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Centrale Mathématiques 2 PC 2003Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Matrices symétriques, matrices définies positives, décomposition de Cholesky et méthode des éléments finis pour une équation différentielle
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Le problème étudie certains aspects de la méthode des éléments finis pour les équations différentielles à travers l'algèbre des matrices symétriques. Il s'ouvre sur une famille de matrices symétriques tridiagonales, puis étudie les matrices définies positives, leur décomposition de Cholesky, le cas particulier des matrices tridiagonales, avant d'appliquer ces outils à une équation différentielle.

  1. 1Partie I : une famille de matrices symétriquesÉtude des éléments propres d'une matrice symétrique tridiagonale An.
  2. 2Partie II : matrices définies positivesCaractérisation des matrices définies positives par leurs valeurs propres et par blocs.
  3. 3Partie III : décomposition des matrices définies positivesDémonstration de l'existence et de l'unicité de la décomposition de Cholesky d'une matrice définie positive.
  4. 4Partie IV : matrices tridiagonalesApplication de la décomposition précédente au cas des matrices tridiagonales.
  5. 5Partie V : solutions approchées d'une équation différentielleApplication de la méthode des éléments finis à la résolution approchée d'une équation différentielle.

Difficulté moyenne. Le rapport indique que les candidats ont généralement pu traiter une grande partie du sujet, malgré de nombreuses erreurs de calcul et une faiblesse récurrente dans les raisonnements par récurrence et la rédaction.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Récurrence traitant ensemble les cas pairs et impairs · Notion de valeur propre floue face aux multiplicités · Déterminant confondu avec la somme des valeurs propres
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La majeure partie du sujet portait sur des questions plutôt faciles concernant les matrices symétriques tridiagonales. Les candidats ont généralement pu traiter une grande partie du problème, mais les erreurs de calcul ont été nombreuses, ainsi qu'une faiblesse déjà relevée les années précédentes au niveau des raisonnements par récurrence et de la rédaction.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Récurrence traitant ensemble les cas pairs et impairsI.A.4

    Cette approche s'est révélée être une mauvaise stratégie pour établir le résultat demandé.

    « sʼest avéré une mauvaise idée. »
  2. 2
    Notion de valeur propre floue face aux multiplicitésI.B.4

    Cette imprécision, comparable à celle sur la notion de racine d'un polynôme, se manifeste dès que la question des multiplicités se pose.

    « semble souvent floue dès que se pose la ques- »
  3. 3
    Déterminant confondu avec la somme des valeurs propresII.B

    Le déterminant est en réalité le produit, avec multiplicités, des valeurs propres, et non leur somme.

    « Le déterminant est le «produit» (avec multiplicités...) des valeurs propres, non la somme. »
  4. 4
    Notion de matrice définie positive mal compriseII.D.1

    Cette question, souvent mal traitée, révèle une incompréhension de la définition même d'une matrice définie positive.

    « les candidats ne comprennent pas bien ce quʼest une matrice définie positive. »
  5. 5
    Unicité de la décomposition oubliéePartie III

    La propriété à démontrer comportait l'unicité de la matrice L, ce qui a été oublié la plupart du temps.

    « Cela a été oublié la plupart du temps. »
  6. 6
    Solutions de u'' - ω²u = 0 décrites à tort comme trigonométriquesV.B.1

    Cette confusion entre solutions trigonométriques et solutions exponentielles ou hyperboliques est fréquente.

    « sont souvent décrites comme des fonctions trigonométriques... »

Conseils du jury

  • Éviter de mélanger dans une même récurrence des cas de parité différents lorsque cela complique inutilement le raisonnement.
  • Bien distinguer la notion de valeur propre de celle de racine d'un polynôme caractéristique, en particulier pour les multiplicités.
  • Vérifier systématiquement que toutes les composantes d'une propriété à démontrer, y compris l'unicité, ont bien été traitées.
  • Maîtriser les produits de matrices par blocs, outil essentiel dans ce type de démonstration.
  • Adapter la forme des solutions d'une équation différentielle linéaire au signe du coefficient en jeu (trigonométrique ou exponentielle).

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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MATHÉMATIQUES II

Dans ce problème, nous étudions les propriétés de certaines classes de matrices carrées à coefficients réels et certains systèmes linéaires de la forme Ax = b d'inconnue x ∈ ℝ^n, A étant une matrice à coefficients réels, b un vecteur de ℝ^n. Cette étude fait l'objet des parties I à IV, et les matrices A considérées ont la particularité d'avoir beaucoup de termes nuls. Au cours de la dernière partie, on montre comment la recherche de solutions approchées d'une équation différentielle peut conduire à de tels systèmes linéaires.

Dépendance entre les questions

On peut aborder les parties II à V sans avoir traité entièrement la partie I. Le préambule de la partie III reprend les résultats de la partie II qui sont nécessaires pour la traiter. Les résultats des premières questions de la partie III servent dans la partie IV. Le début de la partie V peut être abordé directement.

Notations du problème

Dans tout le problème n désigne un entier supérieur ou égal à 2 et I_n désigne la matrice unité d'ordre n. Si M est une matrice (carrée ou non), ^t M désigne la matrice transposée de M. On identifie un vecteur x ∈ ℝ^n et la matrice à n lignes et 1 colonne,
x = [x_1; x_2; ⋮; x_n]
et ^t x désigne alors la matrice à 1 ligne et n colonnes : ^t x = [x_1, x_2, …, x_n];
  • e_k est l'élément de ℝ^n dont tous les coefficients sont nuls sauf le k-ième, égal à 1 ;
  • S_n(ℝ) est l'espace vectoriel des matrices carrées symétriques, à coefficients réels, d'ordre n (c'est-à-dire à n lignes et n colonnes);
  • O_n(ℝ) est le groupe des matrices orthogonales d'ordre n.

Filière PC

Partie I - Une famille de matrices symétriques

Soient n un entier naturel tel que n ≥ 2, et α un réel strictement positif. On considère dans cette partie les matrices carrées A_n = (a_(i, j)) d'ordre n, telles que, pour 1 ≤ i, j ≤ n,
{a_(i, i) = 1; a_(i, j) = − α, si |i − j| = 1; a_(i, j) = 0, dans les autres cas.
Ainsi, pour n prenant respectivement les valeurs 2,3,4:
A_2 = [1, − α; − α, 1], A_3 = [1, − α, 0; − α, 1, − α; 0, − α, 1] A_4 = [1, − α, 0, 0; − α, 1, − α, 0; 0, − α, 1, − α; 0, 0, − α, 1]
On note P_n(X) le polynôme caractéristique de la matrice A_n : P_n(X) = det(A_n − XI_n).

I.A - À propos des éléments propres de A_n

I.A.1) Calculer les polynômes P_2(X) et P_3(X). Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de A_2 et de A_3.
I.A.2) Montrer que P_4(X) = (1 − X)P_3(X) − α^2 P_2(X).
I.A.3) De façon plus générale, exprimer P_(n + 2)(X) en fonction de P_(n + 1)(X) et de P_n(X) pour tout n ≥ 2.
I.A.4) Démontrer que 1 est valeur propre de A_n si et seulement si n est impair.
I.B - On suppose que n est un entier supérieur ou égal à 3 et que x ∈ ℝ^n est un vecteur propre de A_n associé à la valeur propre λ.
I.B.1) Exprimer x_2 en fonction de x_1.
I.B.2) Exprimer x_3 en fonction de x_1 et x_2. En déduire
x_3 = (P_2(λ))/(α^2)x_1.
I.B.3) Donner une relation entre x_(k − 1), x_k et x_(k + 1) lorsque 2 ≤ k ≤ n − 1.
Avec la convention P_1(X) = 1 − X, démontrer que, pour tout k tel que 1 ≤ k ≤ n − 1,
x_(k + 1) = (P_k(λ))/(α^k)x_1.
I.B.4) Montrer que les sous-espaces propres Ker(A_n − λI_n) de la matrice A_n sont des droites vectorielles, puis que A_n admet n valeurs propres deux à deux distinctes.

Partie II - Matrices définies positives

On dit qu'une matrice symétrique A ∈ S_n(ℝ) est définie positive lorsque pour tout x ∈ ℝ^n non nul, ^t_x Ax > 0. On note S_n^(+ +)(ℝ) l'ensemble de ces matrices.
Dans les questions qui suivent, A = (a_(i, j))_(1 ≤ i, j ≤ n), désigne une matrice de S_n^(+ +)(ℝ) et k est un entier tel que 1 ≤ k ≤ n.
II.A - En calculant ^t e_k Ae_k, montrer que a_(k, k) > 0.
II.B - Soit λ une valeur propre de A et x un vecteur propre associé. Calculer ^t xAx et en déduire que λ > 0. Justifier que det(A) > 0.
II.C - On suppose que 1 ≤ k < n et on écrit A sous la forme de blocs
A = [A^′, B; ^t B, A^(′′)], où A^′ ∈ S_k(ℝ)
Préciser la taille des blocs A^′, A^(′′), B, ^t B.
Soit u un élément de ℝ^n tel que u_j = 0 si j > k. En calculant ^t uAu en fonction de A^′ et de u^′ = ^t(u_1, …, u_k), montrer que la sous-matrice A^′ est elle-même symétrique et définie positive.

II.D - Matrices symétriques à valeurs propres strictement positives

II.D.1) Soient M_1 et M_2 deux matrices symétriques d'ordre n. On suppose qu'il existe une matrice orthogonale Q ∈ O_n(ℝ) telle que M_2 = ^t QM_1 Q.
Montrer que M_1 est définie positive si et seulement si M_2 est elle-même définie positive.
II.D.2) Montrer qu'une matrice diagonale d'ordre n, à coefficients réels, est définie positive si et seulement si ses coefficients diagonaux sont tous strictement positifs.
II.D.3) Montrer qu'une matrice M ∈ S_n(ℝ) est définie positive si et seulement si toutes ses valeurs propres sont strictement positives.
II.E - Soit A_n la matrice symétrique définie dans la partie I.
Nous allons montrer que, sous certaines conditions, A_n ∈ S_n^(+ +)(ℝ).
Supposons que x soit un vecteur propre de A_n associé à la valeur propre λ et désignons par i_0 un indice pour lequel sup_(1 ≤ i ≤ n)|x_i| = |x_(i_0)|.
II.E.1) Montrer que si i_0 = 1 ou i_0 = n alors |1 − λ| ≤ α (indication: écrire la ligne 1 ou la ligne n du système A_n x = λx ).
II.E.2) Montrer que si 2 ≤ i_0 ≤ n − 1, alors |1 − λ| ≤ 2α.
II.E.3) En déduire que si α < 1/2, la matrice A_n est définie positive.

Partie III - Décomposition des matrices définies positives

Préambule : On cherche à démontrer dans cette partie la propriété 𝒫 :
Pour toute matrice M ∈ S_n^(+ +)(ℝ), il existe une unique matrice carrée L d'ordre n, triangulaire inférieure et à coefficients diagonaux strictement positifs telle que M = L^t L 。
On pourra utiliser ici les résultats de la partie II, en particulier le fait que, si M ∈ S_n^(+ +)(ℝ),
  • ses termes diagonaux sont strictement positifs ;
  • son déterminant est strictement positif ;
  • les sous-matrices formées des termes d'indices i, j, tels que 1 ≤ i, j ≤ k, où k ≤ n, sont elles-mêmes symétriques et définies positives.
    III.A - Montrer la propriété 𝒫 pour n = 2. En notant
M = [a, b; b, d] et L = [r, 0; s, t],
donner les expressions de r, s, t en fonction de a, b, d.
III.B - On suppose la propriété 𝒫 vraie au rang n − 1 (avec n ≥ 3 ), et on considère une matrice M ∈ S_n^(+ +)(ℝ), que l'on écrira en 4 blocs :
M = [M_1, x; t^t x, m],
où M_1 est une matrice carrée d'ordre n − 1, m un réel et x un vecteur de ℝ^(n − 1), ^t x désignant la ligne transposée de x, à savoir : ^t x = [x_1, x_2, …, x_(n − 1)].
III.B.1) Montrer que M_1 est inversible.
III.B.2) Soient μ > 0, w ∈ ℝ^(n − 1) et L^′ une matrice triangulaire inférieure, d'ordre n − 1, à coefficients diagonaux strictement positifs telle que M_1 = L^(′t)L^′. Montrer que la matrice carrée d'ordre n
L = [L^′, 0; t; w, μ], où 0 désigne le vecteur nul de ℝ^(n − 1),
vérifie M = L^t L si et seulement si :
{L^′ w = x; μ^2 = m − ^t xM_1^(− 1)x
III.B.3) En admettant que
m − ^t xM_1^(− 1)x > 0
montrer que la propriété 𝒫 est vraie au rang n.

III.C - Preuve de (2) et fin de la démonstration

III.C.1)
Soit A = [I_(n − 1), x; t, m] = [1, 0, …, 0, x_1; 0, 1, …, 0, x_2; ⋮, ⋮, ⋱, 0, ⋮; 0, 0, …, 1, x_(n − 1); y_1, y_2, …, y_(n − 1), m], d'ordre n ≥ 3
Calculer det(A) en fonction de m, des x_i et des y_i.
III.C.2) Soit M ∈ S_n^(+ +)(ℝ) une matrice symétrique définie positive que l'on écrit par blocs :
M = [M_1, x; ^t x, m]
a) Calculer le produit de deux matrices :
[I_(n − 1), x; ^t xM_1^(− 1), m] × [M_1, 0; ^t 0, 1]
b) Montrer, par un calcul de déterminants, que M vérifie la relation (2).
III.D - Décrire un algorithme de calcul de la matrice L.

Partie IV - Matrices tridiagonales

IV.A - Soit M = (m_(i, j)) une matrice symétrique définie positive d'ordre n. On suppose que M est de plus tridiagonale, c'est-à-dire qu'elle vérifie m_(i, j) = 0 si |i − j| ≥ 2.
IV.A.1) On suppose n ≥ 3. Soient x ∈ ℝ^(n − 1), tel que x_i = 0 si 1 ≤ i ≤ n − 2, et L^′ = (ℓ_(i, j)), une matrice d'ordre n − 1, triangulaire inférieure dont les termes diagonaux sont non nuls.
Résoudre l'équation L^′ w = x.
IV.A.2) L désigne encore la matrice triangulaire inférieure à coefficients diagonaux strictement positifs, telle que L^t L = M.
Démontrer, en raisonnant par récurrence et en utilisant la question III.B.2), que L est tridiagonale.
IV.B - On reprend les notations de la partie I et on suppose α < 1/2. On note L_n la matrice triangulaire inférieure à coefficients diagonaux strictement positifs telle que A_n = L_n^t L_n.
IV.B.1) Calculer L_2 et L_3.
IV.B.2) On s'intéresse au système linéaire A_n x = b où b ∈ ℝ^n.
a) Montrer qu'il possède une unique solution.
b) Montrer que la résolution de ce système est équivalente à la résolution successive des systèmes L_n y = b et ^t L_n x = y.
c) Dénombrer avec soin les additions, les soustractions, les multiplications et les divisions que nécessite la résolution successive de ces deux systèmes.
Montrer que seules 2(3n − 2) de ces opérations sont nécessaires pour obtenir x.

Partie V - Solutions approchées d'une équation différentielle

V.A - Question préliminaire : approximation d'une dérivée seconde

On pose ℱ = [a, b]. Soit φ : ℱ → ℝ une fonction de classe C^4. On rappelle que pour z et θ tels que z, z + θ ∈ ℱ, on peut écrire la formule de Taylor avec reste intégral sous la forme :
φ(z + θ) = ∑_(k = 0)^3(φ^((k))(z))/(k!)θ^k + ∫_0^θ((θ − t)^3)/(3!)φ^((4))(z + t)dt
On note
M_4 = sup_(x ∈ [a, b])|φ^((4))(x)|
V.A.1) Justifier l'existence de M_4 et donner une majoration de la valeur absolue du reste intégral en fonction de θ et de M_4. On pourra commencer par le cas où θ > 0.
V.A.2) Montrer que si z − θ, z + θ ∈ ℐ,
φ^(′′)(z) = (φ(z + θ) − 2φ(z) + φ(z − θ))/(θ^2) + R_z(θ)
avec
|R_z(θ)| ≤ (M_4 θ^2)/(12)
Dans toute la suite du problème, on se donne ω > 0, deux réels a_0 et a_1, une fonction g sur [0, 1], à valeurs réelles, de classe C^2.
On s'intéresse au problème suivant :
{u^(′′) − ω^2 u = g, sur [0, 1]; u(0) = a_0; u(1) = a_1

V.B -

V.B.1) Donner l'expression générale des solutions de l'équation différentielle
(ℋ) : u^(′′) − ω^2 u = 0.
V.B.2) On note u_0 une solution particulière de l'équation différentielle
(ℰ) : u^(′′) − ω^2 u = g
Donner l'expression générale des solutions de l'équation ( ℰ ). Montrer que le problème (4) admet une solution et une seule.
V.B.3) Montrer que cette solution est de classe C^4.

V.C - On se propose d'approcher la solution du problème (4)

On subdivise l'intervalle [0,1] en considérant les points
t_k = k/(n + 1), k ∈ {0, …, n + 1}
Pour 1 ≤ k ≤ n, on remplace l'équation :
u^(′′)(t_k) − ω^2 u(t_k) = g(t_k)
par l'équation approchée:
(u(t_(k + 1)) − 2u(t_k) + u(t_(k − 1)))/(θ^2) − ω^2 u(t_k) = g(t_k)
dans laquelle :
θ = 1/(n + 1)
On note
x = [x_1; ⋮; x_n] = [u(t_1); ⋮; u(t_n)] ∈ ℝ^n
V.C.1) Montrer que l'on peut choisir un réel α > 0, que l'on exprimera en fonction de θ et de ω, qui permet de réécrire le système formé des n équations (5) sous la forme A_n x = b où A_n est la matrice étudiée dans la partie I et b un vecteur de ℝ^n que l'on précisera.
V.C.2) Montrer que le système linéaire A_n x = b possède une unique solution.
V.C.3) Dans cette question on choisit ω = 4, a_0 = 0, a_1 = 1 et n = 3, et on considère la fonction g définie par
g(t) = 4/(t + 1)
Donner les valeurs numériques de α, A_3, L_3 et b.
Donner les expressions approchées de u(1/4), u(2/4), u(3/4) obtenues en mettant en œuvre la démarche proposée dans les parties IV et V du problème.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet de Mathématiques II Centrale PC 2003 ?
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Sur quoi porte le sujet de Mathématiques II Centrale PC 2003 ?

Le sujet porte sur les matrices symétriques, les matrices définies positives, leur décomposition de Cholesky et une application à la méthode des éléments finis pour une équation différentielle.

Ce sujet de Mathématiques II Centrale PC 2003 est-il difficile ?

Le rapport indique que les candidats ont généralement pu traiter une grande partie du sujet, mais relève de nombreuses erreurs de calcul et une faiblesse dans les raisonnements par récurrence.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet Centrale Maths II PC 2003 ?

Le jury relève une confusion entre le déterminant et la somme des valeurs propres, une notion de matrice définie positive mal comprise, et l'oubli fréquent de l'unicité dans une propriété à démontrer.

Faut-il bien maîtriser les matrices par blocs pour ce sujet Centrale Maths II PC 2003 ?

Oui, le rapport signale que les produits de matrices par blocs, notion importante du sujet, ne sont pas maîtrisés par de nombreux candidats.

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