Physique des bulles et des gouttes : échanges entre deux bulles de savon et phénomène de Leidenfrost
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Ce sujet de physique I, filière PC, comporte deux problèmes indépendants d'importances inégales sur le thème des bulles et des gouttes. Le premier étudie les échanges de matière et de pression entre une grosse et une petite bulle de savon reliées entre elles, puis compare ce comportement à celui de ballons de baudruche. Le second modélise le phénomène de Leidenfrost, la lévitation d'une goutte d'eau au-dessus d'une plaque chauffante, à travers trois modèles de complexité croissante confrontés à l'expérience.
1Partie I : échanges entre une grosse bulle et une petite bulleLoi de Laplace, approche qualitative puis quantitative des échanges entre deux bulles de savon reliées, comparaison avec deux ballons de baudruche.
2Partie II : le phénomène de LeidenfrostÉtude thermodynamique de la lévitation d'une goutte d'eau au-dessus d'une plaque chauffante, à travers trois modèles (A, B, C) confrontés à l'expérience.
Difficulté moyenne. Le jury indique que les dispositifs étudiés et la physique sous-jacente sont simples et les calculs guidés, mais seules 63% des questions abordées ont rapporté des points en moyenne (74% pour le meilleur quart), les interprétations qualitatives étant souvent bâclées.
Ce qu'a observé le jury
6 erreurs relevées
Dispositif de mesure de la loi de Laplace non trouvé · Fausse intuition sur l'échange entre les deux bulles · Potentiel thermodynamique incomplet
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Le jury souligne que ce sujet aux dispositifs et calculs simples valorise surtout la rigueur des raisonnements et la qualité des interprétations qualitatives, trop souvent négligées au profit des parties calculatoires. Le second problème, jugé bien construit, a permis de bien classer les candidats malgré sa longueur.
Les erreurs les plus sanctionnées
1
Dispositif de mesure de la loi de Laplace non trouvéI.A
Pour proposer un manomètre simple mesurant la différence de pression, seul un quart des candidats pense à un tube en U.
2
Fausse intuition sur l'échange entre les deux bullesI.B
La majorité des candidats pense à tort que la petite bulle se vide dans la grosse, ce qui leur coûte des points dans la partie quantitative suivante.
« Les deux tiers des candidats sont persuadés du contraire ! »
3
Potentiel thermodynamique incompletI.C
L'aspect spontané de la décroissance du potentiel thermodynamique est souvent oublié, et seulement 9% des candidats parviennent à interpréter correctement l'instabilité de l'équilibre entre deux bulles de même rayon.
4
Chiffres significatifs non respectésII.C.5
Un résultat numérique ne peut pas comporter plus de chiffres significatifs que la moins précise des données utilisées, ce que la quasi-totalité des candidats ignore.
« un résultat numérique (II.C.5) ne peut posséder plus de chiffres significatifs que la moins précise des données. »
5
Rejet d'un modèle par spéculation plutôt que par l'expérience
Le rejet d'un modèle doit se faire par confrontation avec l'expérience et non par des spéculations théoriques sur des paramètres non pris en compte ; peu de candidats adoptent ce réflexe.
« Seuls 5 % des candidats ont ce réflexe dans le cadre dʼune telle épreuve. »
6
Conditions d'application du théorème de Bernoulli oubliéesII.D
Le caractère parfait de l'écoulement est souvent omis parmi les conditions d'application du théorème de Bernoulli dans le modèle B.
Ce qui a été bien réussi
L'étude thermodynamique de la partie II (II.B) a été la plus abordée et la mieux réussie du problème.
Les bilans sur un système fermé du modèle A sont correctement maîtrisés dans l'ensemble.
La suite des calculs de l'approche quantitative de la partie I a été relativement bien traitée.
Conseils du jury
Ne pas bâcler les interprétations qualitatives avant de se lancer dans les calculs.
Vérifier une intuition physique par un raisonnement quantitatif avant de conclure.
Toujours confronter un modèle à l'expérience pour le valider ou le rejeter, plutôt que de spéculer théoriquement.
Respecter le nombre de chiffres significatifs cohérent avec la précision des données fournies.
Vérifier systématiquement les conditions d'application des théorèmes utilisés, par exemple le caractère parfait d'un écoulement pour Bernoulli.
Soigner la présentation de la copie pour faciliter la compréhension du correcteur.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
Sur le thème de la physique des bulles et des gouttes, l'épreuve est constituée de deux problèmes indépendants d'importances inégales.
Partie I - Échanges entre une grosse bulle et une petite bulle
On considère le dispositif expérimental de la 2) figure 1: deux bulles sphériques d'eau savonneuse de rayons différents sont formées aux extrémités des deux tubes en soufflant, les robinets (1) et (2) étant ouverts et le robinet (3) fermé. Puis on ferme les robinets (1) et (2) et on ouvre le robinet (3) qui met en contact les deux bulles. On se propose d'étudier l'évolution des bulles.
Dans tout le problème on néglige le volume du tube de liaison entre les deux bulles. On étudie des évolutions quasi-statiques: dans chaque bulle on peut définir à chaque instant une température T_1 ou T_2 et une pression p_1 ou p_2 uniformes. Par ailleurs l'atmosphère impose une pression uniforme p_0 à l'extérieur des bulles. L'atmosphère se comporte comme un thermostat à la température T et on suppose l'équilibre thermique atteint à tout instant: T_1 = T_2 = T.
I.A - Loi de Laplace
Le robinet (3) étant fermé, proposer un dispositif simple réalisant un manomètre qui permette de mesurer la différence de pression p_1 − p_0 avec une règle graduée. L'expérience montre que les pressions sont données à l'équilibre par loi de Laplace :
p_1 − p_0 = (4σ)/(r_1) et p_2 − p_0 = (4σ)/(r_2)
où la constante positive σ est appelée coefficient de tension superficielle. Dans toute la suite, on suppose que l'équilibre mécanique entre chaque bulle et l'atmosphère est atteint de telle sorte que les relations (A) sont valables à tout instant.
Filière PC
I.B - Approche qualitative
Préciser, en donnant un argument qualitatif s'appuyant sur les relations (A), l'évolution du système : le rayon des bulles évolue-t-il ? Est-ce la grosse bulle qui se «vide» dans la petite ? Est-ce le contraire?
I.C - Approche quantitative
I.C.1) Rappeler la définition d'un potentiel thermodynamique.
I.C.2) Pour un système fermé, d'énergie interne U, d'entropie S et de volume V, en évolution monotherme (température extérieure T ) et monobare (pression extérieure p_0 ), n'échangeant pas d'autre forme de travail avec l'extérieur que celui des forces de pression, justifier que G^∗ = U − TS + p_0 V est un potentiel thermodynamique.
I.C.3) On néglige le volume d'air contenu dans le tube de liaison entre (1) et (2) et on étudie le système constitué :
d'une part de l'air contenu dans les deux bulles et assimilé à un gaz parfait ; on note, avec i = 1 ou i = 2 selon le compartiment, V_i le volume, r_i le rayon, p_i la pression, N_i le nombre de moles d'air, S_i l'entropie de l'air; la température T est commune aux deux compartiments ;
d'autre part, des membranes d'eau savonneuse qui limitent les deux bulles, d'épaisseur négligeable, d'énergies internes respectives U_(mi), de températures T_(mi) = T, d'entropies S_(mi) et de surfaces Σ_(mi) = 8πr_i^2 (double de la surface de la sphère, car il y a deux interfaces air-eau savonneuse), pour lesquelles l'identité thermodynamique fondamentale s'écrit dU_(mi) = TdS_(mi) + σdΣ_(mi).
a) Montrer que :
c) Soit G_i = U_i − TS_i + p_i V_i l'enthalpie libre de l'air dans la bulle (i). Du fait que le nombre de moles N_i varie, l'identité thermodynamique fondamentale s'écrit :
dG_i = − S_i dT + V_i dp_i + μ_i dN_i
où μ_i(p_i, T) est le potentiel chimique de l'air dans la bulle (i). Montrer que:
dG^∗ = μ_1 dN_1 + μ_2 dN_2
d) On montre dans le cours de chimie que pour un gaz parfait: μ_i(p_i, T) = f(T) + RTlnp_i où f(T) est une fonction de la température, identique dans les deux bulles car le gaz est le même. En déduire que :
dG^∗ = RTln((p_1)/(p_2))dN_1
I.C.4) Justifier que les variables p_1, p_2, r_1, r_2, N_1 et N_2 sont liées par 5 relations de telle sorte qu'une seule de ces variables suffit à déterminer toutes les autres. Dans la suite on prend r_1 comme variable. Montrer que dp_i/dr_i < 0 et dN_i/dr_i > 0. Quand r_1 croît, en déduire le sens de l'évolution de p_1, N_1, N_2, r_2, et p_2.
I.C.5) Prévoir l'évolution de deux bulles de rayons initiaux tels que r_1 > r_2. Que peut-on dire d'un état initial r_1 = r_2 ?
I.D - Transition entre deux comportements dans une expérience analogue
On se propose d'étudier le même problème en remplaçant les bulles de savon par deux petits ballons de baudruche que l'on supposera sphériques et réalisés dans le même matériau. On donne la loi phénoménologique qui relie la pression p_i de l'air dans un ballon à son rayon r_i :
p_i = p_0 + K(1/(r_i) − (r_0^6)/(r_i^7))
où r_0 est la plus petite valeur possible pour r_i, p_0 la pression extérieure et K une constante positive.
I.D.1) Le graphe de p_i(r_i) est représenté sur la figure 2 ; il passe par un maximum p_m pour un rayon particulier r_m. Quelle conséquence pratique cela a-t-il quand on gonfle un ballon de baudruche?
I.D.2) Les figures 3 a et 3 b fournissent le graphe de dG^∗/dr_1 = f(r_1) respectivement dans le cas (a) où N = N_1 + N_2 > 8πr_m^3 p_m/3RT et dans le cas (b) où N = N_1 + N_2 < 8πr_m^3 p_m/3RT
(la fonction f(r_1) s'obtient en utilisant les relations (B) et (C), ce qu'on ne demande pas de faire). Les paramètres associés aux points remarquables de ces courbes ont les propriétés suivantes:
point A : p_1(A) = p_2(A) et r_1(A) ≠ r_2(A)
point B : p_1(B) ≠ p_2(B) et r_1(B) ≠ r_2(B)
point C : p_1(C) = p_2(C) et r_1(C) = r_2(C)
point D : p_1(D) ≠ p_2(D) et r_1(D) ≠ r_2(D)
point E : p_1(E) = p_2(A) et p_2(E) = p_1(A); r_1(E) = r_2(A); r_2(E) = r_1(A)
point F : p_1(F) = p_2(F) et r_1(F) = r_2(F)
a) Tracer l'allure du graphe de G^∗(r_1) d'une part dans le cas (a) et d'autre part dans le cas (b). On placera sur ces graphes les points remarquables A, B, C, D, E, F. On rappelle que G^∗(r_1) est définie à une constante additive près.
b) En déduire l'état final du système abandonné dans un état initial quelconque d'une part dans le cas (a) et d'autre part dans le cas (b).
I.D.3) Montrer que N_i est une fonction croissante de r_i. À quelle situation particulière correspond la valeur N_c = 8πr_m^3 p_m/3RT de N assurant le passage d'un cas à l'autre? Lequel des cas (a) ou (b) donne un comportement analogue à celui des bulles de savon? Interpréter brièvement à l'aide de la figure 2.
I.D.4) Lorsque le paramètre N passe par la valeur N_c = 8πr_m^3 p_m/3RT, le système transite entre un état d'équilibre symétrique ( r_2 − r_1 = 0 ) et un état d'équilibre dissymétrique ( r_2 − r_1 ≠ 0 ). Cette situation est analogue à la transition paramagnétique-ferromagnétique. Quel est «l'analogue magnétique» de r_2 − r_1 ? Quel est «l'analogue magnétique» de N ?
Partie II - Le phénomène de Leidenfrost
Lorsqu'on dépose une petite goutte d'eau liquide au-dessus d'une plaque chauffante plane horizontale maintenue à une température nettement supérieure à la température d'ébullition de l'eau, on constate que la goutte peut rester en lévitation quelques dizaines de secondes juste au-dessus de la plaque avant de disparaître (le mouvement de la goutte est en général plus compliqué, au point que la goutte donne l'impression de «danser» sur la plaque). Pour simplifier les calculs, on étudie dans toute la suite une seule goutte et on la suppose hémisphérique de rayon a(t), sa face inférieure plane étant à une hauteur e(t) au-dessus de la plaque chauffante, supposée confondue avec le plan d'équation z = 0 (cf. figure 4). Le rayon a(t) et la cote e(t) de la face inférieure sont des fonctions du temps et l'échelle de temps caractéristique de leurs variations est τ_1 ≈ 50 s pour un rayon initial a_0 = 1 mm. phe expérimental de a(t).
Dans tout le problème on suppose que le champ de pesanteur g⃗ = − ge_z→ est uniforme avec g = 10 m ⋅ s^(− 2) et on suppose le référentiel terrestre galiléen.
II.A - Approche qualitative
L'interprétation qualitative de cet effet étudié pour la première fois par Leidenfrost en 1756 est la suivante : la plaque, de température plus élevée que celle de la goutte, cède à celle-ci de la chaleur, ce qui provoque l'évaporation progressive de la goutte liquide ; cette évaporation, qui n'est pas isotrope, provoque un écoulement de vapeur d'eau sous la goutte
figure 5 donne dans ce cas un gra-
figure 5 donne dans ce cas un gra-
II.B - Étude thermodynamique
Dans cette partie, on modélise le transfert thermique cédé par la plaque à la goutte d'eau liquide en négligeant les phénomènes de convection et de rayonnement: le transfert thermique est dû exclusivement à la diffusion thermique dans la vapeur d'eau, supposée immobile, située entre la plaque et la goutte. On note λ la conductivité thermique, μ_v la masse volumique et c_v la capacité thermique massique à volume constant de la vapeur d'eau et toutes ces grandeurs sont supposées constantes. On donne l'expression du laplacien d'une fonction f(r, θ, z) en coordonnées cylindriques:
II.B.1) Rappeler sans démonstration l'équation aux dérivées partielles ( E ) dont le champ de température T(r, z, t) est solution. On fera apparaître la diffusivité thermique D_(th) dont on rappellera l'expression en fonction de λ, μ_v et c_v.
II.B.2) Dans la suite on néglige les dérivées par rapport à r devant les dérivées par rapport à z dans l'expression de ΔT. À quelle condition sur le rapport e^2/a^2 peut-on valider cette approximation?
II.B.3) Exprimer par une analyse en ordre de grandeur la durée caractéristique τ^∗ d'un régime transitoire pour l'équation ( E ). Dans la suite on raisonne comme si un régime permanent était atteint instantanément et on prend donc :
(∂T)/(∂t) = 0 dans l'équation (E).
Donner de façon intuitive un critère de validité de cette approximation mettant en jeu τ^∗ et τ_1.
II.B.4) Expliciter la solution T(r, z, t) sachant que la plaque impose T(r, z = 0, t) = T_p et en supposant que la goutte liquide impose T(r, z = e(t), t) = T_e où T_e est la température d'ébullition de l'eau sous une pression p_0.
II.B.5) En déduire l'expression du vecteur densité de flux thermique j⃗ = j_z e⃗_z en fonction de λ, T_p, T_e et e.
II.B.6) En déduire l'expression du flux thermique φ reçu par la face inférieure de la goutte liquide en fonction de λ, T_p, T_e, a et e. Retrouver ce résultat directement en utilisant le concept de conductance thermique.
II.B.7) On suppose désormais que la face supérieure hémisphérique de la goutte n'échange aucun transfert thermique avec l'extérieur. On suppose dans cette question que la goutte d'eau liquide est plongée dans une atmosphère de vapeur d'eau à la pression uniforme et constante p_0 et que la température dans la goutte liquide est en tout point égale à la température d'ébullition T_e à la
pression p_0. On note l_v l'enthalpie massique de vaporisation de l'eau sous la pression p_0. On note D_m la masse de vapeur d'eau formée par seconde.
a) En appliquant soigneusement le premier principe de la thermodynamique à un système fermé convenablement choisi, établir l'expression de D_m en fonction de λ, a, T_p, T_e, e et l_v.
b) En déduire que :
(da)/(dt) = − (λ(T_p − T_e))/(2eμ_l l_v)
où μ_l est la masse volumique de l'eau liquide.
Pour obtenir un modèle calculable de la lévitation de la goutte, il est nécessaire de faire de grosses approximations. La suite du problème propose trois modèles concurrents parmi lesquels on cherche naturellement le plus réaliste. Un certain nombre de calculs sont analogues dans les trois modèles : ils sont demandés dans la partie II.C mais leurs résultats sont admis dans les parties II.D et II.E.
II.C - Modèle A
Hypothèses :
on néglige la variation de la cote z = e de la face inférieure de la goutte liquide au cours du temps ;
à tout instant on néglige la quantité de mouvement de l'eau liquide dans la goutte ;
la vapeur d'eau est émise uniformément, sur toute la surface du disque inférieur de la goutte de cote z = e avec une vitesse v⃗ = − V_0 e_z→(V_0 > 0).
le champ de pression p(M, t) = p_0 est uniforme dans l'atmosphère autour de la goutte.
II.C.1) On s'intéresse au système fermé ( S^∗ ) constitué de l'eau liquide contenue à l'instant t dans la goutte. À l'instant t + dt le système est constitué de l'eau qui est restée liquide dans la goutte et de la masse δm qui s'est vaporisée et qui est sortie de la goutte avec la vitesse − V_0 e_z.
a) Exprimer δm en fonction de dt, a, V_0 et de la masse volumique μ_v de la vapeur d'eau.
b) Exprimer la quantité de mouvement de ( S^∗ ) à l'instant t + dt en fonction de dt, a et V_0. Quelle est sa quantité de mouvement à l'instant t ? En déduire la variation de sa quantité de mouvement par unité de temps dP^∗^(→−)/dt.
II.C.2) On rappelle que la résultante des forces de pression associée à une pression uniforme p_0 sur une surface fermée comme celle limitant la goutte est nulle.
Établir la relation :
V_0 = √((2gaμ_l)/(3μ_v))
où μ_v et μ_l désignent respectivement la masse volumique de la vapeur et du liquide.
II.C.3) Exprimer le débit massique de vapeur d'eau sous la face plane de la goutte en fonction de V_0, a et de la masse volumique μ_v de la vapeur d'eau. En déduire par confrontation avec II.B.7-a que :
e = a^(− 1/2)√((3λ^2(T_p − T_e)^2)/(2gμ_v μ_l l_v^2))
II.C.4) Déduire de la relation (1) l'équation différentielle dont est solution a(t) et déterminer a(t) en fonction de g, μ_l, μ_v, t et du rayon initial a_0 = a(t = 0).
II.C.5) Calculer numériquement la durée de vie τ_A d'une goutte d'eau liquide dans ce modèle A pour μ_v = 0, 7 kg ⋅ m^(− 3), g = 10 m ⋅ s^(− 2), μ_l = 1, 0 ⋅ 10^3 kg ⋅ m^(− 3) et a_0 = 1 mm.
II.C.6) Donner trois arguments justifiant le rejet du modèle A.
II.D - Modèle B
Hypothèses :
on néglige la variation de e au cours du temps et l'eau liquide dans la goutte est immobile ;
la vapeur d'eau est émise uniformément, sur toute la surface du disque inférieur de la goutte avec une vitesse v⃗(r, z = e) = − V_0 e_z→(V_0 > 0);
l'écoulement de vapeur d'eau sous la goutte est incompressible et homogène, de masse volumique μ_v; il est aussi stationnaire, décrit en coordonnées cylindriques par le champ des vitesses v⃗ = u(r)e_r→ + w(z)e_z→ où u(r) est indépendant de z et où w(z) est indépendant de r avec w(z = e) = − V_0; (e_r→, e_θ→, e_z→) est le trièdre local associé aux coordonnées cylindriques ( r, θ, z ) ;
le champ de pression sous la goutte est de la forme p(r, z) avec p(r = a, z) = p_0 imposée par l'atmosphère; le champ de pression au-dessus de la goutte est uniforme égal à p_0;
on néglige le rôle de la pesanteur sur l'écoulement de vapeur d'eau.
II.D.1) On envisage le volume fixe limité par le cylindre d'axe Oz et de rayon r < a, et les plans z = 0 et z = e. En faisant un bilan de masse, montrer que u(r) = V_0 r/2e.
II.D.2) On admet que l'écoulement est irrotationnel.
a) Rappeler sans démonstration les conditions d'utilisation et l'énoncé du théorème de Bernoulli dans ce cas.
b) Dans la limite (e^2/a^2) < 1, on admet qu'on peut négliger le terme en w^2 dans l'expression du théorème de Bernoulli. En déduire que :
p(r, z) = p_0 + (μ_v V_0^2(a^2 − r^2))/(8e^2)
II.D.3) On rappelle que la résultante des forces de pression associée à une pression uniforme p_0 sur une surface fermée comme celle limitant la goutte est nulle. Calculer la résultante F_B des forces de pression exercées sur la goutte liquide par l'atmosphère qui l'entoure en fonction de μ_v, a, e et V_0.
II.D.4) En opérant comme en II.C. 3 on élimine V_0 (on ne demande pas de le faire). En opérant comme en II.C. 2 avec e^2/a^2 < 1, on obtient une expression de e et de a en fonction des données (on ne demande pas de le faire). Puis en opérant comme en II.C. 4 (on ne demande pas de le faire) on obtient l'équation pilotant l'évolution de a(t) qui s'intègre en :
a) Tracer l'allure du graphe de a(t). Que peut-on dire de la tangente au graphe à l'instant τ_B où a(τ_B) = 0. Comparer avec l'expérience.
b) Calculer numériquement τ_B pour une goutte de rayon initial a_0 = 1 mm sachant que :
λ = 0, 1 W ⋅ m^(− 1) ⋅ K^(− 1), T_p − T_e = 300 K, μ_v = 0, 7 kg ⋅ m^(− 3), g = 10 m ⋅ s^(− 2),; l_v = 2, 4 ⋅ 10^6 J ⋅ kg^(− 1) et μ_l = 1, 0 ⋅ 10^3 kg ⋅ m^(− 3).
Comparer avec l'expérience et conclure.
II.E - Modèle C
Hypothèses :
on néglige la variation de e au cours du temps et l'eau liquide dans la goutte est immobile ;
la vapeur d'eau est assimilée à un fluide homogène de masse volumique μ_v et de viscosité dynamique η constantes ;
l'écoulement est décrit en coordonnées cylindriques par un champ des vitessesv⃗ = u(r, z, t)e_r→ + w(r, z, t)e_z→;
du fait que e^2/a^2 « 1 , on admet qu'on peut négliger la composante w(r, z, t) et ses dérivées partielles, sauf en r = 0;
l'écoulement est supposé «nourri» fictivement par une arrivée de vapeur d'eau le long de l'axe Oz et on suppose que cette arrivée de vapeur d'eau apporte à l'écoulement toute la vapeur d'eau créée par évaporation de la goutte d'eau liquide, soit une masse D_m par unité de temps ;
le champ de pression sous la goutte est indépendant de z, de la forme p(r, t) avec p(r = a, t) = p_0 imposée par l'atmosphère ; le champ de pression au-dessus de la goutte est uniforme égal à p_0;
on néglige le rôle de la pesanteur sur l'écoulement;
l'écoulement est supposé incompressible ;
l'équation de la dynamique de l'écoulement projetée selon e_r→ s'écrit:
on donne par ailleurs en coordonnées cylindriques:
divv⃗ = 1/r(∂(ru))/(∂r)
II.E.1) Soit U un ordre de grandeur de u(r, z, t). Compléter dans le tableau ci-dessous les ordres de grandeur des différents termes contenant la vitesse dans l'équation (6) :
μ_v∂u/∂t
μ_v u∂u/∂r
η∂^2 u/∂z^2
η∂^2 u/∂r^2
(η/r)(∂u/∂r)
ηu/r^2
μ_v U/τ_1
ηU/a^2
En déduire deux conditions portant sur des nombres sans dimension pour pourvoir simplifier l'équation (6) en :
(∂p)/(∂r) = η(∂^2 u)/(∂z^2)
II.E.2) L'écoulement étant visqueux, la vitesse radiale u doit s'annuler en z = 0 et z = e. En déduire que :
u = (z(z − e))/(2η)(∂p)/(∂r)
II.E.3) Exprimer le débit volumique D_V(r, t) à travers la portion du cylindre d'axe Oz et de rayon r comprise entre les cotes z = 0 et z = e en fonction de ∂p/∂r, e, r et η.
II.E.4) Justifier soigneusement que D_V(r, t) est indépendant de r, ce qui justifie qu'on note D_V(t) dans la suite. Comment u(r, z, t) varie-t-elle alors avec r ? Vérifier la cohérence avec l'expression (7) de div v⃗ fournie par l'énoncé.
II.E.5) Montrer que sous la goutte la pression vaut:
p(r, t) = p_(0^−)(6ηD_V(t))/(πe^3(t))ln(r/a)
On ne se préoccupera pas du comportement pour r → 0 qui ne décrit pas la réalité physique du fait du modèle (arrivée d'eau). On admettra que l'erreur ainsi commise sur p est négligeable dans le calcul de la force pressante totale.
II.E.6) En opérant comme en II.D. 3 (on ne demande pas de le faire), on obtient l'expression de la résultante des forces de pression subies par la goutte F_C^(→−) = (3ηD_V a^2/e^3)e_z→. Vérifier l'homogénéité de cette expression.
II.E.7) En opérant comme en II.C. 3 (on ne demande pas de le faire), on obtient la relation :
e = a^(1/4)((9ηλ(T_p − T_e))/(2μ_v μ_l l_v g))^(1/4)
puis en opérant comme en II.C. 4 (on ne demande pas de le faire) on obtient l'évolution du rayon d'une goutte de rayon initial a_0 :
Calculer numériquement la durée de vie τ_C de la goutte sachant que :
λ = 0, 1 W ⋅ m^(− 1) ⋅ K^(− 1), T_p − T_e = 300 K, μ_v = 0, 7 kg ⋅ m^(− 3), g = 10 m ⋅ s^(− 2); l_v = 2, 6 ⋅ 10^6 J ⋅ kg^(− 1), η = 10^(− 3) Pa.s et μ_l = 1, 0 ⋅ 10^3 kg ⋅ m^(− 3). Conclure.
II.E.8) On se propose de tester la validité de certaines approximations du modèle C .
a) Pour a = 1 mm, calculer numériquement e en utilisant la relation (10). Calculer le rapport e^2/a^2 et conclure.
b) Pour a = 1 mm, tester numériquement la validité de l'approximation faite en II.B. 3 sachant que la diffusivité thermique de la vapeur d'eau vaut D_(th) = 10^(− 4) m^2 ⋅ s^(− 1).
c) Pour a = 1 mm, tester numériquement la validité de l'approximation consistant à négliger le terme d'accélération locale en II.E.1.
d) En exploitant les relations établies dans cette partie (calculs non demandés) on obtient pour la vitesse radiale un ordre de grandeur U ≈ 0, 5 m ⋅ s^(− 1) lorsque a ≈ 1 mm. Tester numériquement la validité de l'approximation consistant à négliger le terme d'accélération convective en II.E.1.
e) Donner au moins un argument pour invalider le modèle C pour les instants t ≈ τ.
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Questions fréquentes
4 questions
Sur quels chapitres porte l'épreuve de physique I du concours Centrale PC 2003 ?
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Sur quels chapitres porte l'épreuve de physique I du concours Centrale PC 2003 ?
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Elle porte sur la thermodynamique et la mécanique des fluides, à travers l'étude des échanges entre deux bulles de savon reliées puis le phénomène de Leidenfrost, la lévitation d'une goutte d'eau sur une plaque chauffante.
Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur cette épreuve de physique du concours Centrale ?
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Le jury signale une fausse intuition sur le sens de l'échange entre les deux bulles, un potentiel thermodynamique souvent incomplet, un non-respect des chiffres significatifs et l'oubli des conditions d'application du théorème de Bernoulli.
Ce sujet de physique Centrale PC 2003 sur les bulles est-il difficile ?
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Le jury le décrit comme reposant sur une physique et des calculs simples, mais seules 63% des questions abordées rapportent des points en moyenne, faute d'interprétations qualitatives suffisamment soignées.
Le phénomène de Leidenfrost étudié dans ce sujet est-il bien réussi par les candidats ?
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La partie thermodynamique du problème sur Leidenfrost est la mieux réussie, mais le dernier modèle proposé, peu abordé, a surtout permis de départager les meilleurs candidats.
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Commentaires• Centrale Physique 1 PC 2003
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