Centrale Mathématiques 2 PC 2004Sujet, corrigé et rapport du jury

Dans tout le problème, P désigne le plan affine euclidien ℝ^2 muni de son produit scalaire canonique, de son repère orthonormé canonique ( O; i⃗, j⃗ ) de son orientation canonique et de son repère polaire canonique.

On appellera conique toute partie 𝒞 (vide ou non) de P ayant une équation de la forme

où A, B, C, D, E, F sont six réels, avec en outre A, B, C non tous nuls.
À tout (A, B, C, D, E, F), élément de ℝ^6 tel que A, B, C non tous nuls correspond ainsi une conique 𝒞, que l'on pourra noter 𝒞_((A, B, C, D, E, F)).

Le but du problème est notamment l'étude de l'ensemble des points communs à certains ensembles de coniques.

I.1) Montrer que les fonctions θ ↦ cos2θ; θ ↦ sin2θ; θ ↦ cosθ; θ ↦ sinθ; θ ↦ 1 de ℝ vers ℝ forment une famille libre dans l'espace des fonctions numériques définies sur ℝ.
I.2) Soit un cercle quelconque du plan P, que l'on supposera de rayon ρ > 0. Montrer que si le cercle est inclus dans la conique 𝒞_((A, B, C, D, E, F)), alors A = C et B = 0. Réciproquement, que peut-on dire d'une conique 𝒞_((A, 0, A, D, E, F)) ?

On note P^′ = P∖{Oy} le plan P privé de l'axe des ordonnées. On note M_0 un point de coordonnées ( X_0, Y_0 ) appartenant à P^′.
Soit ℰ_1 l'ensemble des coniques 𝒞_((A, B, C, D, E, F)) satisfaisant aux quatre conditions :

II.A.1) Montrer que le seul élément, noté (𝒞_1), de ℰ_1 qui soit un cercle a pour équation x_0(X^2 + Y^2) − (x_0^2 + y_0^2)X = 0.
Montrer que ( 𝒞_1 ) est tangent à l'axe Oy et indiquer une construction géométrique de son centre.
II.A.2) Montrer qu'il existe un seul élément, noté ( 𝒞_2 ) , de ℰ_1 qui ait une équation de la forme BXY + CX = 0. En indiquer une caractérisation géométrique.
II.A.3) Déterminer (𝒞_1) ∩ (𝒞_2). En discuter le nombre d'éléments. En déduire l'ensemble des points communs à tous les éléments de ℰ_1.
II.B - On appelle φ l'application de P^′ dans P qui, au point M de coordonnées polaires (ρ, θ), tel que ρ ≠ 0 et que pour tout entier relatif k, θ ≠ (2k + 1)π/2, associe M^′ de coordonnées polaires (ρtanθ, π/2 − θ).
II.B.1) Montrer que cette définition de φ(M) est cohérente, c'est-à-dire qu'elle ne dépend pas du choix de ( ρ, θ ) parmi les coordonnées polaires possibles du point M. Montrer que φ(M_0) appartient à toutes les coniques de ℰ_1. En déduire une construction géométrique de φ(M_0) à l'aide d'un cercle et d'une droite.
II.B.2) Pour M ∈ P^′, quand a-t-on φ(M) ∈ P^′ ? Que dire alors de φ ∘ φ(M) ?
II.B.3) On appelle γ la courbe d'équation polaire

Reconnaître γ; déterminer une représentation polaire de la courbe γ^′ = φ(γ); étudier et tracer cette courbe, avec justifications.
II.C - Dans cette question, M_0(x_0, y_0) est un point de P^′ tel que |x_0| ≠ |y_0| et on lui associe M_0^′ = φ(M_0) comme ci-dessus.
II.C.1)
a) Montrer que, quel que soit le couple λ, μ de réels non tous nuls, il existe un unique réel v, que l'on calculera, tel que la conique ( 𝒞_(λ, μ) ) d'équation λ(X^2 + Y^2) + 2μXY + vX = 0 appartienne à ℰ_1.
b) Lorsque |λ| ≠ |μ|, montrer que ( 𝒞_(λ, μ) ) a un centre Ω_(λ, μ) dont on déterminera les coordonnées. [Pour ce faire, il est possible d'effectuer une translation arbitraire de l'origine du repère puis de faire en sorte que la nouvelle origine devienne centre de symétrie de la conique ( 𝒞_(λ, μ) ).]
II.C.2) Le point M_0 restant fixé, montrer que tous les points Ω_(λ, μ) (où |λ| ≠ |μ| ) appartiennent à la conique Γ d'équation

En déterminer le genre, le centre, les sommets et les axes.
II.C.3) Déterminer les intersections de Γ avec les droites Ox, Oy, OM_0, OM_0^′ et M_0 M_0^′. On trouvera en général six points en tout, pour lesquels le centre de Γ joue un rôle particulier que l'on mettra en évidence.
II.C.4) Faire une figure d'ensemble.
II.C.5) Étudier et représenter (𝒞_(1, 1)) et (𝒞_(1, − 1)). On réalisera la figure en prenant x_0 = 2, y_0 = 1. Que remarque-t-on quant à leurs axes?

On identifiera pour la suite du problème les espaces vectoriels euclidiens canoniques R^2 et C. On désignera par i le complexe de module 1 et d'argument π/2.

On admet que le déterminant de Vandermonde

en les complexes z_1, z_2, z_3, z_4 est nul si, et seulement si, deux au moins des z_i sont égaux.
Dans cette partie et la suivante, on étudie un problème analogue à celui de la première, mais par une méthode sensiblement différente.
III.A - On s'intéresse à l'ensemble ℰ_2 des parties de ℝ^2 ayant une équation de la forme Az¯z + B(z^2 + z¯^2) + C¯z + Cz¯ + D = 0 où les réels A, B, D et le complexe C ne sont pas tous les quatre nuls, et qui contiennent trois points M_1, M_2, M_3 non alignés donnés, d'affixes respectifs z_1, z_2, z_3.
III.A.1) Vérifier que les éléments ℰ_2 sont bien des coniques et donner une propriété commune de leurs axes.
III.A.2) Pour z_4 donné dans ℂ, on définit les matrices

a) Établir que la matrice ℳ~ est inversible. Quelle conclusion peut-on en tirer quant au rang de ℳ ?
b) On définit le ℝ-espace vectoriel E = ℝ × ℝ × ℂ × ℝ. En donner la dimension. Montrer que

est un sous-espace vectoriel de E et en donner la dimension.
c) Montrer que le point M_4 d'affixe z_4 appartient à toutes les coniques éléments de ℰ_2 si, et seulement si, le rang de ℳ est égal à 3 . [Pour la condition nécessaire, on pourra faire intervenir un système linéaire bien choisi.]
III.B - On suppose dans cette question que les complexes z_1, z_2, z_3 sont égaux respectivement à aexp(iθ_1), aexp(iθ_2) et aexp(iθ_3), où a > 0 et θ_1, θ_2, θ_3 sont des réels.
III.B.1) Montrer qu'il existe un unique cercle dans ℰ_2 et que si le point M_4 d'affixe z_4 appartient à toutes les coniques éléments de ℰ_2, alors z_4 est de la forme aexp(iθ_4).
III.B.2) Soit le déterminant

Montrer que 𝒟 est de la forme (z_1 z_2 z_3 z_4 − a^4)𝒱, où 𝒱 s'exprime très simplement à l'aide de V(z_1, z_2, z_3, z_4).
III.B.3) Montrer que la condition énoncée en III.A.2-c) est équivalente à la nullité de 𝒟.
III.B.4)
a) En déduire l'ensemble des points communs aux coniques de ℰ_2. Discuter soigneusement le nombre d'éléments de cet ensemble.
b) Lorsque ce nombre est égal à 4 , que peut-on dire des directions des bissectrices du couple de droites ( M_1 M_2, M_3 M_4 ) ?

III.C.1) Généraliser les résultats de III.B. 4 au cas où l'on ne fait plus l'hypothèse III.B. [On montrera comment on peut se ramener à ce cas.]
III.C.2) Soit trois points A, B, C non alignés dans P et (Δ) une droite. Par A, resp ⋅ B, resp ⋅ C, on mène la parallèle à la symétrique de la droite BC, resp ⋅ CA, resp ⋅ AB, par rapport à (Δ). Montrer que ces trois droites concourent. [On pourra commencer par le cas où ( Δ ) est l'axe Ox; dans ce cas, il suffit d'utiliser les résultats de la partie III.]

On considère dans cette partie des équations de la forme

où A ≠ 0 et B sont deux complexes et C un réel.
IV.A -
IV.A.1) Soit θ un réel et Φ l'application de ℂ dans ℂ qui à z associe zexp(iθ). Montrer que, si (Γ) ⊂ P a une équation de la forme (1), alors on peut choisir θ pour que Φ(Γ) ait une équation de la forme

où l'on ait de plus A^′ ∈ ℝ^(+ ^∗).
IV.A.2) En déduire la nature d'une telle partie ( Γ ) de P. [On pourra revenir en coordonnées cartésiennes.]
IV.B - Soit trois points M_1, M_2, M_3 non alignés donnés, d'affixes respectifs z_1, z_2, z_3. On appelle ℰ_3 l'ensemble des coniques de P contenant ces trois points et ayant une équation de la forme (1). Soit M_4 un point de P, d'affixe z_4. Montrer que toutes les coniques de ℰ_3 passent par M_4 si, et seulement si, le rang de la matrice

est égal à une valeur que l'on précisera.
IV.C - Dans cette question, on suppose que de plus z_1, z_2 et z_3 sont de même module a > 0 et ont a^3 pour produit.
IV.C.1) Déterminer deux complexes u et v tels que z_1, z_2 et z_3 soient solutions de Z^3 − uZ^2 + vZ − a^3 = 0.
IV.C.2) En déduire des complexes α, α^′, β, β^′ tels que z_1, z_2 et z_3 soient solutions de

IV.C.3) Grâce à des combinaisons linéaires bien choisies sur les rangées de ℳ^′, montrer que toutes coniques de ℰ_3 passent par M_4 si, et seulement si,

IV.C.4)
a) Montrer qu'il existe un polynôme π(Z) à coefficients complexes, de degré 4 , tel que (2) implique π(z_4) = 0; on donnera d'un tel polynôme les coefficients en Z^4 et en Z^3, en fonction de a, u et v.
b) Déterminer les zéros de π en en discutant la multiplicité. [On remarquera que trois zéros de w sont déjà connus.] On ne demande pas de vérifier qu'inversement tous les complexes obtenus vérifient (2).
IV.C.5) On choisit z_4 = z_1 + z_2 + z_3.
a) Déterminer la valeur du produit scalaire ⟨M_1 M_4^(→−), M_2 M_3^(→−)⟩. [On pourra introduit le produit (z_4 − z_1^–)(z_3 − z_2).]
b) Que représente M_4 pour le triangle M_1 M_2 M_3 ?
IV.D - Généraliser les résultats de IV.C.5-b) au cas où l'on ne fait plus l'hypothèse du IV.C.