ENS Physique PC 2003, épreuve USujet et corrigé

ENS de Paris

Durée : 6 heures

L'usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n'est autorisé entre les candidats.

Il est conseillé d'aborder les différentes parties du problème dans leur ordre d'apparition.

Le candidat est prié d'accorder une importance particulière aux applications numériques.

La propagation d'une impulsion lumineuse dans un gaz atomique peut s'effectuer à une vitesse très différente de c ≃ 3 × 10^8 m/s, vitesse de la lumière dans le vide, lorsque la fréquence du champ lumineux est proche de celle d'une transition atomique. Ceci a fait l'objet ces dernières années d'expériences spectaculaires. Ainsi, le groupe de Lene Hau à l'Université de Harvard a observé en 1999 la propagation d'une impulsion lumineuse dans une vapeur d'atomes de sodium à une vitesse moyenne de 17 m/s.

L'objectif du problème est de rendre compte de ces vitesses inhabituelles de propagation à partir du modèle de l'électron élastiquement lié traditionnel, puis d'une variante du modèle permettant de prendre en compte le fait que non pas deux, mais trois niveaux atomiques sont mis en jeu dans l'expérience de Lene Hau.

Dans tout le problème, on repère l'espace réel par les coordonnées cartésiennes ( x, y, z ) et l'on appelle e_j, j = x, y, z les vecteurs unitaires correspondants. Les vecteurs sont notés en caractères gras. La notation c.c. signifie "complexe conjugué". On néglige totalement la force de pesanteur.

Dans cette partie, on suppose que le champ électromagnétique appliqué excite une seule transition atomique. On décrit la réponse d'un atome neutre à l'excitation électromagnétique par le modèle de l'électron élastiquement lié, et on en déduit la polarisabilité α de l'atome.

Le noyau de l'atome est au repos au point R, que l'on suppose pour simplifier être à l'origine des coordonnées, R = 0. L'électron, de charge q et de masse m, a un vecteur position u par rapport au noyau. Il est soumis à une force de rappel − mω_0^2 u et à une force de friction − mΓdu/dt. On suppose dans tout le problème que Γ≪ω_0.
a) Exposer brièvement l'origine physique de ces deux forces et la signification physique des constantes ω_0 et Γ.
b) Quelle est la valeur stationnaire du vecteur position u de l'électron dans ce modèle, en l'absence de champ excitateur? Donner un ordre de grandeur de la taille réelle a_0 d'un atome, par exemple l'atome d'hydrogène. Quelle est la signification physique de u ?
c) On envoie sur l'atome une onde électromagnétique monochromatique de pulsation ω. On suppose que la force exercée par le champ magnétique sur l'électron est négligeable par rapport à la force exercée par le champ électrique. A quelle condition sur la vitesse de l'électron cette hypothèse est-elle justifiée ? Cette condition est-elle satisfaite pour un atome réel comme l'atome d'hydrogène ?
d) On suppose de plus que le champ électrique ressenti par l'électron peut être approximé par le champ électrique régnant au point 0, que l'on notera E(0, t). A quelle condition sur la pulsation ω et sur la taille de l'atome a_0 cette approximation est-elle justifiée ?
e) En déduire une équation du mouvement approchée pour u.

On écrit le champ électrique précédent à l'aide de la notation complexe suivante :

où E_0 est un vecteur à composantes complexes indépendantes du temps. On cherche un régime forcé à l'équation du mouvement sur u de la forme

où u_0 est un vecteur à composantes complexes indépendantes du temps.
a) Exprimer u_0 en fonction de E_0, q, m, ω, ω_0 et Γ.
b) En déduire la valeur du moment dipolaire électrique p de l'atome en régime forcé, que l'on mettra sous la forme

où p_0 est un vecteur à composantes complexes indépendantes du temps.
c) On rappelle que la polarisabilité α(ω) de l'atome à la pulsation ω est telle que

où ε_0 est la permittivité diélectrique du vide. Donner la valeur de α en fonction de q, m, ε_0, Γ, ω et ω_0.
d) On suppose dans toute la suite que ω est très proche de ω_0 :

où δ est appelé traditionnellement 'désaccord'. En revanche, on notera que δ et Γ peuvent être du même ordre de grandeur. En déduire une expression simplifiée de α faisant intervenir ω_0 et δ mais plus ω. On pensera à utiliser une simplification de ce type dans toute la suite.
e) Quelle est la puissance moyenne P_(fr) de la force de friction subie par l'électron? Exprimer P_(fr) en fonction de ω_0, ε_0, m, Γ, q, E_0 et |α|.
f) On suppose qu'on a branché brutalement le champ électromagnétique. Donner l'ordre de grandeur du temps au bout duquel le mouvement de l'électron atteint le régime forcé.

On appelle respectivement E_(rad)(r, t) et B_(rad)(r, t) les champs électrique et magnétique rayonnés par l'atome en un point r quelconque de l'espace. On suppose que le mouvement de l'électron est en régime forcé.
a) Pourquoi s'attend-on à avoir un champ électromagnétique rayonné par l'atome ? Quelle est à votre avis la pulsation de ce champ ?
b) On admet que le potentiel vecteur A_(rad) décrivant le champ électromagnétique rayonné peut avoir pour expression à grande distance de l'atome :

où l'on a introduit r = |r| le module du vecteur r, μ_0 = 1/(ε_0 c^2) est la perméabilité magnétique du vide et c la vitesse de la lumière dans le vide. A l'aide de la décomposition (3), exprimer A_(rad) explicitement en fonction de r et du temps. En déduire, à l'ordre le plus bas en 1/r, l'expression de B_(rad)(r, t) à grande distance de l'atome. On rappelle la formule d'analyse vectorielle :

où f et C sont des fonctions scalaire et vectorielle quelconques des coordonnées. On pourra introduire le vecteur unitaire
et la notation complexe

où B_(rad, 0) est un vecteur à composantes complexes indépendantes du temps. L'expression obtenue est-elle bien un champ transverse?
c) A l'aide d'une des équations de Maxwell, déduire de la valeur de B_(rad) l'expression en notation complexe du champ électrique rayonné par l'atome à l'ordre le plus bas en 1/r. On utilisera la relation (7) avec un choix judicieux de f assurant que le rotationnel de C est négligeable. Le champ électrique rayonné est-il bien transverse?
d) Calculer la moyenne temporelle ⟨Π⟩ du vecteur de Poynting à grande distance de l'atome. On pourra utiliser l'identité

où a, b et c sont trois vecteurs quelconques.
e) Calculer le flux du vecteur de Poynting moyen à travers la sphère de rayon r centrée sur le noyau. On donne l'intégrale sur les angles solides de direction n :

où δ est le delta de Kronecker, i, j sont deux directions quelconques x, y, z de l'espace et n_i est la composante du vecteur n le long de l'axe i. Exprimer la puissance moyenne totale P_(rad) rayonnée par l'atome en fonction de ε_0, ω_0, c, |α| et E_0.
f) En recoupant l'expression de P_(rad) avec un résultat de la question 1.2, montrer que la polarisabilité de l'atome peut s'écrire

où l'on a introduit la longueur d'onde λ_0 = 2πc/ω_0 et γ = Γ/2. Faire une figure montrant la dépendance en δ de la partie réelle et de la partie imaginaire de la polarisabilité α sur un intervalle centré en δ = 0 de largeur de l'ordre de quelques γ.

Dans cette partie, on étudie la propagation d'un paquet d'ondes électromagnétiques quasi monochromatique dans un milieu dispersif et absorbant. Le milieu remplit uniformément l'espace entre les plans z = 0 et z = L. Les demi-espaces z < 0 et z > L sont vides. Pour simplifier, on considère seulement des ondes incidentes se propageant selon l'axe z et venant de z = − ∞. Une onde incidente monochromatique de pulsation ω possède dans le milieu un vecteur d'onde complexe dirigé suivant z, que l'on note

a) Comment s'appelle la fonction χ ? On suppose que l'on peut négliger la formation d'ondes réfléchies aux interfaces z = 0 et z = L. A quelle condition sur χ cette approximation est-elle justifiée ? On se place dans ce cas pour toute la suite.
b) Une onde monochromatique incidente donne naissance au champ électrique suivant dans le demi-espace z < 0 :

où le vecteur E_0 est une constante indépendante de z, t, ω. Donner explicitement la valeur du champ électrique correspondant dans le milieu 0 < z < L et dans le demi-espace z > L. La densité d'énergie électromagnétique est-elle en général la même dans les demi-espaces z < 0 et z > L ? Si le milieu est un gaz d'atomes comme celui de la partie 1 , qu'est devenue la densité d'énergie manquante ?
c) On forme un paquet d'ondes en superposant les ondes monochromatiques précédentes avec une distribution gaussienne :

A quelle condition sur le milieu, que nous supposerons vérifiée, ce paquet d'ondes satisfait-il aux équations du mouvement du champ? Quelle est la signification physique des quantités positives σ et ω¯ ?
d) Calculer explicitement la dépendance en z et en t du paquet d'ondes dans le demiespace z < 0. On donne l'intégrale

où q est un nombre complexe quelconque. A quelle vitesse le paquet se propage-t-il ? Faire un dessin du champ électrique en fonction de z à t fixé dans le cas σ≪ω¯. Caractériser la largeur spatiale du paquet par une longueur Δz_e. Que vaut t_e, instant d'entrée du maximum de l'enveloppe du paquet d'ondes dans le milieu ?
e) On se place dans le cas limite où σ est bien plus faible que l'échelle de variation de k(ω) autour de ω¯ si bien que l'on peut utiliser le développement

où le prime représente la dérivee première. Calculer alors la dépendance explicite en z et en t du paquet d'ondes dans le demi-espace z > L.
f) En notation complexe, la composante selon E_0 du champ électrique dans le demiespace z > L peut s'écrire comme le produit d'une fonction enveloppe réelle f(z, t) et d'une phase e^(iθ(z, t)). Ecrire explicitement la valeur de la fonction enveloppe f(z, t). On décomposera la fonction complexe k(ω) en sa partie réelle et sa partie imaginaire:

L'expression explicite de la fonction de phase θ(z, t) n'est pas demandée.
g) Donner explicitement la trajectoire du maximum en z de la fonction enveloppe dans le demi-espace z > L. A quelle vitesse se déplace le maximum ? A quel instant t_s sort-il du milieu ?
h) A l'aide de t_e et t_s, définir une vitesse de propagation moyenne v du maximum du paquet dans le milieu. Dans le cas où le milieu est non absorbant, quel nom donne-t-on traditionnellement à v ?
i) L'expression que vous avez obtenue pour f assure-t-elle automatiquement que le paquet d'ondes sort atténué du milieu absorbant ? Donner une condition sur σ pour que ce soit le cas.
j) La largeur spatiale du paquet d'ondes a-t-elle changé après traversée du milieu, d'après les calculs des questions précédentes ? En allant à l'ordre suivant dans le développement (17) mais sans chercher à calculer l'intégrale gaussienne correspondante, donner une condition nécessaire sur L, |k^(′′)| et σ pour que ce soit effectivement une bonne approximation. Le double prime représente la dérivée seconde.
k) On se place maintenant dans le milieu, 0 < z < L, à nouveau dans le cadre de l'approximation (17). Calculer en notation complexe le champ électrique dans le milieu, puis sa fonction enveloppe réelle f(z, t). Comme à la question 2.1 d , on caractérise la largeur spatiale du paquet par une longueur Δz_m. Exprimer le rapport Δz_m/Δz_e en fonction de c et k^′(ω¯). Dans le cas où l'absorption est négligeable k_I(ω¯) = 0, k_I^′(ω¯) = 0, montrer que le rapport Δz_m/Δz_e est une fonction de v/c et retrouver ce résultat sans calcul par une interprétation physique très simple.

Le milieu dans lequel les ondes électromagnétiques se propagent est un gaz d'atomes à deux niveaux de densité spatiale ρ dans la tranche 0 < z < L. Chaque atome a une polarisabilité α donnée par (12).
a) Rappeler l'expression de χ en fonction de ρ et de α. Dans le régime considéré (voir question 2.1a), comment l'expression de k(ω) peut-elle se simplifier ? On utilisera cette expression simplifiée dans toute la suite.
b) Application numérique : on considère des atomes de sodium éclairés sur la transition à 589 nm . Le gaz a une densité ρ de 5 × 10^(18) atomes par m^3. Calculer ρα pour un désaccord δ nul. La simplification faite à la question précédente est-elle justifiée ? Donner un ordre de grandeur de l'erreur effectuée sur k(ω).
c) A partir des résultats de la question 2.1 h , obtenir une formule explicite donnant la vitesse v du paquet d'ondes dans le milieu en fonction de ρλ_0^3, δ = ω¯ − ω_0, γ = Γ/2,
ω_0 et c. On négligera χ(ω¯) devant ω¯χ^′(ω¯) en justifiant cette approximation. Quelle est l'échelle typique de variation de α en fonction de δ ? On suppose dans la suite que la largeur σ est petite devant cette échelle, de façon que l'approximation (17) à la base de notre calcul de v soit utilisable pour une valeur arbitraire de ω¯.
d) Application numérique : pour la transition considérée de l'atome de sodium, on donne Γ = 6, 3 × 10^7 s^(− 1). Le gaz a une densité de 5 × 10^(18) atomes par m^3 et une épaisseur L = 100μ m. A désaccord nul δ = 0, calculer v ainsi que la différence entre l'instant de sortie t_s et l'instant d'entrée t_e. Commenter soigneusement ces résultats. Vous semblent-ils violer un principe fondamental de la physique? Calculer le facteur d'atténuation de l'amplitude de l'onde à la sortie du milieu. La condition obtenue au 2.1 i est-elle satisfaite ?
e) On souhaite réduire au minimum la vitesse v de la lumière dans le milieu. Quelle est pour cela la valeur optimale du désaccord ? Application numérique : calculer la valeur de v correspondante, ainsi que le coefficient d'atténuation de l'onde à sa sortie du milieu. Ceci permettrait-il de battre le record de Lene Hau?
f) Application numérique : on réduit la densité du gaz d'un facteur 10^7 par rapport à la question 2.2 d . Que devient l'absorption de l'onde dans le milieu? La vitesse v peut-elle être supérieure à la vitesse de la lumière dans le vide? Si oui, pour quelles valeurs de δ/γ ceci se produit-il ?

L'expérience de Lene Hau met en fait en jeu deux transitions de l'atome de sodium, depuis deux niveaux fondamentaux f_1, f_2 vers un même état excité e. La transition f_1 → e est celle considérée jusqu'à présent dans ce problème. Elle est excitée par le champ électromagnétique de l'impulsion lumineuse que l'on veut ralentir et a été modélisée par un électron élastiquement lié, voir la partie 1.

Le ralentissement de la lumière est obtenu en appliquant un faisceau laser continu dit 'de couplage', qui excite à résonance la transition f_2 → e tout en produisant une excitation négligeable de la transition f_1 → e. Le faisceau laser de couplage modifie cependant de façon profonde la polarisabilité de l'atome sur la transition f_1 → e, car l'état excité e est commun aux deux transitions.

La description précise de ce phénomène nécessite un traitement quantique du mouvement électronique, hors programme. Nous admettrons donc que l'effet du laser de couplage est bien modélisé par l'introduction fictive d'un second électron élastiquement lié, de masse m, de charge q et de vecteur position s(t) par rapport au noyau. En l'absence de laser de couplage, ce second électron subit seulement la force − mω_0^2 s, c'est-à-dire qu'il ne subit aucune force de friction, ni aucune force électromagnétique de la part de l'impulsion lumineuse incidente.

Le seul effet de la présence du laser de couplage est d'introduire une force de couplage entre les deux électrons élastiquement liés. Cette force dérive du potentiel

où la pulsation Ω est proportionnelle à la racine carrée de l'intensité moyenne du laser de couplage.

La transition f_1 → e est éclairée par un champ monochromatique de pulsation ω, si bien que l'électron élastiquement lié de vecteur position u est excité par le champ électrique (1).
a) Donner l'expression de la force subie par u de la part de s puis de la force subie par s de la part de u. On ne s'inquiétera pas du fait que le principe d'action et de réaction n'est pas satisfait.
b) Ecrire les équations du mouvement satisfaites par u et par s.
c) On se place en régime forcé pour les oscillateurs u et s :

où les vecteurs à composantes complexes u_0 et s_0 ne dépendent pas du temps. Ecrire les équations satisfaites par u_0 et s_0.
d) A l'aide d'une des équations précédentes, exprimer s_0 en fonction de u_0. En déduire une équation portant seulement sur u_0.
e) Simplifier cette équation dans la limite (5). En déduire la polarisabilité α de la transition f_1 → e en fonction de q, m, ω_0, ε_0, δ, γ = Γ/2 et Ω.
f) A partir des résultats de la sous-partie 1.3, montrer finalement que la polarisabilité α en présence du laser de couplage vaut

a) Quel est le vecteur d'onde de la lumière dans le gaz lorsque ω est rigoureusement égal à ω_0 ? Quelle propriété remarquable a alors le gaz vis-à-vis de la lumière monochromatique à cette pulsation ? Comparer au cas des atomes à deux niveaux.
b) On se place dans le régime d'un désaccord beaucoup plus faible que γ en valeur absolue, et d'une intensité du laser de couplage assez faible pour que Ω≪γ. Montrer qu'un des termes au dénominateur dans l'équation (22) est négligeable. En déduire que la dépendance en fréquence de la polarisabilité est caractérisée par une milargeur

Pourquoi souhaite-t-on avoir σ≪γ~ dans la suite ?
c) En revenant à l'expression exacte (22), faire un dessin schématique de la dépendance en δ de la partie réelle et de la partie imaginaire de α sur un intervalle centré en δ = 0 et de largeur de l'ordre de quelques γ. On considérera deux valeurs de l'intensité du laser de couplage, l'intensité nulle et une intensité non nulle assez faible pour que Ω≪γ.
d) Calculer k^′(ω¯) dans le cas ω¯ = ω_0 et pour une intensité quelconque du laser de couplage. En déduire l'expression de la vitesse v. La condition obtenue à la question 2.1i est-elle satisfaite ?
e) Application numérique : dans l'une des expériences de Lene Hau, le gaz de sodium utilisé a une densité de ρ = 5 × 10^(18) atomes par m^3 et le laser de couplage a une intensité de 120 W/m^2 ce qui correspond à Ω = 0, 56Γ. Calculer v/c puis v pour ω¯ = ω_0. Comparer au record établi par Lene Hau, v = 17 m/s.
f) En principe, quelle est la valeur de Ω conduisant à la vitesse v la plus faible ? Qu'en est-il en pratique, sachant que la largeur en fréquence de l'impulsion lumineuse n'est pas arbitrairement faible? Application numérique : en un point z < 0 fixé, donc en dehors du gaz, le paquet d'ondes incident a un profil temporel d'intensité gaussien de mi-largeur à mi-hauteur τ = 1, 25μ s. Calculer σ et la valeur minimale de Ω utilisable. La valeur de Ω utilisée dans l'expérience est-elle supérieure à cette valeur minimale?
g) Application numérique : dans l'expérience de Lene Hau, quelle mi-largeur spatiale a l'impulsion lumineuse lorsqu'elle se trouve dans le gaz atomique ? On utilisera les résultats de la question 2.1 k .