ la densité moléculaire et ρ la masse volumique. On néglige les effets de la pesanteur sur l'écoulement dans le tube.
I.A.1) On se propose d'obtenir un ordre de grandeur de la viscosité dynamique η de l'air à la température T_a.
a) Par analyse dimensionnelle, exprimer la viscosité cinématique v de l'air en fonction du libre parcours moyen l^∗ et de la vitesse quadratique moyenne v^∗ en adoptant, sans justification, la valeur 1/3 pour le facteur multiplicatif sans dimension.
b) Soit M la masse molaire de l'air, R = 8, 314 J ⋅ K^(− 1) ⋅ mol^(− 1) la constante des gaz parfaits, montrer que :

c) On rappelle que dans le modèle des sphères dures, on a n^∗ l^∗ = 1/πd^2 où d = 0, 3 nm est le diamètre des molécules. En déduire une estimation numérique de η. Pour la suite du problème, il est par ailleurs important de noter que η ne dépend pas de la pression ; c'est donc une constante dans tout l'écoulement.
I.A.2) On considère le système fermé constitué du fluide contenu à l'instant t dans le cylindre élémentaire de rayon r entre les cotes z et z + dz (figure 2). On donne l'expression de la résultante des forces de viscosité subies par ce système :

où η est la viscosité dynamique de l'air et où ε = ± 1. Indiquer s'il convient de prendre ε = + 1 ou ε = − 1 en justifiant la réponse qualitativement. Exprimer par ailleurs la résultante des forces de pression sur ce système.

I.A.3) Dans toute la suite, on néglige le terme associé à l'accélération d'une particule de fluide dans l'équation du mouvement. En déduire l'équation locale :

I.A.4) Exprimer v(r) en fonction de dp/dz, η, a, r.
I.A.5) Montrer que le débit volumique D_v à la cote z vaut D_v = − (πa^4)/(8η)(dp)/(dz).
I.A.6) Pour la suite, on note ρ_a la masse volumique et D_(va) le débit volumique en z = l. On fait l'approximation des régimes quasi-stationnaires, de telle sorte que ρ(z)D_v(z) = ρ_a D_(va). Quelle est la signification physique de cette relation?

I.B.1) En utilisant l'équation d'état des gaz parfaits, exprimer la relation (valable aussi bien dans le tube que dans le réservoir) entre la masse volumique, la pression ( p ou P ), la température T_a et la constante r = R/M où M désigne la masse molaire et R la constante des gaz parfaits.
I.B.2) On admet la continuité de la pression à l'entrée du tube soit P = p(z = 0). Déduire des questions précédentes la relation:

I.B.3) Exprimer la variation dℳ/dt de la masse d'air ℳ contenue dans le récipient par unité de temps, en fonction de ρ_a et de D_(va).
I.B.4) Établir une autre expression de dℳ/dt en fonction cette fois du volume V du récipient, de ρ_a, P_a et (dP)/(dt), où P désigne toujours la pression dans le récipient.
I.B.5) Soit t la durée entre l'ouverture et la fermeture du robinet. Soient P_1 et P_2 les pressions initiale et finale dans le récipient. En remarquant que :

montrer que :

I.C.1) Comment mesureriez-vous le volume V du récipient dans votre salle de travaux pratiques?
I.C.2) On donne V = 9646 cm^3, l = 64, 82 cm et a^4 = 1, 767 ⋅ 10^(− 6) cm^4. Le tube manométrique contient du mercure de masse volumique ρ_m = 13, 56 ⋅ 10^3 kg ⋅ m^(− 3) et g = 9, 81 m ⋅ s^(− 2). On pourra utiliser le fait que la pression atmosphérique P_a correspond à H_a = 76, 36 cm de mercure.
Dans l'état initial (pression P_1 ) on mesure h^′_1 = 36, 26 cm et h^(′′)_1 = 13, 80 cm. Dans l'état final (pression P_2 ) on obtient h^′_2 = 30, 20 cm et h^(′′)_2 = 19, 93 cm. La durée de la fuite est t = 120 s. Calculer λ, K puis η.
I.C.3) On se propose de se faire une idée du nombre de chiffres significatifs qui peuvent être retenus dans la mesure de η compte tenu des incertitudes sur les différentes mesures ( h^′, h^(′′), a… ) en limitant l'étude à l'influence du seul paramètre h^(′′). Reprendre le calcul de η avec la valeur h^(′′)_2 = 19, 96 cm, les autres valeurs étant inchangées. En déduire un affichage cohérent de la mesure de η.

On considère l'écoulement d'un liquide légèrement conducteur (par exemple du sang) dans un tuyau cylindrique isolant de rayon a (cf. figure 3). On impose un champ magnétique uniforme B⃗ = B_0 e_x^(→−). On se place en régime stationnaire. Dans un premier temps on se place en coordonnées cartésiennes et on suppose que le champ des vitesses de l'écoulement réel est donné par: v⃗ = k(a^2 − x^2 − y^2)e_z→ où k est une constante donnée.

II.A.1) On définit la vitesse moyenne v_m du
liquide comme la vitesse d'un écoulement uniforme fictif qui donnerait le même débit volumique à travers une section du tube que l'écoulement réel. Exprimer v_m en fonction de k et a.
II.A.2) On rappelle la loi d'Ohm locale donnant le vecteur densité de courant j⃗ en fonction du potentiel électrique V, de la conductivité γ du liquide, de la vitesse v⃗ du liquide et du champ magnétique B⃗ : j⃗ = γ(− grad^(→−)V + v⃗ ∧ B⃗). Quel phénomène physique décrit le terme v⃗ ∧ B⃗ ?
II.A.3) Montrer que : rot^(→−)j⃗ = − 2γB_0 kxe_z→.
II.A.4) Rappeler sans démonstration l'équation locale de conservation de la charge. En déduire qu'on peut chercher la densité de courants sous la forme j⃗ = rot^(→−)ψ⃗.
II.A.5) On rappelle que rot^(→−)(rot^(→−)a⃗) = grad^(→−)(diva⃗) − Δ⃗a⃗. Dans la suite on cherche ψ⃗ de la forme ψ⃗ = ψ(M)e_z→ où ψ(M) ne dépend pas de la cote z du point M. En déduire que :

II.A.6) Dans toute la suite, on se place en coordonnées cylindriques (r, θ, z) d'axe Oz on en utilise le trièdre local ( e_r→, e_θ→, e_z→ ) associé. On admet que la solution de l'équation (1) est de la forme :

où C est une constante. On rappelle que rot^(→−)(ψe_z) = grad^(→−)ψ ∧ e⃗_z. Exprimer les composantes j_r et j_θ de j⃗ en fonction de C, B_0, k, r et θ.
II.A.7) Quelle est la condition aux limites sur j⃗ à la surface du tuyau isolant? En déduire la valeur de la constante C en fonction de k, γ, B_0 et a puis les expressions de j_r et j_θ en fonction de B_0, k, r, a et θ.
II.A.8) En utilisant les expressions de j_r et j_θ, déterminer l'équation différentielle des lignes de courants. Vérifier que ce sont des courbes ψ(r, θ) = constante Tracer l'allure de quelques lignes de courants.

II.B.1) Montrer que

II.B.2) On place un voltmètre entre les points A(x = 0, y = − a) et B(x = 0, y = a). Exprimer V_A − V_B en fonction de k, B_0 et a.
II.B.3) En déduire l'expression de V_A − V_B en fonction de B_0, a et de v_m définie en II.A.1. Calculer v_m pour a = 5 mm et B_0 = 0, 95 T sachant que V_A − V_B = − 2, 0mV.
II.B.4) Citer (sans aucun détail) une autre méthode de mesure de la vitesse d'un fluide.

Dans ce qui précède on a supposé que le champ magnétique B⃗ effectivement perçu au sein du fluide est le champ B_0 e_x^(→−) créé par les sources extérieures de courant, supposées constantes, ce qui n'est qu'une approximation car les courants j⃗ induits calculés dans la partie II.A créent un champ qu'on notera B^∗^(→−).
II.C.1) Le tube étant supposé infiniment long selon e_z→, justifier que le champ magnétique induit est de la forme B^∗^(→−) = B^∗(r, θ)e_z→ avec B^∗(r, θ) indépendant de z.
II.C.2) Quelles sont les deux équations locales dont est solution le champ B^∗^(→−) ? Vérifier que B^∗^(→−) = μ_0 ψe_z→ est solution de ces équations pour r ≤ a. On admettra qu'il s'agit bien de la solution.
II.C.3) En exploitant l'expression de k en fonction de a et v_m établie en II.A.1, en déduire un critère pour que B^∗_«B_0. Vérifier l'homogénéité de ce critère (on pourra par exemple faire référence à l'expression de l'épaisseur de peau). Dans le cas du sang ( γ = 10Ω^(− 1) ⋅ m^(− 1) ) ce critère est-il vérifié pour les valeurs numériques de la question II.B. 3 ?

On considère le tuyau crénelé souple représenté en coupe sur la figure 4 et caractérisé par la période des créneaux d et les sections S_1 et S_2. Lorsqu'on place le tuyau crénelé face à un écoulement d'air de vitesse v_0 il «chante»: on entend un son sinusoïdal dont la fréquence dépend de v_0 et de d.

Pour engendrer l'écoulement dans le tuyau crénelé, la notice d'un jouet fonctionnant sur ce principe incite non pas à souffler dans le tube mais à le faire tournoyer autour de sa tête. On modélise ceci en supposant le tube coudé et mis en rotation à vitesse angulaire ω constante autour d'un axe fixe

Oz dans une configuration telle que celle représentée sur la figure 5. La partie verticale du tuyau est caractérisée par une hauteur h négligeable devant la longueur l de la partie horizontale. On se propose d'interpréter cette observation.
On étudie l'écoulement dans le référentiel tournant (R) = (Oxyz) dont Ox est l'axe horizontal du tuyau et dont Oz est la verticale ascendante et la direction du vecteur-rotation. (R_0) = (Ox_0 y_0 z) est le référentiel galiléen du laboratoire. L'écoulement est supposé stationnaire dans ( R ), incompressible et homogène de masse volumique ρ_0. On note v_0(M) le module du champ des vitesses dans ( R ) et p(M) la pression en M dans le tuyau. On néglige l'influence de la pesanteur et on suppose pour simplifier le tuyau lisse, de section S constante.
III.A.1) Expliciter les forces d'inertie volumiques subies par une particule de fluide située à la distance x de l'axe, en fonction de ρ_0, ω, v_0(x) et x.
III.A.2) On néglige les forces volumiques de viscosité et de pesanteur. Montrer que :

est une constante sur la ligne de courant dont on suppose l'existence, notée ( L ) sur la figure, et confondue avec l'axe du tuyau dans sa partie horizontale ou verticale.
III.A.3) Soit A un point sur la ligne de courant ( L ) situé sur l'axe Oz à l'extérieur du tuyau, tel que p(A) = p_0 et v_0(A) ≈ 0. Soit B le point situé à l'extrémité x = l du tuyau. On admet que p(B) = p_0 et on note v_0(x = l) = v_0(B) = v_0. Exprimer la vitesse v_0 en fonction de ω et l.
III.A.4) Déterminer v_0(x) et p(x) en un point quelconque de la partie horizontale du tuyau en fonction de p_0, ω, x et l. Tracer l'allure du graphe de p(x).

Dans toute la suite, on suppose pour simplifier que le tuyau est rectiligne et fixe dans le référentiel galiléen (R) = (Oxyz) dont Ox est l'axe du tuyau, le courant d'air de vitesse v_0 e⃗_x étant imposé en soufflant dans le tuyau (et non plus en le coudant et en le faisant tourner).

III.B.1) On admet que la surpression s'annule aux extrémités x = 0 et x = l du tuyau. Donner les expressions des fréquences propres f_n d'un tuyau lisse en fonction de l, de la célérité du son c et d'un entier n. Sans chercher à expliciter la surpression, rappeler l'allure de son graphe en fonction de x pour les deux premiers modes propres n = 1 et n = 2. Dans la suite de la partie III.B, on suppose que les fréquences émises par un tuyau crénelé sont les mêmes que celles d'un tuyau lisse. Cette approximation sera confrontée à l'expérience dans la question III.B. 4 et on s'en affranchira dans la partie III.C.
III.B.2) Pour un tuyau crénelé donné, plus la vitesse moyenne v_0 de l'air est élevée, plus le son entendu est de fréquence élevée. Pour interpréter ce fait, on suppose qu'une harmonique de fréquence f se fait entendre si la fréquence avec laquelle une particule d'air en mouvement dans le tuyau crénelé rencontre les créneaux correspond à f. En déduire une relation entre f, d et v_0.
III.B.3) Cependant, on observe que certaines fréquences basses ne se font pas entendre. Pour interpréter ce fait on suppose qu'une condition nécessaire d'émission du son est que l'écoulement soit turbulent.
a) Interpréter sommairement cette hypothèse en indiquant comment se manifeste concrètement le caractère turbulent de l'écoulement.
b) On note v = 1, 5 ⋅ 10^(− 5) m^2 s^(− 1) la viscosité cinématique de l'air. Exprimer en fonction de f, v et d le nombre de Reynolds Re de l'écoulement et justifier l'existence d'une fréquence minimale f_m.
III.B.4) La fréquence minimale émise par un tuyau tel que d = 7 mm et l = 1, 82 m vaut f_m = 270 Hz.
a) Calculer Re et conclure.
b) Quel est l'ordre de grandeur de la célérité du son dans l'air à température ambiante ? En déduire le numéro probable n de l'harmonique du tuyau correspondant à f_m.
c) Justifier l'approximation «forces de viscosité négligeables» de la question III.A. 2 en évaluant en ordre de grandeur le rapport du terme négligé sur le terme associé à l'accélération dans l'équation du mouvement. Ces forces de viscosité continueront à être négligées dans la suite.

Le tuyau crénelé est désormais modélisé comme une mise en série de N cellules identiques représentées par la figure 4. Le tuyau est compris entre x = − d et x = Nd et la dernière cellule est centrée en x = (N − 1)d.
III.C.1) On décrit dans cette question la propagation de l'onde acoustique dans une partie du tuyau de section S constante par le champ des vitesses v⃗(x, t) = (v_0 + v_1(x, t))e⃗_x, par le champ de pression p(x, t) = p_0 + p_1(x, t), par le champ de masse volumique ρ(x, t) = ρ_0 + ρ_1(x, t) et par le débit volumique Q(x, t) = Q_0 + Q_1(x, t); v_0 est la vitesse du courant d'air imposé et Q_0 le débit volumique associé. On limite les calculs à l'ordre un pour les termes portant l'indice 1.
a) Écrire l'équation d'Euler en projection selon e⃗_x. À quelle condition sur v_0 et c (célérité du son) peut-on négliger le terme d'accélération convective devant le terme d'accélération locale, ce qu'on fait dans la suite ?
b) Dans la suite on étudie un régime sinusoïdal et on pose en notation complexe :

Exprimer Q_–_1(x) en fonction de la section S du tuyau, de ρ_0, ω et de dp_–_1/dx.
III.C.2) On étudie la cellule numéro [0] : pour |x| < d/4 le tuyau a pour section S_2 et pour x > d/4 ou x < − d/4 la section est S_1 avec

Un onde incidente plane progressive monochromatique arrive de x < − d/4. On cherche alors les surpressions dans la cellule [0] sous la forme suivante : ( A_–, B_–, C_–, D_–, E_–, F_– complexes)

a) Justifier rapidement la légitimité du choix de ces expressions et exprimer Q_–_1(x) dans les trois domaines en fonction de S_1, S_2, ρ_0, A_–, B_–, C_–, D_–, E_–, F_–, k, ω et x.
b) On admet la continuité du débit volumique et de la pression en x = − d/4 et x = d/4. En déduire quatre équations reliant A_–, B_–, C_–, D_–, E_–, F_–, k, d, S_1 et
S_2. Une élimination non demandée entre ces quatre équations conduit aux deux relations suivantes où ( )* désigne le conjugué de ( ) :

avec r = (cos(kd/2) − iε_+sin(kd/2))exp(ikd/2) et s = iε_−sin(kd/2).
III.C.3) On étudie désormais l'association des N blocs. On note la surpression avant le n^(ième) motif : p_–_n(x) = A_–_n exp(ikx − inkd) + B_–_n exp(− ikx + inkd).
a) Montrer que :

On peut donc relier les coefficients A_–_N, B_–_N après le (N − 1)^(ième) (et dernier) motif et les coefficients ( A_–_0, B_–_0 ) caractérisant la surpression avant le premier motif :

b) Pour calculer (M)^N, on peut utiliser la relation (M)^2 − 2ξ(M) + (I) = (0) issue du théorème de Cayley-Hamilton ; 2ξ représente la trace de la matrice ( M ) et ( I ) la matrice identité. On en déduit aisément (non demandé) la relation :

où les U_m(ξ) sont les polynômes de Chebycheff de seconde espèce définis par la relation de récurrence :

Dans le langage de programmation de votre choix (que vous indiquerez) écrire un programme permettant de calculer les polynômes U_m(ξ) pour 2 ≤ m ≤ 260. Citer sans aucun détail une autre méthode de calcul de la puissance N^(ième) d'une matrice.
III.C.4) La surpression doit s'annuler en x = − d et en x = Nd. En déduire deux relations linéaires (4) entre A_–_0 et B_–_0, et (5) entre A_–_N et B_–_N. Les relations (2) et (3) imposent deux autres relations linéaires (6) et (7) entre A_–_0, B_–_0, A_–_N et B_–_N mettant en jeu les polynômes U_m(ξ) qu'on ne demande pas d'écrire. La condition de compatibilité des relations (4), (5), (6) et (7) fait alors apparaître deux familles de solutions pour k (calculs non demandés).
III.C.5) Une première famille de solutions correspond à la condition sin(kd/2) = 0. Où se trouvent pour ces solutions les noeuds de surpression? Pour d = 7 mm calculer les fréquences correspondantes. Sont elles audibles?
III.C.6) La deuxième famille de solutions est telle que :