CCINP Mathématiques 2 PC 2003Sujet et corrigé

Les calculatrices sont interdites

N.B.: Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté,
à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé,
il la signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition
en expliquant les raisons des initiatives qu'll a été amené à prendre.

Pour tout nombre réel u ∈ ]0, 1[ on définit la fonction φ_u de la variable réelle t par :

Soit 1/2a_0(u) + ∑_(n = 1)^(+ ∞)a_n(u)cosnt la série de Fourier de la fonction φ_u.
I. 1 Calculer a_n(u) pour tout n ∈ ℕ.

La fonction φ_u est-elle égale en tout point de ℝ à la somme de sa série de Fourier ?
I. 2 En déduire, pour tout u ∈ ]0, 1[, l'égalité :

I. 3 Montrer que la série de fonctions de terme général u_n(x) = ln(1 − (x^2)/(n^2)), n ∈ ℕ^∗, converge simplement sur [0, 1[, et que la série de fonctions de terme général u_r^′(x) converge normalement sur tout segment [0, a] ⊂ [0, 1[.

En déduire une expression de ∑_(n = 1)^(+ ∞)u_n(x) pour tout x ∈ [0, 1[.
I. 4 Soit (s_n)_(m ∈ ℕ) la suite de fonctions définies pour tout x ∈ ℝ par la récurrence :

I.4.1 Montrer que la suite de fonctions (s_n)_(n ∈ ℕ) converge simplement sur ℝ. Nous noterons s sa limite.
I.4.2 Montrer que pour tout n ∈ ℕ^∗ et tout x ∈ ℝ on a s_n(x + 1) = (x + n + 1)/(x − n)s_n(x). En déduire que s(x + 1) = − s(x) pour tout x ∈ ℝ.
I.4.3 Calculer s(x) pour tout x ∈ [0, 1[. En déduire que pour tout x ∈ ℝ on a s(x) = (sinπx)/π.

On considère la suite (f_n)_(n ∈ ℕ^∗) de fonctions définies pour tout x ∈ ℝ par :

II.1.1 Soit p ∈ ℕ un nombre entier naturel. Déterminer lim_(n → + ∞)f_n(− p).
II.1.2 On suppose que x n'est pas un nombre entier négatif ou nul. Montrer que la suite (f_n(x))_(n ∈ ℕ^∗) converge vers une limite non nulle (on pourra considérer la série de terme général ln(f_(n + 1)(x))/(f_n(x)), défini à partir d'un certain rang N_x que l'on déterminera en fonction de x ).
Nous noterons f la fonction lim_(n → + ∞)f_n, définie sur ℝ tout entier.
II. 2 Montrer que pour tout x ∈ ℝ on a f(x) = xf(x + 1). Calculer f(1) et en déduire f(n) pour tout n ∈ ℕ^∗.

II. 3 Montrer que pour tout x ∈ ℝ on a f(x)f(1 − x) = (sinπx)/π. On pourra étudier, pour n ∈ ℕ^∗ le rapport (f_n(x)f_n(1 − x)^π)/(s_n(x)).
II. 4 On se propose dans cette question de montrer que pour tout x ∈ ℝ et tout p ∈ ℕ^∗ on a la relation :

II.4.1 Montrer que la relation (1) est vérifiée lorsque px est entier négatif ou nul.
II.4.2 On suppose que px n'est pas entier négatif, et soit n un élément quelconque de ℕ^∗. Montrer que (p^(px − 1)f_(pn)(px))/(p − 1) ne dépend pas de x. En déduire que f vérifie une

relation du type :

où A_p est un nombre réel positif ou nul dépendant de p.
II.4.3 En écrivant pour x = 1/p la relation ci-dessus, montrer que :

En déduire une expression de A_p^2 en fonction de p et de ∏_(k = 1)^(p − 1)sin(kπ)/p.
II.4.4 Montrer l'identité suivante entre fonctions polynômes de la variable réelle x :

En donnant à x là valeur 1 , en déduire les valeurs de ∏_(k = 1)^(p − 1)sin(kπ)/p et de A_p, ainsi que la relation (1).

Soit Γ la fonction de la variable réelle x définie par Γ(x) = ∫_0^(+ ∞)e^(− t)t^(x − 1)dt.
III. 1 Déterminer le domaine de définition D de Γ et montrer que Γ est indéfiniment dérivable sur D.
III. 2 Pour tout x ∈ ]0, + ∞[ et tout n ∈ ℕ^∗ on pose G_n(x) = ∫_0^n(1 − t/n)^n t^(x − 1)dt.
III.2.1 On pose g_n(x) = ∫_0^1(1 − u)^n u^(x − 1)du. Déterminer une relation entre g_n(x) et g_(n − 1)(x + 1) et en déduire l'expression de g_n(x) en fonction de x et n.
En déduire que G_n(x) = n/((n + x)f_n(x)).
III.2.2 Montrer que pour tout t ∈ [0, n] on a les inégalités e^(− t) ≥ (1 − t/n)^n et e^t ≥ (1 + t/n)^n. En déduire que l'on a 0 ≤ e^(− t) − (1 − t/n)^n ≤ e^(− t)[1 − (1 − (t^2)/(n^2))^n] pour tout t ∈ [0, n].
III.2.3 Montrer, par récurrence sur n, que l'on a (1 − a)^n ≥ 1 − na pour tout a ∈ [0, 1] et tout n ∈ ℕ^∗. En déduire que pour tout t ∈ [0, n] on a les inégalités :

III.2.4 Déduire de ce qui précède la limite, pour x ∈ ]0, + ∞[, de G_n(x) lorsque n tend vers + ∞ et exprimer f(x) en fonction de Γ(x) pour x ∈ ]0, + ∞[.
III. 3 Montrer que f est indéfiniment dérivable sur ℝ.