CCINP Physique 2 PC 2003Sujet et corrigé

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N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction ; si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

On se propose d'étudier le fonctionnement d'un wattmètre constitué de deux amplificateurs logarithmiques, d'un amplificateur exponentiel et d'un additionneur.

Dans tout le problème, les amplificateurs qui vont être étudiés utilisent une diode, schématisée sur la figure 1 , dont la caractéristique courant-tension a pour équation :

où i est l'intensité de courant traversant la diode, v la tension aux bornes, et I_o et V_o sont des constantes positives.

Pour les applications numériques, on prendra : I_o = 10μ A et V_o = 25mV.

Tracer qualitativement l'allure de la courbe i(v).

On réalise le montage de la figure 2 :

L'amplificateur opérationnel (A.O.) est supposé idéal et on note V_(sat) sa tension de saturation égale à ± 20 V; les sources de polarisation ne figurent pas sur les schémas.
2.1. L'amplificateur opérationnel étant supposé en régime linéaire, déterminer v_s(t) en fonction de v_e(t), V_o, I_o et R.
2.2. On suppose que v_e(t) = V_e√2sin(ωt) et que V_e√2 > RI_o et on remarquera que V_(sat)≫V_o. Pour 0 < ωt < π, et compte-tenu des signes de v_e et de v_s, justifier s'il y aura ou non saturation de l'amplificateur.
Répondre à la même question pour π < ωt < 2π.
2.3. Tracer l'allure des courbes v_e(t) et v_s(t), en fonction du temps, sur une période complète, pour V_e√2 > RI_0.

On réalise le montage de la figure 3 :

3.1. L'amplificateur opérationnel étant supposé en régime linéaire, déterminer v_s(t) en fonction de v_e(t), V_o, I_o et R.
3.2. On suppose que v_e(t) = V_e√2sin(ωt); pour 0 < ωt < π, donner la condition que v_e(t) doit satisfaire pour que l'amplificateur soit effectivement en régime linéaire; calculer la valeur numérique de la limite trouvée pour v_e(t) à partir des valeurs suivantes : R = 10^6 Ω et V_(sat) = 20 V.
3.3. Obtenir la condition entre V_(sat) et RI_o nécessaire pour que l'amplificateur opérationnel soit en régime linéaire lorsque π < ωt < 2π, quelle que soit la valeur de V_e.

On réalise maintenant le montage de la figure 4, dans lequel les amplificateurs opérationnels sont en régime linéaire :

4.1. Exprimer v_(s3) en fonction de v_(s1) et v_(s2), puis en fonction de v_1 et v_2 et des éléments du montage.
4.2. En déduire la caractéristique de transfert v_s = f(v_1, v_2) de ce montage, en fonction de I_o et R.
4.3. On considère que les tensions d'entrée sont de la forme :

Déterminer l'expression de la valeur moyenne dans le temps de la tension de sortie, notée < v_s >.
4.4. Proposer un moyen pour mesurer < v_s >.
4.5. On considère un dipôle constitué de résistances, bobines et condensateurs, d'impédance complexe équivalente Z_–_(éq) = R_(éq) + jX_(éq) et alimenté par une tension v(t) = V√2cos(ωt) (fig.5).

Exprimer la valeur moyenne P de la puissance instantanée reçue par le dipôle en fonction de V, R_(éq) et X_(éq), dite aussi «puissance active».

On veut mesurer cette puissance avec le montage de la figure 4, noté W; on réalise dans ce but le montage de la figure 6, alimenté par la tension v(t) = V√2cos(ωt) :

On considère que les intensités dans les deux entrées du wattmètre W sont nulles.
4.6. Quel est le rôle de la résistance r dans le montage ? Comment doit-on choisir la valeur de celle-ci ?
4.7. Montrer que la puissance moyenne totale mesurée par le wattmètre est de la forme :

Expliciter la constante k et exprimer P^′ en fonction de V, R_(éq), r et X_(eq).
4.8. Déterminer l'expression de l'erreur systématique relative ε_r = (|P^′ − P|)/P et montrer qu'elle est majorée par r/R_(éq).
4.9. On veut éliminer l'erreur introduite par la résistance r; on considère alors le montage de la figure 7 :

Calculer la résistance d'entrée r_e = v_e/i de ce montage.
4.10. Proposer un montage utilisant le circuit de la figure 7 qui permette de mesurer la puissance P reçue par le dipôle, sans l'erreur systématique ε_r introduite par la présence de r.

Le problème de la conception d'un écran électromagnétique est un problème de champ en régime quasi-stationnaire. La pénétration du champ électromagnétique dans le domaine qui doit être écranté dépend de la fréquence f, de la conductivité électrique σ de l'écran, aussi bien que de la géométrie de celui-ci.

On considère le domaine à écranter situé entre deux plaques métalliques parallèles d'extension infinie, d'épaisseur d et distantes de 2D (fig. 1). Les deux plaques sont planes, homogènes et isotropes, de conductivité électrique σ et de constantes ε_o et μ_o égales à celles du vide.

On rappelle leurs valeurs numériques : ε_0 = 1/(36π10^9)Fm^(− 1) et μ_o = 4π10^(− 7)Hm^(− 1)

Dans le domaine extérieur, x ∈ ] − ∞, − D − d[ ∪ ]D + d, + ∞[, règne un champ magnétique uniforme et variable dans le temps :

Par ailleurs, on appelle :
B⃗_i = B_i(x, t)u⃗_z le champ magnétique entre les deux plaques
E⃗_i = E_i(x, t)u⃗_y le champ électrique entre les deux plaques
B⃗ = B(x, t)u⃗_z le champ magnétique dans les plaques
E⃗ = E(x, t)u⃗_y le champ électrique dans les plaques.

Tous ces champs sont des fonctions harmoniques du temps t (régime sinusoïdal), de pulsation ω.

1.1. L'une des équations de Maxwell s'écrit : rotB⃗ = μ_o(j⃗ + ε_o(∂E⃗)/(∂t))

De quelle équation de Maxwell s'agit-il ? Pourquoi est-elle nommée ainsi ? Comment appelle-t-on j⃗ ? Quelle est son unité ?
1.2.Donner l'expression de la loi d'Ohm locale. Est-elle valable quelle que soit la fréquence? Justifier qualitativement la réponse.
On admettra la validité de cette loi dans toute la suite.
1.3. On pose j⃗_d = ε_o(∂E⃗)/(∂t). Exprimer le rapport des amplitudes (j_d)/j en fonction de σ et de la fréquence f, en un point quelconque de la plaque.
Tracer l'allure de la courbe représentative (j_d)/j en fonction de f.
Application numérique : dans le cas de l'aluminium, σ = 36.10^6 S.m^(− 1); donner la condition vérifiée par la fréquence f pour avoir (j_d)/j ≤ 10^(− 6).
Dans toute la suite du problème, on négligera j⃗_d devant j⃗ à l'intérieur des plaques métalliques; il s'agit de l'approximation de l'effet de peau.

2.1. Une autre équation de Maxwell s'écrit röt E⃗ = − (∂B⃗)/(∂t).

Comment la nomme-t-on ? Pourquoi ?
2.2. Ecrire les deux autres équations de Maxwell.
2.3. On rappelle que : rot(rotB⃗) = grad(divB⃗) − ΔB⃗

Donner l'équation aux dérivées partielles satisfaite par le champ B⃗(x, t).
2.4. En régime sinusoïdal, à B(x, t) = B(x)√2cos(ωt + φ(x)), on associe l'image complexe suivante : B_–(x) = B(x)e^(jφ(x))
On note γ_–^2 = jωμ_O σ avec √(γ_–^2) = ± α(1 + j) = ± γ_–
Expliciter α en fonction de ω, μ_o, σ.
2.5. Ecrire l'équation différentielle satisfaite par B_–(x) avec γ_– comme paramètre.
2.6. Résoudre cette équation pour x ∈ ]D, D + d[, en donnant l'expression de B_–(x) en fonction de deux constantes A_–_1 et A_–_2, que l'on ne cherchera pas à déterminer dans cette question.
2.7. En exploitant la symétrie du système, justifier qu'il n'est pas nécessaire de résoudre l'équation différentielle de B_–(x) dans le domaine ] − D − d, − D[.
2.8. A partir de l'une des équations de Maxwell judicieusement choisie, exprimer l'image complexe E_–(x) du champ électrique pour x ∈ ]D, D + d[ avec μ_0, γ, σ, A_–_1 et A_–_2 comme paramètres.

3.1. Ecrire sans approximation les équations de Maxwell dans le vide entre les deux plaques.
3.2. En déduire l'équation différentielle satisfaite par B_–_i(x).
3.3. Montrer que l'expression suivante est solution de cette équation :
B_–_i(x) = A_–_3 cos((2π)/(λ_o)x) + A_–_3^′ sin((2π)/(λ_o)x) où A_–_3 et A_3^′ sont des constantes, que l'on ne cherchera pas à déterminer ici.
Donner l'expression de λ_o en fonction de ε_o, μ_o et f.
3.4. Dans quelle condition, l'approximation de régime quasi-stationnaire est-elle justifiée dans le vide, entre les deux plaques ?

Calculer λ_o pour f = 100kHz et conclure.
Que peut-on dire alors de B_–_i(x) dans le domaine intérieur − D ≤ x ≤ D avec D = 10 cm ?
3.5. Déterminer l'image complexe E_–_i(x) du champ électrique en fonction de A_–_3 et d'une autre constante A_–_4 comme paramètre.
On prendra B_–_i = A_–_3.
3.6. Comparer la symétrie de E⃗ à celle de B⃗ par rapport au plan Oyz. En déduire la valeur de E_–_i(x = 0), puis la valeur de A_–_4.

4.1. Il n'y a ni charge surfacique ni courant surfacique en x = D et en x = D + d. Justifier pourquoi.
4.2. Donner les relations de passage du champ magnétique et du champ électrique en x = D.
4.3. En déduire A_–_1 et A_–_2 en fonction de A_–_3. On rappelle que γ_–^2 = jωμ_0 σ
4.4. Donner la relation de passage du champ magnétique en x = D + d. En déduire B_–_i, donc A_–_3, en fonction de γ_–, D, d et B_o.
4.5. La valeur efficace B_(ieff) du champ B_i(x, t) est donnée par le module de l'image complexe B_–_i. Exprimer B_(ieff) en fonction de α, D, d et B_o, dans l'hypothèse double αD≫1 et αd≫1.
4.6. Les plaques utilisées sont en aluminium :

et les autres grandeurs ont les valeurs suivantes : f = 100kHz et D = 10 cm.
Calculer la valeur du paramètre α, ainsi que la profondeur de pénétration δ = 1/α ( δ sera donnée en mm).
4.7. On définit le facteur d'atténuation a comme étant le rapport des valeurs efficaces :

Exprimer a en fonction de α, D et d.
Calculer l'épaisseur d d'un écran pour avoir a = 10^(− 5).
L'hypothèse faite à la question 4.5. est-elle justifiée?
4.8. Nature du métal : les applications ont concerné des plaques en aluminium. Ces applications auraient-elles pu être effectuées sur des plaques en cuivre ? en fer ? Justifier la réponse.